直线的两点式方程-PPT课件
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3.2.2 直线的两点式方程(共28张PPT)
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第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
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第三章
直线与方程
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第三章
直线与方程
做一做
2.在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(
x y A. ＋ ＝1 －3 4 x y C. － ＝1 －3 4 x y B. ＋ ＝1 3 －4 x y D. ＋ ＝1 4 －3
)
答案：A
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第三章
直线与方程
x y 3．直线 2 － 2 ＝ 1 在 y 轴上的截距为 ________，在 x 轴上的 a b 截距为 ________．
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第三章
直线与方程
3 4 又 l 过点 A(3,4)，所以 ＋ ＝ 1，解得 a＝－ 1. a －a x y 所以直线 l 的方程为 ＋ ＝ 1，即 x－ y＋ 1＝ 0. －1 1 (2)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且为 0 时，直线的 4 方程为 y＝ x，即 4x－ 3y＝ 0. 3 综上，直线 l 的方程为 x－ y＋ 1＝ 0 或 4x－ 3y＝ 0.
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第三章
直线与方程
2．直线的截距式方程 直线 l 与 x 轴交于点 A(a, 0)，与 y 轴交于点 B(0，b)，其中 x y a≠ 0， b≠ 0，则得直线 l 的方程 ＋ ＝ 1，叫做直线的 a b 截距式方程 ． ____________
想一想
2.过原点的直线能写为截距式吗？
提示：不能．因为此时a＝0，b＝0.
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第三章
直线与方程
【解】
当直线过原点时，它在 x 轴、 y 轴上的截距都是 0， 1 1 满足题意．此时，直线的斜率为 ，所以直线方程为 y＝ x. 2 2 x y 当直线不过原点时， 由题意可设直线方程为 ＋ ＝ 1， 又过点 a b 4 2 A，所以 ＋ ＝ 1①， a b 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以 |a|＝ |b|②，
直线方程的两点式PPT课件
求直线L的方程。
•解： 因为直线L经过 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) , 并且
x1≠x2 ,所以它的斜率 k y2 y1代入点斜式得
yy1yx22xy11(xx1)
x2 x1
当y1≠y2时，方程可以写成：
yy1 y2 y1
xx1 x2 x1
这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线
方程的两点式。
B.经过任意两点的直线都可以用
(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示。
C.不经过原点的直线都可用方程 x y 1 表示。
ab
D.经过A(0,b)的直线都可以用方程
2020年10月2日
Y=kx+b表示。
8
4.三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求 这个三角形三边所在直线的方程。 y
2020年10月2日
4
对直线方程的两点式的说明：
•1.直线方程两点式的适用条件： x1≠x2 , y1≠y2 •2.当直线没有斜率（x1=x2),直线方程为： x=x1; 当直线斜率为0(y1=y2),直线方程为: y=y1. •3.两点式方程形式的特点： yy1 xx1
y2 y1 x2 x1
•4.但把两点式化为整式形式:
9
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3.2.2 直线的两点式方程PPT课件
xy1;xy1是截距式吗? 不是 23 2
截距式有何要求? 加号连接,右边为1
思 考 3 :点 P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2(x 2,y2),则 线 段 P 1 P 2 的 中 点 M 的
坐 坐标 标是 为（x1 x2 , y1 y2)
2
2
*
例 题:
1、已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上 中线所在直线的方程。
*
1、领略我 国江南 园林建 筑的风 貌，了 解苏州 园林的 特点， 并能够 从中得 到美的 享受、 激发热 爱祖国 灿烂文 化的感 情。 2、学习本 文围绕 说明对 象的总 特征， 先总后 分，从 整体到 局部， 条理清 晰地说 明事物 的写作 方法 3 、人 类 在 发 展 过 程中产 生了不 同的文 化，每 个国家 和民族 都有自 己的精 神史诗 。 4 、作 为 中 国 人 ， 我们每 个人的 精神生 命都流 淌着民 族文化 的血脉 ，离不 开优秀 传统文 化的滋 养。 5 、守 护 精 神 家 园 ，我们 不能丢 失优秀 的传统 文化， 需要在 个人精 神世界 的充盈 中发扬 民族精 神。
*
例 题:
2.一直线经过A(3,5)且在坐标轴上的截距相等, 求直线的方程.
3.过点(4,-3)的直线在两坐标轴上的截距的绝对 值相等,求直线的方程.
*
小 结：
(1)直线的两点式方程:
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
(x1≠x2 ,y1≠y2)
(2)直线的截距式方程: xy 1(ab0) ab
(x1≠x2 ,y1≠y2)
思 考 1 : 如 果 有 x 1 x 2 或 y 1 y 2 , :如 果 直 线 过 A ( a , 0 ) , B ( 0 , b ) ( a0 ,
截距式有何要求? 加号连接,右边为1
思 考 3 :点 P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2(x 2,y2),则 线 段 P 1 P 2 的 中 点 M 的
坐 坐标 标是 为（x1 x2 , y1 y2)
2
2
*
例 题:
1、已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上 中线所在直线的方程。
*
1、领略我 国江南 园林建 筑的风 貌，了 解苏州 园林的 特点， 并能够 从中得 到美的 享受、 激发热 爱祖国 灿烂文 化的感 情。 2、学习本 文围绕 说明对 象的总 特征， 先总后 分，从 整体到 局部， 条理清 晰地说 明事物 的写作 方法 3 、人 类 在 发 展 过 程中产 生了不 同的文 化，每 个国家 和民族 都有自 己的精 神史诗 。 4 、作 为 中 国 人 ， 我们每 个人的 精神生 命都流 淌着民 族文化 的血脉 ，离不 开优秀 传统文 化的滋 养。 5 、守 护 精 神 家 园 ，我们 不能丢 失优秀 的传统 文化， 需要在 个人精 神世界 的充盈 中发扬 民族精 神。
*
例 题:
2.一直线经过A(3,5)且在坐标轴上的截距相等, 求直线的方程.
3.过点(4,-3)的直线在两坐标轴上的截距的绝对 值相等,求直线的方程.
*
小 结：
(1)直线的两点式方程:
yy1 xx1 y2 y1 x2 x1
(x1≠x2 ,y1≠y2)
(2)直线的截距式方程: xy 1(ab0) ab
(x1≠x2 ,y1≠y2)
思 考 1 : 如 果 有 x 1 x 2 或 y 1 y 2 , :如 果 直 线 过 A ( a , 0 ) , B ( 0 , b ) ( a0 ,
直线的两点式方程 课件
M2(0,y).因为M是线段AB的中点,所以点M1和点M2分别是A1B1和
A2B2的中点,即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以x-x1=x2-x,y-y1=y2-y,
即
1 +2
1 +2
x=,y=.222.填空:若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中
例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
-0
1-0
解:(1)由两点式方程,得
=
-(-4)
,
-2-(-4)
化简得 x-2y+4=0.
(2)由中点坐标公式得 AC 边的中点 E -3,
-(-3)
的方程为1
2-(-3)
=
-0
,
-3-0
化简得 7x+6y+18=0.
(x-x1).因为 y1≠y2,所以方程两边同除以 y2-y1,得
-1
2 -1
=
2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适合求什么样的
直线的方程?
提示:两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.
3.填空:直线的两点式方程
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),
P2(x2,y2),
其中 x1≠x2,
综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y-1=0.
防范措施当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互
为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m(m>0)倍”
等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的
A2B2的中点,即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以x-x1=x2-x,y-y1=y2-y,
即
1 +2
1 +2
x=,y=.222.填空:若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中
例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
-0
1-0
解:(1)由两点式方程,得
=
-(-4)
,
-2-(-4)
化简得 x-2y+4=0.
(2)由中点坐标公式得 AC 边的中点 E -3,
-(-3)
的方程为1
2-(-3)
=
-0
,
-3-0
化简得 7x+6y+18=0.
(x-x1).因为 y1≠y2,所以方程两边同除以 y2-y1,得
-1
2 -1
=
2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适合求什么样的
直线的方程?
提示:两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.
3.填空:直线的两点式方程
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),
P2(x2,y2),
其中 x1≠x2,
综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y-1=0.
防范措施当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互
为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m(m>0)倍”
等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的
02教学课件_2.2.2 直线的两点式方程(共25张PPT)
可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?
探究新知
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义
y－y1 x－x1
＝
y
－y
x2－x1
2
1
__________________就是经过两点
点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为
y-1
x-3
解析:由两点式,得0-1 = 2-3,化简得 x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
.
二、直线的截距式方程
点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程
2
S 取最大值为-3×152+20×15+54 000=54 150(m2).
因此点 P 距 AE 15 m,距 BC 50 m 时所开发的面积最大,
最大面积为 54 150 m2.
归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结
合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
当堂检测
不垂直于x、y轴的直线
点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y2 )
y1 y2 x1 x2
在x轴上的截距 a
在y轴上的截距 b
x y
1
a b
不垂直于x、y轴的直线
不过原点的直线
课堂小结
课堂小结：
－3
)
《直线的两点式方程》课件
02
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
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03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
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04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
2.2.2直线的两点式方程课件(人教版)
− 进行变形？
−
−
=
− −
≠ 且 ≠
−
−
=
−
就是经过两点 , ， , (其中 ≠ ，
−
≠ ）的直线的方程.
把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.
5
2
2
整理可得x 13 y 5 0,
这就是边BC 上中线AM 所在直线的方程.
知识小结
课堂总结
直线方程
常数的几何意义
斜率不
存在
斜率为 过原
点
0
, 、
,
−
−
是直线上两点
（ ≠ ， ≠ ）的坐标
×
×
√
截距式方程
a b
0 5
截距之和为2, 1, a b 2, 解得a 3, b 5.
a b
x y
所以所求直线的方程为 1, 即5 x 3 y 15 0.
3 5
3.根据下列条件, 求直线的方程
(1)过点(0, 5), 且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点(5, 0), 且在两坐标轴上的截距之差为2.
() (，)， , − ;
y 1 x 2
(1)
;
3 1 0 2
() (，)， ,
y5 x0
(2)
.
05 50
探究二：直线的截距式方程
例3 如图，已知直线与轴的交点为(，)，与轴的交点为(，)，
其中 ≠ ， ≠ . 求直线的方程.
这就是边BC 所在直线的方程 .
例4 已知△ABC的三个顶点A( 5, 0), B(3, 3), C (0, 2), 求边BC 所在直线
2.2.2直线的两点式方程 课件(共20张PPT)
所以所求直线方程为： + − 3 = 0或 = 2.
(，0)
Байду номын сангаас
例2 ⑴ 过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?并求其方程．
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 并求其方程．
解：三条
①当直线的两截距相等过原点时， = 2
②当直线的两截距相等不过原点时， + − 3 = 0
典例剖析
例3 三角形的顶点分别是(−5,0), (3, −3), (0,2)，求边所在直线的方程，以及该边上
中线所在直线的方程.
变式1 求边上的垂直平分线所在直线的方程.
：5 + 3 − 6 = 0 = −
=
1
3
M ,
2
2
+
（1）在轴上的截距为2，在轴上的截距是3；
由截距式得：
x y
1
2 3
整理得：3x 2 y 6
0
（2）在轴上的截距为-5，在轴上的截距是6；
由截距式得：
x
y
1
5 6
整理得： 6 x 5 y 30 0
典例剖析
例2 ⑴ 过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?并求其方程．
斜截式
斜率, 在轴上的纵截距
y kx b
斜
率
必
须
存
在
斜率不存在时，
直线方程为：x x0
思考：已知直线上两点1(1, 1), 2(2, 2)（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ），如何求出通过这两点的
直线的方程- 直线的两点式方程 课件(共48张PPT)(2024)人教A版高中数学选择性必修一
=
−0
，即
3−0
2
3
= .
课中探究
［素养小结］
（1）由两点式求直线方程的步骤：
①设出直线所经过的两点的坐标;
②根据题中的条件，列出相关方程，解出点的坐标;
③由直线的两点式写出直线方程.
（2）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式
方程的适用条件（两点的连线不平行于坐标轴），若满足，则考虑用两点式求
（1）已知直线过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 ，则直线一定存在两点式方程.( × )
[解析]
−1
直线的两点式方程是
2 −1
=
−1
，只有当1
2 −1
≠ 2 且1 ≠ 2 时，才存在
两点式方程.
（2）经过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 1 ≠ 2 , 1 ≠ 2 的直线方程可以是
探究点一 利用两点式求直线方程
例1
在△ 中，已知 −3,2 ， 5, −4 ， 0, −2 .
（1）求边所在直线的方程；
解：因为边所在的直线过两点 5, −4 ， 0, −2 ，所以边所在直线的方
− −4
程为
−2− −4
=
−5
，即2
0−5
+ 5 + 10 = 0.
+ =1
−0
−
点 , 0 , 0, 的坐标代入两点式，得
=
,即__________.此方程由直线
−0
0−
在两条坐标轴上的截距与确定，我们把此方程叫作直线的截距式方程，简称
截距式.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
直线方程的两点式和一般式PPT课件
奠定基础。
学习目标
掌握直线方程的两点 式和一般式的推导过 程。
能够运用直线方程的 两点式和一般式解决 实际问题。
理解直线方程的两点 式和一般式的几何意 义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定 义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示 为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点 的坐标，可以通过两点式方程求 出直线的斜率和截距，再通过转 换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题 转化为数学模型，利用两点式与 一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已 知的两点坐标来计算直线的斜率 和截距，进而通过转换得到一般 式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广 泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意 一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代 数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题 ，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中， 一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如 直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。
学习目标
掌握直线方程的两点 式和一般式的推导过 程。
能够运用直线方程的 两点式和一般式解决 实际问题。
理解直线方程的两点 式和一般式的几何意 义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定 义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示 为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点 的坐标，可以通过两点式方程求 出直线的斜率和截距，再通过转 换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题 转化为数学模型，利用两点式与 一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已 知的两点坐标来计算直线的斜率 和截距，进而通过转换得到一般 式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广 泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意 一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代 数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题 ，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中， 一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如 直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。
2.2.2直线的两点式方程(课件)高二数学同步精品课件
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方 程．( × )
(2)方程
y－y1 y2－y1
＝
x－x1 x2－x1
和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y－截距相等的直线都可以用方程ax＋ay＝1表示．( × )
0.
方法二 设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)， 令 x＝0，得 y＝－4k－3；令 y＝0，得 x＝4k＋3.
k 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝4k＋3， k
解得 k＝1 或 k＝－1 或 k＝－3. 4
∴所求的直线方程为 x－y－7＝0 或 x＋y－1＝0 或 3x＋4y＝0.
忽视了截距为零的情况，直接由x 是截距不为零时相等，二是截距
a 为零时相等，而后者常被忽视，
＋ay＝1 得直线方程产生了漏解.
造成漏解，因此对于此类题目， 也要分类讨论.
谢 谢观看
(1)求点C的坐标； (2)求直线MN的方程．
解析：(1)设点C(x，y)，由题意得5＋2 x＝0，3＋2 y＝0 得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)． (2)点M的坐标是(0，－52)，点N的坐标是(1,0)， 直线MN的方程是－y－52－00＝0x－－11，即5x－2y－5＝0.
解析：当在 x、y 轴上的截距均为零时， 所求直线的方程为：y＝23x. 当在 x、y 轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为ax＋ay＝1， 把点 M(3,2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为 x＋y＝5. 综上知所求直线的方程为 y＝2x 或 x＋y＝5.
3
【易错提醒】
《直线的两点式方程》课件
= (y2 - y1) / (x2 - x1)。
3
利用斜率和点的坐标得出方程
将斜率m和点A的坐标代入点斜式方 程y - y1 = m(x - x1)。
通过两点求直线方程的示例
示例一
已知点A(2, 3)和点B(4, -1)，求 通过这两点的直线方程。
示例二
已知点A(-1, 5)和点B(3, -7)， 求通过这两点的直线方程。
《直线的两点式方程》 PPT课件
直线的两点式方程是描述直线的一种常用方程形式，通过给定直线上的两个 点来确定直线的方程。
直线的两点式方程的定义
什么是两点式方程？
直线的两点式方程是通过给定直线上的两个 点，来表示直线的方程。
两点式方程的一般形式
直线的两点式方程一般形式为：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
示例三
已知点A(0, 2)和点B(5, 2)，求 通过这两点的直线方程。
直线的两点式方程的应用
几何分析
两点式方程可以用来计算 直线的斜率、判断直线是 否垂直或平行于坐标轴。
图形绘制
通过两点式方程，可以在 坐标系上画出直线的图像。
实际应用
两点式方程可以应用于设 计和建筑、工程测量以及 计算机图形学等领域。
两点式方程与斜率的关系
斜率 正斜率 负斜率 零斜率 无穷大斜率
直线的特性 直线向上倾斜 直线向下倾斜 水平直线 垂直直线
总结和要点
1 两点式方程
2 推导过程
通过给定直线上的两个点来确定直线的方 程。
通过计算斜率和利用点斜式方程得出直线 的两点式方程。
3 应用
4 与斜率的关系
两点式方程可以用于几何分析、图形绘制 以及实际应用。
选择必修 第二章 2.2.2 直线的两点式方程 课件(共18张PPT)
∴边AB所在直线的方程为 = 2.
−1
∵(2, −1)，(4,1)，由直线方程的两点式可得
−1−1
=
−4
，
2−4
∴边所在直线的方程为x-y-3=0.
−2
同理可由直线方程的两点式得直线的方程为
1−2
=
−2
，
4−2
即x+2y-6=0.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
养.
温故知新
1.直线的点斜式方程
若直线过定点(x0，y0)且斜率为k，则直线方程为
y-y0=k(x-x0)
2.直线的斜截式方程
若直线的斜率为k且它在y轴上的截距为b，则直线方程为
y=kx+b
若直线过定点(x0，y0)且斜率不存在（与x轴垂直），则直线方程为
x-x0=0 ，即 x=x0.
新知探究
已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，因为两点确定一条
新知探究
【例4】求过点(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程．
解： 当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为 +
−3
将A(－3,4)代入上式，有
+
4
−
−
= 1，
= 1，
解得a＝－7.
∴直线l的方程为x－y＋7＝0.
当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y＝kx.
不同但本质一致，都是对直线的定量刻画.在对直线的定量刻画中，斜率处于核
心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点
−1
∵(2, −1)，(4,1)，由直线方程的两点式可得
−1−1
=
−4
，
2−4
∴边所在直线的方程为x-y-3=0.
−2
同理可由直线方程的两点式得直线的方程为
1−2
=
−2
，
4−2
即x+2y-6=0.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
养.
温故知新
1.直线的点斜式方程
若直线过定点(x0，y0)且斜率为k，则直线方程为
y-y0=k(x-x0)
2.直线的斜截式方程
若直线的斜率为k且它在y轴上的截距为b，则直线方程为
y=kx+b
若直线过定点(x0，y0)且斜率不存在（与x轴垂直），则直线方程为
x-x0=0 ，即 x=x0.
新知探究
已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，因为两点确定一条
新知探究
【例4】求过点(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程．
解： 当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为 +
−3
将A(－3,4)代入上式，有
+
4
−
−
= 1，
= 1，
解得a＝－7.
∴直线l的方程为x－y＋7＝0.
当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y＝kx.
不同但本质一致，都是对直线的定量刻画.在对直线的定量刻画中，斜率处于核
心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点
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5x-3y+15=0 3x+5y-15=0或7x+5y-35=0
探究提升：已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y 轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求 △ABO的面积的最小值及此时直线l的方程
课堂小结
1、本节课学习的知识是……
两点式：
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
x1
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
方程为： x y 1
y 3
23
0 2x
（2）在x轴上的截距是5，在y轴上的截距是-6。
方程为： x y 1 56
y
0
5x
截距式方程作图很方便
-6
2.根据下列条件求直线的方程
（1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2；
不垂直坐标轴且不 经过原点
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的点斜式方程：P1（x0，y0），斜率k
点斜式方程：y y0 kx x0 y
P0（x0,y0）
O
x
2、直线的斜截式方程：斜率k,截距b
斜截式方程：y kx b
y
O
b
x
P(0,b)
导入新课
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
课堂探究
直线两点式方程的应用：
活动一： 请同学们列举出任意两个点坐标，并求
出过这两点的直线方程
例1 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为：
y-2 = x-0， -3 - 2 3 -0 整理得，5x +3y - 6 = 0.
例2 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为 B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代入两
y
点式得：
l B(0,b)
A(a,0)
O
x
y-0 = x-a b-0 0-a
即 x + y = 1. ab
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线方程 的截距式方程.
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：
3 k b， 4 2k b，
解方程组得：
k b
1， 2，
所以，直线方程为: y=x+2.
待定系数法 方程思想
导入新课
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 你还有哪些做法？
解：由斜率公式得到斜率k 4 3 . 21
P1P2
即： y 3 4 3， x 1 21
得: y=x+2.
课堂探究
探究点1 经过两点的直线的方程 已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）,求通过 这两点的直线方程． 解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
因为kPP1= kP1P2, 所以 y y1 y2 y1 ,
这就是BC边所在直线的方程.
例1 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
设BC的中点为M,则M的坐标为（3 +0，-3 + 2），即（3，- 1）.
22
22
过A(-5,0),M（3 ，2
1）的直线方程为 2
y-0 - 1 -0
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上的 截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线 方程.
分析：截距均为0时， 设方程为y=kx, 截距均不为0时， 设为截距式求解.
y
O
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)
再由直线的点斜式方程得y 3 4 3 ( x 1)， 21
化简可得x y 2 0.
导入新课
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
解：设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)， P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
k = k PP1
x x1 x2 x1
课堂探究
可得直线的两点式方程：
y y1 x x1 . （其中x1≠x2，y1≠y2） y2 y1 x2 x1
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出 直线方程呢？
当x1=x2时,直线l的方程是x=x1;
当y1=y2时,直线l的方程是y=y1 .
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
x2 , y1
y2
截距式：
x y 1 ab
(a 0,b 0)
2、本节课体会到的数学思想方法是……
课堂小结
直线方程名称 直线方程形式
点斜式 斜截式 两点式
截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直坐标轴
=
x 3
+5, +5
22
整理得x + 13y + 5 = 0.
这就是BC边上的中线所在直线的方程.
例1 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
活动二： 针对该题的已知条件，你还可以怎样 进行变式，设置相应的问题，并解答。
代入上式得 k 即4 ,直线方程为 当截距均不为0时5，设直线方程为
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零 不容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。
探究提升：已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y 轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求 △ABO的面积的最小值及此时直线l的方程
课堂小结
1、本节课学习的知识是……
两点式：
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
x1
（1）在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3；
方程为： x y 1
y 3
23
0 2x
（2）在x轴上的截距是5，在y轴上的截距是-6。
方程为： x y 1 56
y
0
5x
截距式方程作图很方便
-6
2.根据下列条件求直线的方程
（1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2；
不垂直坐标轴且不 经过原点
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的点斜式方程：P1（x0，y0），斜率k
点斜式方程：y y0 kx x0 y
P0（x0,y0）
O
x
2、直线的斜截式方程：斜率k,截距b
斜截式方程：y kx b
y
O
b
x
P(0,b)
导入新课
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
课堂探究
直线两点式方程的应用：
活动一： 请同学们列举出任意两个点坐标，并求
出过这两点的直线方程
例1 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为：
y-2 = x-0， -3 - 2 3 -0 整理得，5x +3y - 6 = 0.
例2 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为 B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代入两
y
点式得：
l B(0,b)
A(a,0)
O
x
y-0 = x-a b-0 0-a
即 x + y = 1. ab
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线方程 的截距式方程.
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：
3 k b， 4 2k b，
解方程组得：
k b
1， 2，
所以，直线方程为: y=x+2.
待定系数法 方程思想
导入新课
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 你还有哪些做法？
解：由斜率公式得到斜率k 4 3 . 21
P1P2
即： y 3 4 3， x 1 21
得: y=x+2.
课堂探究
探究点1 经过两点的直线的方程 已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）,求通过 这两点的直线方程． 解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
因为kPP1= kP1P2, 所以 y y1 y2 y1 ,
这就是BC边所在直线的方程.
例1 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
设BC的中点为M,则M的坐标为（3 +0，-3 + 2），即（3，- 1）.
22
22
过A(-5,0),M（3 ，2
1）的直线方程为 2
y-0 - 1 -0
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上的 截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线 方程.
分析：截距均为0时， 设方程为y=kx, 截距均不为0时， 设为截距式求解.
y
O
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)
再由直线的点斜式方程得y 3 4 3 ( x 1)， 21
化简可得x y 2 0.
导入新课
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
解：设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)， P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
k = k PP1
x x1 x2 x1
课堂探究
可得直线的两点式方程：
y y1 x x1 . （其中x1≠x2，y1≠y2） y2 y1 x2 x1
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出 直线方程呢？
当x1=x2时,直线l的方程是x=x1;
当y1=y2时,直线l的方程是y=y1 .
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
x2 , y1
y2
截距式：
x y 1 ab
(a 0,b 0)
2、本节课体会到的数学思想方法是……
课堂小结
直线方程名称 直线方程形式
点斜式 斜截式 两点式
截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直坐标轴
=
x 3
+5, +5
22
整理得x + 13y + 5 = 0.
这就是BC边上的中线所在直线的方程.
例1 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
活动二： 针对该题的已知条件，你还可以怎样 进行变式，设置相应的问题，并解答。
代入上式得 k 即4 ,直线方程为 当截距均不为0时5，设直线方程为
y 4 x. 5
x y 1,
把P(-5，4)代入上式得 a 1. a a
直线方程为 x y 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或54 x
截距为零 不容忽视
x y 1 0.
练习：
1.根据下列条件写出直线方程，并画出简图。