最新数学分析 第七讲 反常积分
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第七讲 非黎曼积分（反常积分）
一、知识结构
我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.
1、 一元函数的反常积分
(1) 一元函数反常积分的概念和定义
我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间[]b a ,或有限闭区域D ，如果将积分区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点）或()+∞,a ，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点,即函数)(x f 在点
x 处无界）.
定义1 函数)(x f 在无限区间),[+∞a 连续，则定义
⎰
⎰
+∞→+∞
=A
a
A a
dx x f dx x f )(lim
)(，如果极限⎰
+∞→A
a
A dx x f )(lim
存在，我们称反
常积分
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛.
定义2 函数)(x f 在非闭区间],(b a 连续，而在点a 右邻域内无界（a 是被积函数)(x f 的瑕点）即函数在点a 无界，则定义
⎰⎰
⎰
++→+→==b k
a
k b
a b
a
dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )(0
ε
ε,如果极限⎰
+→+b
a dx
x f ε
ε)(lim 0
存在，我们称反常积分
⎰
b
a
dx x f )(收敛.
函数)(x f 在点a 右邻域内无界的意思是：∞=+→)(lim x f a
x .注意: 函数在点a 没有定义,但函数)(x f 在点a 右极限)(lim x f a
x +→可以存在,这时a 不
是被积函数)(x f 的瑕点.
例如,函数
x x sin 在点0处没有定义,但1sin lim 0=+→x
x
x ,所以0=x 不是
积分⎰10sin dx x x 的瑕点. ⎰10sin dx x x 不是反常积分. 将积分⎰10sin dx x
x 看
作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数)(x f 在闭区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点, 则积分
⎰
b
a
dx x f )(为推广的黎曼积分,它也是收敛的.
定义3 函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，b a ,都是函数)(x f 的瑕点，则定义
⎰
⎰
⎰⎰⎰
-→+→-++=+=δ
δε
εb c
c
a b c
c a
b
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )()()(0
,
如果极限⎰
+→+
c
a dx x f ε
ε)(lim 0
和⎰
-→-δ
δb c
dx x f )(lim 0
均存在，我们称反常积分
⎰
b
a
dx x f )(收敛.
定义4 函数)(x f 在无限区间),(+∞a 连续，a 是函数)(x f 的瑕点，则
定义
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
+∞→+→+∞
+∞
+=+=+A
b
A b
a b
b a
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim
)(lim )()()(0
ε
ε,
如果极限⎰
+→+
b
a dx x f ε
ε)(lim 0
和⎰
+∞→A
b
A dx x f )(lim
均存在，我们称反常积分
⎰
+∞
a
dx x f )(收敛.
②积分区域无限且被积函数),(y x f 有瑕点（了解）. 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论.
例 讨论积分
dx x p ⎰1
01
和dx x p ⎰+∞11的敛散性.
解 显然dx x ⎰101和dx x
⎰+∞11
均发散.
在区间]1,0(上, 当1
x p 1
1<, 即前者的图像在后者的图
像下方,这时dx x p ⎰101收敛(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数x
x p 1
1>,
即前者的图像在后者的图像上方,这时dx x
p ⎰101
发散(请同学给出证明).
在区间),1[+∞上, 当1
x p 1
1>, 即前者的图像在后者的
图像上方,这时dx x
p ⎰+∞11
发散(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数x
x p 1
1<, 即前者的图像在后者的图像下方,这时dx x p ⎰101收敛(请同学给出
证明).
结论:
⎪⎩⎪
⎨⎧≥∞+<-=⎰
时
当时，当，1,111
11
p p p dx x p
和
⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=⎰
∞
+.1,1
1111
时当时，
当，p p p dx x p (1) 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质 (a)若
dx x f a
)(1⎰
+∞
与dx x f a
)(2⎰
+∞
收敛, 则dx x f k x f k a
)]()([2211±⎰+∞
也
收敛, 且
dx x f k dx x f k dx x f k x f k a
a
a
)()()]()([22112211⎰
⎰⎰
+∞
+∞+∞
±=±.