传递函数零极点对系统性能的影响
分析零点,极点,偶极子对系统性能的影响
一． 高阶系统暂态性能分析
1.1.当闭环系统的零极点都位于 s 平面的左半部分时，则闭 环系统是稳定的。但当闭环极点距离虚轴的距离不同时，对系 统的暂态性能影响不同 高阶系统闭环传递函数：
高阶系统单位阶跃响应：
高阶系统单位阶跃响应：
1.2 设闭环传递函数 原闭环传递函数 1.1 φ s = 5/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)(s + 3) 增加零点传递函数 1.2 φ1 s = 5(s + 1)/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)(s + 3) 增加极点传递函数 1.3 φ2 s = 5/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)（s + 10）(s + 3) 增加偶极子传递函数 1.4 φ3 s = 5(s + 0.95)/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)（s + 1）(s + 3) 1.3 系统单位阶跃响应曲线如图 1-1 所示 实线������(������ ) 虚线 -----------------������1(������ ) 点画线 ������2（s ） 1.4 1.3 1.2����� ������������ 主要取决这些极点所对应的分量。
增加较远的零点图 1-2 1.4.2 增加极点 对比图 1-1 中������(������ ) ，������2(������ ) 对应的响应曲线，发现二者十分接近， 其暂态性能指标 ������������ 2 = 2.85������������ 2 = 3.66������������2 = 4.45 与������1(������ ) 的性能指标几乎相等。增加的极点为 s=-10,离虚轴较远，对系 统的暂态性能较小。 增加极点的距离虚轴的距离不同对系统的动态性 能影响也不同。图 1-3 增加的极点为 s=-1,离虚轴较近，对系统的暂态 性能影响较大。其动态性能指标如下
开环系统零极点对系统的影响
1、增加零点对根轨迹的影响
设系统开环传递函数GsHs=K/SS+3S^2+2S+1,利用MATLAB 绘制出其闭环系统的根轨迹如下：
增加一个零点-1,
即系统开环传递函GsHs=KS+1/SS+3S^2+2S+1
根轨迹如下：
：
可见,当开环极点位置不变,而在系统中增加开环零点,可
是系统根轨迹向s左边平面方向弯曲,或者说,将使系统的根轨迹图趋向增加零点的方向形变,而且这种影响随开环零点接近坐标原点的程度而加强;因此,在s平面的左半平面适当的位置增加开环零点,可以显著改善系统的稳定性;
2、增加极点对根轨迹的影响
设系统开环传递函数GsHs=K/SS+1,利用MATLAB绘制出其闭环系统的根轨迹如下：
增加一个极点P=-2,
即系统开环传递函GsHs=K/SS+1S+2,利用MATLAB绘制出其闭环系统的根轨迹如下：
如图可得出：原来的二阶系统,K从0变到无穷大时,系统总是稳定的;增加一个开环极点后,当K增大到一定程度后,有两条根轨迹跨过虚轴进入S平面右半部,系统变为不稳定;当轨迹仍在S平面左侧时,随着K的增大,阻尼角增大,阻尼比变小,震荡程度加剧,特征根进一步接近虚轴,衰减震荡过程变得很缓慢;总而言之,增加开环极点对系统动态性能是不利的;。
系统的零极点
系统的零极点在探讨系统的特性和行为时，零极点是一个重要的概念。
零极点是指系统的传递函数中使得分子或分母为零的点，它们直接影响系统的稳定性、响应速度和频率特性等方面。
本文将详细介绍系统的零极点及其对系统行为的影响。
一、什么是零极点？在控制系统中，传递函数是描述输入和输出之间关系的数学表达式。
传递函数通常写成分子和分母多项式的比值形式。
其中，分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。
零极点的个数和位置直接决定了系统的特性。
零点是使得系统传递函数的分子为零的点。
当输入信号通过系统时，零点能够消除或减弱某些频率成分，从而改变系统的频率响应特性。
例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=s+1/s+2，其中s为复变量。
该系统有一个零点为-1，当输入信号中包含频率为1的成分时，系统的输出将为零。
极点是使得系统传递函数的分母为零的点。
极点的位置可以决定系统的稳定性和响应速度。
例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=1/s+2，该系统有一个极点为-2。
当输入信号经过该系统时，极点的位置将决定系统的阻尼特性和响应速度。
二、零极点对系统行为的影响1. 系统的稳定性系统的稳定性是指系统在受到扰动后是否能够回到稳定的状态。
在控制系统中，极点的位置直接影响系统的稳定性。
当所有极点的实部为负时，系统是稳定的；当存在极点的实部为正时，系统是不稳定的。
2. 响应速度零极点的位置也会影响系统的响应速度。
当零点和极点的实部越大，系统的响应速度越快。
如果极点的实部接近于零点的实部，系统的阻尼特性将减弱，导致系统的超调和振荡现象。
3. 频率特性零点和极点的位置还决定了系统的频率特性。
零点和极点的位置决定了系统的增益和相位响应。
当零点和极点靠近虚轴时，系统的频率响应会出现共振现象；当零点和极点离虚轴越远，系统的频率响应越平坦。
三、如何设计系统的零极点设计系统的零极点是控制系统设计的重要任务之一。
通过合理布置零极点的位置，可以实现所需的系统特性。
实验六开环增益与零极点对系统性能影响
实验六 开环增益与零极点对系统性能的影响一．实验目的1．研究闭环、开环零极点对系统性能的影响； 2．研究开环增益对系统性能的影响。
二．实验内容1．搭建原始系统模拟电路，观测系统响应波形，记录超调量σ%、峰值时间tp 和调节时间ts ；2．分别给原始系统在闭环和开环两种情况下加入不同零极点，观测加入后的系统响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts ；3．改变开环增益K ，取值1，2，4，5，10，20等，观测系统在不同开环增益下的响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts 。
三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。
如果选用虚拟示波器，只要运行ACES 程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。
具体用法参见用户手册中的示波器部分。
1．原始二阶系统实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、实验电路A2、实验电路A3。
原始二阶系统模拟电路如图1-6-1所示，系统开环传递函数为：0.1(0.21)Ks s ，图1-6-1原始二阶系统模拟电路（1） 设置阶跃信号源：A ．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V ”；B ．将阶跃信号区的“0～5V ”端子与实验电路A3的“IN32”端子相连接；C ．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V ”端子产生阶跃信号。
（2） 搭建原始二阶系统模拟电路：A ．将A3的“OUT3”与A1的“IN11”、“IN13”同时连接，将A1的“OUT1”与A2的“IN21”相连接，将A2的“OUT2”与A3的“IN33”相连接；B．按照图1-6-1选择拨动开关：图中：R1=200K、R2=200K、R3=200K、R4=100K、R5＝64K、R6=200K、R7=10K、R8=10K、C1=1.0uF、C2=1.0uF将A3的S5、S6、S10，A1的S3、S6、S9，A2的S3、S8、S13拨至开的位置；（3）连接虚拟示波器：将实验电路A2的“OUT2”与示波器通道CH1相连接。
零极点对系统的影响
增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应和频率响应会造成很大影响。
以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函数。
零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。
在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。
在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。
从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。
在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。
因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。
对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（n-m）×90º。
非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。
在s左半平面增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，从波特图上看，s左半平面增加一个极点时，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，也就意味着幅频特性曲线会整体下移，导致相角域度减小，从而使得稳定性下降。
当极点离原点越近，就会增大系统的过渡时间，使得调节时间增加，稳定性下降，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。
极点对系统性能的影响闭环零
• 全部零点仅影响幅度和相位，对波形无影响； • 若有重根，则时间函数可能具有t,t2,……与 指数相乘的形式，同样满足上述结论
第四章 线性系统的根轨迹法
13
4－4－1 闭环零、极点对系统性能的影响
相距很近的一对闭环零、极点可以相消， 不会影响系统的动态性能
本节内容：
闭环零、极点对系统性能的影响 闭环零、极点分布求动态响应 开环零、极点对根轨迹图的影响
11
4－4－1 闭环零、极点对系统性能的影响
闭环极点的类型确定了系统的动态响应 的类型
闭环实极点指数型动态过程 闭环复极点指数型振荡动态过程
第四章 线性系统的根轨迹法
12
4－4－1 闭环零、极点对系统性能的影响
(k 0,1,, n m 1)
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
第四章 线性系统的根轨迹法
7
3 零度根轨迹…
零度根轨迹绘制法则(续)
实轴上某一区域,若其右方开环实数
4 根轨迹在实轴的分布 零极点个数之和为偶数,则该区域必 是根轨迹
根轨迹的分离点 5 与分离角
L条根轨迹分支相遇,分离点坐标满足
j 1
i1
( ji)
第四章 线性系统的根轨迹法
8
3 零度根轨迹…
零度根轨迹绘制法则(续)
7 根轨迹于虚轴的交点 8 根之和
根轨迹与虚轴交点的K*值和 值,
可用劳思判据确定.
n
n
si pi
i 1
i 1
第四章 线性系统的根轨迹法
9
3 零度根轨迹…
传递函数零极点的意义
传递函数零极点的意义函数的零点和极点是函数分析和设计中重要的概念。
它们可以帮助我们理解和控制信号和系统的特性。
本文将会介绍什么是函数的零点和极点，并探讨它们的实际意义和应用。
一、什么是函数的零点和极点函数的零点是指使得函数值为零的自变量的取值，也就是函数图像与x轴相交的点。
函数的极点则是指函数在某些自变量处取得无穷大或无穷小值的点。
具体地，极点分为极大值点和极小值点两种，极大值点是指在该点函数的函数值最大，而极小值点是指在该点函数的函数值最小。
对于一个分式函数，整个函数或者分子或者分母的零点或极点都可能对函数的性质产生重要的影响。
函数的零点和极点通常被用来描述函数的稳定性、振荡性和滤波特性等性质。
1. 控制系统设计函数的零点和极点是控制系统设计中关键的概念之一。
在控制系统设计中，通过改变控制器的结构和参数，可以改变系统的响应特性。
经过控制系统的设计和调整，我们可以使得系统的响应稳定、快速、鲁棒、准确等。
其中，函数的零点和极点是影响系统稳定性的关键因素。
在系统的设计中，可以通过改变控制器的结构和参数，来控制函数的零点和极点。
例如，我们可以通过增加控制器中的积分项来控制函数的稳定性，在增加其间接零点的同时产生一个零极点来增加系统的稳定性。
2. 滤波器设计函数的零点和极点在滤波器设计中也是非常重要的。
滤波器可以对信号进行频域和时域上的处理，常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。
在滤波器设计中，函数的零点和极点决定了滤波器的通带、阻带和截止频率等特性。
通过调整零点和极点的位置和数量，可以控制滤波器的频率响应。
例如，在低通滤波器中，通过增加零点和降低极点可以使得滤波器的截止频率变小，从而起到减少高频成分的作用。
3. 信号分析在信号分析中，函数的零点和极点也起着重要的作用。
通过对信号的频率响应的分析，可以确定信号的特性，如振荡频率、衰减速度、稳态误差等。
函数的零点和极点对应着信号的谱线和自然频率，因此可以通过检查函数的零点和极点来确定信号的特性。
增加开环零点、极点、偶极子对系统性能的影响
案例三 增加开环零点、极点对系统性能影响以典型二阶系统为例，利用自动控制理论实验箱搭建模拟电路，研究增加开环零点、极点以及偶极子对系统性能的影响。
一、原始二阶系统典型二阶系统的开环传递函数为：)12.0(1.01s +=s s G ）（其结构图如图1所示。
-10.1(0.21)s s +图1 二级系统结构图根据上述结构图和传递函数，利用自动控制理论试验箱中的运放、电阻、电容等建立二阶环节的模拟电路。
传递函数对应的二阶系统模拟电路图如图2所示。
UiUo1μF1μF-100K100K200K200K100K100K+++---图2 二阶系统模拟电路图在自动控制理论试验系统中测量得到该系统的阶跃响应曲线如图3所示，记录超调量等动态性能指标。
此时二阶系统阶跃响应的超调量为%46.30%=δ，峰值时间为t p =0.481s ，调节时间为t s =2.71s 。
图3 典型二阶系统阶跃响应曲线二、增加开环零点增加开环零点即增加一个一阶微分环节，其的传递函数为：11.0+=s s G ）（一阶微分环节的模拟电路如图4所示。
-+1.0K100K100K1uF图4 一阶微分环节的模拟电路增加以上开环零点后，系统的结构图如图5所示。
0.1s+1-10.1(0.21)s s +图5 增加开环零点后系统结构图根据图4和图5，利用自动控制理论实验箱单搭建增加开环零点后的二阶系统的模拟电路，并测量该系统的阶跃响应曲线，记录是与响应性能指标。
阶跃响应曲线如图6所示。
图6 增加开环零点后系统的阶跃响应曲线此时，系统阶跃响应的超调量为%29.6%=δ，峰值时间为t p =0.424s, 调节时间为t s =1.12s 。
与原系统的是与性能指标相比较，可以明显的看到系统超调量减小，峰值时间减少，系统响应速度加快，相对稳定性得到改善。
由此可以得出结论：增加开环零点可以改善系统的动态性能。
其原因在于微分环节表现出超前特性，增加微分环节会使系统阻尼系数增加，超调提前，稳定裕量增加。
线性系统,超前、滞后校正
L' ' (c ' ' ) 20lg L' (c ' ' ) 0
1 0.1c ' ' T
5）验证已校正系统的相角裕度和幅值裕度是否满足要求。
例
单位负反馈系统的开环传递函数为：
K G0 ( s) s(0.1s 1)(0.2s 1)
设计指标： （1）校正后系统的静态速度误差系数Kv=30 ； （2）开环系统截止频率 c ≥2.3rad/s ； （3）相位裕量γ"≥40°； （4）幅值裕量h"≥10dB ； 试设计串联校正装置。
串联滞后校正
利用滞后网络的高频幅值衰减特性使截止频率降低， 从而使系统获得较大的相位裕量，同时保持低频段 的开环增益不受影响。
Gc ( s )
与超前校正比较
Ts 1
Ts 1
滞后校正既能提高系统的稳态性能，有基本上不改变系 统的动态性能，采用超前校正的系统带宽大于滞后校正 的，带宽越大，抗干扰能力越差。 不过如果采用超前-滞后校正，则更完美。
自由响应：动态电路的完全响应中，已由初条确定待定系数k 的微分方程通解部分，称为电路系统的自由响应， 它的函数形式是由电路系统本身结构决定的，与外加激励无关。 强迫响应：动态电路微分方程的特解形式，仅仅由激励决定， 称为强迫响应；
1）零极点和传递函数对系统性能的影响 2）串联超前校正与串联滞后校正
当零极点相重合，产生零极点对消时，相应的模态也消失
串联超前校正与串联滞后校正
串联超前校正
1）改善系统的动态性能，实现在系统静态性能不受 损的前提下，提高系统的动态性能。 2）通过加入超前校正环节，利用其相位超前特性来 增大系统的相位裕度，改变系统的开环频率特性。 3）一般使校正环节的最大相位超前角出现在系统新 的穿越频率点。 其传递函数为
matlab 传递函数零极点形式无极点
《深入探讨Matlab中传递函数零极点形式无极点》在Matlab中，传递函数是描述线性时不变系统的一种数学模型。
它可以用来表示系统的输入与输出之间的关系，同时也能够帮助工程师分析和设计控制系统。
在传递函数中，零极点形式无极点是一个重要的概念，它对系统的稳定性和性能起着至关重要的作用。
本文将深入探讨Matlab中传递函数零极点形式无极点的相关知识，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 传递函数的基本概念在Matlab中，传递函数通常表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的形式。
一个一阶系统的传递函数可以表示为：\[ G(s) = \frac{b}{s + a} \]其中，b和a分别代表分子和分母多项式的系数。
传递函数描述了系统对输入的响应，可以通过它来分析系统的频率响应、阶跃响应等性能。
2. 传递函数的零极点形式传递函数的零极点形式无极点是指将传递函数表示为零点和极点的形式。
在Matlab中，我们可以使用`zero`和`pole`函数来分别求得传递函数的零点和极点。
对于上述一阶系统的传递函数，我们可以使用以下代码来求得其零点和极点：```matlabnum = [b];den = [1, a];z = zero(num);p = pole(den);```通过上述代码，我们可以得到传递函数的零点和极点，这对于分析系统的性能和稳定性非常重要。
3. 零极点形式无极点的作用零极点形式无极点对于系统的稳定性和性能起着决定性的作用。
在传递函数的分母多项式中，如果存在实部大于零的极点，系统就会出现不稳定。
而在传递函数的分子多项式中，如果存在零点，就会影响系统对于输入信号的响应。
通过对传递函数进行零极点形式无极点的分析，我们可以判断系统的性能和稳定性。
4. 个人观点和理解在实际工程设计中，对于复杂的控制系统，深入理解传递函数的零极点形式无极点是非常重要的。
通过分析系统的零点和极点，可以更好地设计控制器，提高系统的性能和稳定性。
传递函数存在零极点对消,系统能控能观
传递函数存在零极点对消，系统能控能观[中括号]：传递函数的零极点对消对系统的控制与观测性引言传递函数是描述连续时间线性时不变系统的数学工具，它能够帮助我们理解系统的特性以及系统的控制能力和观测性。
传递函数中的零点和极点对系统的控制和观测性起着关键作用。
本文将通过详细的步骤和分析，探讨传递函数中零极点对消的概念，以及如何实现系统的控制和观测能力。
一、传递函数的定义与实例传递函数是描述系统输入与输出关系的函数，它可以表示为H(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是系统的分子部分和分母部分。
作为一个例子，我们考虑一个简单的一阶系统传递函数H(s)=1/(s+1)。
二、传递函数的零点和极点传递函数中的零点和极点是指使得传递函数取得零值和无穷值的输入信号。
对于上述的例子H(s)=1/(s+1)，传递函数的极点为s=-1。
极点的位置对系统的动态响应和稳定性具有重要影响。
三、传递函数的零极点对系统稳定性和控制性的影响传递函数的极点位置决定了系统的稳定性。
如果系统的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
相反，如果系统的极点存在于右半平面，系统则是不稳定的。
对于例子H(s)=1/(s+1)来说，它的极点位于s=-1，因此系统是稳定的。
另一方面，传递函数的零点位置对系统的控制性能有着重要影响。
零点相当于系统对输入信号的特殊灵敏度，它们可以导致更好的系统响应和稳定性。
如果系统具有零点，那么对于某些输入信号，系统可以减小或者抵消输出信号。
对于例子H(s)=1/(s+1)来说，系统没有零点，因此无法通过零极点对消的方法来控制输出。
四、零极点对消的概念与实现零极点对消是一种通过调整传递函数中的参数，使得系统的零点和极点相互抵消，从而改变系统的特性和性能的方法。
这种方法可以用于增加或减小系统对某些输入信号的灵敏度，提高系统的控制性能。
具体实现零极点对消方法有很多种，这里我们以反馈控制为例进行说明。
反馈控制可以通过引入额外的控制信号和传递函数来改变系统的特性。
零极点对系统的影响
MATLAB各种图形结论1对稳定性影响错误!增加零点不改变系统的稳定性；错误!增加极点改变系统的稳定性，不同的阻尼比下即使增加的是平面左侧的零点系统也有可能不稳定。
2对暂态性能的影响错误!增加的零点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。
分析表1可以发现,增加零点会对系统的超调量、调节时间、谐振峰值和带宽产生影响,且增加的零点越大，对系统的暂态性能影响越小。
当a增加到100时,系统的各项暂态参数均接近于原系统的参数。
增加的极点越靠近虚轴，其对应系统的带宽越小.同时还可以发现，时域中的超调量和频域中的谐振峰值在数值上亦存在一定的关系。
具体表现为超调量减小时，谐振峰值也随之减小。
错误!增加的极点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，极点离虚轴越远,对系统的影响越小。
①增加零点，会使系统的超调量增大，谐振峰值增大,带宽增加。
②增加极点，会使系统的超调量减小，谐振峰值减小,带宽减小.③增加的零极点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大；零极点离虚轴越远，对系统的暂态性影响越小。
3 对稳态性能的影响①当增加的零极点在s的左半平面时，不改变系统的类型，使系统能跟踪的信号类别不变，但跟踪精度会有差别。
②当增加的零点在s的虚轴上时,系统的型别降低，跟踪不同输入信号的能力下降。
③当增加的极点在s的虚轴上时,系统的型别升高，跟踪不同输入信号的能力增强。
1、绘制G1（s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿１．ｍ)%画G1（s)的根轨迹曲线n=［1,0］; ％分子d=［1，1,2］; %分母figure1 = figure（’Color’，［1 1 1］）；％将图形背景改为白色rlocus(n，d); %画G1（s）根轨迹曲线title（'G1（s)的根轨迹’）； %标题说明2、绘制G1（s）的奈奎斯特曲线(Ｍ２＿２．ｍ）％画G1(s）的奈奎斯特曲线figure1 = figure（’Color'，［1 1 1］); ％将图形背景改为白色for a=1：10 ％a取1,2,3……10，时，画出对应的奈奎斯特曲线G=tf（［1/a，1],[1，1,1］)；nyquist（G）；hold onendtitle('G1（s）的奈奎斯特曲线’)；％标题说明3、绘制G2(s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿３．ｍ)％画G2(s）的根轨迹曲线n=[1,1，1,0］ ; %分子d=［1,1，2] ; %分母figure1 = figure（'Color'，[1 1 1］）；％将图形背景改为白色g2=tf(n,d） %求G2(s）的传递函数rlocus(g2）； %画G2(s）根轨迹曲线title(’G2(s)的根轨迹')； %标题说明4、绘制ξ=0.1，0.3,1，1。
s参数的零极点
在控制系统理论中，s参数（或拉普拉斯变换域中的复频率s）的零点和极点是非常重要的概念，它们对系统的稳定性和频率响应特性有着决定性的影响。
本文将详细介绍零点和极点的定义、物理意义、数学表达方式以及它们对系统性能的影响。
一、零点和极点的定义零点（Zeros）在控制系统中，零点是指使系统传递函数为零的s域值。
系统传递函数通常表示为系统输出与输入之比，形式上为一些多项式的比值。
当这个比值的分子多项式等于零时，对应的s值就是零点。
数学上，如果系统传递函数为：\[ G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \]其中，\( N(s) \)是分子多项式，\( D(s) \)是分母多项式，则\( N(s) \)的根就是系统的零点。
极点（Poles）相对地，极点是指使系统传递函数趋向无穷大的s域值。
在上述传递函数中，当分母多项式\( D(s) \)等于零时，对应的s值就是极点。
数学上，\( D(s) \)的根就是系统的极点。
二、零点和极点的物理意义零点和极点反映了系统在复频率域内的动态行为。
极点直接关联到系统的自然响应，而零点则影响系统的强制响应。
系统的稳定性主要由极点的位置决定，极点位于左半s平面表示系统是稳定的，若有极点位于右半s平面或者虚轴上，则系统是不稳定的。
零点虽然不直接决定系统的稳定性，但会影响系统的增益和相位，从而影响系统的频率响应。
在某些频率下，零点可以导致系统增益减小，甚至产生相位的变化，这对系统的性能有着重要的影响。
三、数学表达方式传递函数的一般形式可以通过因式分解来表示其零点和极点：\[ G(s) = K \frac{(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)} \]其中，\( z_i \)表示第i个零点，\( p_j \)表示第j个极点，K是增益系数。
这种表达方式可以直观地看出系统的零点和极点的位置，以及它们对系统性能的影响。
零极点对系统性能的影响分析_课程设计
设计任务书学生： 梅浪奇 专业班级： 自动化1002班 指导教师： 肖纯 工作单位： 自动化学院题 目: 零极点对系统性能的影响分析 初始条件：系统开环传递函数为1)s (s 1)(s/a 21+++=(s)G 或1)s 1](s [(s/p)122+++=(s)G ，其中G 1（s ）是在阻尼系数5.0=ξ的归一化二阶系统的传递函数上增加了一个零点得到的，G 2（s ）是在阻尼系数5.0=ξ的归一化二阶系统的传递函数上增加了一个极点得到的。
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1） 当开环传递函数为G 1（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线； （2） 当开环传递函数为G 1（s ）时，a 分别取0.01，1，100时，用Matlab 计算系统阶跃响应的超调量和系统频率响应的谐振峰值，并分析两者的关系； （3） 画出(2)中各a 值的波特图；（4） 当开环传递函数为G 2（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线； （5） 当开环传递函数为G 2（s ）时，p 分别取0.01，1，100时，绘制不同p 值时的波特图；（6） 对比增加极点后系统带宽和原二阶系统的带宽，分析增加极点对系统带宽的影响；（7） 用Matlab 画出上述每种情况的在单位反馈时对单位阶跃输入的响应； （8） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过程，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排：指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录1综述 (1)2增加零极点对系统稳定性的影响 (1)2.1增加零点对系统稳定性的影响 (2)2.1.1开环传递函数G1（s）的根轨迹曲线 (2)2.1.2开环传递函数G1（s）的奈奎斯特曲线 (3)2.2增加极点对系统稳定性的影响 (3)2.2.1开环传递函数G2（s）的根轨迹曲线 (3)2.2.2开环传递函数G2（s）的奈奎斯特曲线 (5)3增加零极点对系统暂态性能的影响 (7)3.1增加零点对系统暂态性能的影响 (7)3.1.1零点a=0.01时的阶跃响应和伯德图 (7)3.1.2零点a= 1时的阶跃响应和伯德图 (9)3.1.3零点a= 100时的阶跃响应和伯德图 (10)3.1.4原系统的阶跃响应和伯德图 (12)3.1.5综合分析 (13)3.2增加极点对系统暂态性能的影响 (14)3.2.1极点p=0.01时的阶跃响应和伯德图 (14)3.2.2极点p=1时的阶跃响应和伯德图 (15)3.2.3极点p=100时的阶跃响应和伯德图 (17)3.2.4综合分析 (18)4增加零极点对系统稳态性能的影响 (19)4.1增加的零极点在s的左半平面 (19)4.2增加的零极点在s的虚轴上 (23)5设计心得体会 (26)6参考文献 (27)附录1：课程设计中所用到的程序 (28)附录2：本科生课程设计成绩评定表 (40)零极点对系统性能的影响分析1综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。
传递函数零极点 时间响应的影响
传递函数零极点时间响应的影响传递函数是描述系统输入-输出关系的数学模型，它能够反映系统对输入信号的处理过程。
其中，函数的零点和极点是传递函数的重要特征，它们对于系统的时间响应有着重要的影响。
让我们来了解一下传递函数的零点和极点是什么。
在控制系统中，传递函数可以表示为输入信号和输出信号之间的关系，通常用拉普拉斯变换表示。
传递函数的零点是使得传递函数为零的输入信号频率，而极点则是使得传递函数无穷大的输入信号频率。
一个传递函数的零点和极点的位置可以决定系统的稳定性、阻尼性、响应速度等特性。
首先，我们来看一下零点对系统时间响应的影响。
当传递函数存在零点时，系统的时间响应会出现一些特殊的现象。
比如，当输入信号的频率等于零点的频率时，传递函数为零，系统的输出信号也为零。
这意味着系统对这个频率的输入信号不会产生响应。
这种现象被称为“零消失”。
零点还可以影响系统的稳定性。
当传递函数的零点位于左半平面时，系统是稳定的。
因为左半平面的零点会抵消输入信号的增益，从而使系统的输出保持在一个有限的范围内。
而当零点位于右半平面时，系统是不稳定的，因为右半平面的零点会导致输出信号无限增大。
接下来，我们来看一下传递函数的极点对系统时间响应的影响。
传递函数的极点决定了系统的阻尼性和响应速度。
当极点位于左半平面时，系统的阻尼性较好，能够快速响应输入信号的变化。
而当极点位于右半平面时，系统的阻尼性较差，响应速度较慢。
极点还可以决定系统的稳定性。
当传递函数的极点位于左半平面时，系统是稳定的。
因为左半平面的极点会抵消输入信号的增益，从而使系统的输出保持在一个有限的范围内。
而当极点位于右半平面时，系统是不稳定的，因为右半平面的极点会导致输出信号无限增大。
除了零点和极点的位置，它们的数量也会影响系统的时间响应。
当零点的数量大于极点的数量时，系统的时间响应会变得更加迟滞，响应速度较慢。
而当极点的数量大于零点的数量时，系统的时间响应会变得更加灵敏，响应速度较快。
传递函数零极点对系统性能的影响
现代工程控制理论实验报告学生姓名：任课老师：学号：班级：实验三：传递函数零极点对系统性能的影响一、实验内容及目的实验内容：通过增加、减少和改变高阶线性系统21.05（s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1)的零极点，分析系统品质的变化，从中推导出零极点和系统各项品质之间的关系，进而总结出高阶线性系统的频率特性。
实验目的：（1）通过实验研究零极点对系统品质的影响，寻找高阶线性系统的降阶方法，总结高阶系统的时域特性。
（2）练习使用MATLAB语言的绘图功能，提高科技论文写作能力，培养自主学习意识。
二、实验方案及步骤首先建立MATLAB脚本文件，使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化的高阶线性系统的响应曲线。
之后在以下六种情况下绘出响应曲线，分别分析其对系统输出的影响。
（1）改变主导极点，增减、改变非主导极点，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。
（2）在不引入对偶奇子的前提下，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。
（3）引入对偶奇子，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。
（4）探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线的形成与零极点之间的关系。
三、实验结果分析1、研究极点对系统品质的影响（1）改变主导极点，得到的输出曲线如下：将系统品质以表格方式列于下方。
从两张图片中不难发现，在极点都是负数的条件下，当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大的变化。
从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时，超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标的变化速率随着主导极点离原点的距离减小而增大。
衰减率则出现轻微的先增大后减小的趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近的过程中，衰减率存在极值。
将两幅图片中发现的规律总结如下：（1）主导极点对系统品质有很大影响。
（2）在极点都小于零的条件下，主导极点的代数值越小，系统的准确性越好、快速性也越好。
（2）增减、改变非主导极点，得到的输出曲线如下：将系统品质以表格形式列于下方：首先观察figure2，对比figure1不难发现，对于极点为-0.5、-2、-8对应的曲线，当去掉极点-8时曲线的变化程度明显没有去掉极点-2时剧烈。
全通系统零极点分布特点
全通系统零极点分布特点
全通系统是指其传递函数为全纯函数的线性时不变系统，也就是说其极点都处于复平面内部。
零极点分布是指全通系统中的零点和极点分布在复平面上的位置。
以下是全通系统零极点分布的特点：
1. 极点均在复平面内部
全通系统的传递函数为全纯函数，因此其极点均在复平面内部。
这意味着全通系统的稳定性比其他系统更好。
2. 零点和极点通常成对出现
在全通系统中，零点和极点通常成对出现。
这是由于传递函数是分子多项式与分母多项式的比值所决定的。
如果分母多项式有一个零点，那么传递函数将有一个极点。
同样，如果分子多项式有一个零点，那么传递函数将有一个零点。
因此，在全通系统中，零点和极点的数量通常相等。
3. 零点和极点的位置对系统的性能有影响
在全通系统中，零点和极点的位置对系统的频率响应和稳定性有很大
的影响。
具体来说，零点决定了系统的增益和截止频率，而极点决定
了系统的稳定性和振荡频率。
因此，设计全通系统时需要注意这些因素，并选择合适的零点和极点位置。
4. 零点和极点的数量对系统的复杂度有影响
在全通系统中，零点和极点的数量决定了系统的复杂度。
具体来说，
零点和极点的数量越多，系统的复杂度就越高。
因此，在设计全通系
统时需要考虑性能和复杂度之间的平衡。
综上所述，全通系统的零极点分布对系统的性能和稳定性有重要影响。
在设计全通系统时，需要注意零点和极点的数量和位置，并选择合适
的参数以取得最佳的系统性能。
二节增加零极点对二阶系统响应影响
如图3-23所示，对于单位反馈系统，稳态误差定义为：
表示稳态时系统实际输出值与希望输出值间的偏差。
如图3-24所示，对于非单位反馈系统，稳态误差定义为：
图3-23单位反馈系统
图3-24非单位反馈系统
容易求得，误差信号e(t)与输入信号r(t)之间的传递函数为：
根据终值定理，稳定系统的稳态误差为：
由上式可知，稳态误差与输入信号和系统的参数、结构有关。
图3-25(a),(b),(c),示出某一系统在不同典型输入信号作用下的响应曲线：
图3-25 不同典型信号作用下的稳态误差
二、 稳态误差的计算
控制系统的开环传递函数为：
系统类型常按其开环传递函数中串联0型，1型，……N型系统。 增加型号数，可使系统精度提高，但对稳定性不利，实际系统中N≤2。
对于0型系统，N=0，则：
对于1型系统，N=1，则：
对于2型或高于2型系统，N≥2，则：
以上表明，稳态误差取决于系统的积分器个数，N=0稳态误差为 ，N=1稳态误差为1/K，N≥2则稳态误差为0
（3）单位抛物线信号输入时的稳态误差
已知：
所以稳态误差为：
令：
Ka定义为加速度误差系数，所以：
对于0型或1型系统，N=0或N =1，则：
对于2型系统，N=2，则：
对于3型或3型以上系统，N≥3，则：
控制系统常用其类型数和稳态误差系数来描述，我们将以上三种输入下的稳态误差情况总结于下表3—3
系统
阶跃输入r(t)=1
斜坡输入r(t)=t
抛物线输入r(t)=t2/2
O型 1型 2型
1/(1+K) 0 0
∞ 1/K 0
∞ ∞ 1/K
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现代工程控制理论实验报告学生：任课老师：
学号：班级：
实验三：传递函数零极点对系统性能的影响
一、实验容及目的
实验容：
通过增加、减少和改变高阶线性系统
21.05
（s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1)
的零极点，分析系统品质的变化，从中推导出零极点和系统各项品质之间的关系，进而总结出高阶线性系统的频率特性。
实验目的：
（1）通过实验研究零极点对系统品质的影响，寻找高阶线性系统的降阶方法，总结高阶系统的时域特性。
（2）练习使用MATLAB语言的绘图功能，提高科技论文写作能力，培养自主学习意识。
二、实验方案及步骤
首先建立MATLAB脚本文件，使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化的高阶线性系统的响应曲线。
之后在以下六种情况下绘出响应曲线，分别分析其对系统输出的影响。
（1）改变主导极点，增减、改变非主导极点，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。
（2）在不引入对偶奇子的前提下，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。
（3）引入对偶奇子，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。
（4）探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线的形成与零极点之间的关系。
三、实验结果分析
1、研究极点对系统品质的影响
（1）改变主导极点，得到的输出曲线如下：
将系统品质以表格方式列于下方。
从两图片中不难发现，在极点都是负数的条件下，当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大的变化。
从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时，超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标的变化速率随着主导极点离原点的距离减小而增大。
衰减率则出现轻微的先增大后减小的趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近的过程中，衰减率存在极值。
将两幅图片中发现的规律总结如下：
（1）主导极点对系统品质有很大影响。
（2）在极点都小于零的条件下，主导极点的代数值越小，系统的准确性越好、快速性也越好。
（2）增减、改变非主导极点，得到的输出曲线如下：
将系统品质以表格形式列于下方：
首先观察figure2，对比figure1不难发现，对于极点为-0.5、-2、-8对应的曲线，当去掉极点-8时曲线的变化程度明显没有去掉极点-2时剧烈。
这种现象意味着极点-8对系统输出的影响要弱于极点-2。
再观察figure3，将极点-8改为-100，曲线几乎没发生什么变化，这说明-8对极点的影响程度与-100相差无几。
从这些现象中可以推断出，在极点都为负数的前提下，某个极点越远离原点，其对系统的影响越小，当其距离远到一定程度时，可以将这个极点省去，实现系统降阶。
另外从系统品质的变化中可以发现，对于一个高阶线性系统，当它的非主导极点越靠近负半轴，稳定时间越短，衰减率越小，超调量越大，对应的快速性越好，稳定性越差，准确性越来越差但最终的稳定值几乎不变。
总结从这三图片中发现的规律如下：
（1）越远离原点的负极点对系统输出的影响越小。
（2）主导极点相同时，非主导极点越靠近负半轴方向，系统
准确性性越差，稳定性越差，但快速性在增加。
（3）比较主导极点与非主导极点对输出曲线的影响程度：
4图片中的前两图片改变的都是非主导极点，输出曲线变动程度较小；而下面两图片改变的是主导极点，输出曲线的变化程度较大。
从中可以总结出，主导极点对系统输出的影响程度明显大于非主导极点对系统输出的影响程度。
（4）引入非负极点，得到的输出曲线如下：
可以发现，当系统的传递函数存在非负极点时，系统的输出曲线都是不稳定的。
且其发散的剧烈程度随着非负极点的增大而增大。
2、研究零点对系统品质的影响
（1）在不引入对偶奇子的前提下，引入非负零点得到的输出曲线如下：
两图片，分别引入了零点0和零点1，可以发现系统的输出曲线出现负值，对于一般情况下的系统这种输出是不允许。
因此在这种情况下，不再进行进一步分析。
（3）在不引入对偶奇子的前提下，引入非负零点得到的输出曲线如下：
引入零点的三条曲线对应的品质如下
F15 F17 F18
零点-1 -10 -100
Ts（稳定时间）5.0275 5.7675 5.8675
MP（超调量）25.0488 13.4866 13.4022
FAI（衰减率）0.98244 0.99731 0.99819 首先观察三图像，加入零点-1对曲线的影响程度明显比
加入零点-100或-10的曲线影响程度大。
而且虽然-10到-100零点改变程度明显比-1到-10大，但由-10到-100曲线的各项品质的变化明显弱于-1到-10。
可见，零点越靠近负实轴方向，对曲线的影响程度越小。
其次观察各项品质随零点的变化。
零点-100代数值最小，稳定时间最大，超调量最小，衰减率最大；零点-1代数值最大，稳定时间最小，超调量最大，衰减率最小。
可见，负零点代数值越小，稳定时间越大，超调量越小，衰减率越大；
总结发现的规律如下：
（1）对于负零点，零点代数值越小，对系统的影响越小，一定程度下可以忽略，实现降阶。
（2）对于负零点，零点代数值越小，系统的快速性越好，准确性越好，稳定性越差。
3、研究对偶极子对系统品质的影响
（1）引入对偶奇子，得到的输出曲线如下：
观察figure2可以发现，对于一个零点为-7.7519，极点为-8、-2、-0.5的高阶线性系统与极点为-2、-0.5的高阶线性系统在阶跃信号下的输出曲线几乎重合。
同样对于figure3也是如此。
这说明出现对于具有对偶极子的系统，其响应曲线与将对偶极子去掉的系统的输出曲线几乎相同。
将三图像对应的系统品质列于下方。
观察表格中的数据可以发现，当对偶极子之中的极点不是系统的主导极点时，这时系统输出的各项品质与去掉这对对偶极子的系统的输出品质相差不多。
因此可以进一步推导出，为了对高阶系统进行降阶，可以去掉那些不包括主导极点的对偶极子。
4、探究单调、振荡曲线与极点之间的关系
得到的输出曲线如下：
首先观察三图片，系统输出曲线虽然都是稳定曲线，但其中有慢爬曲线，也有非慢爬曲线。
为了寻找其中的规律，现将其零极点与曲线形式以表格形式列在下方。
F1 F17 F30 F26 F18 F29 零
点
none none none none none none
特征多项式的根-8,-2,
-0.58±0.86
6i
-8,-2
,
-0.5
-8,-0.25,
-0.5±0.86
6i
-8,-2
,
-0.25
-0.25±0.661
4i
-0.2
5
曲慢爬非慢非慢爬非慢慢爬非慢
线
形
式
爬爬爬
不难发现，其中所有慢爬曲线的主导极点对应的根都有虚部，而所有的非慢爬曲线的主导极点对应的根都是实根。
因此可以总结为，对于没有零点且所有极点都是负数的系统在阶跃信号下的系统，当主导极点对应的根有虚部时，系统的输出是有超调的、最终能稳定的曲线，当主导极点对应的根没有虚部时，系统的输出曲线是单调曲线。
四、实验中存在的问题
1、当对
21.05
（s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1)
类似的高阶系统，引入非负零点时曲线会发散，那什么时间会出现那种先平稳后上下震荡的曲线（如图下图figure1），什么时间会出现那种类似单调的发散曲线（如下图figure2）。