考研数学多元函数微分学的应用知识点总结

考研数学高数知识点总结

多元函数微分学的应用

一、无条件极值

1、基本概念

设是二元函数的定义域，是的内点，若存在的邻域，使得对任意异于的点均有（或），则称函数在点处取得极大值（或极小值），点称为函数的极大值点（或极小值点），极大值点与极小值点统称为极值点.

2、常用公式、定理

(1）极值的必要条件：

定理：设函数在点具有偏导数，且在该点能够取到极值，则有.

(2）极值的充分条件：

定理：设函数在点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设.令

（1）若，则函数在点具有极值.当时取得极

小值；当时取得极大值.

（2）若，则函数在点不能取到极值.

（3）若，则函数在点可能有极值，也可能没有极D (,)z f x y =()000,P x y D 0P 0()U P 0P ()0,()x y U P ∈()00,(,)f x y f x y <()00,(,)f x y f x y >(,)z f x y =0P 0P (,)z f x y =(,)z f x y =00(,)x y 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==(,)z f x y =00(,)x y 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ，''''''===20AC B ->(,)z f x y =00(,)x y 0A >0A <20AC B -<(,)z f x y =00(,)x y 20AC B -=(,)z f x y =00(,)x y

值.

【例1】：设可微函数在点取得极小值，则下列结论中正确的是（）.

在处的导数等于0

在处的导数大于0

在处的导数小于0

在处的导数不一定存在

答案：

【例2】：设函数的全微分为，则点

不是的连续点；不是的极值点

是的极大值点；的极小值点

答案：

【例3】：计算下列函数的极值

（1）；（2）

答案：（1）8 极大值;（2）极小值.

【例4】：求二元函数的极值.

答案：极小值. 【例5】：设函数，证明：函数有无穷多个极大值

点，而无极小值点.

(,)u f x y =00(,)x y ()A 0(,)f x y 0y y =()B 0(,)f x y 0y y =()C 0(,)f x y 0y y =()D 0(,)f x y 0y y =().A (,)z f x y =dz xdx ydy =+(0,0).()A (,)z f x y =()B (,)z f x y =()C (,)z f x y =()D (,)z f x y =().D 22(,)4()f x y x y x y =---222(,)(2).x f x y e x y y =++151

5e ()22(,)2ln f x y x y y y =++1e

-()1cos y y z e x ye =+-(,)z f x y =