数学分析课件：20-2含参量的反常积分的一致收敛

如对 x [a,b], 反常积分 f ( x, y)dy 都收敛, c
则可得如下函数：
I( x) c f ( x, y)dy, x [a,b].
称为定义在[a,b]上含参量x的无穷限反常积分 ,
简称为 含参量反常积分.
如何判断含参变量反常积分的连续性、 可微性与可积性？
求 I( x);
可用广义牛—莱公式，或通过分部积 分法和换元积分法去计算完成。
若 g( y)dy 收敛, 则 f ( x, y)dy 在[a, b]上
c
c
一致收敛.
4. Dirichlet 判别法
N
若 (i) N c,含参量正常积分 c f ( x, y)dy
对参数x在[a , b]上一致有界 ,
(ii) x [a,b],函数g( x, y)关于y是单调递减
且当y 时对参量x, g( x, y)一致地
c
一致收敛于I( x).
M
M f ( x, y)dy c f ( x, y)dy I( x)
等价于说：
F ( x, M ) M f ( x, y)dy uni I ( x)，(M ) c
记：(M ) sup |
f ( x, y)dy |,
由定义知：
x[a ,b] M
定理1. 积分 f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛 c
于I( x) lim (M ) 0. M
2. 一致收敛的判别方法
(1) 柯西收敛原理
含参量反常积分 f ( x, y)dy在[a,b]上一致 c
收敛的充要条件是:
0,M c,A1, A2 M,x [a,b],都有
A2 f ( x, y)dy . A1
(2) 与函数项级数关系定理
则含参量反常积分
f ( x, y)g( x, y)dy
c
在[a, b]上一致收敛 .
收敛于0,
则含参量反常积分
f ( x, y)g( x, y)dy
c
在[a, b]上一致收敛 .
5. Abel 判别法
若
(i) f ( x, y)dy 在[a,b]上一致收敛; c
(ii) x [a,b],函数g( x, y)为y的单调函数, 且对参量x, g( x, y)在[a,b]上一致有界 ,
2008／06／10
§20.2 含参量的反常积分的 一致收敛
本节研究形如
c f ( x, y)dy
d
f ( x, y)dy,
(d 为瑕点)
c
的含参变量广义积分的连续性、可微性与 可积性.
只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可 类似处理.
一、含参量反常积分的定义
设f ( x, y)定义在无界区域 R [a,b][c,)上,
函数项级数
在函数项级数一致收敛的情况下, 可以 考虑和函数的分析性质.
二、含参量反常积分的一致收敛性
1. 定义 对于含参量反常积分
I( x) c f ( x, y)dy, x [a,b].
若 0,N 0,M N ,x [a,b], 都有
M f ( x, y)dy , 则称含参量反常积分 f ( x, y)dy 在[a,b]上
含参量反常积分 f ( x, y)dy在[a,b]上一致 c
收敛的充要条件是:
对任一趋向于 的递增数列{An }(其中A1 c), 函数项级数
n1
An1 An
f ( x, y)dy
un ( x)
n1
在[a, b]上一致收敛 .
证 只证明必要性
3. Weiersຫໍສະໝຸດ Baidurass判别法
设有函数g( y), 使得 f ( x, y) g( y),a x b,c y .