(全国百强校)山西康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2020年高三上学期第二次联考数学(文)

(全国百强校)山西康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2020年高三上学期第二次联考数学（文）文科数学【一】选择题1．}{0322≤--=x x x A ，{32+==x y y B ，那么=⋂B AA.⎡⎣B. C. ⎤⎦ D. ⎡⎣2．假设复数z 满足12)1(-=+i i z ，那么复数z 的虚部为 A.1- B. 0 C. i D. 13．平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅+=，且2a=，1b =，那么向量a 与b 夹角的正弦值为A. 12-B. -C. 12D.4．甲乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，假设每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，那么两人参加同一个小组的概率为 A.31 B. 41 C. 51 D. 165．执行如下图的程序框图，假设输出的结果为3，那么可输入的实数x 值的个数为A. 1B.2 C.3 D. 46．双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a ，右焦点F 到渐近线的距离为2，F 到原点的距离为3，那么双曲线C 的离心率e 为 A.35 B. 553 C. 36 D. 267．某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是A 、28＋65B 、30＋65C 、56＋125D 、60＋12 58．数列2018，2018，1，－2018，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，那么这个数列的前2019项之和2014S 等于 A 、1B 、4 018C 、2 010D 、09．三棱锥ABC P -，在底面ABC ∆中，060A ∠=，BC =，ABC PA 面⊥，2=PA ，那么此三棱锥的外接球的体积为A、3B.C. 3D. 8π 10. 函数()f x 满足：①定义域为R ；②x R ∀∈，都有)()2(x f x f =+；③当[1,1]x ∈-时，()||1f x x =-+，那么方程x x f 2log 21)(=在区间[3,5]-内解的个数是 A 、5B 、6C 、7D 、811. 函数()()sin 2f x x φ=+ (其中φ是实数)，假设()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()(0)2f f π>，那么()f x 的单调递增区间是A. ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C. 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D. ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦12. 函数32231(0)()(0),ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,3-上的最大值为2，那么实数a 的取值范围是A . 1[ln 2,)3+∞ B. 1[0,ln 2]3C. (,0]-∞D.1(,ln 2]3-∞【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13. ()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞〔a R ∈〕，()f x '为()f x 的导函数，(1)2f '=，那么a =14. 假设,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，那么3z x y =+的最大值为15. 抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，假设△ABF 为等边三角形，那么p ＝16. 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且c A b B a 21cos cos =-，当)tan(B A -取最大值时，角B 的值为【三】解答题〔本大题共8小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔本小题总分值12分〕等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，13b =，且{}n b 的前n 项和为n S ，233227,S a S q a +==. 〔Ⅰ〕求{}n a 与{}n b 的通项公式； 〔Ⅱ〕设数列{}n c 满足32n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T . 18．〔本小题总分值12分〕如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是正三角形，点D 是11B A 中点，2AC =，21=CC ．〔Ⅰ〕求三棱锥1BDC C -的体积; 〔Ⅱ〕证明：11BC C A ⊥. 19．〔本小题总分值12分〕某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款〔年底余额〕，如下表1：5y -得到下表2：〔Ⅱ〕通过〔Ⅰ〕中的方程，求出y 关于x 的回归方程；〔Ⅲ〕用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？〔附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑〕 20．〔本小题总分值12分〕如图，圆C 与x 轴相切于点)0,2(T ，与y 轴正半轴相交于两点,M N 〔点M 在点N 的下方〕，且3MN =．〔Ⅰ〕求圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点A B 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．21．〔本小题总分值12分〕函数1()ln f x a x x=-〔a R ∈〕. 〔Ⅰ〕假设()()2h x f x x =-，当3a =-时，求()h x 的单调递减区间；〔Ⅱ〕假设函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围.选做题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，那么按所做的第一个题目计分22．〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点〔不与点A 、C 重合〕，延长BD 至E , 延长AD 交BC 的延长线于F ．〔Ⅰ〕求证：CDF EDF ∠=∠；〔Ⅱ〕求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：极坐标系与参数方程曲线C的参数方程为31x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 〔Ⅰ〕求曲线C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长.24．〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数()3,0,(3)0f x x m m f x =+->-≥的解集为(][),22,-∞-+∞．〔Ⅰ〕求m 的值；〔Ⅱ〕假设x R ∃∈，使得23()2112f x x t t ≥--++成立，求实数t 的取值范围． 第22题2016届高三四校第二次联考文科数学试题参考答案【一】选择题ＣＢＤＡＣ ＢＢＣＡＡ ＣＤ 【二】填空题13. 214. 415.16.6π 【三】解答题17．解：()1设数列{}n b 的公差为d ，233227,S a S q a +==∴ 22318,6q d d q +=+= ，3,3q d == ⋅4分13n n a -=，3n b n = ， ⋅6分()2由题意得：()332n n n S += ，()33211122311n n c S n n n n ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪++⎝⎭111111111122334111n nT n n n n =-+-+-++-=-=+++ ⋅12分.18. 证明：〔Ⅰ〕 11BCC D BDC C V V --=⋅1分过D 作11B C DH ⊥,直三棱柱中11B C ⊥面111C B A 11B C ∴⊥DH ,⊥∴DH 面1BCC ,DH ∴是高DH ∴=23，⋅3分222211=⨯⨯=∆BCC S ,662233111=⨯⨯==∴--BCC D BDC C V V ⋅6分〔Ⅱ〕取11B C 的中点E,连接CE E A ,1 底面是正三角形,111C B E A ⊥∴ ⋅8分矩形BC B C 11中，CE C RT 1∆中，1,211==E C C C ,1BCC RT ∆中，2,21==CC BC ,∴=∴,111CC E C BC C C CE C 1∆∽1BCC ∆， C EC BC C 11∠=∠∴,∴=∠+∠,90011C BC BC C 01190,ECC BC C ∠+∠= 1CE BC ∴⊥⋅10分⊥∴1BC 面CE A 1,∴11BC C A ⊥⋅12分19.解：〔1〕2.2,3==z t ,4551=∑=i i i z t ,55512=∑=i i t4553 2.2ˆ 1.25559b-⨯⨯==-⨯，ˆ 2.23 1.2 1.4a z bt =-=-⨯=- 4.12.1-=∴t z ⋅6分〔2〕2010,5t x z y =-=-，代入4.12.1-=t z 得到：5 1.2(2010) 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =-⋅9分〔3〕 1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，∴ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 ⋅12分20.解：〔Ⅰ〕设圆C 的半径为r 〔0r >〕，依题意，圆心坐标为),2(r .∵ 3MN =∴ 222322r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2254r =．⋅2分∴ 圆C 的方程为()42525222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x ．⋅4分〔Ⅱ〕把0=x 代入方程()42525222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x ，解得1=y 或4=y ，即点)4,0(),1,0(N M ．⋅6分〔1〕当y AB ⊥轴时，可知ANM BNM ∠=∠=0．〔2〕当AB 与y 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为1+=kx y ．联立方程⎩⎨⎧=++=82122y x kx y ，消去y 得，064)21(22=-++kx x k ．⋅8分设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点，那么221214k k x x +-=+，221216kx x +-=． ∴21212122112211)(323344x x x x x kx x kx x kx x y x y k k BN AN +-=-+-=-+-=+ 假设0AN BN k k +=，即ANM BNM ∠=∠⋅10分∵021122112)(32222121=+-+-=+-kkk k x x x kx ， ∴ ANM BNM ∠=∠．⋅12分21. 解：〔1〕()h x 定义域为(0,)+∞，222213231(21)(1)()2x x x x h x x x x x -+--'=-+-=-=- ……2分()h x ∴的单调递减区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞.……4分〔2〕问题等价于1ln a x x=有唯一的实根显然0a ≠，那么关于x 的方程1ln x x a=有唯一的实根 ⋅〔6分〕构造函数()ln ,x x x ϕ=那么()1ln ,x x ϕ'=+由()1ln 0,x x ϕ'=+=得1x e -=当10x e -<<时，()0,()x x ϕϕ'<单调递减 当1,()0,()x e x x ϕϕ-'>>时单调递增 所以()x ϕ的极小值为11()e e ϕ--=- ⋅〔8分〕如图，作出函数()x ϕ的大致图像，那么要使方程1ln x x a=的唯一的实根， 只需直线1y a =与曲线()y x ϕ=有唯一的交点，那么11e a -=-或10a>解得0a e a =->或故实数a 的取值范围是{}(0,)e -⋃+∞ ⋅〔12分〕22．解析：()1证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．AB AC =ABC ACB ∴∠=∠且ADB ACB ∠=∠,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,∴CDF EDF ∠=∠ ⋅5分()2由()1得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠,所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB ADAF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅， 又AB AC =, A B A C A D ∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅． ⋅10分23．解：()1∵曲线C的参数方程为31x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ (α为参数)∴曲线C 的普通方程为()()223110x y -+-= 曲线C 表示以()3,1为半径的圆。