(完整word)相交线与平行线提高题

【例题】如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，且OM平分∠NOC．若∠BOC=4∠NOB，求∠MON的度数．

【分析】遇到类似“∠BOC=4∠NOB”这样条件，常设∠NOB=2x，∠BOC=8x （目的为了计算和书写方便，也为了更好理解，是常法——强烈建议），则有∠CON＝6x，再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到∠MON=0.5∠CON=3x，∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°，求出x的值，进一步即可得∠MON的度数．

【解】设∠NOB=2x，∠BOC=8x，

则∠CON=∠COB﹣∠BON

=8x﹣2x=6x.

∵OM平分∠CON，

∴∠MON=0.5∠CON=3x，

∵OM⊥AB，

∴∠AOM=90°，

∴∠BOM=∠MON+∠NOB

=3x+2x=90°，

解得x=180，

∴∠MON=3x=3×18°=54°，

即∠MON的度数为54°．

【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，同时务必要注意解题规范，几何书写入门必须严格掌握

【练习】

如图，已知AB、CD相交于点O，OB平分∠COE，OF⊥AB于O，

（1）若∠EOF=120°，求∠AOD的度数；

（2）若∠BOE=1/4∠EOF，求∠DOE的度数

【解】（1）

∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°

又∵∠EOF=120°

∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°

∵OB平分∠COE

∴∠BOC=∠BOE=30°

∵∠AOD=∠BOC

∴∠BOC=30°；

（2）设∠BOE＝x,则∠EOF=4x

∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE

=4x－x=3x.

∵∠BOF=90°，

∴3x=90°，解得:x=30°

∵OB平分∠COE，

∴∠COE=2∠BOE=2x=60°

∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°．

【例题】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，

(1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；

(2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数(用含α的式子表示)；

(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？

（1）∵∠AOE+∠AOF=180°

（邻补角的定义），

∴∠AOF=180°－∠AOE，

＝1800－400＝140°；

又∵OC平分∠AOF，

∴∠FOC=0.5∠AOF=70°，

∴∠EOD=∠FOC=70°

（对顶角相等）；

而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，

∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；

（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，

（邻补角的定义）

∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α；

又∵OC平分∠AOF，

∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α，

∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α

（对顶角相等）；

而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，

∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α；

（3）从（1）（2）的结果中不难观察出：∠AOE=2∠BOD．

【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规范.

【练习】O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．

（1）如图（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；

（2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数；

（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立．

【解答过程】

（1）∵EO是∠AOB的平分线，

∠AOB=130°，

∴∠AOE＝0.5∠AOB＝650.

∵OB⊥OF，∴∠BOF=90°，

∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF

=130°﹣90°=40°，

∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF

=65°﹣40°=25°；

（2）∵∠AOB=α，90°＜α＜180°，

EO是∠AOB的平分线，

∴∠AOE=0.5∠AOB＝0.5α，

∵∠BOF=90°，∴∠AOF=α﹣90°，

∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF

=0.5α﹣（α﹣90°）

=900－0.5α；

（3）如下图示，

∵∠AOB=α，0°＜α＜90°，

∴∠BOE=∠AOE=0.5α，

∵∠BOF=90°，

∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE

=900－0.5α．

【试题】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．

【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：内错角∠2和∠E相等.

证明：∵AE平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠CFE

∵∠CFE=∠E，

∴∠2=∠E，

∴AD∥BC．

【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用．

【拓展】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CEF=∠F．求证：AD∥BC．