材料加工冶金传输原理最新版精品课件流体力学部分-第二章 流体力学基本方程2.1-2.3

三元流动(空间流动) -- 流动参数与三个坐标变量有关。
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2.3 连续性方程
2.3.1 微分形式的连续方程
流入的流体-流出的流体 =微元体内流体的增加
z
vy
vy
y
dy 2
z
uy
y
y方向 流入的流体-流出的流体
x
(vy ) dxdydz y
x方向 流入的流体-流出的流体
(vx ) dxdydz y
第二章 流体力学基本方程
目录
2.1
描述流体运动的方法
2.2
描述流体运动的一些基本概念
2.3
连续性方程
2.4
流体运动的微分方程
2.5
伯努利方程
2.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用
2
2.1 描述流体运动的方法
2.1.1拉格朗日(Lagrange)法
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
M V dV C
dM dt
d dt
V
dV
0
图2.3.2 微元体积
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图2.3.2 微元体积
M (t t) M (t)
(t t)dV (t)dV
V (t t )
V (t)
[(t t) (t)]dV (t t)dV
V (t)
V
注意: dV vnt dS
d dt
V
dV
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u 0 t p 0 t
0
t
• 迹线：流体质点的运动轨迹线 • Lagrange法：迹线方程
r xa,b, c,ti ya,b, c,tj za,b, c,tk
dr vdt
dx
ux, y,
z,t
dy
vx, y,
z,
t
dz
wx, y,
z,
t
dt
初始时刻 t t0 时质点的坐标 a,b,c ，积分得该质点的迹线方程。
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2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
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加速度是流速场的全导数。 全加速度，随体导数，质点导数
u u(x, y, z,t)
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• 流线的性质：
• 对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合；对于定常 流场，流线与迹线重合。
• 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。 • 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分布。
• 迹线和流线的区别：
• 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应； • 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。
V
dV
t
S
vn dS
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关系式可推广到任意物理量
d
dt
dV
V
V
dV t
S vndS
根据流体系统的质量守恒定律，式（2.3.7）可写成
dV V t
S vndS
0
这就是连续性积分方程。其物理意义是：在单位时间内，由于 控制体内密度变化引起的质量变化量（增加量或减少量）与通 过控制体表面的质量净流出量（流出与流入的质量差）之和等 于零。
过水断面---与流束或总流流线成正交的断面。 流量---单位时间内通过某一过水断面的流体体积称为流量。
Q A dQ AudA
断面平均流速 V Q , Q AV A
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2.2.3 均匀流与非均匀流
• 均匀流----均匀流中各过水断面上的流速分布图沿程 不变，过水断面是平面，沿程各过水断面的形状和 大小都保持一样。 例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变 的长直渠道中的水流都是均匀流。 流线为直线，互相平行，过流断面面积和流速分布 沿流程不变。
ux ux (x, y, z, t) uy uy (x, y, z, t) uz uz (x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
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欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
v
y t
w
z t
加速度:
ax
u t
2x t 2
ax
v t
2 y t 2
w 2 z
az
t
t 2
由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运 动情况，所以除了少数情况外，在工程流体力学中很少采用拉格朗日法。
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2.1.2 欧拉(Euler)法
欧拉法以考察不同流体质点通过固定空间点的运动情况来了解整个 流动空间内的流动情况，即着眼于各种运动要素的场分布。流场法， 是空间--时间描述法。
• 非均匀流： 问题：何谓均匀流及非均匀流？以上分类与过流断面上流速分布是否均匀有 无关系？
答案：均匀流是指流线是平行直线的流动。 非均匀流是流线不是平行直线的流动 。 这个分类与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。
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问题：恒定流、均匀流等各有什么特点？ 答案： • 恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化，
恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。 • 均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化，
均匀流的位变加速度等于0。
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2.2.4 一元流，二元流，三元流
一元流动 -- 流动参数只与一个坐标变量有关。
例
x
u u(x,t)
二元流动- 流动参数与两个坐标变量有关。
B
z
M
s
B
u u(s, z,t)
M y
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例：已知平面流动 ux x t, uy y t
求 t = 0 时，过点 M (-1，-1) 的流线和迹线。
解：1.求流线
由式 dx dy 得 ux uy
积分后得到：
dx dy xt yt
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
a
du dt
u t
u x
dx dt
u y
dy dt
u z
dz dt
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
当地加速度
迁移加速度
质点的加速度包括两个部分： （1）当地加速度（时变加速度,局地加速度）
— 特定空间点处速度对时间的变化率； （2）迁移加速度（位变加速度,对流加速度）
— 对应于质点空间位置改变所产生的速度变化。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
t --- 时间变量。
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质点位置是 t 的函数，对 t 求导可得速度和加速度：
u
x t
速度:
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例 不可压缩流体平面流动的速度分布为 u ax2 y2 x, v xy by 求 a, b 的值。
解: 由不可压缩流体二维流动的连续性方程知道
u v 2ax 1 x b 0 x y 由此得到 a 0.5 , b 1 。
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2.3.2 积分形式的连续方程
对于任意一个流体系统，质量守恒定律的数学表达式为
y x
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2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0

dt
dt
dt
上式是一阶线性常微分方程，其解为
x C1et t 1, y C2et t 1, z C3
将给定的初值代入上式，定入积分常数：
C1 0, C2 0, C3 0
x
y
z
对于不可压缩流体的三维流动( = const.)，
vx vy vz 0 x y z
矢量表示式
物理意义：不可压缩流 体单位时间内流入单位
空间的流体体积（质 量），与流出的流体体 积（质量）之差等于零。
v 0
对于不可压缩流体的二维流动( = const.)，
vx vy 0 x y
适用范围：理想 流体和实际流体
因此，所求的迹线方程为
x t 1, y t 1, z 0
上式消去 t 得
y x2
比较可知，非定常流动中迹线和流线是不同的，。
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2.2.2 流管、流束、流量和平均流速
流管 --- 由流线组成的管状曲面 流束 --- 流管内的流体。 总流 ---多个流束的集合。
管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。