16内力、内力方程、内力图及微分关系
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静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
[例] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
1、确定支座反力
FAy FDy F
2、剪力图 将梁分为AB，BC，CD三段，梁上无 分布载荷，各梁段为水平直线。利用 截面法知：
FSA F, FSB 0, FSC F
剪力图中以此画出a，b，c三点。过 三点分别画出水平直线，得剪力图 （图b）。 3、弯矩图 利用截面法，知：
dFs (x) q q(x) dx
q(x)
O
x
dx
q
M
M+dM
FS FS+dFS dx
对dx 段进行平衡分析，有：
x Y 0
Fs (x) q(x)dx Fs (x) dFs (x) 0
q(x)dx dFs (x)
dFs ( x) q( x) dx
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。
M A 0, M B M B Fl1 MC MC Fl1, M D 0
做出弯矩图中对应e,d,f,g四点，连接 de，ef，fg得剪力图（图c）。
F
FAy
B
F C
FBy
A
D
x1
x2
l
(a)
Fs a
F
x
b
c
F
(b)
M
Fl1
x
d
g (c)
在BC段内，剪力为零，弯矩为常 数。梁段的各横截面的弯矩为常数， 剪力为零的受力状态，称为纯弯曲。
工程力学
剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q
1、支反力：FAY
FBY
ql 2
[例] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
1、确定支座反力
FAy FDy F
2、剪力图 将梁分为AB，BC，CD三段，梁上无 分布载荷，各梁段为水平直线。利用 截面法知：
FSA F, FSB 0, FSC F
剪力图中以此画出a，b，c三点。过 三点分别画出水平直线，得剪力图 （图b）。 3、弯矩图 利用截面法，知：
dFs (x) q q(x) dx
q(x)
O
x
dx
q
M
M+dM
FS FS+dFS dx
对dx 段进行平衡分析，有：
x Y 0
Fs (x) q(x)dx Fs (x) dFs (x) 0
q(x)dx dFs (x)
dFs ( x) q( x) dx
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。
M A 0, M B M B Fl1 MC MC Fl1, M D 0
做出弯矩图中对应e,d,f,g四点，连接 de，ef，fg得剪力图（图c）。
F
FAy
B
F C
FBy
A
D
x1
x2
l
(a)
Fs a
F
x
b
c
F
(b)
M
Fl1
x
d
g (c)
在BC段内，剪力为零，弯矩为常 数。梁段的各横截面的弯矩为常数， 剪力为零的受力状态，称为纯弯曲。
工程力学
剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q
1、支反力：FAY
FBY
ql 2
建筑力学与结构第三章
V=12KN/m 2 2 3m
1.5m
B RA =15KN RB =29KN RB
P=8KN
V1 M1
根据1-1截面左侧的外力计算V1 、 M1
V1=+RA-P =15-8 =+7KN
根据1-1截面右侧的外力计算V1 、 M1
RA
M1 =+RA· (2-1.5) =15· 0.5 =+26 KN· 2-P· 2-8· m
求图示简支梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩. P=8KN V=12KN/m
2 1
A
2m 1.5m
1
2 3m
B
1.5m
RA
1.5m
解：由 M B 0得 由 M A 0得
RB
RA =15KN RB =29KN
请思考： RB还可如何简便算出？
P=8KN
A RA
2m 1.5m
1 1 1.5m
M
各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图
载荷情况
无载荷（q=0）
剪力图
V﹥0 V﹤0
弯矩图
V﹥0 V﹤0 尖角 突变m V﹤0 V﹥ 0
均布载荷（q=c）
V﹤0 V﹥0
P m
C
突变P C 无变化
C
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控 制截面。如 集中力和 集中力偶作用点两侧的截面、 均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力 值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图 的各控制点。 （4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
杆件的内力分析
qa 2
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
例题2-1-5 根据内力方程作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。 解： 分段列剪力方程和弯矩方程 1.AB段 (0 x a)
F1 ( x) 2qa M1 ( x) 2qax 2.BC段 (a x 2a) F2 ( x) 3qa qx 7 2 1 2 M 2 ( x) qa 3qax qx 2 2 3.CD段 (2a x 3a) F3 ( x) qa 3 2 M 3 ( x) qa qax 2
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部 与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定 的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯 曲变形。
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
3.梁的内力图坐标系及分段原则 1）内力图坐标系 土木类
x
FS
1.坐标系：
M
x
机械类
M
FS
2.坐标系：
M为正
M为负
§ 2-1
杆件的内力方程与内力图
二、杆件的内力方程与内力图
内力随横截面位置变化的规律函数 1.内力方程： FN方程 2.内力图： FN 图 FS 图 T图 M图 FS方程 T方程 M方程
平行杆的轴线坐标表示横截面的位置；
垂直杆的轴线坐标表示对应横截面的内力大小。
三、典型例题
§ 2-1
2.坐标系： 2.积分关系
B
x
M 2 M1 m
FS1
xB A xA
P
C
M2
FS1
C
m
M2
FSB FSA dF（ qdx S x） M B M A dM（x） FS dx
【土木建筑】第16章：静定结构的内力计算
= M0x
单跨静定梁小结
要求： １）理解内力、内力图的概念； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点： １）内力正、负号的判断； ２）叠加法做弯矩图。
§16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直 杆件与大地一起构成的结构。
绕曲线杆端切线
q
XA A
B XB
C
E
D B
A
• 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方 程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意 指定截面的内力，应用与梁相同的内力符 号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图 方法作内力图（M图、Q图、N图）
40kN
(+) (-)
40kN
q=20kN/m
B
C
P=40kN D
例16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 别计算的条件，并作梁的FQ、M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖 向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的 平衡方程，解两个未知数。 （２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆， 当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的 平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可 视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
２）求C截面的内力 切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向 将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点： １）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取 的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断 并代以约束力、内力。 ２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向， 由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向， 并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方 向。 ３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取 其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均 按规定的正方向画出。
单跨静定梁小结
要求： １）理解内力、内力图的概念； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点： １）内力正、负号的判断； ２）叠加法做弯矩图。
§16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直 杆件与大地一起构成的结构。
绕曲线杆端切线
q
XA A
B XB
C
E
D B
A
• 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方 程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意 指定截面的内力，应用与梁相同的内力符 号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图 方法作内力图（M图、Q图、N图）
40kN
(+) (-)
40kN
q=20kN/m
B
C
P=40kN D
例16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 别计算的条件，并作梁的FQ、M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖 向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的 平衡方程，解两个未知数。 （２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆， 当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的 平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可 视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
２）求C截面的内力 切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向 将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点： １）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取 的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断 并代以约束力、内力。 ２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向， 由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向， 并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方 向。 ３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取 其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均 按规定的正方向画出。
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
（3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
内力分析基本法-截面法
14
用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩 计算步骤： 1、用假想截面从指定截面处将梁截为两段；
2、以其中任一部分为对象，在截开的截面上按剪力、 弯矩的正方向画出未知剪力Q及弯矩M； 3、应用平衡方程ΣΥ= 0和Σmc= 0计算出Q和M，C点 为所求截面形心。 四、举例说明
15
例：试计算图示外伸梁指定截面上的剪力和弯矩 ΣΎ= 0 RA– QD – qL= 0
N2
N2 = 0
N1 = － P
2、不共线的两杆结点，外力沿一杆作用，则另一杆轴 5 力为零。
N1
3、无外力作用的三杆结点
N2 N2 = 0 N1 = N3 N3
二、截面法
用截面截取两个以上结点作为对象，列出平面一般 力系的三个平衡方程：∑X = 0，∑Y = 0，∑M0= 0 计算三个杆件的未知轴力。 截面法适合于计算桁架中指定杆件的轴力。在计算 中为了避免解联立方程，应注意对平衡方程的选择。 一般情况下，用截面法计算时未知力不超过三个， 但在某些特殊情形下，当截断杆数超过三根是时，可 以求出其中一根杆的轴力。 6
RA
RB 1、计算支座反力
得: QD= qL/2 Σmc= 0 MD–RA×L+qL×L/2 = 0 得: MD= qL2 取E--E截面右段为对象
ME
E
解得：RA=3qL/2 （竖直向上） RB=qL/2 （竖直向上）
2、取D--D截面左段为对象， 画出受力图 q D
MD
qL2
QE E
RA
D
ΣΎ= 0 Σmc= 0
简 支梁
悬臂梁
外伸梁
12
三、梁的内力剪力和弯矩
P1 RA
m
M
Qm
m
建筑力学,第六章内力及内力图,武汉理工
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
6.1 轴心拉压杆件的内力及内力图
轴力：杆横截面上分布内力的合力沿杆轴线方向的分量 称为轴力，用符号N表示。 轴力N的正负号规定：拉为正、压为负。 轴力方程：轴力N与杆横截面位置坐标x之间 P 的函数关系表达式。 轴力图：用来表示轴力随截面位置不同 而变化的情况的图形。
3. 绘制扭矩图
Tmax 2.87kN m
T3 2.87
AC段为危险截面。
– 0.95
1.59
T (kN m)
讨论题
6.3 平面弯曲梁的内力及内力图
受力特点：杆件受有作用线垂直于杆轴 的横向力或作用面与杆轴共面的外力偶 作用。 变形特点：杆轴线由直线变为曲线；杆 的横截面形心在垂直于杆轴的方向有位 移（挠度）；杆的横截面绕某个轴发生 转动（转角）。
例11 作图示简支梁的内力图。
例12 求作图示伸臂梁的ＦＱ、Ｍ图
例12 续
例13 比较图示斜梁和简支梁的异同
多跨静定梁的内力分析 多跨静定梁是由相互在端部铰接、水平放置的若干直杆件 与大地通过支座连接而成的结构。
多跨静定梁的组成及传力特征
多跨静定梁的组成及传力特征
对图示梁进行几何组成分 析：……根据各杆之间的依赖、 支承关系，引入以下两个概念： 基本部分：结构中不依赖于其它 部分而独立与大地形成几何不变 体的部分。 附属部分：结构中依赖基本部分 的支承才能保持几何不变的部分。
解 （1） 计算外力偶矩 PA M eA 9549 n 120 9549 Nm 300 3819.6N m 3.82kN m
《工程力学》课件——16 弯矩、剪力与荷载集度的微分关系
： C
端点右
Q
qa ;M
8
1 qa2
： 右端点
D
2
2
Q 1 qa ; M 0
：
2
q
A
B
RA qa
Q
qa/2
ư
M qa2/2 +
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
x
X
Z
Y
感谢聆听！
《 弯矩、剪力与荷载集度的微分关系 》
截面法的应用
例题
用简易作图法画下列各图示梁的内力图
解：
求支反力： RA
qa 2
;
RD
qa 2
左端点 A
qa Q ;M 0
2
： B 端点左 Q qa ; M 1 qa2
： B
端点右
Q
2 qa ; M
2 1 qa2
： C
端点左
Q
2 qa ; M
2 1 qa2
： M
2
2
的驻点 Q 0 ; M 3 qa2
第三项： 剪力Fs = 0 处，弯矩取极值
第四项： 集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变；从左到右，向上（下）集中力作 用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小 弯矩图在该处为尖点；从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向（下）突变，突变 幅度为集中力偶的大小；剪力图在该点无变化
X
Z
Y
《工程力学》
《 弯矩、剪力与荷载集度的微分关系 》
规律总结
第一项： q = 0，Fs = 常数， 剪力图为水平直线 M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线
第二项： q = 常数，Fs(x) 为 x 一次函数，剪力图为斜直线；M(x) 为 x 二次函数，弯矩图为抛物线 分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形；分布载荷向上（q < 0），抛物线呈凸形
二、 内力及内力图解析
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m M B MC M x2 0 M x2 700N.m M D M x3 0 M x3 446N.m 3)根据内力值作轴的扭矩图d)
M x1
M x2
M x3
Mx(Nm)
B
C
446Байду номын сангаас
A
Dx
-350 -700
d)
2、扭矩图（扭转变形）
常见梁的形式：
a、简支梁:一端为活动铰链支座， 另一端为固定铰链支座。
b、外伸梁:一端或两端伸出支座 之外的梁。
c、悬臂梁:一端为固定端，另一 端为自由端的梁。
a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1处截 开，取左段如图(b)
(a)
Fx 0 FN1 F1 0
FN1 F1 2.5kN
(b)
b)求BC段轴力。沿2-2截面处截开，取
右段如图(C)
Fx 0 FN 2 F3 0
(c)
FN 2 F3 1.5kN A
3)根据各段外力规律，作图AB杆的轴力
功率、转速和扭矩的关系：
Me
9549
P n
其中：M 为外力矩(N.m) P 为功率(kW) n 为转速(r/min)
扭矩图：扭矩图描述扭矩沿轴线的变化。
2、扭矩图（扭转变形）
例2-5 如图主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、 D输出功率分别为PB = PC = 11kW，PD = 14kW，轴的转速
例2-1：如左图，求n-n面的内力。 解：由截面法如图，取左半部分
Fx 0 FN FP
2、外力与内力之间的相依关系
3、杆件内力变化的一般规律
*内力（沿杆的轴线）是位置（x）的函数；杆上集中 力、集中力偶将杆分成若干段，内力是分段函数。 *当杆件外力沿轴线发生突变（有集中力或集中力偶） 时，内力也将发生突变； *当杆件外力沿轴线发生渐变（有分布力或分布力偶） 时，内力也将发生渐变。
第五章 杆件的内力分析与内力图 (1)
A
B
Y 0, RA RB 0.81.23 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB
MB 0, 1.231.5 0.84.5 RA 6
RA 1.5 (kN), RB 2.9 (kN)
0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
RA
M1 Fs1
Fs1 RA 0.81.5 0.8 0.7 (kN)
对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2 8
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（1）标出特征点内力的绝对值 （2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
成两部分。
取 取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。
代用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部
分的作用力。
平 建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力。
6
§5-2 内力方程与内力图
以x坐标表示不同位置的横截面，则该 横截面上的内力分量可表示为：
内力方程 FN=FN(x) ， FS=FS(x) T=T(x) ， M=M(x)
扭矩方程为：
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x2 a+b)
扭矩图如图
m0
AB
C
ab
m0b
轴向拉压杆内力和内力图
2、挤压面——相互压紧的表面。其面积用Abs表示。 3、挤压力——挤压面上的力。用Fbs表示。 4、挤压应力——挤压面上的压强。用σbs表示。
11
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五、挤压应力的确定：（实用的挤压应力，名义挤压应力） 假设：挤压面上只存在挤压应力，且挤压应力分布均匀。
bs
Fbs Abs
方向：垂直于挤压面。
max P
G →
G
→
G
d
dx
方向垂直于半径。
19
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应力分布
（实心截面）
（空心截面）
20
第21页/共50页
二、圆轴扭转时的强度计算
1、强度条件：
max
Tm ax Wp
2、强度计算：
1）校核强度； 2）设计截面尺寸； 3）确定外荷载。
max
Tm a x Wp
[ ]
F
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焊缝
F
7
F
F m
F
F
m
m
m
F
F
二、剪切的概念
受力特点：作用于构件两侧面上的外力合力大小相等，方向相反，且作用 线相距很近。
变形特点：两力之间相邻截面发生相对错动。
剪切面：相对错动的面。
8
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三、 剪切与挤压的强度计算
1、外力：F。
F m
F
m
F
Fs
τ
2、内力：（截面法）剪力 Fs=F。 3、应力：实用切应力，名义切应力(剪应力） 假设——剪切面上只存在切应力，而且其分布是均匀的。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在 截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
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五、挤压应力的确定：（实用的挤压应力，名义挤压应力） 假设：挤压面上只存在挤压应力，且挤压应力分布均匀。
bs
Fbs Abs
方向：垂直于挤压面。
max P
G →
G
→
G
d
dx
方向垂直于半径。
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应力分布
（实心截面）
（空心截面）
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二、圆轴扭转时的强度计算
1、强度条件：
max
Tm ax Wp
2、强度计算：
1）校核强度； 2）设计截面尺寸； 3）确定外荷载。
max
Tm a x Wp
[ ]
F
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焊缝
F
7
F
F m
F
F
m
m
m
F
F
二、剪切的概念
受力特点：作用于构件两侧面上的外力合力大小相等，方向相反，且作用 线相距很近。
变形特点：两力之间相邻截面发生相对错动。
剪切面：相对错动的面。
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三、 剪切与挤压的强度计算
1、外力：F。
F m
F
m
F
Fs
τ
2、内力：（截面法）剪力 Fs=F。 3、应力：实用切应力，名义切应力(剪应力） 假设——剪切面上只存在切应力，而且其分布是均匀的。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在 截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
2016工程力学（高教版）教案：第五章杆件的内力分析
第五章杆件的内力分析在进行结构设计时，为保证结构安全正常工作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。
解决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截面的内力。
内力计算是结构设计的基础。
本章研究杆件的内力计算问题。
第一节杆件的外力与变形特点进行结构的受力分析时，只考虑力的运动效应，可以将结构看做是刚体；但进行结构的内力分析时，要考虑力的变形效应，必须把结构作为变形固体处理。
所研究杆件受到的其他构件的作用，统称为杆件的外力。
外力包括载荷（主动力）以及载荷引起的约束反力（被动力）。
广义地讲，对构件产生作用的外界因素除载荷以及载荷引起的约束反力之外，还有温度改变、支座移动、制造误差等。
杆件在外力的作用下的变形可分为四种基本变形及其组合变形。
一、轴向拉伸与压缩受力特点：杆件受到与杆件轴线重合的外力的作用。
变形特点：杆沿轴线方向的伸长或缩短。
产生轴向拉伸与压缩变形的杆件称为拉压杆。
图：5-1所示屋架中的弦杆、牵引桥的拉索和桥塔、阀门启闭机的螺杆等均为拉压杆。
图5-1二、剪切受力特点：杆件受到垂直杆件轴线方向的一组等值、反向、作用线相距极近的平行力的作用。
变形特点：二力之间的横截面产生相对的错动。
产生剪切变形的杆件通常为拉压杆的连接件。
如图5-2所示螺栓、销轴连接中的螺栓和销钉，均产生剪切变形。
图5-2三、扭转受力特点：杆件受到作用面垂直于杆轴线的力偶的作用。
变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。
产生扭转变形的杆件多为传动轴，房屋的雨蓬梁也有扭转变形，如图：5-3所示。
图5-3四、平面弯曲受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用。
变形特点：杆轴线由直变弯。
各种以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
工程中常见梁的横截面多有一根对称轴（图5-4）各截面对称轴形成一个纵向对称面，梁的轴线也在该平面内弯成一条曲线，这样的弯曲称为平面弯曲。
如图5-4所示。
平面弯曲是最简单的弯曲变形，是一种基本变形。
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3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律 从左往右做图
在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线， 斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜， V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0（ ）向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
例题1 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
1 V x RA qx ql qx 2
(0<x<l)
3、依方程作剪力图和弯矩图
1 Vmax= ql 2
梁的内力图—剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化 而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁 左端，x表示截面位置，则V和M就随x的变化而变化，V 和M就是x的函授，这个函授式就叫剪力方程和弯矩方程。
梁的剪力方程 梁的弯矩方程 V=V (x)
M=M(x)
Mmax
1 2 ql 8
例2 简支梁受集中荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力 2、分段建立方程 AC段： V
CB段： V
3、依方程而作图
例题3 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪 力图和弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
A
qD BC源自FAacb l
FB
FA
FB
FAa
FBb
F
Fa
2kN m
4m
a
F
a
5
3kN
kN
kN
4
3
Fa
kNm
2.25
kNm
4kN m
6kN
2kN m
4.5
4.5
1m
1m
2m
5.5
kN 1.5
5.5
4
8.5 7
kNm
外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。
3kN
C A
2kN/m
6kN m
剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示V (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为 剪力图和弯矩图，简称V图和M图。绘图时一 般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪 力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯 矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
v
v v v v
v
v
v
v
利用上述规律： 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。 2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下： （1）将梁正确分段 （2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状 （3）寻找控制面，算出各控制面的V和M （4）逐段绘制出V和M图即梁的V和M图
快速绘制剪力图和弯矩图
D B
解： 1、求支反力
FA 7.2kN FB 3.8kN
1m
FA
4m
1m
FB
2、判断各段V、M图形状：
4.2 (kN)
3 3 (kN· m)
x=3.1m
CA和DB段：q=0，V图为水平线， E
3.8 2.2 AD段：q<0， V 图为向下斜直线， 1.41 3.8 M图为下凸抛物线。 M图为斜直线。