流体力学课件-第2章
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由于压强是坐标的连续函数，p=f(x,y,z)
p p p dp dx dy dz x y z
P的全微分形式
2. 平衡微分方程的积分
压强差
dp ( Xdx Ydy Zdz)
欧拉微分方程的综合形式。
若质量力也为势函数，即 则 积分得
Xdx Ydy Zdz dW
§2.2 流体的平衡微分方程 欧拉平衡方程式 等压面微分方程及特性
欧 拉 平 衡 方 程 式
质量力
微元体受力分析 流体静力平衡 微 分 方 程 （欧拉平衡方程）
表面力
方程式推导思路：
对连续的同一不可压缩流体， 在重力场中 将微分方程积分
流体静力平衡方程
1. 平衡微分方程的推导 取研究对象
3、等压面的特性：
（2）等压面也是等势面。
势函数：如果一个函数对坐标方向的偏导数等于某力场中力在各 个坐标方向的分力，那么这个函数叫做势函数。其力称为有势力。
设函数U（x,y,z）有： U 场中的势函数。 x
X
U Y y
U Z z
则称U为质量力
dp ( Xdx Ydy Zdz) 0 U U U dp ( dx dy dz) (dU) 0 x y z
2、等压面微分方程 ∵ 等压面任意两点压力差dp=0
dp ( Xdx Ydy Zdz) 0 Xdx Ydy Zdz 0
物理意义
单位质量流体中的质量力沿着等压面移 动微小距离所做的微功等于零。
3、等压面的特性：
（1）在平衡的流体中，通过任意一点的等压面，必与该点 所受的质量力相互垂直。重力场？
机电工程学院——
第
2
张岚
章
zhanglan7v@126.com
第1章 绪论 第2章 流体静力学 第3章 流体运动学基础
第4章 理想流体动力学基础
第5章流体运动阻力与损失
第2章 流体静力学
§2-1 流体静压力及其特性
§2-2 流体平衡微分方程
§2-3 流体静力学基本方程
§2-4 压强表示方法及测压计 §2-5 静止流体对面壁的作用力 §2-6 流体的相对平衡
一、流体静压力
流体静压力是流体处于平衡状态下，流体质点间相互作用而
产生的一种压应力。
面积ΔA上的平均压强： F p A 当面积ΔA无限缩小趋近于零时， 平均压强的极限为： F dF p lim A0 A dA
ΔF
一、流体静压力
流体静压强单位面积上所受的垂直于该表面的流体压力。
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
或由式
p gz C ' 整理得：
p z C g
方程的物理意义：
①静力学基本方程的压强形式
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
公式分析：
在重力作用下的均质流体内部的压强随深度按线性关系变化，
流体静力学是研究流体在平衡或相对平衡状态下的力学规律及 其在工程技术中的应用。 绝对平衡：相对于固结坐标系无运动； 相对平衡：相对于参考坐标系无运动。 静止流体的基本特点： 流体质点间无相对运动，粘性表现不出来。γ、ρ可视为常数。 内摩擦切应力等于零，作用在流体的表面应力只有压强p。
v
v
v
v const 0
1 p X 0 x 1 p 0 Y y Z 1 p 0 z
或 者
dp ( Xdx Ydy Zdz)
流体处于平衡状态下的一种普遍微分方程式。
一. 绝对静止流体的静力学基本方程
1. 静力学基本方程式 在重力场中，单位质量力只有重力，即：
上式表明：只要o点的位置坐标为定值时，则自各 个方向作用于o点的流体静压强是完全等值的。
上式也表明：平衡流体中任意点 的压强只是位置坐标的函数，与 其作用方向无关。 一点的静压力各向相同，但不同位置的点的静压 力是不同的。由于流体为连续介质，静压力就应 该是空间坐标的连续函数，即：
p f ( x, y, z )
②静力学基本方程的能量意义
z1 p1 p z2 2 g g
z1，z2 — 单位重量流体相对于基准面所 具有的位置压头/高度(位势能)，单位m；
Leabharlann Baidu
p1 p 2 , — 单位重量流体所具有的静压 g g 头（压能），单位m，大小 与基准面选取有关。 p z C — 单位重量流体所具有的总势能总水头、测压管水头）。 g
能量意义：
只受重力作用的静止流 体中，各点单位重量流 体的总势能相等。 几何意义： 重力作用下同一流体 中各点的静水头为一 常 数， 相应的水头线 为一水平线
§2.4 压强的表示方法及测压计
一. 压强的表示方法
•
压强 p记值的零点不同，有不同的名称： 相对压强 以当地大气压 pa 为零点，记为 pm
const dU 0
不可压缩 UC
表明单位质量的势能是定值，等压面也是等势面。
3、等压面的特性：
（3）处于平衡状态下的两种互不相混的液体的分界面必为 等压面。
在分界面上任取两点A、B，ρ1 ，ρ2
dp 1dU 1 2 0
dp 2 dU dU 0, dp 0时成立
2. 平衡微分方程的积分 欧拉平衡方程分别乘以dx,dy,dz并相加得：
X p/x 0 Y p/y 0 Z p/z 0
dx dy dz
p p p ( Xdx Ydy Zdz) dx dy dz x y z
压强
绝对压强 以完全真空为 零点，记为 p′
两者的关系为: pm= p′- pa
真空度 相对压 强为负值时， 其绝对值称为 真空度。
A
A点相 对压强
大气压强 pa
相对压强基准
A点绝 对压强
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
1.绝对压强：以绝对真空为零点而记起的压强，以p表示。
p p a gh
p X 0 x
或
这就是欧拉平衡微分 方程，是欧拉于1755年提 出的，因此也常称欧拉平 衡方程式。 适用于各种平衡流体 中，同时也适用于可压缩 和不可压缩流体。
1 p X 0 x
1 p Y 0 y
同理有
•
物理意义
和
1 p Z 0 z
在静止流体中，作用 在单位质量流体上的质量 力，与作用在该流体表面 上的压强相互平衡。
X 0; Y 0; Z g
代入压力差公式 积分得：
dp ( Xdx Ydy Zdz)
p gz C '
积分常数根据液体自由表面上的边界条件确定：
z z0 ; p p0
C p 0 gz0
'
静力学基本方程的两 种表达形式
代入公式
p gz C ' 得：
以上均为长度单位。其中： z—流体质点所在位置离基准面的高度，称位置水头 p/ρg—流体内某点沿闭口测压管上升的液柱高度，称压力水头
z p C 表明任意点的总水头为定值。 g
能量意义
重力作用下同一流体中各点的静水头为一 常数，相应的水头线为一水平线
总结：
p1 p2 z1 z2 g g
单位：Pa
或
N/m2
二、静压强的特性
1.静水压强垂直指向作用面， 即内法线方向。（垂直性） 反 证 法 静止流体不存在剪切力； 流体几乎不能承受拉力。
2.静止液体中任意点处各个方向的静水压强相等 （各向等值性）
p x p y p z pn
证明思路 取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论
或者说：等压面与其质量力合力垂直
质量力沿等压面做功为零
ˆ Xdx Ydy Zdz q dl q * dl cos(dl, q) q 0, dl 0 即：l q d ˆ cos(dl, q) 0
可以根据作用在流体质点上的质量力方向，来确定等
压面的形状。也可以由等压面形状来确定质量力方向。
v const 0
a const
const
绝对静止
匀速运动
匀加速运动
匀速转动
流体静力学是工程流体力学中独立完整而又严密符合实际的一部 分内容，这里的理论不需要实验修正。
实质：研讨质量力与静水压力的相互作用及静水压力的分布规律。
§2.1 流体静压力及其特性 流体静压力（强）
流体静压强的特性
其斜率大小由密度决定。 重力作用下的流体中任意一点的压强由p0和ρgh这两部分组
成， p0称流体自由表面上的静压强，ρgh称为剩余压强。 因为在深度h相同的点压强相等，故在绝对静止流体中，等
压面为一组水平面。
方程的物理意义：
静力学基本方程的压强形式
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
dp dW
p W C
积分常数C的确定：假定平衡流体中某点的压强为p0 、力势函数为U0，则：
平衡微分方 程的积分式
C p0 W0
p p0 (W W0 )
等压面微分方程及其特性 1、等压面： 平衡流体中压强相等的各点所组成的几何面（平 面或曲面），叫做等压面。
在静止流体中取出六面体 流体微元，分析其在 x 方向 的受力。
微元所受 x 方向上 的质量力为
X d x d y d z
表面力在 x 方向上的分量只 有左右一对面元上的压力， 合力为
p p pd yd z (p d x) d y d z d xd yd z x x
平衡方程为
1 1 p x dydz 0 0 pn An cos(n, x） X dxdydz 0 2 6 1 p x pn X dx 0 3 当dx 0; p x pn
得出结论
pn p x p y p z
p x p y p z pn
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强
绝对压强基准
O
O
二. 压强的度量单位
• • •
定义式：
（N/m2 ; Pa) 1公斤力/米2 = 9.8 N/m2 h = P/γ (m)
分界面必为等压面。
例题：在右图所示盛有三种液体的连通器中，就必然存在：
p1 p2 p3 p 4 pC p D
但如果写出等式 p1 p3；p2 p4
将是错误的 。因为处于 A、B两容器中的液体， 即非紧密连续，又不是 同一性质的液体，就不 能应用上述等压面的条件。
§2.3 流体的静力学基本方程
静止液体内任意点的静压强由两部分组成：一是自由表面上的气体 压强p0；另一是ρgh，相当于单位面积上高度为 h 的液柱重量。 结论： 流体中任一点的压力等于其自由表面上的压力加上 该点距自由表面的垂直距离与ρg的乘积。 应用：
帕斯卡定律——自由面上压强的任何变化都将等值地传递到液
体内部每一点。 连通器原理 —— 在盛有静止、同种、连续液体的连通容器中， 其水平面就是等压面。
2.相对压强（计示压强，表压力）：以大气压为零点而记起的压强，以pm表示。
pm p pa
3.真空度：指流体的绝对压强小于大气压而产生的真空程度，以pV表示。
pV pa p ghV pm
在工程上的测压仪 表在当地大气压下的读 数为零，仪表上的读数 只表示流体压强比当地 大气压多多少或者少多 少，因此测压表指针所 示为相对压力。
取研究对象
取一四面体OABC，三条边
相互垂直且与坐标重合， 受力分析 质量力
1 dxdydz 6 1 Y dxdydz 6 1 Z dxdydz 6 X
1 px dydz 2 1 py dxdz 2 1 pz dxdy 2
表面力
导出关系式
对于任一轴：
F
对于x轴
x
0; Fy 0; Fz 0
能量意义
重力作用下的平衡流体中，任意点压能与 位能之和是一常数，且压能与位能可以互相转换， 但其总和保持不变。 这就是能量守恒定律在流体静力学中的体现。
③静力学基本方程的几何意义
z1
量纲分析：
p1 p z2 2 g g
[ z] L
p F L2 S2 ML S2 [ ] 2 2 L g L M L S M
p p p dp dx dy dz x y z
P的全微分形式
2. 平衡微分方程的积分
压强差
dp ( Xdx Ydy Zdz)
欧拉微分方程的综合形式。
若质量力也为势函数，即 则 积分得
Xdx Ydy Zdz dW
§2.2 流体的平衡微分方程 欧拉平衡方程式 等压面微分方程及特性
欧 拉 平 衡 方 程 式
质量力
微元体受力分析 流体静力平衡 微 分 方 程 （欧拉平衡方程）
表面力
方程式推导思路：
对连续的同一不可压缩流体， 在重力场中 将微分方程积分
流体静力平衡方程
1. 平衡微分方程的推导 取研究对象
3、等压面的特性：
（2）等压面也是等势面。
势函数：如果一个函数对坐标方向的偏导数等于某力场中力在各 个坐标方向的分力，那么这个函数叫做势函数。其力称为有势力。
设函数U（x,y,z）有： U 场中的势函数。 x
X
U Y y
U Z z
则称U为质量力
dp ( Xdx Ydy Zdz) 0 U U U dp ( dx dy dz) (dU) 0 x y z
2、等压面微分方程 ∵ 等压面任意两点压力差dp=0
dp ( Xdx Ydy Zdz) 0 Xdx Ydy Zdz 0
物理意义
单位质量流体中的质量力沿着等压面移 动微小距离所做的微功等于零。
3、等压面的特性：
（1）在平衡的流体中，通过任意一点的等压面，必与该点 所受的质量力相互垂直。重力场？
机电工程学院——
第
2
张岚
章
zhanglan7v@126.com
第1章 绪论 第2章 流体静力学 第3章 流体运动学基础
第4章 理想流体动力学基础
第5章流体运动阻力与损失
第2章 流体静力学
§2-1 流体静压力及其特性
§2-2 流体平衡微分方程
§2-3 流体静力学基本方程
§2-4 压强表示方法及测压计 §2-5 静止流体对面壁的作用力 §2-6 流体的相对平衡
一、流体静压力
流体静压力是流体处于平衡状态下，流体质点间相互作用而
产生的一种压应力。
面积ΔA上的平均压强： F p A 当面积ΔA无限缩小趋近于零时， 平均压强的极限为： F dF p lim A0 A dA
ΔF
一、流体静压力
流体静压强单位面积上所受的垂直于该表面的流体压力。
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
或由式
p gz C ' 整理得：
p z C g
方程的物理意义：
①静力学基本方程的压强形式
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
公式分析：
在重力作用下的均质流体内部的压强随深度按线性关系变化，
流体静力学是研究流体在平衡或相对平衡状态下的力学规律及 其在工程技术中的应用。 绝对平衡：相对于固结坐标系无运动； 相对平衡：相对于参考坐标系无运动。 静止流体的基本特点： 流体质点间无相对运动，粘性表现不出来。γ、ρ可视为常数。 内摩擦切应力等于零，作用在流体的表面应力只有压强p。
v
v
v
v const 0
1 p X 0 x 1 p 0 Y y Z 1 p 0 z
或 者
dp ( Xdx Ydy Zdz)
流体处于平衡状态下的一种普遍微分方程式。
一. 绝对静止流体的静力学基本方程
1. 静力学基本方程式 在重力场中，单位质量力只有重力，即：
上式表明：只要o点的位置坐标为定值时，则自各 个方向作用于o点的流体静压强是完全等值的。
上式也表明：平衡流体中任意点 的压强只是位置坐标的函数，与 其作用方向无关。 一点的静压力各向相同，但不同位置的点的静压 力是不同的。由于流体为连续介质，静压力就应 该是空间坐标的连续函数，即：
p f ( x, y, z )
②静力学基本方程的能量意义
z1 p1 p z2 2 g g
z1，z2 — 单位重量流体相对于基准面所 具有的位置压头/高度(位势能)，单位m；
Leabharlann Baidu
p1 p 2 , — 单位重量流体所具有的静压 g g 头（压能），单位m，大小 与基准面选取有关。 p z C — 单位重量流体所具有的总势能总水头、测压管水头）。 g
能量意义：
只受重力作用的静止流 体中，各点单位重量流 体的总势能相等。 几何意义： 重力作用下同一流体 中各点的静水头为一 常 数， 相应的水头线 为一水平线
§2.4 压强的表示方法及测压计
一. 压强的表示方法
•
压强 p记值的零点不同，有不同的名称： 相对压强 以当地大气压 pa 为零点，记为 pm
const dU 0
不可压缩 UC
表明单位质量的势能是定值，等压面也是等势面。
3、等压面的特性：
（3）处于平衡状态下的两种互不相混的液体的分界面必为 等压面。
在分界面上任取两点A、B，ρ1 ，ρ2
dp 1dU 1 2 0
dp 2 dU dU 0, dp 0时成立
2. 平衡微分方程的积分 欧拉平衡方程分别乘以dx,dy,dz并相加得：
X p/x 0 Y p/y 0 Z p/z 0
dx dy dz
p p p ( Xdx Ydy Zdz) dx dy dz x y z
压强
绝对压强 以完全真空为 零点，记为 p′
两者的关系为: pm= p′- pa
真空度 相对压 强为负值时， 其绝对值称为 真空度。
A
A点相 对压强
大气压强 pa
相对压强基准
A点绝 对压强
B
B点真空压强
B点绝对压强 绝对压强基准
O
O
1.绝对压强：以绝对真空为零点而记起的压强，以p表示。
p p a gh
p X 0 x
或
这就是欧拉平衡微分 方程，是欧拉于1755年提 出的，因此也常称欧拉平 衡方程式。 适用于各种平衡流体 中，同时也适用于可压缩 和不可压缩流体。
1 p X 0 x
1 p Y 0 y
同理有
•
物理意义
和
1 p Z 0 z
在静止流体中，作用 在单位质量流体上的质量 力，与作用在该流体表面 上的压强相互平衡。
X 0; Y 0; Z g
代入压力差公式 积分得：
dp ( Xdx Ydy Zdz)
p gz C '
积分常数根据液体自由表面上的边界条件确定：
z z0 ; p p0
C p 0 gz0
'
静力学基本方程的两 种表达形式
代入公式
p gz C ' 得：
以上均为长度单位。其中： z—流体质点所在位置离基准面的高度，称位置水头 p/ρg—流体内某点沿闭口测压管上升的液柱高度，称压力水头
z p C 表明任意点的总水头为定值。 g
能量意义
重力作用下同一流体中各点的静水头为一 常数，相应的水头线为一水平线
总结：
p1 p2 z1 z2 g g
单位：Pa
或
N/m2
二、静压强的特性
1.静水压强垂直指向作用面， 即内法线方向。（垂直性） 反 证 法 静止流体不存在剪切力； 流体几乎不能承受拉力。
2.静止液体中任意点处各个方向的静水压强相等 （各向等值性）
p x p y p z pn
证明思路 取研究对象 受力分析 导出关系式 得出结论
或者说：等压面与其质量力合力垂直
质量力沿等压面做功为零
ˆ Xdx Ydy Zdz q dl q * dl cos(dl, q) q 0, dl 0 即：l q d ˆ cos(dl, q) 0
可以根据作用在流体质点上的质量力方向，来确定等
压面的形状。也可以由等压面形状来确定质量力方向。
v const 0
a const
const
绝对静止
匀速运动
匀加速运动
匀速转动
流体静力学是工程流体力学中独立完整而又严密符合实际的一部 分内容，这里的理论不需要实验修正。
实质：研讨质量力与静水压力的相互作用及静水压力的分布规律。
§2.1 流体静压力及其特性 流体静压力（强）
流体静压强的特性
其斜率大小由密度决定。 重力作用下的流体中任意一点的压强由p0和ρgh这两部分组
成， p0称流体自由表面上的静压强，ρgh称为剩余压强。 因为在深度h相同的点压强相等，故在绝对静止流体中，等
压面为一组水平面。
方程的物理意义：
静力学基本方程的压强形式
p p0 g ( z0 z ) p0 gh
dp dW
p W C
积分常数C的确定：假定平衡流体中某点的压强为p0 、力势函数为U0，则：
平衡微分方 程的积分式
C p0 W0
p p0 (W W0 )
等压面微分方程及其特性 1、等压面： 平衡流体中压强相等的各点所组成的几何面（平 面或曲面），叫做等压面。
在静止流体中取出六面体 流体微元，分析其在 x 方向 的受力。
微元所受 x 方向上 的质量力为
X d x d y d z
表面力在 x 方向上的分量只 有左右一对面元上的压力， 合力为
p p pd yd z (p d x) d y d z d xd yd z x x
平衡方程为
1 1 p x dydz 0 0 pn An cos(n, x） X dxdydz 0 2 6 1 p x pn X dx 0 3 当dx 0; p x pn
得出结论
pn p x p y p z
p x p y p z pn
A
A点相 对压强 大气压强 pa A点绝 对压强
压强
相对压强基准
B
B点真空压强
B点绝对压强
绝对压强基准
O
O
二. 压强的度量单位
• • •
定义式：
（N/m2 ; Pa) 1公斤力/米2 = 9.8 N/m2 h = P/γ (m)
分界面必为等压面。
例题：在右图所示盛有三种液体的连通器中，就必然存在：
p1 p2 p3 p 4 pC p D
但如果写出等式 p1 p3；p2 p4
将是错误的 。因为处于 A、B两容器中的液体， 即非紧密连续，又不是 同一性质的液体，就不 能应用上述等压面的条件。
§2.3 流体的静力学基本方程
静止液体内任意点的静压强由两部分组成：一是自由表面上的气体 压强p0；另一是ρgh，相当于单位面积上高度为 h 的液柱重量。 结论： 流体中任一点的压力等于其自由表面上的压力加上 该点距自由表面的垂直距离与ρg的乘积。 应用：
帕斯卡定律——自由面上压强的任何变化都将等值地传递到液
体内部每一点。 连通器原理 —— 在盛有静止、同种、连续液体的连通容器中， 其水平面就是等压面。
2.相对压强（计示压强，表压力）：以大气压为零点而记起的压强，以pm表示。
pm p pa
3.真空度：指流体的绝对压强小于大气压而产生的真空程度，以pV表示。
pV pa p ghV pm
在工程上的测压仪 表在当地大气压下的读 数为零，仪表上的读数 只表示流体压强比当地 大气压多多少或者少多 少，因此测压表指针所 示为相对压力。
取研究对象
取一四面体OABC，三条边
相互垂直且与坐标重合， 受力分析 质量力
1 dxdydz 6 1 Y dxdydz 6 1 Z dxdydz 6 X
1 px dydz 2 1 py dxdz 2 1 pz dxdy 2
表面力
导出关系式
对于任一轴：
F
对于x轴
x
0; Fy 0; Fz 0
能量意义
重力作用下的平衡流体中，任意点压能与 位能之和是一常数，且压能与位能可以互相转换， 但其总和保持不变。 这就是能量守恒定律在流体静力学中的体现。
③静力学基本方程的几何意义
z1
量纲分析：
p1 p z2 2 g g
[ z] L
p F L2 S2 ML S2 [ ] 2 2 L g L M L S M