《数列》单元测试题(附答案解析)

合集下载

拉萨市选修二第一单元《数列》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（） A ．2B ．73 C ．310 D ．12或2．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（） A ．13B ．25C ．23D ．323．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（） A ．8B ．13C ．26D ．1624．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n +=++，则n a =（）A ．312n- B ．321n -+ C ．111n -+ D ．312n+ 5．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（）A ．1B ．3C ．-3D ．06．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．77．数列{}n a 是等差数列，51260a a =>，数列{}n b 满足123n n n n b a a a +++=，*n N ∈，设n S 为{}n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于（）A ．9B ．10C ．11D ．128．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D ．[﹣2，2]9．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（） A ．4:1B ．6:1C ．7:1D ．9:110．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（） A ．255B ．375C ．250D ．20012．在公差不为零的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，7a 依次成等比数列，前7项和为35，则数列{}n a 的通项n a 等于（） A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n二、填空题13．数列{}n a 满足2121231722222n n a a a a n n -+++⋅⋅⋅+=-，若对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ-+>成立，则实数k 的取值范围是_________．14．数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-+，则它的通项公式是n a =__________.15．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为_________.16．将数列{2}n 与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和n S =___.17．已知正项等比数列满足：,若存在两项使得,则的最小值为．18．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____.19．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式n a =__________．20．等比数列{}n a 中，11a =，且2436a a a +=，则5a =________.三、解答题21．若数列{}n a ，12,a =且132n n a a +=+. （1）证明{}1n a +是等比数列；（2）设()131n n n a b n n +=⋅+，n T 是其前n 项和，求n T .22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*214,21n n S a S n N +==+∈．数列{}nb 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且127,,b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若nn nb c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n T m <恒成立，求m 的取值范围． 23．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2512a a +=，424S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a s 在直线22y x =-，上n *∈N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+()N n *∈，11a =. （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式.（2）若记n b 为满足不等式11122k nn a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()N n *∈的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n 的不等式4032n S <的最大正整数解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等比数列的性质求解．在1q ≠-时，24264,,S S S S S --仍成等比数列．【详解】设24,3S k S k ==，由数列{}n a 为等比数列(易知数列{}n a 的公比1q ≠-)，得24264,,S S S S S --为等比数列又242,2S k S S k =-=644S S k ∴-= 67,S k ∴=647733S k S k ∴== 故选：B ．【点睛】结论点睛：数列{}n a 是等比数列，若0m S ≠，则232,,m m m m m S S S S S --成等比数列．简称等比数列的片断和仍成等比数列．注意{}n a 是等比数列与232,,m m m m m S S S S S --成等比数列之间不是充要条件．2．C解析：C 【分析】设等比数列的公比为q ，进而根据题意得()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，从而解得13q =，故223a =【详解】解：设等比数列的公比为q ，显然1q ≠，由于等比数列{}n a 中，12a = 所以等比数列{}n a 的前n 项和为：()()112111n n n a q q S qq--==--，因为无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，所以()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，所以231q =-，解得13q =，所以2123a a q ==. 故选：C. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，进而根据极限得13q =，考查运算求解能力，是中档题. 3．B解析：B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=，故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N+=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.4．A解析：A 【分析】利用已知条件得到121111n n a a n n n n +-==-++，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和. 【详解】由121n n a a n n +=++得：121111n na a n n n n +-==-++，即1111n n a a n n--=--，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-111111*********n n n=+-+-++-=--. 故选：A . 【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：型如：()1n n a a f n +-=的数列的递推公式，采用累加法求通项；形如：()1n na f n a +=的数列的递推公式，采用累乘法求通项；形如：1n n a pa q +=+ ()()10pq p -≠的递推公式，通过构造转化为()1n n a t p a t +-=-，构造数列{}n a t -是以1a t -为首项，p 为公比的等比数列，形如：1nn n a pa q +=+ ()()10pq p -≠的递推公式，两边同时除以1n q +，转化为1n n b mb t +=+的形式求通项公式；形如：11n n n n a a d a a ++=-，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.5．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①，当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .6．C解析：C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由51260a a =>，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断,n n a b 的正负，再利用通项与前n 项和关系求解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为51260a a =>，所以()1104116a a d d +=>+，即1625a d =-，因为512a a >，所以0d <，所以167(1)5n a n d n d a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，当113n ≤≤时，0n a >，当14n ≥时，0n a <，所以12101314...0...b b b b b >>>>>>>，又因为()111213141215131405db b a a a a a a +=+=>，所以1210S S >，故n S 中12S 最大，故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n 项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立求解. 【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2，当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1），整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0，由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3，所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2，所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3，因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立，即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]，则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）故选：A ．【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．9．C解析：C 【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，成等比数列求解.【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则63S m =，则632S S m -=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.10．B解析：B 【分析】根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <，因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列，所以n S 的最大值为5S ，故选：B. 【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.11．A解析：A 【分析】由等比数列的性质，510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列，先由51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ，再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列，可得20S . 【详解】由题得，51051510,,S S S S S --成等比数列，则有210551510()()S S S S S -=-，215123(15)S =-，解得1563S =，同理有215101052015()()()S S S S S S -=--，2204812(63)S =-，解得20255S =.故选：A 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，这道题也可以先由510315S S ==，求出数列的首项和公比q ，再由前n 项和公式直接得20S 。

高中数学--《数列》测试题(含答案)

高中数学--《数列》测试题（含答案）1.已知数列，它的第5项的值为（）A. B. C. D.【答案解析】D2.若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A、3B、2C、1D、0【答案解析】C3.在数列{}中，，则等于（）。

A B 10 C 13 D 19【答案解析】解析：C。

由2得，∴{}是等差数列∵4.是成等比数列的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】解析：不一定等比如若成等比数列则选D5.x=是a、x、b成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案解析】D6.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（A）－2 （B）－（C）（D）2【答案解析】B解析：a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－7.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1 B C.- 2 D 3【试题来源】【答案解析】C解析∵且.故选C8.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，A. B. C. D.【答案解析】C解析:由得，，则，，选C.9.(2009年广东卷)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A. B. C. D.2【答案解析】B解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B10.已知数列…，则是该数列的A.第项B.第项C.第项D.第项【答案解析】C11.等差数列中，，那么的值是A． 12 B． 24 C ．16 D． 48【答案解析】B12.等差数列，，，则数列前9项的和等于A．66 B．99 C. 144 D. 297【答案解析】B13.等差数列中，，则A．8 B．12 C．24 D．25【答案解析】B14.等比数列{an}中，a4=4，则等于A．4 B．8 C．16 D．32【答案解析】C15.设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=A． B． C． D．【答案解析】C17若数列的前项和，则A.7B.8C.9D.17【答案解析】A18.等差数列的前项和为，若，则A.1004B.2008C.2009D.2010【答案解析】C19.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a4=（） A．12 B．7C．9 D．15【答案解析】B20.（）A． B． C． D．【答案解析】D。

《数列》单元测试题(含答案解析)

《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）02．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（）（A ）它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3- （C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=24a S （）（A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）2174．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S < （D ）56S S = 5．已知数列}{n a 满足01=a ，1331+-=+n n n a a a （∈n N *），则=20a （）（A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ）236．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（）（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）2607．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（）（A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+（C ）5481a a a a +=+ （D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A ）13项（B ）12项（C ）11项（D ）10项9．设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（）（A ）210（B ）220（C ）216（D ）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）二、填空题11．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是．12．等比数列}{n a 的公比0>q ．已知12=a ，n n n a a a 612=+++，则}{n a 的前4项和=4S ． 13．在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果1km 高度的气温是8.5℃，5km 高度的气温是－17.5℃，那么3km 高度的气温是℃． 14．设21=a ，121+=+n n a a ，21n n n a b a +=-，∈n N *，则数列}{n b 的通项公式=n b ． 15．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则4S ，48S S -，812S S -，1216S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1216T T 成等比数列．三、解答题16．已知}{n a 是一个等差数列，且12=a ，55-=a ．（Ⅰ）求}{n a 的通项n a ；（Ⅱ）求}{n a 的前n 项和n S 的最大值．17．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（Ⅰ）求}{n a 的公比q ；（Ⅱ）若331=-a a ，求n S ．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m ．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19．设数列}{n a 满足333313221n a a a a n n =++++- ，∈n N *．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项；（Ⅱ）设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．20．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，241+=+n n a S ．（Ⅰ）设n n n a a b 21-=+，证明数列}{n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．21．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an n n b 2)1(41⋅-+=-λ（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．数列测试题一、选择题(每小题5分，共60分)1．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝16，a 4＝6，则公差d 的值是( )A ．1B ．2C ．－1D ．－22．在等比数列{a n }中，已知a 3＝2，a 15＝8，则a 9等于( )A ．±4B ．4C ．－4D ．163．数列{a n }中，对所有的正整数n 都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2519D.31154．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝( )A ．8B ．－8C ．±8D.985．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 12＝30，则S 13的值是( )A ．130B ．65C ．70D ．756．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．97．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( )8．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4 C．2D ．49．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值围是( ) A ．d >83 B ．d <3C.83≤d <3D.83<d ≤3 10.等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为 q ，则下列条件中，使{}n a 一定为递减数列的条件是（） A ．1q < B 、10,1a q >< C 、10,01a q ><<或10,1a q <> D 、1q >11. 已知等差数列{}n a 共有21n +项，所有奇数项之和为130，所有偶数项之和为120，则n 等于（）Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．12 12．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2)(2nn f + (n ∈N ＋)，且f (1)＝2，则f (20)为( ) A ．95B ．97C ．105D ．192二、填空题(每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，a 3＝6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 14.已知数列{a n } 中,a 1=1且31111+=+n n a a (n ∈ N +),则a 10= 15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且满足)2)(1(31≥-=+-n n a a n n ，则数列{a n }的通项公式为=n a 16．已知数列满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2，(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值围为三、解答题(本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N +). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前20项和为S 20.18．(12分)已知数列}{n a 前n 项和n n S n 272-=，(1)求|}{|n a 的前11项和11T ；(2) 求|}{|n a 的前22项和22T ；19．(12分)已知数列}{n a 各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =2n a + n －4(n ∈N +). (1)求证:数列}{n a 为等差数列;(2)求数列}{n a 的前n 项和S n .20．(12分)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥. （1）求{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．21．(12分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2,2a n ＝1＋a n a n ＋1，b n ＝a n －1(b n ≠0)． (1)求证数列{1b n}是等差数列；(2)令11+=n n a c ，求数列{n c }的通项公式．22．（12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .《数列》单元测试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．C 二、填空题11．1613 12．21513．－4.5 14．12+n 15．48T T ，812T T 三、解答题16．（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+.54,111d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,31d a ∴52)2()1(3+-=-⨯-+=n n a n ．（Ⅱ）4)2(4)2(2)1(322+--=+-=-⨯-+=n n n n n n S n ．∴当2=n 时，n S 取得最大值4．17．（Ⅰ）依题意，有3212S S S =+，∴)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++，由于01≠a ，故022=+q q ，又0≠q ，从而21-=q ．（Ⅱ）由已知，得3)21(211=--a a ，故41=a ，从而])21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----⨯=．18．（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ，整理，得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍去）．第1次相遇是在开始运动后7分钟．（Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ，整理，得0420132=-+n n ，解得15=n ，28-=n （舍去）．第2次相遇是在开始运动后15分钟．19．（Ⅰ）∵333313221na a a a n n =++++- ，① ∴当2≥n 时，31333123221-=++++--n a a a a n n ． ② 由①－②，得3131=-n n a ，n n a 31=．在①中，令1=n ，得311=a ．∴n n a 31=，∈n N *．（Ⅱ）∵nn a n b =，∴n n n b 3⋅=，∴nn n S 33332332⋅++⨯+⨯+= ，③ ∴14323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S ． ④即31)31(3321---⋅=+n n n n S ，∴4343)12(1+-=+n n n S ． 20．（Ⅰ）由11=a ，241+=+n n a S ，有24121+=+a a a ，∴52312=+=a a ，∴32121=-=a a b ．∵241+=+n n a S ，①∴241+=-n n a S （2≥n ）， ②由①－②，得1144-+-=n n n a a a ，∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，∵n n n a a b 21-=+，∴12-=n n b b ，∴数列}{n b 是首项为3，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），得11232-+⋅=-=n n n n a a b ，∴432211=-++n n n n a a ， ∴数列}2{nn a 是首项为21，公差为43的等差数列， ∴414343)1(212-=⨯-+=n n a nn ，∴22)13(-⋅-=n n n a ． 21．（Ⅰ）由已知，得()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=，∴数列{}n a 是以12a =为首项，1为公差的等差数列，∴1n a n =+．（Ⅱ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立， ∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．∴21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．数列试题答案1---12：BBAB AAD C DCDB13---16：－11，41，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)(223)(213为偶数为奇数n n n n a n ，λ<2 17．解：(1)∵数列{a n }满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴数列{a n }为等差数列，设公差为d .∴a 4＝a 1＋3d ，d 2－8＝－2.∴a ＝a ＋(n －1)d ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2) S =)9(n n -得S = －22018.解：n n S n 272-=282-=∴n a n ∴当14<n 时，0<n a 14≥n 时0≥n a(1)||||||112111a a a T +++= 176)(11111=-=++-=S a a (2)|)||(|)||||(|2214132122a a a a a T ++++++=2215141321)(a a a a a a +++++++-= 132213S S S -+-=25421322=-=S S19.(1)证明:当n=1时,有2a 1=+1-4,即-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n ≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n =+n-4,两式相减得2a n =-+1,即-2a n +1=,也即(a n -1)2=,因此a n -1=a n-1或a n -1=-a n-1.若a n -1=-a n-1,则a n +a n-1=1.而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾, 所以a n -1=a n-1,即a n -a n-1=1,因此数列{a n }为等差数列.(2)解:由(1)知a 1=3,d=1,所以数列{a n }的通项公式a n =3+(n-1)×1=n+2,即a n =n+2.得252nn S n +=21.(1)证明：∵b n ＝a n －1，∴a n ＝b n ＋1.又∵2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴2(b n ＋1)＝1＋(b n ＋1)(b n ＋1＋1)．化简得：b n －b n ＋1＝b n b n ＋1.∵b n ≠0，∴b n b n b n ＋1－b n ＋1b n b n ＋1＝1.即1b n ＋1－1b n＝1(n ∈N ＋)．又1b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，∴{1b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)∴1b n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴b n ＝1n .∴a n ＝1n ＋1＝n ＋1n.∴1211+=+=n na c n n。

(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》检测题(答案解析)(4)

一、选择题1．已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2021a 等于（） A ．1-B ．12-C ．12D ．22．已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=+，*,n N ∈.若564316a a +=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．16B ．28C ．32D ．483．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（） A ．1009B ．1010C ．1011D ．20204．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（） A ．23B ．13C ．2-D ．3-5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+6．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（） A ．259B ．145 C ．3111D ．1767．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（n N +∈，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===则20152013a a =（） A ．2420151⨯- B ．2420141⨯- C ．2420131⨯-D ．242013⨯8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．710．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（） A ．4×20162－1B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×2018211．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =++，()n N *∈，则当2020n T <时，n 的最大值为（） A ．9B ．10C ．11D ．24二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.14．计算：111113355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．15．已知数列{}n a 满足11a =，11nn n a a a +=+，则5a =_________.16．已知等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则100S =____________.17．已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．18．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.19．等比数列{}n a 中，11a =，且2436a a a +=，则5a =________. 20．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()()*1n n n n a a a n N+-=∈，且3aπ=，则4tan S 等于______.三、解答题21．等比数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数不在下表的同一列.（1）求数列n a 的通项公式；（2）记m b 为数列{}n a 在区间()(0,]m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项的和. 22．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在表的同一列.请从①1，②1，③1的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在.并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，若不等式4nn S a λ+≥对任意的*n ∈N 都成立，求实数λ的最小值.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，数列{}n b 的通项公式为1n n b x -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）设()44n n d n a =+，12n n H d d d =+++()*n N ∈，求使得对任意*n N ∈，均有9n mH >成立的最大整数m 24．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足33n nS a =-，()*323log 1n n b a n N =+∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记2n n n c a b λ=-，若数列{}n c 为递增数列，求λ的取值范围.25．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，且()11f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求{}n a 的通项公式；（2）若31n b n =+，求数列{}n n a b 前n 项和n S .26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*214,21n n S a S n N +==+∈．数列{}nb 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且127,,b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若nn nb c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n T m <恒成立，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先计算出{}n a 的前几项，然后分析{}n a 的周期性，根据周期可将2021a 转化为2a ，结合12a =求解出结果.【详解】因为12a =，所以23412311111,11,12,......2a a a a a a =-==-=-=-= 所以3211111111111111111111n n nn n n n na a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-=------，所以{}n a 是周期为3的周期数列，所以20213673+2212a a a ⨯===，故选：C. 【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数A ；（2）证明()*n A n a a A N+=∈，则可说明数列{}na 是周期为A 的数列.2．C解析：C 【分析】由21n n n a a a ++=+，分别求出3456789,,,,,,a a a a a a a 关于12,a a 的表达式，再利用564316a a +=，即可求解【详解】由21n n n a a a ++=+可得，321a a a =+，432212a a a a a =+=+5432132a a a a a =+=+，6542153a a a a a =+=+，7652185a a a a a =+=+， 87621138a a a a a =+=+，987212113a a a a a =+=+， ∴129212154342(2717)a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+，564316a a +=，21214(32)3(53)16a a a a ∴+++=，即21271716a a +=， ∴129212154342(2717)32a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+=故选：C 【点睛】关键点睛，利用递推式21n n n a a a ++=+，求得129212154342(2717)a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+=⨯+，再利用564316a a +=，求得21271716a a +=，进而求解，主要考查学生的数学运算能力，属于中档题3．C解析：C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =，所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<，所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.4．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.5．D解析：D 【分析】当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===，当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即12n na a +=，则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即22,2n n a n -=≥，又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项，则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为111110(11244)11416413431-+++++=+=⨯+-.故选：D. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.6．B解析：B 【分析】由122n n a a n n +=++转化为11121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，利用叠加法，求得23na n =-，即可求解. 【详解】由122n n a a n n +=++，可得12112(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+11111111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122113n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以102143105a =-=. 故选：B. 【点睛】数列的通项公式的常见求法：对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式；对于递推关系式形如1n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.7．C解析：C 【分析】利用定义，可得1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而121n n a n a +=-，利用201520152014201320142013a a a a a a =⋅，可得结论．【详解】121a a ==，33a =，32212a a a a ∴-=， 1n n a a +⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，121n na n a +∴=-， ()()20152015201420132014201322014122013140274025a a a a a a ∴=⋅=⨯-⨯-=⨯ 22(40261)(40261)40261420131=+-=-=⨯-．故选：C. 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．C解析：C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ．【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错．9．C解析：C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=，根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列，则()111221n na n n a +=+-⨯=-，所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181a a =⨯-，所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C 【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.11．D解析：D 【分析】由题意计算出{}n a 的公比q ，由等比数列的性质可得{}1n n a a +也为等比数列，由等比数列前n 项和计算即可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，21a =，518a =，所以35218a q a ==，即12q =，所以12a =，由等比数列的性质知{}1n n a a +是以2为首项，以14为公比的等比数列. 所以12122311214881813343142n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭≤==-< ⎪⎝⎭=+++-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和的计算，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.【详解】∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-, ∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n b -=,∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---，∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤，则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.二、填空题13．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；解析：1347 【分析】当2n ≥时131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到113n n a a +--=，得到31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，代入数据计算得到答案.【详解】解：当1n =时，2112312S a a a =+∴=当2n ≥时，由131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到()113n n n n a a a a +-=- 因为0n a ≠113n n a a +-∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为首项，3为公差的等差数列；所以31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数当k 为奇数时，202013473122k a k k ==-=∴，成立；当k 为偶数时，404220203312k a k k ∴==-=，不成立；故答案为：1347 【点睛】本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是解题的关键.14．【分析】用裂项相消法求和【详解】故答案为：【点睛】本题考查裂项相消法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列是等比数列（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的解析：10102021【分析】用裂项相消法求和．【详解】111111111111(1)()()1335572019202123235220192021++++=-+-++-⨯⨯⨯⨯111010(1)220212021=-=．故答案为：10102021．【点睛】本题考查裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．15．【分析】由已知可知即数列是首项为1公差为1的等差数列进而可求得数列的通项公式即可求【详解】由题意知：即而∴数列是首项为1公差为1的等差数列有∴则故答案为：【点睛】关键点点睛：由递推关系求数列的通项进解析：15【分析】由已知可知1111n n a a 即数列1{}na 是首项为1，公差为1的等差数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式，即可求5a .【详解】由题意知：1(1)n n n a a a ++=，即1111n na a ，而11a =，∴数列1{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，有1nn a ，∴1n a n =，则515a =. 故答案为：15【点睛】关键点点睛：由递推关系求数列1{}na 的通项，进而得到{}n a 的通项公式写出项. 16．【分析】先证明出当三点共线（该直线不过原点）且时可得出然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当三点共线（该直线不过原点）时则与共线则存在使得即可得因为且三点共线（该直线不过原点）则由等差数列求解析：50【分析】先证明出当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）且OB xOA yOC =+时，1x y +=，可得出11001a a +=，然后利用等差数列的求和公式可求得100S 的值.【详解】当A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ）时，则AB 与AC 共线，则存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()OB OA OC OA λ-=-，可得()1OB OA OC λλ=-+，OB xOA yOC =+，()11x y λλ∴+=-+=，因为1100OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则11001a a +=，由等差数列求和公式可得()110010010010015022a a S +⨯===.故答案为：50. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了平面向量三点共线结论的推导与应用，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】由递推公式可得即以为首项为公比的等比数列根据等比数列的通项公式求出的通项公式即可得解；【详解】解：因为所以即所以以为首项为公比的等比数列所以所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通解析：1231n -⨯-【分析】由递推公式可得()1131n n a a ++=+，即{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出{}1n a +的通项公式，即可得解；【详解】解：因为132n n a a +=+，11a =，所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+ 所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯ 所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯- 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.18．14【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档题解题时解析：14 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<，又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<，所以130S >，140S <，150S <，当<0n S 时n 的最小值为14，故答案为14．【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．4【分析】在等比数列中将已知转化为首项和公比求得再将其带入通项公式中求得答案【详解】因为所以在等比数列中所以或-3（舍）故故答案为：4【点睛】本题考查等比数列中知三求二由已知转化为首项和公比进而表示解析：4 【分析】在等比数列中，将已知转化为首项和公比求得2q ，再将其带入通项公式中，求得答案. 【详解】因为11a =，所以在等比数列中32422431116a a a a q a q a q q q +=⋅+=+=所以22q =或-3（舍），故425124a a q ===故答案为：4 【点睛】本题考查等比数列中知三求二，由已知转化为首项和公比，进而表示所求问题，属于简单题.20．【分析】将变形为利用累乘法求出数列的通项公式求出的值再利用诱导公式可求出的值【详解】则所以因此故答案为：【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项同时也考查了数列求和以及正切值的计算考查计算能力属于中等题【分析】将()1n n n n a a a +-=变形为11n n a n a n++=，利用累乘法求出数列{}n a 的通项公式，求出4S 的值，再利用诱导公式可求出4tan S 的值. 【详解】()()*1n n n n a a a n N +-=∈，()11n n na n a +∴=+，11n n a n a n++∴=， 3211112123121n n n a a a na a a na a a a n -∴=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-，313a a π==，13a π∴=，则3n a nπ=，所以，424103333S πππππ=+++=，因此，410tan tan tan 3tan 333S ππππ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项，同时也考查了数列求和以及正切值的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）3nn a =；（2）284.【分析】（1）由题可得等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，即可得出通项公式；（2）根据题意得出当133n n m b +≤<时，m b n =，再分组求和即可求出.【详解】（1）由题意结合表中数据可得13a =，29a =，327a =，所以等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，所以{}n a 的通项公式为1333n nn a -=⨯=；（2）由题设及（1）知120b b ==，且当133n n m b +≤<时，m b n =.所以()()()()()10012348910262728808182100S b b b b b b b b b b b b b b =+++++++++++++++++2061182543204=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯284=. 【点睛】解题关键：由题得出120b b ==，且当133n n m b +≤<时，m b n =是解题的关键，再利用分组求和即可.22．（1）32n a n =-；（2）918【分析】（1）由等差数列的定义可得选②，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）由错位相减法求得n S ，再参数分离可得()()323+42nn n λ-≥对任意的*n ∈N 都成立，令()()323+42n nn n b -=，判断{}nb 的单调性求得最大项即可求出.【详解】（1）已知{}n a 为等差数列，由题选择②可成立，即11a =，24a =，37a =，所以公差3d =，()1+1332n a n n ∴=-⨯=-；（2）3222n n n a n -=， 12314732++++2222n n n S -∴=， 234+1114732++++22222n n n S -=，两式相减得：23+111111323++++1222222n n n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+11113122311212n n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⨯---，整理得3+442n nn S =-，若不等式4n nS a λ+≥对任意的*n ∈N 都成立，则3+44+4232n n n λ-≥-，即()()323+42n n n λ-≥对任意的*n ∈N 都成立，令()()323+42n nn n b -=，则()()()()2+1+1+13+13+7323+49+12+23222n nn nn n n n n n n b b ---=-=，当1,2n =时，+10n n b b ->，可得321b b b >>，当3n ≥时，+10n n b b -<，可得345>>>b b b ，则{}n b 中的最大项为3918b =，918λ∴≥，即λ的最小值为918. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 23．（1）2n a n =；（2）()()1222212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪+=⎩；（3）存在最大的整数5m =满足题意．【分析】（1）当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，将已知代入化简计算可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法计算n T ，分1x ≠和1x =两种情况，分别得出答案；（3）利用裂项相消法计算出n H ，并得出单调性和最值，代入不等式解出m 的范围，得到答案．【详解】（1）当1n =时，112a S ==当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦即数列{}n a 的通项公式为2n a n =（2）12n n n n c a b nx -==，23124682n n T x x x nx -=+++++，①则23424682n n xT x x x x nx =+++++，②①﹣②，得()21122222n n n x T x x x nx --=++++-．当1x ≠时，()11221nn n x x T nx x--=⨯--，则()()1222121n n n n x nx T x +-++=-．当1x =时，224682n T n n n =+++++=+综上可得，()()1222212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪+=⎩（3）由（1）可得()411242n d n n n n ==-++，则12111111111111324352212n n H d d d n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然n H 为关于n 的增函数，故()1min 23n H H ==．于是欲使9n mH >恒成立，则293m <，解得6m <． ∴存在最大的整数5m =满足题意．【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．24．（1）32nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31n b n =+；（2）3136λ<. 【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得数列{}n a 是等比数列，（10a ≠），得通项公式n a ，从而也得到n b ；（2）作差1n n c c +-，由10n n c c +->恒成立转化为13221815nn λ⎛⎫⎪⎝⎭<+对*n N ∀∈恒成立，引入()13221815nf n n ⎛⎫⎪⎝⎭=+，*n N ∈，从作商法求得{()}f n 的最小值即可得λ的范围．【详解】解：（1）当1n =时，1133S a =-，∴132a =，当2n ≥时，()113333n n n n S S a a ---=---，即133n n n a a a -=-，∴132n n a a -=，又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列.∴1333222n nn a -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 332233log 13log 1312nn n b a n ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭.（2）()23312nn c n λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为数列{}n c 为递增数列， ∴()()()122133133431181502222n n nn n c c n n n λλλ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对*n N ∀∈恒成立，即13221815nn λ⎛⎫⎪⎝⎭<+对*n N ∀∈恒成立设()13221815nf n n ⎛⎫⎪⎝⎭=+，*n N ∈，()min f n λ<，()()()1133181511815222183318331322n n n f n n f n n n +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⋅=++⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()()11f n f n +>，则1821n >， ∴当n 2≥时，()()1f n f n +>；当1n =时，()()21f f <. ∴()()min 32136f n f ==，即λ的取值范围为3136λ<. 【点睛】关键点点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查数列的单调性，不等式恒成立问题．数列的单调性与最值的求法一般有作差法或作商法．作差法是最基本的方法，而当na为幂的形式（或乘积形式）也可用作商法确定单调性，得最值． 25．（1）()*112n n a n -=∈N ；（2）137142n n n S -+=-. 【分析】（1）令1212x x ==，求出102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而可得11a =，再有112n n a f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得12n n a a +=，利用等比数列的通项公式即可求解.（2）由1312n n n n a b -+=，利用错位相减法即可求解. 【详解】解：（1）令1212x x ==，则()111122f f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11112a f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. ∵1111111111112221222222n n n n n n n a f f f f a +++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴112n n a a +=，∴{}n a 为以1为首项，12为公比的等比数列，∴()*112n n a n -=∈N . （2）∵1312n n n n a b -+=， ∴21471031S 1222n n n -+=++++①，由①12⨯，得23147103122222n nn S +=++++②，由①-②，得21133331422222n n n n S -+=++++- 1131374317222n n n n n -++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，∴137142n n n S -+=-. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数与数列的综合，解题的关键是根据关系式求出()*112n n a n -=∈N ，考查了计算能力. 26．（1）13-=n n a ，43n b n =-；（2）9+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，. 【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式可得{}n a ，再由等差数列的通项公式以及等比的定义，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（2）利用错位相减法求出()34391223nn n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易得92n T <，进而可得结果. 【详解】（1）∵()*121n n a S n N+=+∈，当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减化简可得：13n n a a +=, 即数列{}n a 是以3为公比的等比数列，又∵24S =，∴1134a a +=，解得14a =，即13-=n n a ，设数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，∵127,,b b b 成等比数列，∴()()21161d d ⨯+=+，解得4d =或0d =（舍去），即43n b n =-， ∴数列{}n a 和{}n b 的通项公式为13-=n n a ，43n b n =-. （2）由（1）得1433n n n n b n c a --==， ∴()0121111159433333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111594333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得：()1212111114444333333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13433nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴()34391223nn n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即有92n T <恒成立， n T m <恒成立，可得92m ≥，即m 的范围是9+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．。

(完整版)数列单元测试卷含答案

数列单元测试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.第Ⅰ卷(选择题)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋12．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．74．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．525．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．1906．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B.2 C．4 D．87．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－19．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 05811.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） A.11 B.1 C. 约等于1 D.212．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30第II 卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.则{a n }的通项公式a n =________16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.20．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷（解答）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1解析：选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1，故选B. 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．3．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7解析：选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．52解析：选D ∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝12，∴数列{a n}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列，∴a101＝2＋12(101－1)＝52.5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．190解析：选B 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B.2 C ．4 D ．8解析：选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9， ∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－1解析：选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12.9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项解析：选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10 ＝1－2101－2＋10＝1 033.11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2解析：设{}n a 的公差为d ，据已知有1×72128d +=，解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=112．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30解析：选 B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.答案： 25514．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 答案：1515．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2 ＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号) 解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0. ∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0， ∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0， ∴可知S 7为S n 中的最大项．答案：①②④三、解答题(共4小题，共50分)17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+d=6a 1+15d=48,②由①②得d=4.a 1=-2S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2-4n(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n-7|=记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =10520．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12，故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12，所以b n ＝12n . 21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 解:（1）因为+3+…+（2n -1）=2n ，故当n ≥2时， +3+…+（-3） =2（n -1）两式相减得（2n -1）=2所以= (n≥2)又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.（2）记 {}的前n 项和为，由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = .22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2n a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ，即2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n ＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n . S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

常州市第二十四中学选修二第一单元《数列》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（） A ．2B ．73 C ．310D ．12或2．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推. 在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想. 在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（） A ．辛丑年B ．庚子年C ．己亥年D ．戊戌年3．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（）3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩A ．44B ．45C ．46D ．474．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥5．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（） A ．23B ．13C ．2-D ．3-6．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ7．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（）A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:38．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项9．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（）A ．1B ．3C ．-3D ．010．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66(S a = ) A ．6332B ．3116C ．12364 D ．12712811．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且(1),(4),(13)f f f 成等比数列，则(2)(4)(2)f f f n +++等于（）A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-二、填空题13．有一个数阵排列如下： 1 2 4 7 11 16 22…… 3 5 8 12 17 23………… 6 9 13 18 24……………… 10 14 19 25…………………… 15 20 26………………………… 21 27……………………………… 28…………………………………… ………………………………………则第40行从左至右第6个数字为______.14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________.15．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________. 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111n n n n N S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S =_______.17．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且()2*1122n n n S a a n =+∈N .则数列{}n a 的通项公式为________.18．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017011a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2016201810a a ->；③2016T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为______.19．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n nn S a a n N *++∈，设()2112n n n na c S +=-⋅，则数列{}n c 的前2019项的和为___________.20．已知数列{}n a 中，11a =，()132,n n a a n n N *-=+≥∈，数列{}n b 满足11n n n b a a +=，*n N ∈，则()12lim n n b b b →∞++⋅⋅⋅+=________. 三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b ，11b =，点()1,n n P b b +直线20x y -+=上.（1）求1a 值；（2）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（3）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .22．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121nn n a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.23．已知{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，111a b ==，24a =，36a b =. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记[]x 表示不大于x 的最大整数，[]x x x =-.若将数列31n n a b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前21项和记为21S ，求21S 的值.24．设数列{}n a 的前n 项和2*,n S n n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若不等式1122318111log n n a a a a a a λ++++≥对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.25．已知数列{}n a 是递增的等比数列，前3项和为13，且13a +，23a ，35a +成等差数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n S ，且，若数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值．在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题． ①34n n S b +=；②()122n n b b n -+≥= ；③()152n n b b n -=-≥．注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分． 26．数列{}n a 的前n 项的和为n S ，11a =，()1112n n S a +=-. （1）证明数列{}n a 是等比数列，并求通项n a ；（2）若等差数列{}n b 的各项均为正数，且4124i i b ==∑，11ab +，22a b +，33a b +成等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等比数列的性质求解．在1q ≠-时，24264,,S S S S S --仍成等比数列．设24,3S k S k ==，由数列{}n a 为等比数列(易知数列{}n a 的公比1q ≠-)，得24264,,S S S S S --为等比数列又242,2S k S S k =-=644S S k ∴-= 67,S k ∴=647733S k S k ∴== 故选：B ．【点睛】结论点睛：数列{}n a 是等比数列，若0m S ≠，则232,,m m m m m S S S S S --成等比数列．简称等比数列的片断和仍成等比数列．注意{}n a 是等比数列与232,,m m m m m S S S S S --成等比数列之间不是充要条件．2．B解析：B 【分析】由题意可得：数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1980年的天干和地支分别为首项，即可求出答案. 【详解】由题意可得：数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年，以1980年的天干和地支分别为首项，则1001010÷=余数0，则2080年天干为庚，100128÷=余数为4，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由题意得出数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1980年为庚申年，计算1001010÷=余数0，则2080年天干为庚，100128÷=余数为4，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年. 3．B解析：B 【分析】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项．由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，212017n += ，得1008n =，所以2017是从3开始的第1008个奇数，当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共474410342⨯=个，当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共46439892⨯=个，所以45m =，故选：B ．【点睛】方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．4．D解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.5．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n na a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论.【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.6．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 7．A解析：A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ．【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．8．D【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.9．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①，当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周10．A解析：A 【分析】利用数列递推关系：1n =时，1121a a =-，解得1a ；2n 时，1n n n a S S -=-．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】21n n S a =-，1n ∴=时，1121a a =-，解得11a =；2n 时，1121(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=．∴数列{}n a 是等比数列，公比为2．56232a ∴==，66216321S -==-．则666332S a =．故选：A ．【点睛】本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【分析】由已知可以假设一次函数为1y kx =+，在根据(1),(4),(13)f f f 成等比数列，得出3k =，利用等差数列的求和公式求解即可．【详解】由已知，假设()f x kx b =+，(0)k ≠(0)10f k b ==⨯+，1b ∴=．(1),(4),(13)f f f 成等比数列，且41,(13(1)1,(4)1)13k f f k f k =+=+=+．1k ∴+，41k +，131k +成等比数列，即2(41)(1)(131)k k k +=++，22161813141k k k k ++=++，从而解得0k =（舍去），2k =，(2)(4)(2)f f f n +++(221)(421)(221)n =⨯++⨯++⋯+⨯+ (242)2n n =++⋯+⨯+(1)42n n n +=⨯+2(1)n n n =++()22332n n n n ==++.故选：A ．【点睛】本题考查了等比数列、等差数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．12．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.二、填空题13．1030【分析】利用观察法和累加法得到进而求解即可【详解】第1行从左至右第6个数字：第2行从左至右第6个数字：；第3行从左至右第6个数字：；第4行从左至右第6个数字：；第5行从左至右第6个数字：；…解析：1030 【分析】利用观察法和累加法得到()17895n a a n -=+++++，进而求解即可【详解】第1行从左至右第6个数字：116a = 第2行从左至右第6个数字：223a =；第3行从左至右第6个数字：331a =；第4行从左至右第6个数字：440a =；第5行从左至右第6个数字：550a =； ……………………………………；第n 行从左至右第6个数字：n a ；利用累加法得：21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-，()17895n a a n -=+++++，()()175162n n n a -++⎡⎤⎣⎦=+得，4039521639261610302a ⨯=+=⨯+= 故答案为：1030 【点睛】关键点睛：解题的关键在于观察得到，21324311()()()()(2316)(3123)()n n n n a a a a a a a a a a ---+-+-++-=-+-++-最后，使用累加法求出数列的通项n a ，属于中档题14．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+，当2n ≥时，1121n n a S --=+，两式相减，得12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.15．或19【分析】利用等差数列的通项公式求出再利用等差数列的前项和公式求出记利用作商法判断出数列的单调性即可求解【详解】设等差数列的公差为由题意当时当时所以解得或（舍去）所以记所以当时此时当时时此时所以解析：18或19 【分析】利用等差数列的通项公式求出λ、d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，记910nn n T S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用作商法判断出数列的单调性即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，当1n =时，21a a λ=，当2n =时，42a a λ=，所以()22232d d d λλ+=⎧⎨+=+⎩，解得22d λ=⎧⎨=⎩ 或10d λ=⎧⎨=⎩（舍去），所以()2112n n n dS na n n -=+=+，记()2991010nnn n n T S n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以()()()12129119210110910n n nnn n T T n n n ++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当118n ≤≤，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，此时1n n T T +≥，当10n >时，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，此时1n n T T +<，所以910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，18n =或19 故答案为：18或19 【点睛】本题考查了差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性求数列中的最大项，属于中档题.16．【分析】用代入已知等式得变形可得说明是等差数列求其通项公式可得的值【详解】整理可得则即所以是以为公差的等差数列又则故答案为：【点评】本题考查数列递推式考查等差数列的判定训练了等差数列通项公式的求法是解析：2020-【分析】用11n n n a S S ++=-，代入已知等式，得11n n n n S S S S ++-=⋅，变形可得1111n n S S +-=-，说明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求其通项公式，可得20191S 的值.【详解】11n n n a S S ++=-，1111111n n n n nS S a S S ++⎛⎫∴-== ⎪-⎝⎭，整理可得11n n n n S S S S ++-=⋅，则111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，即1111n nS S +-=-，所以，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为公差的等差数列，又11112S a ==-， ()()()12111nn n S ∴=-+-⋅-=-+，则201912020S =-.故答案为：2020-. 【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.17．【分析】令由求出首项再由两式相减得出数列的递推关系式及可求出数列的通项公式【详解】由题意可得：当时所以当且时由所以两式作差可得整理可得因为所以因为所以数列为首项为1公差为1的等差1数列所以故答案为：解析：n a n =【分析】令1n =，由()2*1122n n n S a a n =+∈N 求出首项11a =，再由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N 两式相减得出数列的递推关系式，及可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】由题意可得：当1n =时，211111122a S a a ==+，所以11a =，当2n ≥且*n ∈N 时，由()2*1122n n n S a a n =+∈N ，所以()2*1111122n n n S a a n ---=+∈N ，两式作差可得221111112222n n n n n a a a a a --+-=-，整理可得()()1101n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+≠，所以11n n a a --=，因为11a =，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差1数列，所以n a n =. 故答案为：n a n = 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，解题的关键是根据已知关系求出递推关系，属于中档题.18．①③【分析】分别讨论和找到矛盾可判断①通过以及可得到则通过可判断②通过时时可判断③算出可判断④【详解】解：∵若则此时与矛盾故不成立若此时与矛盾故不成立∴故①正确；因为由得故②不正确；因为所以当时当时解析：①③ 【分析】分别讨论1q ≥和0q <，找到矛盾，可判断①，通过01q <<以及20162017011a a -<-可得到20171a <，则通过2201620182017a a a =可判断②，通过2016,n n N *≤∈时，1n a >，2016,n n N *>∈时，01n a <<，可判断③，算出4032T ，4033T 可判断④.【详解】解：∵11a >，若1q ≥，则2015201620161201711,1a a qa a q =>=>，此时20162017011a a ->-，与20162017011a a -<-矛盾，故1q ≥不成立，若0q <，2015201620161201710,0a a qa a q =<=>，此时201620170a a <，与201620171a a >矛盾，故0q <不成立， ∴01q <<，故①正确；因为11a >，01q <<，20162017a a >，由20162017011a a -<-得201620171,01a a ><<22016201820171a a a ∴=<，故②不正确；因为11a >，01q <<，201620171,01a a ><<，所以当2016,n n N *≤∈时，1n a >，当2016,n n N *>∈时，01n a <<，所以2016T 是数列{}n T 中的最大项，故③正确；()()2016201640321240304031403214032201620171a a a a a a a a T a =⋅⋯⋅⋅==>，()201624033124030403140324033201720171T a a a a a a a a =⋅⋯⋅⋅⋅=⨯<，∴使1n T >成立的最大自然数等于4032，故④不正确. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：正项数列的前项和为①则②②-①得：整理得：当时解得：所以：数列是以1为首项1为公差的等差数列则所以：则：数列的解析：20212020-【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22()n nn S a a n N *=+∈①，则221112n n n n n a a a a a +++=-+-②，②-①得：221112n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得：11n n a a +-=，当1n =时，21112S a a =+，解得：11a =，所以：数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. 则11n a n n =+-=，所以：2(1)22n n n n nS ++==. 则：()()21111121nn n n n a c S n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭，数列{}n c 的前2019项的和为：201911111122320192020T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112020=--， 20212020=-. 故答案为：20212020- 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．【分析】求出数列的通项公式利用裂项求和法求出利用极限的运算法则可得出所求极限值【详解】且则数列是以为首项以为公差的等差数列所以因此故答案为：【点睛】本题考查数列前项和的极限值的求法是中档题解题时要认解析：13【分析】求出数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求出12n b b b ++⋅⋅⋅+，利用极限的运算法则可得出所求极限值. 【详解】()132,n n a a n n N *-=+≥∈且11a =，则数列{}n a 是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以，()13132n a n n =+-=-，()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭， 1211111111134473231393n b b b n n n ⎛⎫∴++⋅⋅⋅+=-+-++-=- ⎪-++⎝⎭，因此，()12111lim lim 3933n n n b b b n →∞→∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=-=⎪+⎝⎭. 故答案为：13. 【点睛】本题考查数列前n 项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题21．（1）12a =；（2）2nn a =，21n b n =-；（3）1(23)26n nT n +=-⋅+.【分析】（1）由题意得出22n n a S =+，令1n =可求得1a 的值；（2）当2n ≥时，由22n n a S =+可得出1122n n a S --=+，两式作差可得出12nn a a -=，可得出数列{}n a 是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，由题意可推导出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n b 的通项公式；（3）求得12n n c n +=⋅，然后利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）由22n n a S =+得：1122a S =+ 即1122a a =+解得12a = （2）由22n n S a =-1122(2)n n S a n --=-≥①-②1122n n n n n a S S a a --=-=-12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则2nn a =又由数列{}bn 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上得1:20n n b b +-+=且11b = 所以：12(1)21n b n n =+-=- （2）(21)2nn n n c a b n ==-数列{}n C 的前n 项和23412325272(21)2nTn n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅23451212325272(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅()23411222222222(21)2n n n T n +∴-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⋅--⋅可得：1(23)26n n T n +=-⋅+【点睛】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式，当数列表示为等差和等比数列之积时，利用错位相减法求其前n 项和. 22．答案见解析【分析】(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可. 【详解】（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1q >，122a q =⎧∴⎨=⎩2n n a ∴=．（2）若选①2n n b n =⋅231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+①23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②①-②得：23122222n n n S n +-=++++-⋅()()11121222212(1)2212n n n n n n S n n n +++--=-⋅=--⋅=---∴1(1)22n n S n +=-+选②：22log 29|29|nn b n =⋅-=-1n =时，117S b ==2n =时，2127512S b b =+=+=3n =时，312375315S b b b =++=++=4n =时，4123416S b b b b =+++=即2(792)8(4,)2n n nS n n n n N *+-⋅==-+≤∈5n ≥时，2(4)(129)16132916(4)162n n n S n n -+-=++++-=+=-+．选③11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-++++2231111111111122121212121321n n n n S ++=-+-++-=-+++++++．【点睛】关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题. 23．（1）14n n a -=；32n b n =-；（2）14. 【分析】（1）由题意得等比数列{}n a 的公比为4q =，等差数列{}n b 的公差3d =，进而得14n n a -=，32n b n =-；（2）由（1）得31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，进而利用裂项相消求和法得21214S =，故2114S =. 【详解】解：（1）因为11a =，24a =，所以公比4q =，则{}n a 的通项公式为14n n a -=.又因为11b =，6316b a ==，所以公差161361d -==-，则{}n b 的通项公式为()13132n b n n =+-=-. （2）因为31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以2116111111612111344761643644S ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故21212121154444S ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，裂项相消求和法，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于正确的使用裂项得31161611(32)(31)33231n n a b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，进而根据裂项相消求和即可得21S ，最后根据定义计算即可.24．（1）*21,n a n n N =-∈；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）直接利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论和裂项相消法求和得到12231111+++⋯+n n a a a a a a ，再根据不等式恒成立，得到关于λ的方程，然后求出参数λ的取值范围．【详解】解：（1）当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，在2n S n =中，令1n =，则111a S ==，满足21n a n =-，故数列{}n a 的通项公式是*21,n a n n N =-∈；（2）因为一般项()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以12231111111111111233557212121n n na a a a a a n n n +⎛⎫+++=-+-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 1122318111log n n a a a a a a λ++++≥对任意*n N ∈恒成立，也就是18log 21n n λ≤+对任意*n N ∈恒成立，1min 8log 21n n λ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭，因为121111*********n n n n n +-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭是增函数，其最小值是11112213⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，于是181log 3λ≤，12λ≥.故实数λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．25．（1）13n n a -= ；（2）答案见解析.【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，根据题意得12321313635a a a a a a ++=⎧⎨=+++⎩，解得3q =，进而得13n n a -=.（2）选①，由n a 与n S 的关系即可求得数列{}n b 是以11b =为首项，14为公比的等比数列，故()114n n b -=，进而得()134n n n n c a b -==，由于0n c >，故n T 的最小值为111T c ==；选择②，由题知21n b n =-，()1213n n c n --⋅=，由于1()2130n n c n -=⋅-> ，故()111n minT T c ===；选择③，由题知()115n n b -=-，故()135n n c -=-，()53185nn T ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，由于当n 为奇数时，58n T >；当n 为偶数时，58n T <，此外()53185nn T ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦在n 为偶数时单调递增，故当2n =时，()min 51628255n T =⨯=.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由前3项和为13，且13a +，23a ，35a +成等差数列，得12321313635a a a a a a ++=⎧⎨=+++⎩，所以132103a a a +=⎧⎨=⎩所以3310q q +=，即231030q q -+= ，解得13q =或3q = 又因为{}n a 是递增的等比数列，且10a >，所以1q >，所以3q =，所以13n n a -=．（2）选择①因为34n n S b +=，所以()11342n n S b n --+=≥，两式相减得11()(3)0n n n n S S b b ---+-=，即()1402n n b b n -=≥-，所以()1124n n b b n -=≥，所以数列{}n b 是以11b =为首项，14为公比的等比数列，故()114n n b -=，因此()134n n n n c a b -==．由0n c >恒成立，故{}n T 为单调递增数列，所以n T 的最小值为111T c ==．选择②由()122n n b b n -+≥=知{}n b 是以11b =为首项，2为公差的等差数列，所以()12121n b n n =+-=-，所以()1213n n n n c a b n --⋅==因为1()2130n n c n -=⋅-> ，故{}n T 为单调递增数列，所以()111n min T T c === 选择③由()152n n b b n -=-≥知{}n b 是以11b =为首项，15-为公比的等比数列，所以()115n n b -=-，所以()135n n n n c a b -==-，所以()()31553138515nnn T --⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦+，当n 为奇数时，由于()305n-<，故58nT >；当n 为偶数时，由于()305n->，故58nT <，由()53185nn T ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦在n 为偶数时单调递增，所以当2n =时，()min 51628255n T =⨯=.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.26．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）3nn T n =⋅【分析】（1）利用1n n n a S S -=-即可建立关系证明等比数列，进而求出通项公式；（2）由题可列出方程求出{}n b 的首项和公差，进而求出通项公式，再利用错位相减法即可求出n T . 【详解】（1）()1112n n S a +=-，()111(2)2n n S a n -=-≥，两式相减得()1112n n n n S S a a -+-=- 即n a =12()1n n a a +-，所以1n a +=3n a (n ≥2)；又由n =1时，()12112a a =-及1a =1，得2a =3， 2a =31a ，合并为1n a +=3n a (n ∈*N ).数列{n a }是以1为首项公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=；（2）设数列{n b }的公差为d ，可得141434+242i i b b d =⨯==∑，所以12312b d +=①；由(1)知：1a =1，2a =3，3a =9，据条件1a +12b a ，+23b a ，+3b ，成等比数列得()()()21113192b d b b d ++=+++②，由①②解得：12412b d =⎧⎨=-⎩或132b d =⎧⎨=⎩，当12412b d =⎧⎨=-⎩时，3242120b =-⨯=，与题意n b >0不符；当132b d =⎧⎨=⎩时，n b =2n +1>0，符合题意， ()1213n n n a b n -∴=+⋅，∴0121335373(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则2313335373(21)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯++⨯，以上两式相减：()()121313232333(21)332(21)32313n n n nnn T n n n ----=+++⋯+-+⨯=+⨯-+⨯=-⋅-，3n n T n ∴=⋅.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.。

数列》单元测试题(附答案解析).doc

《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列{ a n}的通项公式a n n23n 4 （ n N*），则a4等于（）（A）1（B）2（C）3（D）02．一个等差数列的第 5 项等于 10，前 3 项的和等于 3，那么（）（ A）它的首项是 2 ，公差是 3 （ B）它的首项是 2 ，公差是 3 （ C）它的首项是 3 ，公差是 2 （ D）它的首项是 3 ，公差是 2S4（）3．设等比数列{ a n}的公比q 2，前n项和为S n，则a2（A）2 （B）4 （C）15（D）17 2 24．设数列a n是等差数列，且a2 6 ， a8 6 ， S n是数列 a n 的前 n 项和，则（）（A）S4 S5 （B）S4 S5（C）S6 S5 （D）S6 S5a n 3N*），则a20 （）5．已知数列{ a n}满足a10，a n 1 （ n3a n 1（A）0 （B）3 （C） 3 （ D） 326．等差数列a n的前 m 项和为30，前2m项和为100，则它的前3m 项和为（）（ A） 130 （ B）170 （ C） 210 （ D） 2607．已知a1，a2，，a8为各项都大于零的等比数列，公比q 1 ，则（）（ A）a1 a8 a4 a5 （ B）a1 a8 a4 a5（ C）a1 a8 a4 a5 （ D）a1 a8和 a4 a5的大小关系不能由已知条件确定8．若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（ A）13 项（B）12 项（C） 11 项（D）10 项9．设{ a n}是由正数组成的等比数列，公比q 2 ，且 a1 a2 a3a30 230，那么a3 a6 a9 a30等于（）（ A） 210 （ B） 220 （ C） 216 （ D）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图 1 中的 1，3，6， 10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的 1，4，9， 16，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）（ A） 289 （ B） 1024 （C） 1225 （ D）1378 二、填空题11．已知等差数列{ a n}的公差d 0 ，且a1，a3，a9成等比数列，则a1 a3 a9的值是．a2 a4 a1012．等比数列{ a n}的公比q 0 ．已知 a2 1， a n 2 a n 1 6a n，则 { a n } 的前4项和 S4 ．13．在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果1km 高度的气温是℃，5km 高度的气温是－℃，那么3km 高度的气温是℃．14．设a1 2 ， a n 1 2 ， b n a n 2， n N*，则数列{ b n}的通项公式b n ．a n 1 a n 115．设等差数列{ a n}的前n项和为S n，则S4 ， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{ b n} 的前 n 项积为 T n，则 T4，，， T16 成等比数列．T12三、解答题16．已知{ a n}是一个等差数列，且a2 1 ， a5 5 ．（Ⅰ）求 { a n } 的通项 a n；（Ⅱ）求 { a n } 的前 n 项和 S n的最大值．17．等比数列{ a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．（Ⅰ）求 { a n } 的公比q；（Ⅱ）若 a1a3 3 ，求 S n．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1 分钟走 2m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1m，乙每分钟走5m．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走1m ，乙继续每分钟走 5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇19．设数列{ a n}满足a13a232a3 3n 1 a n n， n N*．3（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项；（Ⅱ）设 b nn，求数列 { b n } 的前 n 项和 S n．a n20．设数列{ a n } 的前n 项和为S n，已知a1 1 ， S n 1 4a n 2 ．（Ⅰ）设b n a n 1 2a n，证明数列{ b n } 是等比数列；（Ⅱ）求数列{ a n} 的通项公式．21．已知数列a n中，a1 2，a2 3，其前 n 项和S n满足Sn 1Sn 12Sn 1 n 2，n N* ）．（（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 b n 4 n ( 1) n 1 2a n（为非零整数， n N *），试确定的值，使得对任意n N * ，都有 b n 1 b n成立．数列测试题一、选择题 (每小题 5 分，共 60 分)1．等差数列 {a n}中，若 a2＋ a8＝ 16， a4＝ 6，则公差 d 的值是 ( )A．1 B． 2 C．－ 1 D．－ 22．在等比数列 {a n}中，已知a3＝ 2， a15＝ 8，则 a9等于 ( )A．± 4 B．4 C．－ 4 D． 163．数列 {a n }中，对所有的正整数 n 都有 a1·a2·a3 a n＝ n2，则 a3＋a 5＝ ( )4．已知－ 9，a ，a ，－ 1 四个实数成等差数列，－9，b ，b ，b ，－ 1 五个实数成等比数列，则 b (a1 2 1 2 3 2 2－ a1)＝ ()A．8 B．－ 8 C．± 85．等差数列 {a n}的前 n 项和为 S n，若 a2＋ a7＋ a12＝ 30，则 S13 的值是 ( )A．130 B．65 C． 70 D． 756．设等差数列 {a }的前 n 项和为 S .若 a ＝－ 11， a ＋ a ＝－ 6，则当 S 取最小值时， n 等于 ( ) n n 1 46 nA．6 B．7 C． 8 D． 97．已知 {a n }为等差数列，其公差为－2，且 a7是 a3与 a9的等比中项， S n为 {a n}的前 n 项和， n∈ N＋，则 S10的值为 ( )A．－ 110 B．－ 90 C． 90 D．1108．等比数列 {a }是递减数列，前 n 项的积为 T ，若 T ＝ 4T ，则 a a 15 ＝()nn139 8A ．± 2B ．± 4C ．2D ． 489．首项为－ 24 的等差数列，从第 10 项开始为正数，则公差 d 的取值范围是 ( ) A ．d>3B ．d<38 C.3≤d<3 <d ≤310.等比数列 a n 中，首项为 a 1 ，公比为 q ，则下列条件中，使 a n 一定为递减数列的条件是（）．q 1、 a 1 0, q 1、 a 1 0,0q 1 或 a 10, q 1、 q1A BCD11. 已知等差数列 a n 共有 2n 1 项，所有奇数项之和为 130，所有偶数项之和为 120 ，则 n 等于（）Ａ． 9Ｂ． 10Ｃ． 11Ｄ． 1212．设函数 f(x)满足 f(n ＋ 1)＝ 2 f (n) n (n ∈ N ＋ )，且 f(1)＝ 2，则 f(20)为 ()2A ． 95B ． 97C ． 105D ． 192二、填空题 (每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上 )13．已知等差数列 {a n }满足： a 1＝ 2，a 3＝ 6.若将 a 1，a 4，a 5 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．14.已知数列 {a } 中 ,a =1 且1 1 (n ∈ N ),则 a =n11+ 10a n1a n315．在数列 {a n }中，a 1＝1，a 2＝2 ，且满足 a n a n13( n 1)( n 2) ，则数列 {a n }的通项公式为 a na n ， (n ∈N*116．已知数列满足： 1＝ 1， a n ＋ 1n ＋1＝(n － λ)＋ 1 ， b 1na＝a n ＋ 2 )，若 ba n＝－ λ，且数列 {b }是单调递增数列，则实数 λ的取值范围为三、解答题 (本大题共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．（ 10 分）在数列 {a n }中， a 1＝8， a 4＝2，且满足 a n ＋2－ 2a n ＋ 1＋ a n ＝0(n ∈ N +). (1) 求数列 {a }的通项公式； (2)求数列 {a }的前 20 项和为 Snn 20.18． (12 分)已知数列{ a n}前n 项和 S n n 2 27n ，(1)求{| a n|}的前11项和T11；(2) 求{| a n|}的前 22 项和T22 ；2 (n∈N ).19． (12 分)已知数列 { a n } 各项均为正数 ,前 n 项和为 S ,且满足 2S = a n + n－4n n +(1)求证 :数列{ a n}为等差数列 ;(2)求数列{ a n}的前 n 项和 S n.20． (12 分 )数列a 的前 n 项和记为 S ，a11,a n 12S n 1 n 1.n n（ 1）求a n的通项公式；（ 2）等差数列b n的各项为正，其前n 项和为 T n，且 T315 ，又a1b1 , a2b2 , a3b3成等比数列，求 T n．nn1nn n ＋ 1nn－ 1(b n≠ 0)．21． (12 分)已知数列 {a }，{b }满足 a ＝ 2, 2a ＝ 1＋ a a ， b ＝ a 1(1) 求证数列 { }是等差数列；b n(2) 令 c n1 ，求数列 { c n }的通项公式．a n122．（ 12 分）在等差数列 { a n } 中，已知公差d2 ， a 2 是 a 1 与 a 4 的等比中项 .(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 设 b na n( n 1) ，记Tnb 1 b 2 b 3 b 4( 1)n b n ，求 T n .2《数列》单元测试题参考答案一、选择题1．D2．A3．C 4．B 5．B 6．C 7．A8．A 9． B 10．C二、填空题11． 1312． 1513．－14． 2n 115．T 8 ，T12162T 4T 8三、解答题16（． Ⅰ）设 { a n } 的公差为 d ，则a 1 d 1 ,a 13 ,∴ a n3 (n1)(2)2n 5 ．a 14d解得2 .5 .d（Ⅱ）S n3n n( n 1) ( 2) n 24n( n2) 2 4 ．∴当 n 2 时， S n 取得最大值 4．217．（Ⅰ）依题意，有 S 1S 22S 3 ，∴ a 1 (a 1 a 1q) 2( a 1 a 1q a 1q 2 ) ，由于 a 10 ，故 2q 2q 0 ，又 q 0 ，从而 q1 ． 214 [1 ( 1) n ] 81（Ⅱ）由已知，得 a 1a 1 ( ) 23 ，故 a 14 ，从而 S n2n ] ．21[1 ()1(32)218．（Ⅰ）设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意，有 2nn(n1)5n 70 ，2整理，得 n 213n 140 0 ，解得 n 7 ， n20 （舍去）．第 1 次相遇是在开始运动后7 分钟．（Ⅱ）设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有2nn( n 1) 5n3 70 ，2整理，得 n 213 n 420 0 ，解得 n 15 ， n28 （舍去）．第 2 次相遇是在开始运动后15 分钟．19．（ Ⅰ）∵ a 1 3a 2 32 a 33n 1 a n n ，①3∴当 n 2时， a 13a 2 32 a 33n 2 a n 1 n 1 ．②3由① －② ，得3 n 1 1 ，a n1，得 a 11 a nn ．在① 中，令 n 1．∴ a n333（ Ⅱ ）∵ b nn，∴ b n n 3n ，∴ S n32323 33n 3n ，a n∴ 3S n32 2 333 34n 3n 1 ． ④由④ －③ ，得 2Sn 3n 1(3 32333n ) ，n13n ，nN * ．③即 2S n n 3n 13(1 3n ) ，∴ S n(2n 1)3n 13 ．1 34 420．（ Ⅰ）由 a 1 1 ， S n 14a n 2 ，有 a 1 a 24a 12 ，∴ a 2 3a 1 2 5 ，∴ b 1a 2 2a 1 3 ．∵ S n 1 4a n2 ，①∴ S n4a n 12 （ n 2），②由 ① －② ，得 a n 1 4a n4a n 1 ，∴ a n 1 2a n 2(a n 2a n 1 ) ，∵ b na n 1 2a n ，∴b n2b n 1 ，∴数列 { b n } 是首项为 3 ，公比为 2 的等比数列．（ Ⅱ ）由（ Ⅰ ），得 b na n2a n32 n 1a n 1 a n3 ，1，∴2n42n1a n } 是首项为 1 ，公差为 3的等差数列，∴数列 {242n∴a n1 (n1)3 31，∴ a n (3n1) 2 n 2 ．2n2 4n4 421．（Ⅰ）由已知，得S n1S nS n S n 1 1（ n 2 ， n N * ），即 a n 1 a n 1 （ n2 ， n N * ），且 a 2 a 1 1 ，∴数列 a n 是以 a 1 2 为首项， 1为公差的等差数列，∴a n n 1．（Ⅱ） ∵a nn1， ∴ b4n ( 1)n 12n 1 ，要使 bn 1b n 恒成立，n∴ b nb n 4n 1 4n1 n2n 2n 12n 10 恒成立，11∴ 3 4n3n 10 恒成立，∴1 n 12n 1 恒成立．12n 1（ⅰ）当 n 为奇数时，即2 n 1恒成立，当且仅当nn1有最小值为， ∴1 ．1时， 2 1（ⅱ）当 n 为偶数时，即2n 1 恒成立，当且仅当 n 2 时， 2n 1有最大值 2 ， ∴2 ．∴21，又为非零整数，则1 ．综上所述，存在1 ，使得对任意 n N * ，都有b n 1 b n ．数列试题答案1--- 12： BBABAAD C DCDB3n 1 为奇数 )a n2 (n113---16 ：－ 11，，3n 2， λ<24为偶数2 (n)17．解： (1)∵数列 {a }满足 a－ 2a ＋a ＝ 0，∴ 数列 {a }为等差数列，设公差为 d.∴ a ＝a ＋ 3d ，nn ＋ 2n ＋ 1nn412－8＝－ 2.∴ a n1n 20d ＝ 3＝ a ＋ (n － 1)d ＝ 8－ 2(n － 1)＝10－ 2n.(2) S = n(9 n) 得 S = － 22018.解： S nn 2 27 na n 2n 28 ∴当 n 14 时， a nn 14 时 a n 0(1) T 11 | a 1 | | a 2 | | a 11 |(a 1a 11 ) S 11 176(2) T 22(| a 1 | | a 2 | | a 13 |) ( a 14 || a 22 |)( a 1a 2a 13)a14 a15a22S13S22S 13S222S 1325419.(1) 证明 :当 n=1 时 ,有 2a =+1-4,即 -2a-3=0,解得 a =3( a =-1 舍去 ).[来源 :学11 1 1当 n ≥2时 ,有 2S n-1= +n-5,又 2S n = +n-4,两式相减得 2a n = - +1,即 -2a n +1=,也即 (a n -1)2 =,因此 a n -1=a n-1 或 a n -1=-a n-1 .若 a n -1=-a n-1,则 a n +a n-1=1.而 a 1 =3,所以 a 2 =-2,这与数列 {a n }的各项均为正数相矛盾 ,所以 a n -1=a n-1,即 a n -a n-1=1,因此数列 {a n }为等差数列 .(2) 解:由(1)知 a 1=3,d=1,所以数列 {a n }的通项公式 a n =3+(n-1)× 1=n+2,即a n=n+2.n 25n 得 S n221.(1) 证明： ∵ b ＝ a －1，∴ a ＝ b ＋ 1.又 ∵2a ＝ 1＋a a， ∴ 2(b ＋ 1)＝ 1＋ (b ＋ 1)(b＋ 1)．化简nnnnnn n ＋ 1 nnn ＋ 1得： b＋＋ b n － b n ＋ 1 ＝1.即 1 － 1＝ 1(n ∈N ＋ )．n － b n1＝ b n b n1.∵ b n ≠0， ∴ n n ＋1n n ＋1n ＋ 1b nb bb bb又 1＝1 ＝1＝1， ∴{ 1 }是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列．b 11b na － 1 2－1(2) ∴ 1 ＝ 1＋ (n － 1) 1 1 ＋ 1＝ n ＋ 1 .∴ c n1 n ×1＝n.∴ b n ＝.∴ a n ＝ n a n 1 2n 1b n n n。

数列单元测试题及答案解析

数列单元测试题及答案解析一、选择题1. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 292. 等比数列的首项为a1=2，公比为r=3，求第5项的值。

A. 162B. 243B. 324D. 4863. 一个数列的前5项为1, 3, 6, 10, 15，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法判断二、填空题4. 等差数列的前n项和公式为：S_n = _______。

5. 等比数列的前n项和公式为：S_n = _______。

三、解答题6. 已知等差数列的前10项和为S10=185，求公差d。

7. 已知等比数列的前3项和为S3=28，首项a1=2，求公比r。

四、证明题8. 证明：等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。

答案解析：一、选择题1. 答案：A。

解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入n=10，得a10 = 3 + 9*2 = 21。

2. 答案：B。

解析：根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，代入n=5，得a5 = 2 * 3^4 = 243。

3. 答案：C。

解析：数列1, 3, 6, 10, 15不是等差也不是等比数列，因为相邻两项的差和比值都不是常数。

二、填空题4. 答案：S_n = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

解析：等差数列前n项和的公式。

5. 答案：S_n = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当r≠1时。

解析：等比数列前n项和的公式。

三、解答题6. 解：根据等差数列前n项和的公式，S10 = 10/2 * (2*3 + 9d) = 185，解得d = 3。

7. 解：根据等比数列前n项和的公式，S3 = a1 * (1 - r^3) / (1 - r) = 28，代入a1=2，解得r = 3。

四、证明题8. 证明：设等差数列中任意两项为an和am，它们的等差中项为a，即a = (an + am) / 2。

新人教版高中数学选修二第一单元《数列》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．设数列{}n a 满足11a =，()*112n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（）． A ．()*2212n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N B ．()*2112n n a n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N C ．()*1112n n a n -=-∈ND ．()*122n n a n =-∈N 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}n a 的最小项是（） A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项3．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 4．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（）A ．数列{}n a 单调递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项最小D ．10110a >5．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（） A ．23B ．13C ．2-D ．3-6．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项7．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（） A ．376B ．382C ．749D ．7668．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1b b a a +-⋅的值是（）A ．B ．1-C ．-D9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n S S ≤，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前项和n T 为（） A ．310(103)nn -B ．10(103)nn -C ．103nn-D ．10(133)nn -10．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32D ．5011．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（） A ．255B ．375C ．250D ．20012．定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,......n p p p 的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231920111b b b b b b +++=（） A ．1920 B ．120C ．1011 D ．111二、填空题13．若数列{}n a 满足，111nn na a a ++=-，12a =，则数列{}n a 前2022项的积等于________. 14．将数列{2}n 与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和n S =___.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()*211n n n S a a n +++=-∈N ，则n S =______.16．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f =______． 17．已知正项数列{}n a 和{}n b 满足：①11a =，23a =；②12n n n a a b ++=，211n n n b b a ++=.则数列{}n a 的通项公式为na =___________. 18．已知数列{}n a 的前n 项和2231n S n n =-+，则n a =__________．19．已知等比数列{}n a 满足()143nn n a a n N*++=⋅∈，的前n 项和为nS，若不等式n n S ka ≥对于任意n *∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______.20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足443210q a a a ++++=，则首项1a 的取值范围是________.参考答案三、解答题21．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =．（1）求n a（2）设23log n n b a =，n n n c b a =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．22．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为 6.24%r =．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设n a 表示()1998n +年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．23．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）.（1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值；（ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 24．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +1－t ，求证：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3． 25．数列{}n a 的前n 项的和为n S ，11a =，()1112n n S a +=-. （1）证明数列{}n a 是等比数列，并求通项n a ；（2）若等差数列{}n b 的各项均为正数，且4124i i b ==∑，11ab +，22a b +，33a b +成等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T26．已知正项等比数列{}n a 满足2139nn a +=⋅，3log n n b a =，且n b ，n c ，4n +成等差数列.（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列()1n n c n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前100项和100T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用累加法可求得结果. 【详解】112n n n a a +-=，所以当2n ≥时，1112n n n a a ---=，12212n n n a a ----=，，21112a a -=，将上式累加得：1121111222n n a a --=++⋅⋅⋅+，1111221112n n a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-1112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)n ≥，又1n =时，11a =也适合，1122n n a -∴=-1212n⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.2．B解析：B 【分析】可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可【详解】由题意12130,0S S ><及()()()12112671311371366,132S a a a a S a a a =+=+=+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .【点睛】等差数列的前n 项和n S 具有以下性质()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.3．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4，因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.4．C解析：C 【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 【详解】因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列，前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 【点睛】关键点睛：本题的关键是由等差数列的求和公式对已知条件进行变形，整理出12020120210,0a a a a +<+>，再结合等差数列的性质求出101010110,0a a <>，确定公差后即可确定单调性及最值问题.5．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n na a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论.【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111nn na a a ++=-，21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.6．D解析：D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤，所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.7．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题8．A解析：A 【分析】由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出3948tan 1b b a a +-⋅的值【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，所以36a =-，637b π=，所以6a =673b π=，所以3961423b b b π+==，24863a a a ⋅==，所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333b b a a πππππ+==-=-+=-=-⋅-，故选：A 【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题9．B解析：B 【分析】根据已知条件求得{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得n T . 【详解】依题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4nS S ≤，所以4151030040a a d a a d ≥+≥⎧⎧⇒⎨⎨<+<⎩⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+<⎩，解得10532d -≤<-，由于2a 为整数，1a 为整数，所以d 为整数，所以3d =-.所以()11313n a a n d n =+-=-+. 所以()13113310n a n n +=-++=-+，()()1111113133103310313n n n b a a n n n n +⎛⎫===⨯- ⎪-+-+-+-+⎝⎭，所以1111111371047310313n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()10310111133101031010310103n nn n n --+⎡⎤=-=⨯=⎢⎥-+--⎣⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查裂项求和法，属于中档题.10．B解析：B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．11．A解析：A 【分析】由等比数列的性质，510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列，先由51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ，再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列，可得20S . 【详解】由题得，51051510,,S S S S S --成等比数列，则有210551510()()S S S S S -=-，215123(15)S =-，解得1563S =，同理有215101052015()()()S S S S S S -=--，2204812(63)S =-，解得20255S =.故选：A 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，这道题也可以先由510315S S ==，求出数列的首项和公比q ，再由前n 项和公式直接得20S 。

(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（）3331373152,39,4,5171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩A ．44B ．45C ．46D ．472．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 3．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（） A ．23B ．13C ．2-D ．3-4．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ5．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（n N +∈，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。

已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===则20152013a a =（） A ．2420151⨯- B ．2420141⨯- C ．2420131⨯-D ．242013⨯6．数列{}n a 是等差数列，51260a a =>，数列{}n b 满足123n n n n b a a a +++=，*n N ∈，设n S 为{}n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于（）A ．9B ．10C ．11D ．127．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（）A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91- D ．()n1314- 9．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D ．[﹣2，2]10．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 11．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞12．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+．若()*+11()1n n b n n N a λ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（） A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和是11,1,0,31n n n n n S a a S a a +=≠=+，若2020k a =，则k =______.14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．15．已知{}{},n n a b 均为等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，且233n n S n T n -=+，则55a b ＝________.16．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________. 18．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________. 19．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为(,)i j a （i ，j ∈N *)，则(20,20)a =_____. 20．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________三、解答题21．直线:2l x =与x 轴交于点M ，过动点P 作直线l 的垂线交l 于点N ，若OM 、OP 、PN 成等比数列，其中O 为坐标原点.（1）求动点P 的轨迹方程. （2）求OP PN -的最大值.22．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）.（1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值；（ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c +++<.24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.25．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +1－t ，求证：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3． 26．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =．（1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式；（2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项．【详解】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共123(2)(1)2m m m +++=+-个，212017n += ，得1008n =，所以2017是从3开始的第1008个奇数，当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共474410342⨯=个，当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共46439892⨯=个，所以45m =，故选：B ．【点睛】方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．2．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4，因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.3．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯，4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.4．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 5．C解析：C 【分析】利用定义，可得1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而121n na n a +=-，利用201520152014201320142013a a a a a a =⋅，可得结论．【详解】121a a ==，33a =，32212a a a a ∴-=， 1n n a a +⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， 121n na n a +∴=-， ()()20152015201420132014201322014122013140274025a a a a a a ∴=⋅=⨯-⨯-=⨯ 22(40261)(40261)40261420131=+-=-=⨯-．故选：C. 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．6．D解析：D 【分析】由51260a a =>，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断,n n a b 的正负，再利用通项与前n 项和关系求解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为51260a a =>，所以()1104116a a d d +=>+，即1625a d =-，因为512a a >，所以0d <，所以167(1)5n a n d n d a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，当113n ≤≤时，0n a >，当14n ≥时，0n a <，所以12101314...0...b b b b b >>>>>>>，又因为()111213141215131405db b a a a a a a +=+=>，所以1210S S >，故n S 中12S 最大，故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n 项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由题意计算出{}n a 的公比q ，由等比数列的性质可得{}1n n a a +也为等比数列，由等比数列前n 项和计算即可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，21a =，518a =，所以35218a q a ==，即12q =，所以12a =，由等比数列的性质知{}1n n a a +是以2为首项，以14为公比的等比数列. 所以12122311214881813343142n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭≤==-< ⎪⎝⎭=+++-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和的计算，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案．【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1． ∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--．故选B ．【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．9．A解析：A 【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立求解. 【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2，当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1），整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0，由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3，所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2，所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3，因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立，即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *恒成立，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]，则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）故选：A ．【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.11．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<，()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】数列{a n }满足()*12nn n a a n N a +=∈+，两边取倒数可得1121n na a +=+，从而得到11=2n n a +，于是b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，由于数列{b n }是单调递增数列，可得b n +1＞b n ，解出即可．【详解】∵数列{a n }满足：a 1＝1，()*12nn n a a n N a +=∈+， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11a +1＝2，公比为2的等比数列，∴11=2n na +， ∴b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴b n +1＞b n ，∴n ≥2时，（n ﹣λ）•2n ＞（n ﹣1﹣λ）•2n ﹣1，化为λ＜n +1， ∵数列{n +1}为单调递增数列，∴λ＜3．当n ＝1时，b 2＝（1﹣λ）×2＞﹣λ＝b 1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故选：C ．【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项公式、考查由数列的单调性求解参数问题，考查等比数列的通项公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．1347【分析】当时则两式相减得到得到代入数据计算得到答案【详解】解：当时当时由则两式相减得到因为故数列的奇数项为以为首项3为公差的等差数列；偶数项为以为首项3为公差的等差数列；所以当为奇数时成立；解析：1347 【分析】当2n ≥时131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到113n n a a +--=，得到31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，代入数据计算得到答案.【详解】解：当1n =时，2112312S a a a =+∴=当2n ≥时，由131n n n S a a +=+则1131n n n S a a --=+，两式相减得到()113n n n n a a a a +-=- 因为0n a ≠113n n a a +-∴-=，故数列的奇数项为以1为首项，3为公差的等差数列；偶数项为以2为首项，3为公差的等差数列；所以31,2231,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数当k 为奇数时，202013473122k a k k ==-=∴，成立；当k 为偶数时，404220203312k a k k ∴==-=，不成立；故答案为：1347 【点睛】本题考查了数列的通项公式，灵活运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩是解题的关键.14．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了解析：101031-【分析】先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解.【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.15．【分析】根据等差数列的前n 项和公式有结合已知条件令即可得进而求【详解】∵均为等差数列令公差分别为则有∴令则有∴故答案为：【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式结合等差数列通项公式的特点合理假设解析：54【分析】根据等差数列的前n 项和公式有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，结合已知条件，令122,1d d ==即可得11,a b ，进而求55a b .【详解】∵{}{},n n a b 均为等差数列，令公差分别为12,d d ，则有11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+， ∴11121222323n n S nd a d n T nd b d n +--==+-+，令122,1d d ==，则有111,22a b =-=， ∴5115124544a a db b d +==+，故答案为：54【点睛】思路点睛：利用等差数列的前n 项和公式，结合等差数列通项公式的特点合理假设即可得到数列的基本量11(1)2n n n S na d -=+，12(1)2n n n T nb d -=+，则有11121222n n S nd a d T nd b d +-=+-.结合已知233n n S n T n -=+，假设122,1d d ==，即可求11,a b . 16．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形解析：50 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，代入求出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为n S ，设第n 个正方形的边长为n a ,则第nn ，所以第n +1个正方形的边长为12n n a a +=，12n n a a +∴=，即数列{n a }是首项为15a =，公比为2的等比数列，15n n a -∴=⋅，数列{n S }是首项为125S =，公比为12的等比数列， 123125(1)1250(1)1212nn nS S S S -+++⋯+==⋅-∴-，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：5017．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+，当2n ≥时，1121n n a S --=+，两式相减，得12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.18．或19【分析】利用等差数列的通项公式求出再利用等差数列的前项和公式求出记利用作商法判断出数列的单调性即可求解【详解】设等差数列的公差为由题意当时当时所以解得或（舍去）所以记所以当时此时当时时此时所以解析：18或19 【分析】利用等差数列的通项公式求出λ、d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，记910nn n T S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用作商法判断出数列的单调性即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，当1n =时，21a a λ=，当2n =时，42a a λ=，所以()22232d d d λλ+=⎧⎨+=+⎩，解得22d λ=⎧⎨=⎩ 或10d λ=⎧⎨=⎩（舍去），所以()2112n n n dS na n n -=+=+，记()2991010nnn n n T S n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，所以()()()12129119210110910n n nnn n T T n n n ++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当118n ≤≤，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，此时1n n T T +≥，当10n >时，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，此时1n n T T +<，所以910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，18n =或19 故答案为：18或19 【点睛】本题考查了差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性求数列中的最大项，属于中档题.19．【分析】先计算第一列形成的数列再计算第20行形成的数列得到答案【详解】设第一列形成的数列为则是首项为公差为的等差数列故设第20行形成的数列为是首项为公比为的等比数列故即故答案为：【点睛】本题考查了等解析：1952 【分析】先计算第一列形成的数列205b =，再计算第20行形成的数列201952c =，得到答案. 【详解】设第一列形成的数列为n b ，则{}n b 是首项为14，公差为14的等差数列，故4n n b =，205b =.设第20行形成的数列为n c ，{}n c 是首项为5，公比为12的等比数列，故201952c =. 即(20,20)201952a c ==. 故答案为：1952. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确. 【详解】()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题21．（1）22(1)5x y ++=；（2）4-. 【分析】（1）本题首先可设(,)P x y ，然后根据OM 、OP 、PN 成等比数列得出2222x y x +=⋅-，最后分为2x >、2x <两种情况进行讨论，即可得出结果；（2）本题首先可根据动点P的轨迹方程得出1x ⎡⎤∈⎣⎦，然后将OP PN -转2x +，最后令()2f x x =+，根据导函数性质即可求出最值.【详解】（1）设(,)P x y ，则(2,)N y ，(2,0)M ，因为OM 、OP 、PN 成等比数列，所以2OP P O N M =⋅，即2222x y x +=⋅-，2x ≠，当2x >时，2224x y x +=-，即22(1)3x y -+=-（舍去）；当2x <时，2242x y x +=-，即22(1)5x y ++=，故动点P 的轨迹方程为22(1)5x y ++=.（2）因为动点P 的轨迹方程为22(1)5x y ++=，所以1x ⎡⎤∈⎣⎦，则(2)2OP PN x x -=-=+，令()2f x x =+，则()1f x '=因为当1x ⎡⎤∈⎣⎦时()0f x '>，所以)max ()121134f x f===+=，故OP PN -的最大值为4. 【点睛】关键点点睛：本题考查动点的轨迹方程的求法以及利用导函数求最值，考查等比中项的性质的应用，利用导函数求最值时，可先通过导函数求出函数单调性，然后根据函数单调性求出最值，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.22．（1）（i ）8；（ii ）()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）证明见解析. 【分析】（1）（i ）推导出当n 为正偶数时，24n n a a n ++=，可得出+4248n n a a n ++=+，两式作差可得出结论成立；（ii ）推导出当n 为正奇数时，4n n a a +=，求出2a 、3a 、4a ，对任意的k *∈N ，分43n k =-，42n k =-，41n k =-，4n k =四种情况讨论，结合等差数列的通项公式以及周期数列的定义可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出4342414n n n n a a a a ---+++，可求得2482n S n n =+，利用放缩法得出4111142121n S n n ⎛⎫<- ⎪-+⎝⎭，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）（i ）当n 为正偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+，两式相加得24n n a a n ++=，① 可得+4248n n a a n ++=+，② ②-①得48n n a a +-=；（ii ）当n 为正奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+，两式作差得22n n a a ++=，所以，422n n a a +++=，上述两个等式作差得4n n a a +=，又211a a -=，则2111a a a =+=+，323a a +=，则3232a a a =-=-， 435a a -=，则4357a a a =+=-.对任意的k *∈N ，当43n k =-，则1n a a a ==；当42n k =-时，()()()422811818722723n k a a a k a k a k a n a n -==+-=++-=+-=++-=+-；当41n k =-时，32n a a a ==-；当4n k =时，()()44817818121n k a a a k a k k a n a ==+-=-+-=--=--.综上所述，()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）()434241424232241166n n n n a a a a a n a a n a n ---+++=+-+-+-+⨯--=-，()2410166822n n n S n n +-∴==+，()()2241111114212124241n S n n n n n ⎛⎫∴=<=- ⎪-++-⎝⎭，所以，48411111111111111433521214214n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用放缩法，常用的放缩公式如下：（1）()()21111211n n n n n n<=-≥--；（2）()()()211111211211n n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪-+-+⎝⎭；（3）()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-；（4()22n =<=≥. 23．（1）22n a n =-，(1)n b n n =+；（2）证明见解析.【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差d 可得n a ，根据等差数列的求和公式可得n S ，根据n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列可得(1)n b n n =+；（2）将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解可证不等式成立.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得31413124333a a d a a d S a d =+=⎧⎨=+==+⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，从而22n a n =-，2(1)(1)2n n n S n n -==-. 因为n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列所以()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++，从而()211222n n n n n n n n S S b S S b S S +++++=++，所以2221221(1)(1)(1)(2)2(1)(1)2(1)(1)(2)2(1)2n n n nn n n S S Sn n n n n n n n b n nS S S n n nn n n ++++-+--+++====++--+++-+. （2）证明：因为n c ===<=，所以122(10211)2n c c c n n n +++<-+-++--=【点睛】关键点点睛：将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解是解题关键.24．（1）2n a n =，2n n b =；（2）①存在，5k =；②{}1,2,3,4.【分析】（1）由等差数列以及等比数列的性质以及通项公式得出答案；（2）①11k k k b T T ++-=结合数列{}n b 的通项公式得出k 的值；②由()1n S n n =+将不等式化为()210n n n -+≤，令()()21nf n n n =-+并得出其单调性，再由单调性确定解集. 【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，所以510a =. 设等差数列{}n a 的公差是d ，所以51251a a d -==- 所以()112n a a n d n =+-=.设等比数列{}n b 的公比是q ，因为2316b b a =所以2331432b q q ==，所以2q ，所以112n n n b b q -==. （2）①若存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立，则132k k b b +=+ 所以12232k k +=+，即232k =，解得5k =.存在正整数5k =满足条件.②()()112n n n a a S n n +==+ 所以()12n n n +≥，即()210n n n -+≤令()()21nf n n n =-+，因为()()()()()()11121221221n n n f n f n n n n n n +-⎡⎤+-=-++-++=-+⎣⎦ 所以当4n ≥时，(){}f n 单调递增.又()()210f f -<，()()320f f -<，()()430f f -=所以()()()()()1234f f f f f n >>=<<<因为()10f =，()44f =-，()52f =，所以1n =，2，3，4时，()0f n ≤，5n ≥时，()0f n >，所以不等式n n S b ≥，的解集为{}1,2,3,4.【点睛】解决本题的关键是构造新函数，通过作出确定函数的单调性，从而求得()0f n ≤的解集. 25．证明见解析.【分析】由定义法分别结合n a 和n S 的关系分别证明充分性和必要性成立即可.【详解】当n ＝1时，S 1＝32－t ＝9－t ，当n ≥2时，由S n ＝3n +1－t 得S n -1＝3n －t ，两式相减得a n ＝3n +1－3n ＝2·3n （n ≥2），（1）充分性已知t ＝3，此时S 1＝32－t ＝9－3＝6，令n ＝1，得a 1＝2·31＝6＝S 1，所以a n ＝2·3n （n ∈N *）所以13n na a +=，所以数列{a n }是等比数列．（2）必要性因为数列{a n }是等比数列，所以a 1＝2·31＝6，又因为S 1＝9－t ，所以9－t ＝6，所以t ＝3，综上所述：数列{a n }是等比数列的充要条件为t ＝3．【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的判断和证明，解题的关键是利用n a 和n S 的关系得出()232n n a n =⋅≥，再根据充分必要的定义证明.26．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可. 【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =，∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．（2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-， ∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ()()()()()12131323133n n n T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ∴()()()()111413333n n n T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-，∴()()()131********nn n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.。

高考数学数列单元测试卷及答案试题

(3)设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与(n＋ )a是否有确定的大小关系？假设有，请加以证明，假设没有，请说明理由．
(文)P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，…，Pn(an，bn)(n∈N*)都在函数y＝log x的图象上．
(1)假设数列{bn}是等差数列，求证数列{an}是等比数列；
三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分)
17．(本小题满分是10分)数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2|an|，Tn为数列{ }的前n项和，求Tn.
解：(1)当q＝1时，S3＝12，S2＝8，S4＝16，不成等差数列．
∴n0＝2021或者(huòzhě)2021.
(文)(1)∵an＋1－2an＝0，
∴a3＝2a2，a4＝2a3，又a3＋2是a2、a4的等差中项，
∴a1＝2，a2＝4，
∴数列(shùliè){an}是以2为首项，2为公比的等比数列(děnɡ bǐ shù liè)，那么
an＝2n.
(2)∵Sn＝2n＋1－2，又bn＝log2(Sn＋2)，∴bn＝n＋1.
12．数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，那么该数列的前2021项的和等于()
A. B．3015
C．1005D．2021
答案：A
解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，
从而(cóng ér)a3＝，a4＝1，
即得an＝，故数列(shùliè)的前2021项的和等于S2021＝1005(1＋ )＝ .应选(yīnɡ xuǎn)A.
3．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，那么等于()

高中数学选择性必修二第四章数列单元测试(基础卷)(含答案)

第四章数列单元过关检测基础A 卷解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知数列{a n }的前4项为：l ，−12，13，−14，则数列{a n }的通项公式可能为（） A ．a n =1n B ．a n =−1nC ．a n =(−1)n nD ．a n =(−1)n−1n【答案】D 【解析】【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式【详解】正负相间用(−1)n−1表示，∴a n =(−1)n−1n．故选D ．【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为（） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】A【分析】利用等差数列{a n }的前n 项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n }的公差．【详解】∴S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3∴3∴S 6∴21∴∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩∴ 解得a 1∴1∴d ∴1∴ ∴数列{a n }的公差为1．故选A ∴ 【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知数列{}n a ，满足111n n a a +=-，若112a =，则2019a =（） A ．2 B ．12C ．1-D ．12-【答案】C 【分析】利用递推公式计算出数列{}n a 的前几项，找出数列{}n a 的周期，然后利用周期性求出2019a 的值. 【详解】111n n a a +=-，且112a =，211121112a a ∴===--，32111112a a ===---， 111a ===，所以，()a a n N *=∈，则数列{}n a 是以3为周期的周期数列，20193672331a a a ⨯+===-∴. 故选C. 【点睛】本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．在等比数列{}n a 中，6124146,5a a a a ⋅=+=，则255a a =( ) A ．94或49B ．32C ．32或23 D ．32或94【答案】A 【分析】根据等比数列的性质得6124146a a a a ⋅=⋅=，又由4145a a +=，联立方程组，解得414,a a 的值，分类讨论求解，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得6124146a a a a ⋅=⋅=，又由4145a a +=，联立方程组，解得41423a a =⎧⎨=⎩或41432a a =⎧⎨=⎩，当41423a a =⎧⎨=⎩时，则1014432a q a ==，此时201022559()4a q q a ===；当41432a a =⎧⎨=⎩时，则1014423a q a ==，此时201022554()9a q q a ===，故选A. 【点睛】值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5．等比数列{}n a 中（） A ．若12a a <，则45a a <B ．若12a a <，则34a a <C ．若32S S >，则12a a <D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.6．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（） A ．14924B ．7914C ．165D ．5110【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．7．函数()2cos 2f x x x =-的正数零点从小到大构成数列{}n a ，则3a =（）A ．1312π B ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.8．已知函数3()13xxf x =+（x ∈R ），正项等比数列{}n a 满足501a =，则 1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=A ．99B ．101C ．992D ．1012【答案】C 【详解】因为函数31()()()11331x x xf x f x f x ---==∴+-=++（x ∈R ），正项等比数列{}n a 满足2501995011a a a a =∴==，9921ln ln ln ln ...0a a a a +=+=则1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=992，选C二、多选题A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列【答案】AC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 10．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N++-=∈，则（）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=【答案】BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n nn n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==，故D 正确. 故选：BD本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【答案】AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.12．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，1a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）1112131.n a a a a ⋯⋯ 2122232.n a a a a ⋯⋯ 3132333.n a a a a ⋯⋯……123.n n n nn a a a a ⋯⋯A ．3m =B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯ D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列和等比数列通项公式，结合13611a a =+可求得m ，同时确定67a 、ij a 的值、得到,,A B C 的正误；首先利用等比数列求和公式求得第i 行n 个数的和，再结合等差求和公式得到D 的正误. 【详解】对于A ，2213112a a m m =⋅=，6111525a a m m =+=+，2235m m ∴=+，又0m >，3m ∴=，A 正确；对于B ，612517a m =+=，666761173a a m ∴=⋅=⨯，B 错误；对于C ，()111131i a a i m i =+-=-，()111313j j ij i a a mi --∴=⋅=-⋅，C 正确；对于D ，第i 行n 个数的和()()()()()1131133131122n n n i a m i i S m-----'===--，()()()()()()3111131258313131312224n n nn n S n n n +∴=-⨯+++⋅⋅⋅+-=-⨯=+-⎡⎤⎣⎦，D 正确. 故选：ACD .本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式，将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.三、填空题13．已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________. 【答案】20 【分析】先由条件求出1,a d ，算出n S ，然后利用二次函数的知识求出即可【详解】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********d a a a a d a a ++++==++即1235a d +=，①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=即1333a d +=，②由①②联立得139,2a d ==-所以()()22139(2)40204002n S n n n n n n -=+⨯-=-+=--+故当20n =时，n S 取得最大值400 故答案为：20等差数列的n S 是关于n 的二次函数，但要注意n 只能取正整数.14．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的12.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n =_____尺.【答案】2n +1﹣21﹣n【分析】写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解. 【详解】根据题意大老鼠第n 天打洞12n na 尺，小老鼠第n 天打洞112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭尺，所以11111242122n n n S --⎛⎫=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭111221112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--112122n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1212n n -=+-故答案为：1212n n -+- 【点睛】此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及分组求和.15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】n a =【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式. 【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j jOA B i i OA B j jS OA a SOA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得n a =故答案为: n a 【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且462S =-，675S =-，求：（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n a 的前14项和.【答案】（1）323n a n =-；（2）147. 【分析】（1）由已知条件列出关于1,a d 的方程组，求出1,a d 可得到n a ；（2）由通项公式n a 先判断数列{}n a 中项的正负，然后再化简数列{}n a 中的项，即可求出结果. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得11434622656752a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，解得120,3a d =-=，∴()2013323n a n n =-+-⨯=-；（2）∵323n a n =-，∴由0n a <得8n <，22(20323)3433432222n n n n n S n n -+--===-∴123141278141472a a a a a a a a a S S ++++=----+++=-223433431414772222⎛⎫=⨯-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭()()7424372143147=---=.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题. 18．数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+ （1）设1n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等差数列（2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）证明过程见详解；（2）21n nS n =+. 【分析】（1）先化简得到()()2112n n n n a a a a +++---=即12n n b b ，再求得1211b a a =-=，最后判断数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）先求出数列{}n b 的通项公式21n b n =-，再运用“裂项相消法”求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS 即可. 【详解】解：（1）因为2122n n n a a a ++=-+，所以()()2112n n n n a a a a +++---= 因为1n n n b a a +=-，所以12nn b b ，且1211b a a =-=所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列. （2）由（1）的()11221n b n n =+-⨯=-，所以()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以12233411111n n n S b b b b b b b b +=++++11111111111121323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111.22121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.19．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列，所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n nS ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤，所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ），因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-，则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=，又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =；（2）()12326n n T n +=-⨯+【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，11a S =，可得{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式n a ；（2）利用错位相减法求和即可求n T ．【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =，当1n >时，由22n n S a =-可得1122n n S a --=-，1n >两式相减可得122n n n a a a -=-，即12nn a a -=，所以{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⋅=（2）由（1）(21)2nn b n =-⋅，23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，则23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯()112118(12)2(21)226(21)2232612n n n n n n n n -++++-=+--⨯=---⨯=--⋅--，所以()12326n n T n +=-⨯+．【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T . 【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦，将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-. （2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题. 22．在①535S =，②13310a a +=，③113n a n a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，________，且1a ，412a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1n n n b a =-，求1ni i b =∑.【答案】（1）32n a n =-；（2）13,213,2n i i n n b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数【分析】（1）利用1a ，412a ，9a 成等比数列∴可得221132690a a d d +-=，若选①：由535S =得：127a d +=，即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；若选②：由13310a a +=可得152d a =-，即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；若选③：由113n a n a +=+，可表示出419a a =+，9124a a =+，结合1a ，412a ，9a 成等比数列∴即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()()132n n b n =--，分n 为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.【详解】 {}n a 是各项均为正数的等差数列，1a ，412a ，9a 成等比数列. 所以241914a a a =⋅，即()()2111348a d a a d +=⋅+，整理可得221132690a a d d +-=，若选①：535S =，则1545352a d ⨯+=，即127a d +=，由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得：2230d d --=，解得3d =或1d =-（舍）所以11a =，所以()11332n a n n =+-⨯=-，若选②：13310a a +=，即152d a =-，代入221132690a a d d +-=得：2111762450a a -+=，即 ()()11117450a a --=解得：113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意；若选③：113n a n a +=+，则419a a =+，9124a a =+，代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得：113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意；综上所述：113a d =⎧⎨=⎩， 32n a n =-，（2）()()132n n b n =--， ()()()()()12311231111111n n n i n n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑ ()()()()114710135132n n n n -=-+-++--+-- 当n 为偶数时，13322n i i n n b ==⨯=∑，当n 为奇数时，()11131322n i i n n b =--=-+-⨯=∑，所以13,213,2n i i n n b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数. 【点睛】关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合1a ，412a ，9a 成等比数列计算出1a 和d 的值，由{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以10a >，0d >，第二问中()1n n n b a =-正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n 为奇数和偶数讨论.。

新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 3．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（）A ．数列{}n a 单调递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项最小D ．10110a >4．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T5．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（） A ．23B ．13C ．2-D ．3-6．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞08．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a a b b ++的值为（）A ．14924B ．7914C ．165D ．51109．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（） A ．9B ．10C ．12D ．1310．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+11．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞12．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（） A ．30B ．35C ．40D ．45二、填空题13．数列{}n a 满足2121231722222n n a a a a n n -+++⋅⋅⋅+=-，若对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ-+>成立，则实数k 的取值范围是_________．14．将数列{2}n 与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和n S =___.15．在数列{}n a 中，112a =，1n n a a n +=+，则na n的最小值为_________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，当2n ≥时有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使122021m S S S ≥成立的正整数m 的最小值为______.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足318S =，3180n S -=，270n S =，则n =________.18．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 19．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足443210q a a a ++++=，则首项1a 的取值范围是________.参考答案三、解答题21．数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=-，n *∈N 且1a a =（a 为常数）.（1）（i ）当n 为偶数时，求4n n a a +-的值；（ii ）求{}n a 的通顶公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：48411114n S S S ++⋅⋅⋅+< 22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足33n n S a =-，()*323log 1n n b a n N=+∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记2n n n c a b λ=-，若数列{}n c 为递增数列，求λ的取值范围.23．数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使21(3)6>-n T m m 对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值．24．在①535S =，②122114b b S -=，③35S T =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列{}n a 的公差是等差数列{}n b 的公差的两倍，设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，且13a =，23T =，________，设2n b n n c a =⋅，求{}n c 的前n 项和n A .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 25．对于任意的*n N ∈，数列{}n a 满足1212121212121n n a n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(0n n a a a S a--=>且1)a ≠.数列{}n b 满足lg n n n b a a =.（1）当10a =时，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对一切n *∈N 都有1n n b b +<，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题2．D解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4，因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.3．C解析：C 【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 【详解】因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列，前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 【点睛】关键点睛：本题的关键是由等差数列的求和公式对已知条件进行变形，整理出12020120210,0a a a a +<+>，再结合等差数列的性质求出101010110,0a a <>，确定公差后即可确定单调性及最值问题.4．B解析：B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.5．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.6．A解析：A 【分析】由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，即()122112+1222nn n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，则()6212nn λ>-+⋅恒成立，()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，66λ∴>-，解得1λ>-；当n 为偶数时，则()6212nn λ<+⋅恒成立，()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，620λ∴<，解得103λ<，综上，1013λ-<<. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 7．A解析：A 【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>，综上，当20210S >时，130a a +>，故选：A 【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.8．A解析：A 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．9．A解析：A 【分析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项．【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=．故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.10．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.11．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A.【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =，同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，．（2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.二、填空题13．【分析】记设根据即可求出从而得到再根据题意可得分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围【详解】记设当时；当时当时也满足上式所以即显然当时当时因此的最大值若存在必为正值当时因为当且仅当时取等号所以的解析：⎛-∞ ⎝⎭ 【分析】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，根据1112n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出n b ，从而得到n a ，再根据题意可得()m 2ax 2n k a λλ-+>，分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围．【详解】记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，当1n =时，117322b =-=-；当2n ≥时，()()21217171142222n n n b S n S n n n n -⎡⎤-----=-⎢⎥⎣⎦=-=．当1n =时，13b =-也满足上式，所以()*4n b n n N =-∈，即142n n n a --=．显然当3n ≤时，0n a <，40a =，当5n ≥时，0n a >，因此n a 的最大值若存在，必为正值．当5n ≥时，()1324n n a n a n +-=-，因为()151024n n a na n +--=≤-，当且仅当5n =时取等号．所以n a 的最大值为116．故()m 2ax 1126n k a λλ>=-+，变形得，3116k λλ<+，而31162λλ+≥=，当且仅当4λ=时取等号，所以2k <．故答案为：⎛-∞ ⎝⎭．【点睛】本题主要考查n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关键是记12n n n b a -=，设21212317222222n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=-，利用通项n b 与前n 项和n S 的关系1112n nn Sn b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n b ，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出．14．【分析】首先判断出数列与项的特征从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差利用等差数列的求和公式求得结果【详解】因为数列是以2为首项以2为公差的等差数列数列是以1首项以3为公差的等差数列所以解析：23n n +【分析】首先判断出数列{2}n 与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{2}n 是以2为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以4为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和2(1)4632n n n S n n n -=⋅+⋅=+，故答案为：23n n +. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于中档题.15．【分析】由累加法求出数列的通项公式进而可得到的解析式再根据基本不等式可求得最小值【详解】解：即：…将这个式子累加可得：…即当时又又也适合上式由对勾函数的性质可知：当且仅当时取得最小值即时取得最小值又解析：225【分析】由累加法求出数列{}n a 的通项公式，进而可得到na n的解析式，再根据基本不等式可求得na n最小值. 【详解】解：1n n a a n +=+，1n n a a n +∴-=，即：211a a -=，322a a -=，433a a -=，...，11(2,)n n a a n n n z ---≥∈=，将这1n -个式子累加可得：1123n a a -=+++ (1)+12n n n --=，即当2n ≥时，1(1)2n n n a a -=+，又112a =，()2(1)2412=222n n n n n a n n z --+∴=+≥∈，，又112a =也适合上式，()2(1)2412=22n n n n n a n z --+∴=+∈224121=222n a n n n n n n -+∴=+-，由对勾函数的性质可知：当且仅当12=2n n时取得最小值，即n =又n z ∈且45<<，44121942422a =+-=，551212252525a =+-= ， 92225>， n a n ∴的最小值为：225. 故答案为：225. 【点睛】易错点点睛：运用累加法求数列通项时，注意验证首项是否满足，若不满足，则需要写成分段的形式.16．1010【分析】由与关系当时将代入条件等式得到数列为等差数列求出进而求出即可求出结论【详解】∵∴∴∴令则∴数列是以为首项公差的等差数列∴即∴∴由解得即正整数的最小值为故答案为:【点睛】方法点睛：本题解析：1010 【分析】由n S 与n a 关系，当2n ≥时，将1n n n a S S -=-代入条件等式，得到数列21{}nn S +为等差数列，求出n S ，进而求出12m S S S ，即可求出结论.【详解】∵1122n n n n n S S S S na --+-=， ∴()11122n n n n n n S S S S n S S ---+-=-， ∴()()1122121n n n n S S n S n S --=+--， ∴121212n n n n S S -+--=，令21n nn b S +=，则()122n n b b n --=≥， ∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，公差2d =的等差数列， ∴21n b n =-，即2121n n n S +=-，∴2121n n S n +=-， ∴12521321321m m S S S m m +=⨯⨯⨯=+-，由212021m +≥，解得1010m ≥，即正整数m 的最小值为1010. 故答案为: 1010. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查递推关系式，求通项公式的主要方法有：观察法：若已知数列前若干项，通过观察分析，找出规律；公式法：已知数列是等差数列或等比数列，或者给出前n 项和与通项公式的关系；累加法：形如()1n n a a f n +=+的递推数列；累乘法：形如()1n n a a f n +=⋅的递推数列．17．15【分析】根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解【详解】因为所以又所以故解得故答案为：15【点睛】本题考查等差数列的前项和等差数列的性质利用等差数列的性质求解可以减少计算量解析：15 【分析】根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质求解，【详解】因为32318S a ==，所以26a =，又2311390n n n n n n a a S S a a ----=++-==，所以130n a -=.故()()12127022n n n n a a n a a S -++===，解得15n =. 故答案为：15．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，等差数列的性质，利用等差数列的性质求解可以减少计算量．18．【分析】由等比数列的通项公式求得进而得到数列表示首项为公比为的等比数列结合等比数列的求和公式即可求解【详解】由题意等比数列中可得解得又由且即数列表示首项为公比为的等比数列所以故答案为：【点睛】本题主解析：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】由等比数列的通项公式，求得12q =，进而得到数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==，即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义及通项公式，以及等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.19．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确. 【详解】()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.20．【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉解析：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到211211q q a q q⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++，令1t q q =+可得到1111a t t =-+++，由函数的单调性可求得1a 的取值范围. 【详解】由443210q a a a ++++=得：43211110q a q a q a q ++++=，224213211211111q q q q q a q q q q q q q ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∴=-=-=-++++++. 令(][)1,22,t q q=+∈-∞-+∞，则()()2211211211111t t t a t t t t +-+--=-=-=-+++++， 111t t -+++在(],2-∞-上单调递减，12112a ∴≥+-=；111t t -+++在[)2,+∞上单调递减，1122133a ∴≤-++=-；综上所述：1a 的取值范围为[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将1a 表示为关于q 的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围.三、解答题21．（1）（i ）8；（ii ）()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）证明见解析. 【分析】（1）（i ）推导出当n 为正偶数时，24n n a a n ++=，可得出+4248n n a a n ++=+，两式作差可得出结论成立；（ii ）推导出当n 为正奇数时，4n n a a +=，求出2a 、3a 、4a ，对任意的k *∈N ，分43n k =-，42n k =-，41n k =-，4n k =四种情况讨论，结合等差数列的通项公式以及周期数列的定义可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出4342414n n n n a a a a ---+++，可求得2482n S n n =+，利用放缩法得出4111142121n S n n ⎛⎫<- ⎪-+⎝⎭，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）（i ）当n 为正偶数时，121n n a a n ++=-，2121n n a a n ++-=+，两式相加得24n n a a n ++=，① 可得+4248n n a a n ++=+，② ②-①得48n n a a +-=；（ii ）当n 为正奇数时，121n n a a n +-=-，2121n n a a n +++=+，两式作差得22n n a a ++=，所以，422n n a a +++=，上述两个等式作差得4n n a a +=，又211a a -=，则2111a a a =+=+，323a a +=，则3232a a a =-=-， 435a a -=，则4357a a a =+=-.对任意的k *∈N ，当43n k =-，则1n a a a ==；当42n k =-时，()()()422811818722723n k a a a k a k a k a n a n -==+-=++-=+-=++-=+-；当41n k =-时，32n a a a ==-；当4n k =时，()()44817818121n k a a a k a k k a n a ==+-=-+-=--=--.综上所述，()()()(),4323,422,4121,4n a n k n a n k a a n k n a n k ⎧=-⎪+-=-⎪=⎨-=-⎪⎪--=⎩；（2）()434241424232241166n n n n a a a a a n a a n a n ---+++=+-+-+-+⨯--=-，()2410166822n n n S n n +-∴==+，()()2241111114212124241n S n n n n n ⎛⎫∴=<=- ⎪-++-⎝⎭，所以，48411111111111111433521214214n S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用放缩法，常用的放缩公式如下：（1）()()21111211n n n n n n<=-≥--；（2）()()()211111211211n n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪-+-+⎝⎭；（3）()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-；（4()22n =<=≥.22．（1）32nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31n b n =+；（2）3136λ<.【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得数列{}n a 是等比数列，（10a ≠），得通项公式n a ，从而也得到n b ；（2）作差1n n c c +-，由10n n c c +->恒成立转化为13221815nn λ⎛⎫⎪⎝⎭<+对*n N ∀∈恒成立，引入()13221815nf n n ⎛⎫⎪⎝⎭=+，*n N ∈，从作商法求得{()}f n 的最小值即可得λ的范围．【详解】解：（1）当1n =时，1133S a =-，∴132a =，当2n ≥时，()113333n n n n S S a a ---=---，即133n n n a a a -=-，∴132n n a a -=，又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列.∴1333222n nn a -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 332233log 13log 1312nn n b a n ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭.（2）()23312nn c n λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为数列{}n c 为递增数列， ∴()()()122133133431181502222n n nn n c c n n n λλλ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对*n N ∀∈恒成立，即13221815nn λ⎛⎫⎪⎝⎭<+对*n N ∀∈恒成立设()13221815nf n n ⎛⎫⎪⎝⎭=+，*n N ∈，()min f n λ<，()()()1133181511815222183318331322n n n f n n f n n n +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⋅=++⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()()11f n f n +>，则1821n >， ∴当n 2≥时，()()1f n f n +>；当1n =时，()()21f f <.∴()()min 32136f n f ==，即λ的取值范围为3136λ<. 【点睛】关键点点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查数列的单调性，不等式恒成立问题．数列的单调性与最值的求法一般有作差法或作商法．作差法是最基本的方法，而当n a 为幂的形式（或乘积形式）也可用作商法确定单调性，得最值．23．（1）=n a 2）3．【分析】（1）根据题意，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理，即可求得n a ，检验11a S =满足此式，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得2n S n =，代入即可求得n b 表达式，利用裂项相消法求和，即可求得nT 的表达式，根据n T 的单调性，可得123n T T ≥=，代入所求，利用一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】（1）∵221n n n a S a -=，∴当2n ≥时，2112()()1-----=n n n n n S S S S S ，整理得，2211(2)n n S S n --=≥，又211S =，∴数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列．∴2n S n =，又0n S >，∴=n S ，∴2n ≥时，1-=-=n n n a S S 又111a S ==适合此式，∴数列{}n a 的通项公式为n a （2）∵42222114141(21)(21)2121n n b S n n n n n ====----+-+∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++， ∴随着n 逐渐增大，n T 逐渐增大， ∴123n T T ≥=，依题意有，221(3)36>-m m ，即2340m m --<，解得14-<<m ，故所求最大正整数m 的值为3 【点睛】解题的关键是熟练应用1(2)n n n a S S n -=-≥，根据不同条件，选择替换n a 或n S 进行求解，易错点为：需检验11a S =是否满足题意，若1a 不满足题意，需写成分段函数形式，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 24．选择见解析；1(21)22n n A n +=-+.【分析】根据条件设{}n a 的公差为2d ，{}n b 的公差为d ，若选择条件①根据535S =，列式求d ，再代入数列{}n b 的基本量的计算，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式，若选择条件②根据条件，解出数列{}n b 的基本量1b 和d ，以及求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，若选择条件③根据条件35S T =，以及13a =，23T =，组成方程组，求1b 和d ，这三个条件都根据基本量表示数列{}n a 和{}n b 的通项公式，并得到(21)2nn c n =+，利用错位相减法求和.【详解】不妨设{}n a 的公差为2d ，{}n b 的公差为d ，方案1：选条件①由题意得，123b d +=，54352352d ⨯⨯+⨯=，解之得，11b =，1d =，则12(1)21,n n a a n n b n =+-=+=，则(21)2nn c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.方案2：选条件②由题意得123b d +=，()114(62)b b d d d +=+，解得11b =，1d =或13b =，3d =-（舍去），则12(1)21n a a n n =+-=+，n b n =，则(21)2nn c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.方案3：选条件③由题意得，2335a b =，即()()113252a d b d +=+，化简得，1549b d +=，212123T b b b d =+=+=，联立方程组得，11b =，1d =，则{}n a 的公差为2，{}n b 的公差为1，12(1)21n a a n n =+-=+，n b n =，则(21)2n n c n =+，123325272(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯+⋯++，① 23412325272(21)2n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋯++，②两式相减，整理得：1(21)22n n A n +=-+.【点睛】本题考查数列基本量计算，错位相减法求和，是一道结构不良题型，属于基础题型. 方法点睛：一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.25．（1）7,121,2n n n a n n =⎧=⎨++≥⎩；（2）217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得结果；（2）当1n =时，117S a ==，当2n ≥时，分组后利用等差等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】（1）1212121212121n na n a a n ---++⋅⋅⋅+=++++①，当2n ≥时，得()112121112212121n n a n a a n ------++⋅⋅⋅+=+++②. ①-②得121n na n -=+，∴()212nn a n n =++≥，又11112721a a -=⇒=+不满足上式，综上得7,121,2n nn a n n =⎧=⎨++≥⎩. （2）当1n =时，117S a ==，当2n ≥时，23722123121nn S n =++++++++++()()()()212121271122n n n n ---+=+++--213222n n n +++=+，综上得，217,1322,22n n n S n n n +=⎧⎪=⎨+++≥⎪⎩. 【点睛】易错点点睛：第一问利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式时，容易忽视1n =的情况造成错误；第二问求和是也容易忽视1n =的情况.26．（1）1(91)101081n n n T +-⋅+=；（2）10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由1n =得出1a a =，再令2n ≥，由11n n a a S a --=，得出11n n a S a a-=-，可推出 1111n n a S a a ---=-，两式相减得出1n n a a a -=，利用等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，可求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）由1n n b b +<得出()1lg 1lg n n na a n a a +<+，分两种情况1a >和01a <<讨论.①当1a >时，利用参变量分离法得出1na n >+，可得出1a >； ②当01a <<时，利用参变量分离法得出1n a n <+，可得出102a <<.综合①②得出实数a 的取值范围. 【详解】当1n =时，11a S =，1111a a a a--=，解得1a a =. 当2n ≥时，∵11n n a a S a--=， ∴11n n a S a a -=-，可得1111n n a S a a---=-，上述两式相减得()111n n n n a S S a a a----=-，即11n n n a a a a a --=-，所以1n n a a a -=. 所以数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列， ∴1nn na a a a ，从而lg lg nn n n b a a na a ==.（1）当10a =时，10nn b n =⋅，∴2121021010nn n T b b n b n n =+++=+⋅++⋅，则2311010210(1)1010nn n T n n n +=+⋅++-⋅+⋅，∴()23111010191010101010109n n n n nT n n n ++--=++++-⋅=-⋅，所以()1121010110(91)10109981n n n n n n T ++-⋅-⋅+=-=. （2）由1n n b b +<，可得1lg (1)lg n n na a n a a +<+.①当1a >时，由lg 0a >，可得1na n >+，()*11n n n <∈+N ， ∴1a >，∴1na n >+，对一切*n ∈N 都成立，此时的解为1a >； ②当01a <<时，由lg 0a <，可得(1)n n a >+，∴1na n <+，()*1N 12n n n ≥∈+，01a <<， ∴01na n <<+，对一切*n ∈N 都成立， ∴102a <<. 由①，②可知，对一切*n ∈N 都有1n n b b +<的a 的取值范围是10,(1,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用前n 项和求通项，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立与参数问题，解题时要熟悉一些常见的求通项和数列求和方法，以及在数列不等式恒成立问题中，灵活利用参变量分离法简化计算，考查分类讨论数学思想，属于难题.。

(易错题)高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(答案解析)(4)

一、选择题1．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（） A ．12n +B ．12n -C ．132n -⨯D ．123n -⨯2．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（）A ．数列{}n a 单调递增B ．10100a <C ．数列{}n a 前2020项最小D ．10110a >4．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+6．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +7．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（） A ．376B ．382C ．749D ．7668．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（）A ．1n n a a +≥B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a9．数列{}n a 是等差数列，51260a a =>，数列{}n b 满足123n n n n b a a a +++=，*n N ∈，设n S 为{}n b 的前n 项和，则当n S 取得最大值时，n 的值等于（）A ．9B ．10C ．11D ．1210．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=） A ．1624B ．1198C ．1024D ．156011．在等差数列{}n a 中，若12336a a a ++=，11121384a a a ++=，则59a a +=（） A ．30B ．35C ．40D ．4512．已知数列{}n a 满足：11a =，()*12nn n a a n N a +=∈+．若()*+11()1n n b n n N a λ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（） A ．2λ>B ．3λ>C ．2λ<D ．3λ<二、填空题13．天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为__________.14．已知数列{}n a 的前n 项和为1,3,23n n n S a S a λ==-，其中λ为常数，若14n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________.15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41S =，83S =，则12S =______．16．定义：称12nn p p p +++为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n项的“均倒数”为121n -，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 17．数列{}n a 满足， 123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________.18．有一个数阵排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 2 4 6 8 10 12 14…… 4 8 12 16 20…… 8 16 24 32…… 16 32 48 64…… 32 64 96…… 64……则第9行从左至右第3个数字为________________.19．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n nn S a a n N *++∈，设()2112n n n na c S +=-⋅，则数列{}n c 的前2019项的和为___________. 20．已知等比数列{}n a 满足()143nn n a a n N*++=⋅∈，的前n 项和为nS，若不等式n n S ka ≥对于任意n *∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______. 三、解答题21．在数列{}n a 中，已知114a =，(),m t m t a a a m t +++=⋅∈∈N N ，1423log n nb a +=，（n ∈+N ）（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ． 22．设函数()112f x x =+，正项数列{}n a 满足11a =，11n n a f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，n *∈N ，且2n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：122334111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<． 23．已知数列{}{},n n a b 满足1231112,1,2,,n n n n na a ab b b a n N a ++++===-=∈ （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求证：1211111,6n n N b b b ++++<∈. 24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且满足112a b ==，35730a a a ++=，2316b b a =.（1）求数列{}n a 与和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .①是否存在正整数k ，使得132k k k T T b +=++成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式n n S b ≥.25．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n S n =，n *∈N ，数列{b n }满足：12113b b ==，，且21340n n n b b b ++-+=，n *∈N （1）求证：数列{}1n n b b +-是等比数列；（2）求数列{a n }与{b n }的通项公式.26．已知正项等比数列{}n a 满足2139nn a +=⋅，3log n n b a =，且n b ，n c ，4n +成等差数列.（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列()1n n c n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前100项和100T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得2333221a a a q q++=，解得2q =±或12q =±，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n na【详解】{}n a 为等比数列，设其公比为q ，()3362312611364a a a a q a qa ∴====，则34a =，13521a a a ∴++=，2333221a a a q q∴++=，即2244421q q++=，解得2q =±或12q =±，又{}n a 各项为正且递增，2q ∴=，3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．故选：B ．【点睛】本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为2333221a a a q q++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 2．B解析：B 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项.【详解】 ①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立；②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立；③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确； ④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B 【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.3．C解析：C 【分析】结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 【详解】因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列，前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 【点睛】关键点睛：本题的关键是由等差数列的求和公式对已知条件进行变形，整理出12020120210,0a a a a +<+>，再结合等差数列的性质求出101010110,0a a <>，确定公差后即可确定单调性及最值问题.4．B解析：B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.5．D解析：D 【分析】当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===，当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即12n na a +=，则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即22,2n n a n -=≥，又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项，则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为111110(11244)11416413431-+++++=+=⨯+-.故选：D. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.6．C解析：C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+，()()()()122221222102m m m m m a a S m a a ++++++==++>.故选:C. 【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.7．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题8．C解析：C【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=，，121n n b b n --=-，所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===，所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ，即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.9．D解析：D 【分析】由51260a a =>，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断,n n a b 的正负，再利用通项与前n 项和关系求解.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为51260a a =>，所以()1104116a a d d +=>+，即1625a d =-，因为512a a >，所以0d <，所以167(1)5n a n d n d a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，当113n ≤≤时，0n a >，当14n ≥时，0n a <，所以12101314...0...b b b b b >>>>>>>，又因为()111213141215131405db b a a a a a a +=+=>，所以1210S S >，故n S 中12S 最大，故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n 项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+，所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.11．C解析：C 【分析】利用等差数列性质，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝及等差中项公式可求. 【详解】因为 12336a a a ++=，由等差中项公式，得2336a =，同理11121384a a a ++=，得12384a =，2123+3=81036+42a a ∴=．212+=40a a ∴ 21529+=40a a a a ∴+=故选：C ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差中项公式.（1）如果{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，．（2）{}n a 为等差数列，则有11n n n a a a ＝2-++.12．C解析：C 【分析】数列{a n }满足()*12nn n a a n N a +=∈+，两边取倒数可得1121n na a +=+，从而得到11=2n n a +，于是b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ，由于数列{b n }是单调递增数列，可得b n +1＞b n ，解出即可．【详解】∵数列{a n }满足：a 1＝1，()*12nn n a a n N a +=∈+， ∴1121n n a a +=+，化为111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11a +1＝2，公比为2的等比数列，∴11=2nn a +，∴b n +1＝（n ﹣λ）（11a +1）＝（n ﹣λ）•2n ， ∵数列{b n }是单调递增数列，∴b n +1＞b n ，∴n ≥2时，（n ﹣λ）•2n ＞（n ﹣1﹣λ）•2n ﹣1，化为λ＜n +1， ∵数列{n +1}为单调递增数列，∴λ＜3．当n ＝1时，b 2＝（1﹣λ）×2＞﹣λ＝b 1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故选：C ．【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项公式、考查由数列的单调性求解参数问题，考查等比数列的通项公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．已巳【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列地支是以12个一个循环的循环数列以2020年的天干和地支分别为首项即可求解【详解】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列地支是以解析：已巳【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，以2020年的天干和地支分别为首项，即可求解．【详解】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则30103÷=，2049年的天干为已，30122÷=余6，2049年的地支为巳，故2049年为已巳年，故答案为：已巳. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了循环数列的实际应用，能否根据题意得出天干是10个为一个循环的循环数列以及地支是以12个一个循环的循环数列是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，是中档题．14．【分析】先根据求得然后求得求得的表达式进而求得中的项的最小值【详解】当时而所以则当时所以所以数列是首项为公比为的等比数列所以由于所以当时当时且所以当时单调递增最小值为即数列中的项的最小值为故答案为：解析：1513-【分析】先根据1a 求得λ，然后求得n a ，求得n b 的表达式，进而求得{}n b 中的项的最小值. 【详解】当1n =时，()11123,23a a a λλ=--=，而13a =，所以21,3λλ-==. 则233n n S a =-，当2n ≥时，11233n n S a --=-，所以112333n n n n n a a a a a --=-⇒=，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3nn a =.由于14n n a b n =-，所以143n nnb -=，当114n ≤≤时，0n b ≥，当15n ≥时，0n b <，且11111314134233333n n n n n n n n n n b b ++++-----=-=-122903n n +-=>，所以当15n ≥时，n b 单调递增，最小值为1515151415133b -==-. 即数列{}n b 中的项的最小值为1513-. 故答案为：1513- 【点睛】根据n S 与n a 的关系式求{}n a 的通项公式，主要通过11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解.判断数列的单调性可采用差比较法.15．7【分析】根据等比数列的片段和性质列出对应等式求解出的值【详解】由等比数列片段和的性质可知：成等比数列故故答案为：【点睛】本题考查等比数列前项和的性质难度一般已知为等比数列的前项和则成等比数列（当且解析：7 【分析】根据等比数列的片段和性质，列出对应等式求解出12S 的值. 【详解】由等比数列片段和的性质可知：4S ，84S S -，128S S -成等比数列，故()()2121213317S S ⨯-=-⇒=，故答案为：7. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，难度一般.已知n S 为等比数列的前n 项和，则232,,,......n n n n n S S S S S --成等比数列（当且仅当1q ≠-或n 为奇数）.16．4n －3【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n 项和公式然后求解数列的通项公式即可详解：设数列的前n 项和为由题中的新定义可知：则：当时当时且时则数列的通项公式为：点睛：新定义主要是指即时定义新概解析：4n －3. 【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n 项和公式，然后求解数列的通项公式即可. 详解：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题中的新定义可知：121n n S n =-，则：()2212n S n n n n =-=-，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()()221221143n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，且1n =时，1431n a -==，则数列{}n a 的通项公式为：43n a n =-.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.17．【分析】当时有作差可求出再验证是否成立即可得出答案【详解】当时由所以—可得所以当时所以不满足上式所以故答案为：【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法做题的关键是掌握属于中档题解析：16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【分析】当2n ≥时，有()12312311111211212222n n a a a a n n --+++=-+=+-，作差可求出12n n a +=，再验证1a 是否成立，即可得出答案.【详解】当2n ≥时，由123231111212222n na a a a n ++++=+, 所以()12312311111211212222n n a a a a n n --+++=-+=+-， —可得()1212122n n a n n =+--=，所以1222n n n a +⋅==，当1n =时，112132a =+=，所以16a =，不满足上式，所以16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩. 故答案为： 16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，做题的关键是掌握1n n n a S S -=-，属于中档题.18．768【分析】数阵排列第一列是首项为1公比为2的等比数列可求出第9行首项；每行按公差为排列可解【详解】数阵排列第一列是首项为1公比为2的等比数列所以第9行首项为第9行公差为所以第9行从左至右第3个数解析：768 【分析】数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列，可求出第9行首项；每行按公差为12n - 排列,可解【详解】数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列12n n a所以第9行首项为82=256，第9行公差为82=256，所以第9行从左至右第3个数字为768 故答案为：768 【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量运算及学生观察分析能力.解决等差、等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等差、等比数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量.19．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：正项数列的前项和为①则②②-①得：整理得：当时解得：所以：数列是以1为首项1为公差的等差数列则所以：则：数列的解析：20212020-【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22()n nn S a a n N *=+∈①，则221112n n n n n a a a a a +++=-+-②，②-①得：221112n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得：11n n a a +-=，当1n =时，21112S a a =+，解得：11a =，所以：数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. 则11n a n n =+-=，所以：2(1)22n n n n nS ++==. 则：()()21111121nn n n n a c S n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭，数列{}n c 的前2019项的和为：201911111122320192020T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112020=--， 20212020=-. 故答案为：20212020-【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．【分析】设等比数列的公比为利用等比数列的定义求出的值结合等式可求得数列并计算出由可得求出数列的最小值即可求得实数的取值范围【详解】设等比数列的公比为则可得上述两式相除得则得所以等比数列的公比为首项也解析：(],1-∞【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列的定义求出q 的值，结合等式143nn n a a ++=⋅可求得数列n a ，并计算出n S ，由n n S ka ≥可得131223n k -≤-⋅，求出数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()1143nn n n a a q a ++=+=⋅，可得()1211143n n n n a a q a +++++=+=⋅，上述两式相除得()()111433143n n nn q a q q a +++⋅===+⋅，则1443n n n n a a a ++==⋅，得3n n a =，所以，等比数列{}n a 的公比为3，首项也为3，则()111333132n n na S +--==-，由于n n S ka ≥，则11333123223n n n n n S k a +--≤==-⋅，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，当1n =时，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为111S a =，1k ∴≤. 因此，实数k 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，涉及等比数列通项公式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-；（2）232334n n n s +=-⨯. 【分析】（1）令,m n =1t =，可得数列{}n a 是等比数列，即可求出通项公式，进而求出n b ；（2）利用错位相减法可求出. 【详解】（1）令,m n =1t =，则11n n a a a +=⋅，114n n a a +∴=，114a =，∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴1111444n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；（2）由（Ⅰ）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()*32nb n n N=-∈，则()1324nn c n ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭， ()2311111+4+7++324444nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()234+1111111+4+7++3244444n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得()234+13111111+3+3+3++3324444444nn n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1+1+131116411132+321442414n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--⨯=- ⎪⎝⎭-，232334n n n S +∴=-⨯．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 22．（1）12n n a +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得数列{}n a 是等差数列，由此可得通项公式；（2）用裂项相消法求得和12233411111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+，不等式即证．【详解】（1）由11n n a f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以112nn a a -=+，n *∈N ，且2n ≥，所以数列{}n a 是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以()()111112n a a n d n =+-=+-12n +=．（2）证明：由（1）可知()()1141141212n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 12233411111n n n S a a a a a a a a +=+++⋅⋅⋅+ 11111111423344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11422n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭4222n =-<+，得证．【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列的通项公式，考查证明数列不等式，证明的关键是用裂项相消法求得不等式左边的和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．23．（1）21nn b =-；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可知数列{}n a 为等比数列，公比2q，进一步求出n a 的通项公式，所以112n n n b b ---=，利用累加法求出数列{}n b 的通项公式；（2）利用111212n n -<-对数列进行放缩，化简求出答案. 【详解】（1）12n na a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比2112,12q a q a q =+=，所以12a =，2n n a ∴=所以11211211222,22222n n n n n n b b b b b b ----=⋯-==-=+++=-21n n b ∴=-（2）证明：222112111111114111112121322322n n n n b b b --⎛⎫⎛⎫+++=+++<++++=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭111111626n -⎛⎫=-<⎪⎝⎭【点睛】放缩法的注意事项：（1）放缩的方向要一致。

(压轴题)高中数学选修二第一单元《数列》测试题(答案解析)

一、选择题1．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥2．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（） A ．13B ．25C ．23D ．323．朱载堉（1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家，数学家，天文历算家，在他多达百万字著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子，他对文乙的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包善钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻担”.“十二平均律＂是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第三个音频率为3f ，第九个音频率9f ，则93f f 等于（） ABCD4．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（） A ．1009B ．1010C ．1011D ．20205．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭7．n S 是数列{}n a 前n 项的和，且满足11a =，12n n a S +=，则下列说法正确的是（） A ．{}n a 是等差数列B ．{}n a 中能找到三项p a 、q a 、r a 使得p q r a a a =C ．{}n a 是等比数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和74nT < 8．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110249．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =++，()n N *∈，则当2020n T <时，n 的最大值为（） A ．9B ．10C ．11D ．2410．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535,9a a =则95SS =（）A ．1B ．1-C ．2D ．1211．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（） A．(B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-二、填空题13．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，若对任意的*n N ∈，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为______. 14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．15．若数列{a n }为单调递增数列，且212n na n λ=-+，则a 3的取值范围为__________.16．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________.17．在数列{}n a 中，11a =，22a =，()*212n n n a a a n ++=+∈N ，记()321nn n n c a λ=-⨯-，若对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，则实数λ的取值范围为______.18．已知数列{}n a 满足11a = 132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．19．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.20．设数列{}n a 满足11a =，且()*11n na a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前2020项的和为________．三、解答题21．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =．（1）求n a（2）设23log n n b a =，n n n c b a =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．22．等比数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数不在下表的同一列.（1）求数列n a 的通项公式；（2）记m b 为数列{}n a 在区间()(0,]m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项的和. 23．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2nn b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T .24．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1212a a +=，34108a a +=，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*12n n a S n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式，（2）设函数13()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++，1231111n nT b b b b =+++求证：2n T <． 26．已知递增等比数列{}n a 满足：1418a a +=，2332a a ⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且212n S n =32n +，记()()111221n n n n n n a c a b a b +++++-=-⋅-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.2．C解析：C 【分析】设等比数列的公比为q ，进而根据题意得()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，从而解得13q =，故223a =【详解】解：设等比数列的公比为q ，显然1q ≠，由于等比数列{}n a 中，12a = 所以等比数列{}n a 的前n 项和为：()()112111n n n a q q S qq--==--，因为无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，所以()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，所以231q =-，解得13q =，所以2123a a q ==. 故选：C. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，进而根据极限得13q =，考查运算求解能力，是中档题. 3．A解析：A 【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，推导出1122q =，由此能求出93f f 的值．【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，则12131=a a q ，且1312=a a ，1122∴=q ，86912316191232⎛⎫=∴==== ⎪⎝⎭q q f q a a f a a 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式及性质，解题的关键是分析题意将13个音的频率构成等比数列，再利用等比数列的性质求解，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =，所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<，所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.5．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <，∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q．综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ．【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．6．A解析：A 【分析】由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，即()122112+1222nn n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，则()6212nn λ>-+⋅恒成立，()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-， 66λ∴>-，解得1λ>-；当n 为偶数时，则()6212nn λ<+⋅恒成立，()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，620λ∴<，解得103λ<，综上，1013λ-<<. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 7．D解析：D 【分析】由n S 与n a 的关系可求得数列{}n a 的通项公式，可判断A 、C 选项的正误；设r q p >>，假设结论成立，利用数列{}n a 的单调性、通项公式以及数的整除性可判断B 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断D 选项的正误；【详解】当1n =时，211222a S a ===；当2n ≥时，由12n n a S +=可得12n n a S -=，两式相减得12n n n a a a +=-，所以，13n n a a +=，且2123aa =≠，所以，数列{}n a 从第二项开始成以3为公比的等比数列，则222323n n n a a --=⋅=⨯，所以，21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，A 、C 选项错误；由题意可知，数列{}n a 为单调递增数列，设p q <，若在数列{}n a 中能找到三项p a 、q a 、r a 使得p q r a a a =，则r q p >>且p 、q 、r N *∈，若1p =，则p r a a =，这与数列{}n a 单调递增矛盾；若2p ≥，则224323292p q p q p q a a --+-=⨯⨯⨯=⨯，232r r a -=⨯，由p q r a a a =，可得42322p q r +--⨯=，由于432p q +-⨯能被3整除，22r -不能被3整除，故B 选项错误；21,111,223n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⨯⎩，11T =；当2n ≥时，122111111113137231111112232323434413n n n n T ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++++=+=+-<+= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭-.故D 选项正确. 故选：D. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含n a 与n S 的关系的数列题均可考虑上述公式．8．C解析：C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n nn a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 9．A解析：A 【分析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.【详解】∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-, ∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n b -=,∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---，∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤，则当2020n T <时，n 的最大值是9.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.10．A解析：A 【分析】利用等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得结果. 【详解】在等差数列{a n }中，由5359a a =，得()()9955115392199555952a a S a a a S a +==⨯=⨯=+ 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题．11．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.二、填空题13．【分析】根据等比数列的求和公式由题中条件得到讨论为奇数和为偶数两种情况分别判定其单调性得出最大值和最小值进而可求出结果【详解】因为等比数列的首项为2公比为其前项和记为所以当为奇数时显然单调递减因为所解析：94【分析】根据等比数列的求和公式，由题中条件，得到n S ，讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，分别判定其单调性，得出最大值和最小值，进而可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的首项为2，公比为13-，其前n 项和记为n S ，所以121331331112322313nn n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==--=-⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，331223n nS ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，显然单调递减，因为*n N ∈，所以13312223n S S ≤=+⋅=，又33132232nn S ⎛⎫=+⋅> ⎪⎝⎭，所以322n S <≤；当n 为偶数时，331223n nS ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，显然单调递增，因为*n N ∈，所以233142293n S S ≥=-⋅=，又33132232nn S ⎛⎫=-⋅< ⎪⎝⎭，所以4332n S ≤<，综上，对任意的*n N ∈，都有423n S ≤≤，所以436n S ≤≤，11324n S ≤≤，则31142n S -≤-≤-，所以31143642n n S S -≤-≤-，即13111342n n S S ≤-≤，因此对任意的*n N ∈，都有13111342n n S S ≤-≤；为使对任意的*n N ∈，均有13n nA SB S ≤-≤恒成立，只需112B ≥，134A ≤，所以B A -的最小值为11139244-=. 故答案为：94. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据等比数列的求和公式求出n S 后，利用分类讨论的方法，根据n S 的单调性，求n S 的最值，进而即可求解.14．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了解析：101031-【分析】先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解. 【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.15．(-∞6)【分析】先利用数列的单调性得到λ＜8再求a3的取值范围【详解】当n≥2时因为数列{an}为单调递增数列所以对n≥2(n ∈N)恒成立即λ＜2n+1对n≥2(n ∈N)恒成立所以λ＜8所以故a3解析：(-∞，6) 【分析】先利用数列的单调性得到λ＜8，再求a 3的取值范围. 【详解】当n ≥2时，1121(23)2222n n nn n a a n n λλλ---=-+--+=-，因为数列{a n }为单调递增数列，所以202nλ->对n ≥2(n ∈N )恒成立，即λ＜2n +1对n ≥2(n ∈N )恒成立，所以λ＜8，所以3568a λ=+<，故a 3的取值范围为(-∞，6). 故答案为：(-∞，6).【点睛】关键点睛：解答本题的关键是如何转化数列单调递增，转化数列的单调性一般利用单调性的定义即10(2,)n n a a n n N -->≥∈.转化出了数列的单调性，后面就容易解答.16．【分析】当为奇数时可得数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时可得偶数项的特征将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可【详解】∵∴当为奇数时即数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时∴∴故答案为：解析：2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可. 【详解】∵121,(1)2nn n a a a +=+-=，∴当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=， ∴135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，∴1002500502550S =+=，故答案为：2550. 【点睛】关键点点睛：（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列；（2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=.17．【分析】先由题意求得数列的前几项进而猜想然后利用数学归纳法证明猜想再求得再根据恒成立对分奇数偶数两种情况讨论求得实数的取值范围【详解】解：由题意得……故猜想：下面用数学归纳法证明：（1）当时显然成立解析：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由题意求得数列{}n a 的前几项，进而猜想12n na ，然后利用数学归纳法证明猜想，再求得n c ，再根据1n n c c +>恒成立对n 分奇数、偶数两种情况讨论求得实数λ的取值范围【详解】解：由题意得11a =，22a =，342214,4228a a =+⨯==+⨯=，…… 故猜想：12n na ，下面用数学归纳法证明：（1）当1,2,3,4n =时，显然成立；（2）假设当(3)n k k =≥时有12k ka ，那么当1n k =+时，12(1)11122222k k k k k k a a a --+-+-=+=+⨯=所以当1n k =+时，也成立，由（1），（2）得12n na ，所以32(1)3(2)n n n nn n c a λλ=-⨯-=--，因为对任意的*n ∈N ，1n n c c +>恒成立，所以113(2)3(2)n n n n λλ++-->--对任意的*n ∈N 恒成立，即13(1)()2nn λ-->-对任意的*n ∈N 恒成立，当n 为偶数时，有1max33()22n λ-⎛⎫>-=- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，有1min3()12n λ-⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以312λ-<< 所以实数λ的取值范围为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：此题考查由递推式求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题，解题的关键是归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明，以及由1n n c c +>得13(1)()2n n λ-->-，然后分类讨论可得结果，考查转化思想，属于中档题18．【分析】由递推公式可得即以为首项为公比的等比数列根据等比数列的通项公式求出的通项公式即可得解；【详解】解：因为所以即所以以为首项为公比的等比数列所以所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通解析：1231n -⨯-【分析】由递推公式可得()1131n n a a ++=+，即{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出{}1n a +的通项公式，即可得解；【详解】解：因为132n n a a +=+，11a =，所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+ 所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯ 所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯- 【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.19．5【分析】设偶数项和为则奇数项和为由可得的值根据公差求得结果【详解】设偶数项和为则奇数项和为由可得故公差故答案为：5【点睛】本题考查等差数列的定义和性质得到公差是解题的关键解析：5 【分析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由3227354k k += 可得k 的值，根据公差32276k kd -=求得结果．【详解】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +== 可得6k =，故公差32275566k k kd -===，故答案为：5．【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到6k =，公差32276k kd -=，是解题的关键． 20．【分析】由得到用累加法求得从而得到然后利用裂项相消法求解【详解】因为所以左右分别相加得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查累加法求通项裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题解析：40402021【分析】由()*11n n a a n n N+-=+∈得到1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，用累加法求得22n n na +=，从而得到2121121n a n nnn ，然后利用裂项相消法求解.【详解】因为()*11n n a a n n N+-=+∈,所以1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，左右分别相加得()()112234 (2)-+=++++=-n n n n a a ，所以22n n na +=，所以2121121na n nnn ，所以20201111111140402...2122320202021120212021⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S ，故答案为：40402021【点睛】本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2n n a =；（2）13(1)26n n T n +=-⋅+【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知条件24a =，532a =，可得1,a q ，即可求得n a ；（2）由（1）知3n b n =，23nn c n =⋅，利用错位相减法即可求数列{}n c 的前n 项和.【详解】（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由已知24a =，532a =，可得141432a q a q =⎧⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩，所以112n nn a a q -== （2）由（1）知223log 3log 23nn n b a n ===，23n n c n =⋅12336222293n n T n =+++⨯+∴⨯⋅⨯ ① 2341236922223n n T n +=++++⋅⨯⨯⨯ ②①-②得：12312223333232n n n T n +=++++-⨯⨯⋅-⨯⨯()111231122222223331232n nn n n n +++-=++++-⋅=-⋅⨯⨯-()11122332n n n ++=--⋅⨯()13126n n +=⨯-⋅-13(1)26n n T n +∴=-⋅+【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式及数列求和，求数列和常用的方法：（1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法；（4）等差⨯等比数列：错位相减法.22．（1）3nn a =；（2）284.【分析】（1）由题可得等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，即可得出通项公式；（2）根据题意得出当133n n m b +≤<时，m b n =，再分组求和即可求出.【详解】（1）由题意结合表中数据可得13a =，29a =，327a =，所以等比数列{}n a 的首项为3，公比为3，所以{}n a 的通项公式为1333n nn a -=⨯=；（2）由题设及（1）知120b b ==，且当133n n m b +≤<时，m b n =.所以()()()()()10012348910262728808182100S b b b b b b b b b b b b b b =+++++++++++++++++2061182543204=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯284=. 【点睛】解题关键：由题得出120b b ==，且当133n n m b +≤<时，m b n =是解题的关键，再利用分组求和即可.23．（Ⅰ）1n a n =+；（Ⅱ）20202061449T =. 【分析】（Ⅰ）根据条件求等差数列的首项和公差，再求通项公式；（Ⅱ）首先求两个数列中的相同项，设数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，根据公式2020203010T A B =-，求解.【详解】（Ⅰ）依题意，()155355202a a S a+⨯===，解得：34a =，又23a =，故1d =，12a =，所以1(1)1n a a n d n =+-⋅=+.（Ⅱ）令数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，由（Ⅰ）可知11a b =，32a b =，73a b =，154a b =，…，102310a b =，204711a b =，所以2020203010T A B =-，2030(22031)203020634952A +⨯==，()1010212204612B -==-，故20202061449T =. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，本题的第二问的关键是找到有多少项相同，以及相同项是什么，然后根据公式2020203010T A B =-求解.24．（Ⅰ）3nn a =；（Ⅱ）1133244n n n S +⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）已知数列{}n a 是等比数列，要求通项公式，由已知条件采用基本量法，即用首项1a 和公比q 表示出已知，并解出即可；（Ⅱ）n n b na =是由一个等差数列与等比数列对应项相乘形成的，因此求其前n 项和是用错位相减法．【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q （0q >），由己知得11231112108a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，则解得13a =，3q = 所以数列{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，即1333n nn a -=⋅=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得3nn n b na n ==⋅ 所以123n n S b b b b =++++1231323333n n =⋅+⋅+⋅++⋅（1）23413132333(1)33n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（2）由（1）-（2），得()12311313233333313n n n n n S n n ++--=+⋅+++-⋅=-⋅-∴()11313133342244n n n n n n S ++-⎛⎫=+⋅=-⋅+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．25．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）由12n n a S =-，结合n a 和n S 的关系，化简得到数列{}n a 为首项为13，公比为13的等比数列，即可求得数列的通项公式；（2）由函数13()log f x x =，结合对数的运算性质，求得(1)2nn n b +=，再利用“裂项法”求得数列的前n 项和，即可证得结论. 【详解】（1）因为12n n a S =-，所以1112(2)n n a S n --=-≥，所以11222(2)n n n n n a a S S a n ---=-=-≥，可得11(2)3n n a a n -=≥，即11(2)3n n a n a -=≥，又由1112a S =-，所以113a =，所以数列{}n a 为首项为13，公比为13的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1113n nn a q a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=．（2）由题意，函数13()log f x x =，所以11121n 333log log log n b a a a =+++()121121331log ,log 3nn a a a +++⎛⎫== ⎪⎝⎭(1)122n n n +=+++=则12112(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12111n nT b b b =+++11111212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦221n =-+，因为n *∈N ，所以201n >+，所以2221n -<+，即2n T <. 【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和. 消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.26．（1）2n n a =；1n b n =+；（2）21123+---n n . 【分析】（1）根据1418a a +=， 2314a a a a =⋅⋅，利用等比数列通项公式的基本运算求解n a ，根据212n S n =32n +，利用数列通项与前n 项和的关系11,1,2n nn S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解n b . （2）由（1）得到n c ()()12112223n n n n ++=--+-+，再利用裂项相消法求解. 【详解】（1）2314a a a a =⋅⋅，14,a a ∴是方程218320x x -+=的两根，又41a a >，所以12a =，416a =3418a q a ∴==， 2q ∴=112n n n a a q -∴=⋅=当2n ≥时，()()22111112223213n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎢⎥⎣⎦，又1n =时，112b S ==符合，所以1n b n =+（2）()()111221n n n n n n a c a b a b +++++-=-⋅-()()112212223n n n n n +++-=⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦()()12112223n n n n ++=--+-+，所以()()233412111111232424252223n n n T n n ++=-+-++------+-+()22112323+=---+n n 21123n n +=--- 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法：(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。

高中数学--《数列》测试题(含答案)

高中数学--《数列》测试题（含答案）1.已知等比数列{an}中，a5=4，a7=6，则a9等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案解析】C【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可得q2，由等比数列的通项公式可得a9=a7q2，代入求解可得．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则q2===，∴a9=a7q2=6×=9故选C【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．2.等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A． B． C．2 D．﹣【答案解析】A【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．3.+2与﹣2两数的等比中项是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【答案解析】C【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解： +2与﹣2两数的等比中项==±1．故选：C．【点评】本题考查了等比中项的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知数列{an}中，an=3n+4，若an=13，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案解析】A【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式．【分析】由an=3n+4=13，求得n的值即可．【解答】解：由an=3n+4=13，解得 n=3，故选A．【点评】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．5.在各项均为正数的等比数列，若，数列的前项积为，若，则的值为A．4 B．5 C．6 D．7【答案解析】B6.已知等比数列的首项为，公比为，给出下列四个有关数列的命题：：如果且，那么数列是递增的等比数列；：如果且，那么数列是递减的等比数列；：如果且，那么数列是递增的等比数列；：如果且，那么数列是递减的等比数列．其中为真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案解析】C7.等差数列的前项和为，若，则的值A．21 B．24 C．28 D．7【答案解析】C8.等差数列中，若，则的值为A．250 B．260 C．350 D．360D9.等差数列中，若，则等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案解析】C10.在等比数列中,则( )A． B． C． D．【答案解析】A.11.已知数列满足：>0，，则数列{ }是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 不确定【答案解析】B由等比数列的定义可知根据条件>0，可确定数列{ }是等比数列，并且是递减数列.12.在等差数列中，，则此数列前13项的和为（）A．36 B．13 C．26 D．52【答案解析】C13.数列前n项的和为（）A．B．C．D．B14.已知是等比数列，，则公比=（）A B C 2 D【答案解析】D15.数列的一个通项公式是（）A．B．C． D．【答案解析】B16.设是等差数列，若,则数列{an}前8项的和为（）A.128B.80C.64D.56【答案解析】C17.等比数列{an}中，若a5＝5，则a3a7＝．A. 5B. 10C. 25D.【答案解析】C18.已知，则数列是( ）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案解析】A19.在等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝________ 【答案解析】20.已知，则数列是( ）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案解析】A。

(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》测试(包含答案解析)

一、选择题1．若数列{}n a 满足12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），则2018a 等于（） A ．12B ．2C ．3D ．232．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（） A ．201920212S F =+ B ．201920211S F =- C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-3．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，且12a =，则2a =（） A ．13B ．25C ．23D ．324．已知数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n a +=∈+N ，若()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ<5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（） A ．1111433⨯- B ．1211433⨯- C ．1012433⨯+D ．1112433⨯+6．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ7．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则20202021ln ln a a =（） A ．1:3B ．3:1C ．3:5D ．5:38．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n +=++，则n a =（）A ．312n- B ．321n -+ C ．111n -+ D ．312n+ 9．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．1102410．数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++的取值范围是（） A ．8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．81,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+ 12．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12=A ．40B ．60C ．32D ．50二、填空题13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()112nn n n S a =-+，则129S S S +++=________.14．已知数列{}n a 满足11a =，11nn n a a a +=+，则5a =_________. 15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若点(),n n S a 在直线21y x =+上，则5a =__________.16．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项n T =________．17．设数列{}n a 满足11a =，且()*11n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前2020项的和为________．18．数列{}n a 满足()211122,3,1n n nn n a a a a n a -+--+==+，21a =，33a =，则7a =________.19．已知函数()31xf x x =+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______.20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足443210q a a a ++++=，则首项1a 的取值范围是________.参考答案三、解答题21．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121nnn a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.22．已知等差数列{}n a 满足:2414,a a +=613a =．{}n a 的前n 项和为n S （1）求n a 及n S （2）令211n n b a =- (*n N ∈)，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:1184n T ≤< 23．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，557b a =-.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设n S 为数列{}2n a 的前n 项和，若对于任意*n N ∈，有123n b n S t +=⋅，求实数t 的值；（3）记212n n n n n b c b b a +++=，数列{}n c 的前n 项和n A ，求证：12n A <.24．设数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，n *∈N .记11n nb a =-，n *∈N . （1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设32nna n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足不等式12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++⎪⎝⎭的正整数n 的集合.25．在公差不为0的等差数列{}n a 的前10项和为65，1a 、3a 、7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，从条件①()11n n na n a +=+，②()12n n n a S +=，③22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先由题设求得数列{}n a 的前几项，然后得到数列{}n a 的周期，进而求得结果. 【详解】因为12a =，23a =，12n n n a a a --=（3n ≥且*N n ∈），所以23132a a a ==，34231232a a a ===， 453112332a a a ===， 564123132a a a ===，67523213a a a ===，7862323a a a ===，，所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，所以20183366223a a a ⨯+===，故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项；（2）根据规律判断出数列的周期；（3）根据所求的数列的周期，求得20182a a =，进而求得结果.2．B解析：B【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.3．C解析：C 【分析】设等比数列的公比为q ，进而根据题意得()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，从而解得13q =，故223a =【详解】解：设等比数列的公比为q ，显然1q ≠，由于等比数列{}n a 中，12a = 所以等比数列{}n a 的前n 项和为：()()112111n n n a q q S qq--==--，因为无穷等比数列{}n a 的各项的和为3，所以()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，所以231q =-，解得13q =，所以2123a a q ==. 故选：C. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为()21lim lim31n n n n q S q→+∞→+∞-==-，且()0,1q ∈，进而根据极限得13q =，考查运算求解能力，是中档题. 4．C解析：C 【分析】由数列递推式()*12n n n a a n a +=∈+N 得到11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入1(2)2nn b n λ+=-⋅，当2n ≥时，1n n b b +>，且21b b >求得实数λ的取值范围. 【详解】解：由12n n n a a a +=+得，1121n na a +=+ 则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭由11a =，得1112a +=，∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，∴111222n n na -+=⨯=，由()*11(2)1n n b n n a λ+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，得1(2)2nn b n λ+=-⋅，因为数列{}n b 是单调递增数列，所以2n ≥时，1n n b b +>，1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅--⋅∴>，即12n λ+<，所以32λ<，又∵1b λ=-，2(12)224b λλ=-⋅=-，由21b b >，得24λλ->-，得23λ<，综上：实数λ的取值范围是2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：（1）作差比较法根据1n n a a +>的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；（2）作商比较法根据1n na a +(0n a >或0n a <)与1的大小关系进行判断；（3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.5．D解析：D 【分析】当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，得到12n n a a +=，求得22,2n n a n -=≥，得到数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由11a =，1n n a S +=，可得1211a S a ===，当2n ≥时，1nn a S -=，又由1n n a S +=，两式相减，可得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，即12n na a +=，则数列{}n a 从第二项起是公比为2的等比数列，即22,2n n a n -=≥，又由(0,2020)n a ∈，即222020n -<，可得13,n n N +<∈，所以“和谐项”共有12项，则数列{}n a 的所有“和谐项”为101,1,2,4,8,,2，可得数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为111110(11244)11416413431-+++++=+=⨯+-.故选：D. 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.6．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭.∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 7．A解析：A 【分析】由20172021T T =得20182019202020211a a a a =，由等比数列性质得20182021201920201a a a a ==，这样可把2020a 和2021a 用q 表示出来后，可求得20202021ln ln a a ．【详解】{}n a 是正项等比数列，0n a >，0n T ≠，*n N ∈，所以由2017202120172018201920202021T T T a a a a ==⋅，得20182019202020211a a a a =，所以20182021201920201a a a a ==，设{}n a 公比为q ，1q ≠，22021201820213()1a a a q ==，2202020192020()1a a a q==，即322021a q =，122020a q =，所以1220203202121ln ln ln 123ln 3ln ln 2qa q a q q ===．故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比q 表示出相应的项后可得结论．8．A解析：A 【分析】利用已知条件得到121111n n a a n n n n +-==-++，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和. 【详解】由121n n a a n n +=++得：121111n n a a n n n n +-==-++，即1111n n a a n n--=--，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-111111*********n n n=+-+-++-=--. 故选：A . 【点睛】方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：型如：()1n n a a f n +-=的数列的递推公式，采用累加法求通项；形如：()1n na f n a +=的数列的递推公式，采用累乘法求通项；形如：1n n a pa q +=+ ()()10pq p -≠的递推公式，通过构造转化为()1n n a t p a t +-=-，构造数列{}n a t -是以1a t -为首项，p 为公比的等比数列，形如：1nn n a pa q +=+ ()()10pq p -≠的递推公式，两边同时除以1n q +，转化为1n n b mb t +=+的形式求通项公式；形如：11n n n n a a d a a ++=-，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式. 9．C解析：C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 10．D解析：D 【分析】由题意计算出{}n a 的公比q ，由等比数列的性质可得{}1n n a a +也为等比数列，由等比数列前n 项和计算即可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，21a =，518a =，所以35218a q a ==，即12q =，所以12a =，由等比数列的性质知{}1n n a a +是以2为首项，以14为公比的等比数列.所以12122311214881813343142n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭≤==-< ⎪⎝⎭=+++-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和的计算，属于中档题.11．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.12．B解析：B 【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ．二、填空题13．【分析】令计算得出然后推导出当为偶数时当为奇数时利用等比数列的求和公式可求得的值【详解】当时解得；当时当为偶数时可得则；当为奇数时可得则因此故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查已知与的关系求和常用的解析：3411024【分析】令1n =计算得出114a =，然后推导出当n 为偶数时，0n S =，当n 为奇数时，112n n S +=，利用等比数列的求和公式可求得129S S S +++的值.【详解】当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =；当2n ≥时，()()()1111122nnn n n n n n S a S S -=-+=-⋅-+.当n 为偶数时，可得112n n n n S S S -=-+，则112n nS -=；当()3n n ≥为奇数时，可得112n n n n S S S -=-++，则1112120222n nn n nS S -+=-=-=. 因此，2512924681011111111341240000122222102414S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=++++++++==-.故答案为：3411024. 【点睛】方法点睛：本题考查已知n S 与n a 的关系求和，常用的数列求和方法如下：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【分析】由已知可知即数列是首项为1公差为1的等差数列进而可求得数列的通项公式即可求【详解】由题意知：即而∴数列是首项为1公差为1的等差数列有∴则故答案为：【点睛】关键点点睛：由递推关系求数列的通项进解析：15【分析】由已知可知1111n n a a 即数列1{}na 是首项为1，公差为1的等差数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式，即可求5a .【详解】由题意知：1(1)n n n a a a ++=，即1111n na a ，而11a =，∴数列1{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，有1nn a ，∴1n a n =，则515a =. 故答案为：15【点睛】关键点点睛：由递推关系求数列1{}na 的通项，进而得到{}n a 的通项公式写出项. 15．【分析】由得两式相减得时然后利用等比数列的定义求解【详解】由题意知当时两式相减得即当时所以数列是首项为公比为的等比数列则故答案为：-1【点睛】本题主要考查数列的递推关系还考查了运算求解能力属于中档题解析：1-【分析】由21n n a S =+，得1121n n a S --=+，两式相减得1n n a a -=-，1n =时，11a =-，然后利用等比数列的定义求解. 【详解】由题意知21n n a S =+，当2n ≥时，1121n n a S --=+，两式相减，得12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，当1n =时，11a =-，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为1-的等比数列，则()()45111a =-⨯-=-. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，还考查了运算求解能力，属于中档题.16．【分析】首先利用求出的通项即可得【详解】∵∴当时；当时又当时符合上式∴∴∴当是偶数时当是奇数时∴∴数列的前项和故答案为:【点睛】本题主要考查了已知求考查了奇偶并项求和属于中档题解析：()1nn -【分析】首先利用2n S n =求出{}n a 的通项，即可得()()121nn b n =--.【详解】∵2n S n =，∴当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，又当1n =时，11a =符合上式，∴21n a n =-， ∴()()()1121nnn n b a n =-=--，∴()()135791113121nn n T =-+-+-+-+-+-当n 是偶数时，22n nT n =⨯=，当n 是奇数时，()1122n n T n -=-+-⨯=-， ∴()1nn T n =-，∴数列{}n b 的前项和()1nn T n =-．故答案为: ()1nn - 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a ，考查了奇偶并项求和，属于中档题.17．【分析】由得到用累加法求得从而得到然后利用裂项相消法求解【详解】因为所以左右分别相加得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查累加法求通项裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题解析：40402021【分析】由()*11n n a a n n N+-=+∈得到1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，用累加法求得22n n na +=，从而得到2121121n a n nnn ，然后利用裂项相消法求解.【详解】因为()*11n n a a n n N+-=+∈,所以1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，左右分别相加得()()112234 (2)-+=++++=-n n n n a a ，所以22n n na +=，所以2121121na n nnn ，所以20201111111140402...2122320202021120212021⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S ，故答案为：40402021【点睛】本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由等式变形可得出利用等比中项法可判断出数列为等比数列求出该等比数列的公比利用等比数列的通项公式即可求出的值【详解】即由等比中项法可知数列为等比数列且公比为解得故答案为：【点睛】本题考查了数列解析：63【分析】由等式211121n n n n n a a a a a -+--+=+变形可得出()()()211111n n n a a a +-++=+，利用等比中项法可判断出数列{}1n a +为等比数列，求出该等比数列的公比，利用等比数列的通项公式即可求出7a 的值. 【详解】()()()22211111111121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --+---+-++-+===-+++，即()211111nn n a a a +-++=+， ()()()211111n n n a a a +-∴++=+，由等比中项法可知，数列{}1n a +为等比数列，且公比为32121a a +=+， ()55721122264a a ∴+=+⨯=⨯=，解得763a =.故答案为：63. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【分析】由已知条件得出变形为可知数列为等差数列确定该数列的首项和公差求出进而可得出【详解】且（且）在等式两边取倒数得且所以数列是以为首项以为公差的等差数列因此故答案为：【点睛】本题考查利用构造法求数解析：132n - 【分析】由已知条件得出()11231n n n a a n a --=≥+，变形为1113n n a a --=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出1na ，进而可得出n a . 【详解】()31xf x x =+，且()11131n n n n a a f a a ---==+（*n N ∈且2n ≥），在等式1131n n n a a a --=+两边取倒数得11113113n n n n a a a a ---+==+，1113n n a a -∴-=且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以3为公差的等差数列，()113132nn n a ∴=+-=-，因此，132n a n =-. 故答案为：132n -. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉解析：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到211211q q a q q⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++，令1t q q =+可得到1111a t t =-+++，由函数的单调性可求得1a 的取值范围. 【详解】由443210q a a a ++++=得：43211110q a q a q a q ++++=，224213211211111q q q q q a q q q q q q q⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∴=-=-=-++++++. 令(][)1,22,t q q=+∈-∞-+∞，则()()2211211211111t t t a t t t t +-+--=-=-=-+++++， 111t t -+++在(],2-∞-上单调递减，12112a ∴≥+-=；111t t -+++在[)2,+∞上单调递减，1122133a ∴≤-++=-；综上所述：1a 的取值范围为[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将1a 表示为关于q 的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围.三、解答题21．答案见解析【分析】(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可. 【详解】（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1q >，122a q =⎧∴⎨=⎩2n n a ∴=．（2）若选①2n n b n =⋅231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+①23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②①-②得：23122222n n n S n +-=++++-⋅()()11121222212(1)2212n n n n n n S n n n +++--=-⋅=--⋅=---∴1(1)22n n S n +=-+选②：22log 29|29|nn b n =⋅-=-1n =时，117S b ==2n =时，2127512S b b =+=+=3n =时，312375315S b b b =++=++=4n =时，4123416S b b b b =+++=即2(792)8(4,)2n n nS n n n n N *+-⋅==-+≤∈5n ≥时，2(4)(129)16132916(4)162n n n S n n -+-=++++-=+=-+．选③11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-++++2231111111111122121212121321n n n n S ++=-+-++-=-+++++++．【点睛】关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题. 22．（1）21n a n =+；22n S n n =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列通项公式求解首项及公差，再利用求和公式进行求解；（2）由（1）得22111(2+1)1n n b a n ==--，再用裂项相消法求得n T ，并利用单调性求得n T 的范围.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2414,a a +=613a =，所以有13,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+;2(1)3+222n n n S n n n -=⨯=+ （2）由1知21n a n =+，所以221111111=1(2+1)14(1)41n n b a n n n n n ⎛⎫==⋅=⋅- ⎪--++⎝⎭，所以1111111111+++142231414n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅---=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又118n T T ≥=，且单调递增，故1184n T ≤<. 23．（1）12n n a ，21n b n =-；（2）23t =；（3）证明见解析. 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ，根据题意可得出关于q 、d 的方程组，解出这两个量的值，进而可求得数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）利用等比数列的求和公式可求得413n n S -=，结合等式123n bn S t +=⋅可计算得出实数t 的值；（3）计算得出()()111212212n n n c n n +=--+，利用裂项相消法可求得n A，即可证得结论成立. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ，由111b a ==，331b a =+，557b a =-，可得241211470d q d q q ⎧+=+⎪+=-⎨⎪>⎩，解得2q d ==，因此，1112n n n a a q --==，()1121n b b n d n =+-=-；（2）()212124nn n a --==，2121444n n n n a a +-==，所以，数列{}2na 为等比数列，且首项为211a =，公比为4，1441143n n n S --∴==-，由123n b n S t +=⋅可得21423n n t -=⋅，所以，2142323n n t -==⨯；（3）()()()()()()()()2111122212123112121221212212212n n n n n n n n n n n b n c b b a n n n n n n +++++++--+====--+-+-+，()()122334111111111123232525272212212n n n A n n +∴=-+-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅()111122122n n +=-<+⋅. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.24．（1）证明见解析；（2）{}1,2,3. 【分析】（1）利用112n na a +=-证明出1n n b b +-是常数，进而可证明出数列{}n b 为等差数列；（2）求得132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等比数列的求和公式结合已知条件可得出33291122nn⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设3322nt ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，可得出不等式221190t t -+<，解出t 的取值范围，由此可得出符合条件的正整数n 的值.【详解】（1）数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，则211122a a ==-，321223a a ==-，依次类推可知，对任意的n *∈N ，2n a ≠，()1121111111112111111122n n n n n n n n nn na b b a a a a a a a a ++--∴-=-=-=-==----------，所以，数列{}n b 是等差数列，且首项为11111b a ==-，公差为1， ()11111n n b n n a ∴==+-⨯=-，解得1n n a n-=；（2）132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1123n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，11332232nn n n c c +-⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 为等比数列，同理可知，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，则1233132223212nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==⋅- ⎪⎝⎭-，12321111123332313nnn c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==-⋅ ⎪⎝⎭-，由12312311113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++ ⎪⎝⎭可得23912232n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅->⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，32291123n n ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设32n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n N *∈，则32t ≥，可得9211t t +<，整理可得221190t t -+<，解得912t <<，即39122n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，n N *∈，所以，正整数n 的集合为{}1,2,3. 【点睛】方法点睛：证明等比数列常用以下几种方法：（1）定义法：证明1n n a a +-为常数；（2）等差中项法：对任意的n *∈N ，证明出122n n n a a a ++=+.25．（1）1n a n =+；（2）223242n n n n T ++=-+. 【分析】（1）本题首先可根据前10项和为65得出1104565a d +=，然后根据1a 、3a 、7a 成等比数列得出()()211126a d a a d +=+，最后两者联立，求出1a 、d 的值，即可得出结果；（2）本题首先可根据1n a n =+得出121n n b n +=++，然后采用分组求和法即可求出n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），因为前10项和为65，所以101104565S a d =+=，因为1a 、3a 、7a 成等比数列，所以2317a a a =，即()()211126a d a a d +=+，联立()()1211110456526a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得12a =，1d =，故1n a n =+.（2）因为1n a n =+，2n a n n b a =+，所以121n n b n +=++，则231222231n n T n +=++++++++()()22412213241222n n n n n n +-+++=+=-+-，故223242n n n n T ++=-+. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列通项公式的求法以及分组求和法求和，常见的数列的求和方法有：等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法以及倒序相加法. 26．（1）()*n a n n N=∈；（2）()1122n n T n +=-⋅-. 【分析】（1）若选①可得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，即可求出n a ；若选②利用1n n n a S S -=-可得()11n n n a na --=，即可得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，即可求出n a ；若选③利用1n n n a S S -=-可得 11n n a a --=，即可得到数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；（2）利用错位相减法求和；【详解】选条件①时，（1）()11n n na n a +=+时，整理得11111n n a a a n n +===+，所以n a n =. （2）由（1）得：2n n b n =-⋅，设2n n c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅ ①，231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅ ②， ①-②得：()()12112212222221n n n n n C n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+，所以()1122n n T n +=-⋅-. 选条件②时，（1）由于()12n n n a S +=，所以()21n n S n a =+①，当2n ≥时，112n n S na --=②， ①-②得：()121n n n a n a na -=+-，()11n n n a na --=，整理得1111n n n a a a n n -===-，所以n a n =. （2）由（1）得：2n n b n =-⋅，设2n n c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅ ①，231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅ ②，①-②得：()()12112212222221n n n n n C n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+，所以()1122n n T n +=-⋅-. 选条件③时，由于22n n n a a S +=， ①21112n n n a a S ---+= ②①-②时，2211n n n n a a a a ---=+，整理得11n n a a --=（常数），所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列.所以n a n =.（2）由（1）得：2n n b n =-⋅，设2n n c n =⋅，其前n 项和为n C ，所以1212222n n C n =⨯+⨯++⋅①，231212222n n C n +=⨯+⨯++⋅②， ①-②得：()()12112212222221n n n n n C n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅-，故()1122n n C n +=-⋅+，所以()1122n n T n +=-⋅-. 【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。

(完整版)数列单元测试题(含答案)

《数列》一、选择题（每小题3分,共33分）1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是（）A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a n nD ．12)2()1(++-=n n n a nn 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2± 4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－16、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（）．A ．245B ．12C ．445 D ．67、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（）．A ．7B ．16C ．27D ．648、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是（）A B ．C ．D ．不确定 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为（）A ．6B ．8C ．10D ．1210、在等比数列{a n }中4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是（）A ．14B ．16C ．18D ．2011、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（） A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元二、填空题（每小题4分,共20分）12、已知等比数列｛n a ｝中,1a =2,4a =54,则该等比数列的通项公式n a = 13、等比数列的公比为2, 且前4项之和等于30, 那么前8项之和等于 14、数列11111,2,3,,,2482n n ++++……的前n 项和是． 15、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝三、解答题17、（本小题满分8分）等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值18、（本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．19、（本小题满分10分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ．（1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．20、（本小题满分10分）某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2002年起，每年平均需新增住房面积为多少万m 2，才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m 2？(可参考的数据1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).21、（本小题满分11分）已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意自然数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1+c 2+c 3+……+c 2006值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 DDABCDCBABA12、3．2n-1 13、510 14、n （n+1）+1-2n 15、4n+2 16、4951 17、d=32，n=50 18、解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得 12a =．将12a =代入②得()21324213n =-－，即 3243n =，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5． 19、解析：(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴ 11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 23+=∴n a n (2)、设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n bn n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴ *)(,62231N n n n ∈-+⋅=+20．解设从2002年起，每年平均需新增住房面积为x 万m 2，则由题设可得下列不等式19500619500(10.01)24x ⨯+≥⨯+⨯解得605x ≥.答：设从2002年起，每年平均需新增住房面积为605万m 2.21、解：（1）由题意得（a 1+d ）(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.（2）当n =1时，c 1=3 当n ≥2时，,1n n nna abc -=+ 132-⋅=n n c ，⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=。

上海罗星中学选修二第一单元《数列》测试题(答案解析)

一、选择题1．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推. 在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想. 在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（） A ．辛丑年B ．庚子年C ．己亥年D ．戊戌年2．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（）A ．2B ．4C ．10D ．143．如果函数*()1(0,)f x kx k x N =-≠∈，(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+，若(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，则（）A ．275()n S f n -≤B ．275()n S f n +≤C ．275()n S f n -≥D ．275()n S f n +≥4．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =5．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（） A ．201920212S F =+ B ．201920211S F =- C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-6．朱载堉（1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家，数学家，天文历算家，在他多达百万字著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子，他对文乙的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包善钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻担”.“十二平均律＂是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第三个音频率为3f ，第九个音频率9f ，则93f f 等于（）ABCD7．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（） A ．1009B ．1010C ．1011D ．20208．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（） A ．511B ．513C ．1025D ．10249．函数()3sin 2cos 23f xx x =--的正数零点从小到大构成数列{}n a ，则3a =（） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 10．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是（） A ．()1,2B ．()1,4C ．()1,2D ．()1,+∞11．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（） A ．4:1B ．6:1C ．7:1D ．9:112．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（） A ．255B ．375C ．250D ．200二、填空题13．如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取ABCD 正方形各边中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.则从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和是___________2cm .14．在数列{}n a 中，112a =，1n n a a n +=+，则na n的最小值为_________. 15．已知数列{}n a 满足11a =，11nn n a a a +=+，则5a =_________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，当2n ≥时有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使122021m S S S ≥成立的正整数m 的最小值为______.17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____．18．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n =，*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式为______.设2(1)n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和n T =______.19．定义：称12nn p p p +++为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n项的“均倒数”为121n -，则数列{a n }的通项公式为a n =_________. 20．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.三、解答题21．设等差数列}{n a 的公差为0d >，n *∈N .且满足3616a a +=，4563a a ⋅=. （1）求数列}{n a 的通项公式. （2）记数列11n n n b a a +=，求}{n b 的前n 项和n T . 22．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为 6.24%r =．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设n a 表示()1998n +年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．23．设数列{}n a 满足12a =，12nn n a a +-=；数列{}n b 前n 项和为n S ，且()2132n S n n =-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 24．数列{}n a 的前n 项的和为n S ，11a =，()1112n n S a +=-. （1）证明数列{}n a 是等比数列，并求通项n a ；（2）若等差数列{}n b 的各项均为正数，且4124i i b ==∑，11ab +，22a b +，33a b +成等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知17a =，515S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最大值．26．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+()N n *∈，11a =. （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. （2）若记n b 为满足不等式11122k nn a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()N n *∈的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n 的不等式4032n S <的最大正整数解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意可得：数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1980年的天干和地支分别为首项，即可求出答案. 【详解】由题意可得：数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年，以1980年的天干和地支分别为首项，则1001010÷=余数0，则2080年天干为庚，100128÷=余数为4，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由题意得出数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1980年为庚申年，计算1001010÷=余数0，则2080年天干为庚，100128÷=余数为4，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年.2．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.3．D解析：D 【分析】根据等比中项求出2k =，()21f x x =-，*x ∈N ，根据等差数列的求和公式求出n S 2n =，然后作差比较可知D 正确.【详解】因为(1)f ，(3)f ，(13)f 成等比数列，所以[]2(3)(1)(13)f f f =⋅，即2(31)(1)(131)k k k -=--，即220k k -=，因为0k ≠，所以2k =.所以()21f x x =-，*x ∈N ，5()5(21)105f n n n =-=-，2(121)2n n n S n +-==， 22275()271052102n S f n n n n n --=--+=--22(51)n n =--，当5n ≤时，275()0n S f n --<，所以275()n S f n -<，当6n ≥时，275()0n S f n -->，所以275()n S f n ->，故,A C 不正确；22275()2710521012n S f n n n n n +-=+-+=-+2(2)(3)n n =--0≥在*n N ∈时恒成立，所以275()n S f n +≥，故B 不正确，D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：掌握等比中项的概念和等差数列的求和公式是本题的解题关键.4．D解析：D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝114444log log log log n n nnx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.5．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.6．A解析：A 【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，推导出1122q =，由此能求出93f f 的值．【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，则12131=a a q ，且1312=a a ，1122∴=q ，86912316191232⎛⎫=∴==== ⎪⎝⎭q q f q a a f a a 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式及性质，解题的关键是分析题意将13个音的频率构成等比数列，再利用等比数列的性质求解，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =，所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<，所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.8．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值.【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠，所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.9．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.10．A解析：A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出111lim 1n n a S q a →∞==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于11lim n n S a →∞=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q-=-，则()11111lim lim11n n n n a q a S qq a →∞→∞-===--，得211q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2112a <<，11a >，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2101a <<，11a >，则2101a <<不成立.综上所述，1a的取值范围是(. 故选A. 【点睛】本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，成等比数列求解.【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则63S m =，则632S S m -=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.12．A解析：A 【分析】由等比数列的性质，510515102015,,,S S S S S S S ---仍是等比数列，先由51051510,,S S S S S --是等比数列求出15S ，再由10515102015,,S S S S S S ---是等比数列，可得20S . 【详解】由题得，51051510,,S S S S S --成等比数列，则有210551510()()S S S S S -=-，215123(15)S =-，解得1563S =，同理有215101052015()()()S S S S S S -=--，2204812(63)S =-，解得20255S =.故选：A 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，这道题也可以先由510315S S ==，求出数列的首项和公比q ，再由前n 项和公式直接得20S 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《数列》单元练习试题一、选择题1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）02．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（）（A ）它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3- （C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=24a S （）（A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）2174．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）（A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S < （D ）56S S = 5．已知数列}{n a 满足01=a ，1331+-=+n n n a a a （∈n N *），则=20a （）（A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ）236．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（）（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）2607．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（）（A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+（C ）5481a a a a +=+ （D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A ）13项（B ）12项（C ）11项（D ）10项9．设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，那么30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（）（A ）210（B ）220（C ）216（D ）21510．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）（A ）289 （B ）1024 （C ）1225 （D ）1378二、填空题11．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是．12．等比数列}{n a 的公比0>q ．已知12=a ，n n n a a a 612=+++，则}{n a 的前4项和=4S ． 13．在通常情况下，从地面到10km 高空，高度每增加1km ，气温就下降某一固定值．如果1km 高度的气温是8.5℃，5km 高度的气温是－17.5℃，那么3km 高度的气温是 ℃． 14．设21=a ，121+=+n n a a ，21n n n a b a +=-，∈n N *，则数列}{n b 的通项公式=n b ． 15．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，则4S ，48S S -，812S S -，1216S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为n T ，则4T ，，，1216T T 成等比数列．三、解答题16．已知}{n a 是一个等差数列，且12=a ，55-=a ．（Ⅰ）求}{n a 的通项n a ；（Ⅱ）求}{n a 的前n 项和n S 的最大值．17．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（Ⅰ）求}{n a 的公比q ；（Ⅱ）若331=-a a ，求n S ．18．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m ．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？19．设数列}{n a 满足333313221n a a a a n n =++++- ，∈n N *．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项；（Ⅱ）设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．20．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，241+=+n n a S ．（Ⅰ）设n n n a a b 21-=+，证明数列}{n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．21．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n an n n b 2)1(41⋅-+=-λ（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．数列测试题一、选择题(每小题5分，共60分)1．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝16，a 4＝6，则公差d 的值是( )A ．1B ．2C ．－1D ．－22．在等比数列{a n }中，已知a 3＝2，a 15＝8，则a 9等于( )A ．±4B ．4C ．－4D ．163．数列{a n }中，对所有的正整数n 都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2519D.31154．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝( )A ．8B ．－8C ．±8D.985．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 12＝30，则S 13的值是( )A ．130B ．65C ．70D ．756．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．97．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1108．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4 C．2 D ．49．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值围是( ) A ．d >83 B ．d <3C.83≤d <3D.83<d ≤3 10.等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为 q ，则下列条件中，使{}n a 一定为递减数列的条件是（） A ．1q < B 、10,1a q >< C 、10,01a q ><<或10,1a q <> D 、1q >11. 已知等差数列{}n a 共有21n +项，所有奇数项之和为130，所有偶数项之和为120，则n 等于（）Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1212．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2)(2nn f + (n ∈N ＋)，且f (1)＝2，则f (20)为( ) A ．95B ．97C ．105D ．192二、填空题(每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，a 3＝6.若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 14.已知数列{a n } 中,a 1=1且31111+=+n n a a (n∈ N +),则a 10= 15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且满足)2)(1(31≥-=+-n n a a n n ，则数列{a n }的通项公式为=n a 16．已知数列满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2，(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值围为三、解答题(本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10分）在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N +). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前20项和为S 20.18．(12分)已知数列}{n a 前n 项和n n S n 272-=，(1)求|}{|n a 的前11项和11T ； (2) 求|}{|n a 的前22项和22T ；19．(12分)已知数列}{n a 各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =2n a + n －4 (n∈N +). (1)求证:数列}{n a 为等差数列;(2)求数列}{n a 的前n 项和S n .20．(12分)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥. （1）求{}n a 的通项公式；（2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．21．(12分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2, 2a n ＝1＋a n a n ＋1，b n ＝a n －1(b n ≠0)． (1)求证数列{1b n}是等差数列；(2)令11+=n n a c ，求数列{n c }的通项公式．22．（12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .《数列》单元测试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．C 二、填空题11．1613 12．21513．－4.5 14．12+n 15．48T T ，812T T 三、解答题16．（Ⅰ）设}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+.54,111d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,31d a ∴52)2()1(3+-=-⨯-+=n n a n ．（Ⅱ）4)2(4)2(2)1(322+--=+-=-⨯-+=n n n n n n S n ．∴当2=n 时，n S 取得最大值4．17．（Ⅰ）依题意，有3212S S S =+，∴)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++，由于01≠a ，故022=+q q ，又0≠q ，从而21-=q ．（Ⅱ）由已知，得3)21(211=--a a ，故41=a ，从而])21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----⨯=．18．（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ，整理，得0140132=-+n n ，解得7=n ，20-=n （舍去）．第1次相遇是在开始运动后7分钟．（Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ，整理，得0420132=-+n n ，解得15=n ，28-=n （舍去）．第2次相遇是在开始运动后15分钟．19．（Ⅰ）∵333313221na a a a n n =++++- ， ① ∴当2≥n 时，31333123221-=++++--n a a a a n n ． ② 由①－②，得3131=-n n a ，n n a 31=．在①中，令1=n ，得311=a ．∴n n a 31=，∈n N *．（Ⅱ）∵nn a n b =，∴n n n b 3⋅=，∴nn n S 33332332⋅++⨯+⨯+= ， ③ ∴14323333233+⋅++⨯+⨯+=n n n S ． ④ 由④－③，得)3333(32321nn n n S ++++-⋅=+ ，即31)31(3321---⋅=+n n n n S ，∴4343)12(1+-=+n n n S ． 20．（Ⅰ）由11=a ，241+=+n n a S ，有24121+=+a a a ，∴52312=+=a a ，∴32121=-=a a b ．∵241+=+n n a S ， ①∴241+=-n n a S （2≥n ）， ②由①－②，得1144-+-=n n n a a a ，∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，∵n n n a a b 21-=+，∴12-=n n b b ，∴数列}{n b 是首项为3，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），得11232-+⋅=-=n n n n a a b ，∴432211=-++n n n n a a ， ∴数列}2{nn a 是首项为21，公差为43的等差数列， ∴414343)1(212-=⨯-+=n n a nn ，∴22)13(-⋅-=n n n a ． 21．（Ⅰ）由已知，得()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=，∴数列{}n a 是以12a =为首项，1为公差的等差数列，∴1n a n =+．（Ⅱ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立， ∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．（ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．∴21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．数列试题答案1---12：BBAB AAD C DCDB13---16：－11，41，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)(223)(213为偶数为奇数n n n n a n ，λ<2 17．解：(1)∵数列{a n }满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴数列{a n }为等差数列，设公差为d .∴a 4＝a 1＋3d ，d ＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8－2(n －1)＝10－2n .(2) S n =)9(n n -得S 20= －22018.解：n n S n 272-= 282-=∴n a n ∴当14<n 时，0<n a 14≥n 时0≥n a(1)||||||112111a a a T +++= 176)(11111=-=++-=S a a (2)|)||(|)||||(|2214132122a a a a a T ++++++=2215141321)(a a a a a a +++++++-= 132213S S S -+-=25421322=-=S S19.(1)证明:当n=1时,有2a 1=+1-4,即-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n≥2时,有2S n-1=+n-5,又2S n =+n-4,两式相减得2a n =-+1,即-2a n +1=,也即(a n -1)2=,因此a n -1=a n-1或a n -1=-a n-1.若a n -1=-a n-1,则a n +a n-1=1.而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾, 所以a n -1=a n-1,即a n -a n-1=1,因此数列{a n }为等差数列.(2)解:由(1)知a 1=3,d=1,所以数列{a n }的通项公式a n =3+(n-1)×1=n+2,即a n =n+2.得252nn S n +=21.(1)证明：∵b n ＝a n －1，∴a n ＝b n ＋1.又∵2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴2(b n ＋1)＝1＋(b n ＋1)(b n ＋1＋1)．化简得：b n －b n ＋1＝b n b n ＋1.∵b n ≠0，∴b n b n b n ＋1－b n ＋1b n b n ＋1＝1.即1b n ＋1－1b n＝1(n ∈N ＋)．又1b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，∴{1b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)∴1b n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴b n ＝1n .∴a n ＝1n ＋1＝n ＋1n.∴1211+=+=n na c n n。

《数列》单元测试题(附答案解析)

拉萨市选修二第一单元《数列》测试卷(含答案解析)

高中数学--《数列》测试题(含答案)

《数列》单元测试题(含答案解析)

(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》检测题(答案解析)(4)

(完整版)数列单元测试卷含答案

常州市第二十四中学选修二第一单元《数列》测试题(包含答案解析)

数列》单元测试题(附答案解析).doc

数列单元测试题及答案解析

新人教版高中数学选修二第一单元《数列》检测题(包含答案解析)

(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》测试题(含答案解析)(1)

高考数学 数列单元测试卷及答案 试题

高中数学选择性必修二 第四章 数列单元测试(基础卷)(含答案)

新人教版高中数学选修二第一单元《数列》测试(包含答案解析)(4)

(易错题)高中数学选修二第一单元《数列》测试卷(答案解析)(4)

(压轴题)高中数学选修二第一单元《数列》测试题(答案解析)

高中数学--《数列》测试题(含答案)

(必考题)高中数学选修二第一单元《数列》测试(包含答案解析)

(完整版)数列单元测试题(含答案)

上海罗星中学选修二第一单元《数列》测试题(答案解析)

高考数学数列单元测试卷及答案试题

高中数学选择性必修二第四章数列单元测试(基础卷)(含答案)