立体几何与空间向量 (1)
空间向量与立体几何(整章教案
空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，理解向量是有大小和方向的量。
学习如何用坐标表示空间中的向量，包括二维和三维空间中的向量。
1.2 向量的加法和数乘学习向量的加法运算，掌握三角形法则和平行四边形法则。
学习向量的数乘运算，理解数乘对向量大小和方向的影响。
1.3 向量的长度和方向学习向量的长度（模）的定义和计算方法。
学习向量的方向，理解余弦定理在向量夹角计算中的应用。
1.4 向量垂直与向量积学习向量垂直的概念，掌握向量垂直的判定方法。
学习向量积的定义和计算方法，理解向量积的几何意义。
第二章：立体几何基础2.1 平面和直线学习平面的定义和表示方法，掌握平面的基本性质。
学习直线的定义和表示方法，掌握直线的性质和判定方法。
2.2 点、线、面的位置关系学习点、线、面之间的位置关系，包括点在线上、点在面上、线在面上的判定。
学习线与线、线与面、面与面之间的位置关系。
2.3 空间角的计算学习空间角的定义和计算方法，包括二面角和平面角的计算。
学习空间角的性质和应用，理解空间角在立体几何中的重要性。
2.4 立体几何中的定理和公式学习立体几何中的重要定理和公式，如欧拉公式、施瓦茨公式等。
学会运用定理和公式解决立体几何问题。
后续章节待补充。
空间向量与立体几何第六章：空间向量的应用6.1 向量在几何中的应用学习利用向量解决几何问题，如计算线段长度、向量夹角、向量垂直等。
掌握向量在三角形和平面几何中的应用。
6.2 向量在物理中的应用引入物理中的向量概念，如速度、加速度、力等。
学习利用向量解决物理问题，如计算物体的运动轨迹、速度变化等。
6.3 向量在坐标变换中的应用学习坐标变换的基本概念，如平移、旋转等。
掌握利用向量进行坐标变换的方法和应用。
第七章：立体几何中的特殊形状7.1 柱体和锥体学习柱体和锥体的定义和性质，包括圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等。
掌握计算柱体和锥体的体积、表面积等方法。
7.2 球体学习球体的定义和性质，掌握球体的方程和参数。
(浙江专用)高考数学总复习 第八章 立体几何与空间向量 第7讲 立体几何中的向量方法(一)—证明平行
第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.知识梳理1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝01.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( )(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.( )答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不对解析∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直.答案 C3.已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A.(－1，1，1)B.(1，－1，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 D.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 解析 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，∴x ＝y ＝z .答案 C4.(2017·青岛月考)所图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________.解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设|AD |＝2，则A (2，0，0)，M (0，0，1)，O (1，1，0)，N (2，1，2)，所以AM →＝(－2，0，1)，ON →＝(1，0，2)，因此AM →·ON →＝－2＋0＋2＝0，故AM ⊥ON .答案 垂直5.(2017·杭州调研)设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ＝(2，2，4)，若a ＝(1，1，2)，则直线l 与平面α的位置关系为________；若a ＝(－1，－1，1)，则直线l 与平面α的位置关系为________. 解析 当a ＝(1，1，2)时，a ＝12n ，则l ⊥α；当a ＝(－1，－1，1)时，a ·n ＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l ∥α或l ⊂α. 答案 l ⊥α l ∥α或l ⊂α6.(2017·绍兴月考)设α，β为两个不同的平面，u ＝(－2，2，5)，v ＝(1，－1，x )分别为平面α，β的法向量.(1)若α⊥β，则x ＝________； (2)若α∥β，则x ＝________.解析 (1)由α⊥β，得u ·v ＝0，即－2－2＋5x ＝0，x ＝45；(2)由α∥β，得u ∥v ，即－21＝2－1＝5x ，x ＝－52.答案 (1)45 (2)－52考点一 利用空间向量证明平行问题【例1】 如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .证明 法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz . 由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0). 设点C 的坐标为(x 0，y 0，0). 因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0).∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则(x －x 0，y －y 0，0)＝14(－x 0，2－y 0，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，∴OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0又由法一知PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0，∴OF →＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 【训练1】 如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).法一 ∴EF →＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， ∵PB →＝(2，0，－2)，∴PB →·n ＝0，∴n ⊥PB →， ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .法二 PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)， FG →＝(1，1，－1).设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →， 又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 考点二 利用空间向量证明垂直问题【例2】 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明： (1)PA ⊥BD ；(2)平面PAD ⊥平面PAB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，PA →＝(1，－2，－3). ∵BD →·PA →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴PA →⊥BD →，∴PA ⊥BD .(2)取PA 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·PA →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PA →，即DM ⊥PA .又∵PA ∩PB ＝P ， ∴DM ⊥平面PAB .∵DM ⊂平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面PAB .规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 【训练2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明 法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一个基底， 则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ，AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，故AB 1⊥平面A 1BD . 法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0).设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0). 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD .考点三 利用空间向量解决探索性问题【例3】 (2017·湖州调研)如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO . 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD ，以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)，AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设n 3⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，设n 3＝(x 3，y 3，z 3)，⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .规律方法 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在. 【训练3】 在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点. (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 坐标；若不存在，试说明理由.(1)证明 由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直.如图，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0).∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，从而得EF ⊥CD . (2)解 假设存在满足条件的点G ，设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2；由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，即存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点.[思想方法]1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直. [易错防范]1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.。
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
空间向量与立体几何复习课ppt课件
一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向 量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面 所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
空间向量与立体几何知识点和知识题(含答案解析)
§1－3 空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．(2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b．③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜c os〈a，b〉；②空间向量的数量积的性质：a·e＝|a｜c os＜a，e＞；a⊥b a·b＝0；|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．③空间向量的数量积的运算律： (a )·b ＝(a ·b )；交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；a ＝(a 1，a 2，a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝b ⇔a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 3＝b 3(∈R )；a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a ba b a在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是.)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面，的法向量分别是u ，v ，则①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；⑤∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥⊥⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，直线a 与平面的夹角为，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l －在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB叫做二面角－l －的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：如图，若AB ，CD 分别是二面角－l －的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角－l －的大小就是向量CD AB 与的夹角的大小．方法二：如图，m 1，m 2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则〈m 1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题． 【例题分析】例1 如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且B 1S ＝2SB ，点Q ，R 分别是O 1B 1，AE 的中点，求证：PQ ∥RS ．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2PA 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ， ∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)．由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试． 例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为，则,52||||cos ==⋅CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a 得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)．设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵PA ＝AC ＝1，PA ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面PAB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)， 平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角， ∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面PAC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设PA ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP ==∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．∴BC ⊥平面PAC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， ∴∠DAE 是直线AD 与平面PAC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠AE AD DAE 即直线AD 与平面PAC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∠PAC ＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3． 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，⊥，∩＝l ，A ∈，B ∈，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与，所成的角分别是和ϕ，AB 在，内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)＞ϕ，m ＞n (B)＞ϕ，m ＜n (C)＜ϕ，m ＜n(D)＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______．6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为，则cos＝______．三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN∥平面OCD；(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小．11．如图，已知直二面角－PQ－，A∈PQ，B∈，C∈，CA＝CB，∠BAP ＝45°，直线CA和平面所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a、b和平面，下列命题正确的是( )(A)若a ∥b ，b ⊂，则a ∥ (B)若a ∥，b ⊂，则a ∥b (C)若a ∥，b ∥，则a ∥b(D)若a ⊥，b ⊥，则a ∥b2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38 (C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是( )(A)3cm 34000 (B)3cm 38000 (C)2000cm 3(D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23(D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______．8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形； ③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ； (Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，M 为PC的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB⊥平面MAB；(Ⅱ)求三棱锥P－ABC的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是A1C1、BC1的中点．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；(Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n ∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ． ∵⊥，∩＝PQ ，∴CO ⊥．又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥，∴∠CAO 是CA 和平面所成的角，则∠CAO ＝30°．不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ 即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9 9．5 10．①、②、③三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ．∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ． ∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1， 则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量， 则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)． 同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵PA ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面PAC ，故AB ⊥PC ．∵PA ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ， 又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ． (Ⅱ)Rt △PAB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △PAC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△PAB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ， 又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ． ∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ， 则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||.BA BM BA BM =即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得＝1．∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅ ∴cos〉MS ,G B 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。
(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
人教A版高中数学选修1第一章空间向量与立体几何1
第一章 1.2A 级——基础过关练1．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．2aB ．2bC ．2a ＋3bD ．2a ＋5c【答案】D【解析】由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以a ，b ，c 不共面，在四个选项中，只有2a ＋5c 与p ，q 不共面，因此，2a ＋5c 与p ，q 能构成一组基底．故选D ．2．如图，设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 【答案】A【解析】由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34[OA →＋13(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，从而x ＝y ＝z ＝14．3．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935【答案】D【解析】∵|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，∴a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19．|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－2×6＋36＝7，因此cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935．4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N ．设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( )A ．13a ＋13b －c B ．a ＋13b ＋13cC ．13a －13b ＋13cD ．13a ＋13b ＋13c 【答案】D【解析】MN →＝BN →－BM →＝BB 1→＋B 1N →－BM →，因为BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N ，BB 1→＝AA 1→，所以MN →＝AA 1→＋13B 1C 1→－23BA 1→＝AA 1→＋13BC →－23(AA 1→－AB →)＝AA 1→＋13(AC →－AB →)－23(AA 1→－AB →)＝13AA 1→＋13AC →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c ．5．已知{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值为( )A ．α＝52，β＝－1，γ＝－12B ．α＝－1，β＝52，γ＝－12C ．α＝－12，β＝52，γ＝－1D ．α＝－1，β＝－12，γ＝52【答案】A【解析】由题意得a ，b ，c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(α，β，γ)，使得d ＝αa ＋βb ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3．又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12．故选A ．6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝()A ．23a －13b ＋23cB ．23a ＋23b －13c C ．－13a ＋23b ＋23cD ．a ＋b ＋c【答案】A【解析】PG →＝PB →＋BG →＝PB →＋23BD →＝PB →＋23(BA →＋BC →)＝PB →＋23(PA →－PB →＋PC →－PB →)＝23PA →－13PB→＋23PC →＝23a －13b ＋23c ．故选A ． 7．(多选)(2021年张家口期中)下列说法中正确的是( )A ．空间向量的一个基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3一定都是非零向量B ．在空间向量基本定理中，若a ＝0，则λ1＝λ2＝λ3＝0C ．若单位向量e 1，e 2的夹角为2π3，则e 1在e 2方向上的投影向量是－12e 2D ．空间的基底是唯一的 【答案】ABC【解析】选项A ，作为基底的向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e 1，e 2，e 3一定都是非零向量，故A 正确；选项B ，a ＝0＝0·e 1＋0·e 2＋0·e 3，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1＝λ2＝λ3＝0，故B 正确；选项C ，e 1在e 2方向上的投影向量为e 1·e 2||e 2e 2＝－12e 2，故C 正确；选项D ，空间中任何不共面的三个向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误．故选ABC ．8．从空间一点P 引出三条射线PA ，PB ，PC ，在PA ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】－23a ＋12b ＋12c【解析】GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c ．9．已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________．【答案】3a ＋3b －5c【解析】取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c ．10．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，M 是PC 的中点，问向量PA →，MB →，MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．解：PA →，MB →，MD →不可以组成一个基底． 理由如下：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OM ．因为ABCD 是平行四边形， 所以O 是AC ，BD 的中点． 在△BDM 中，MO →＝12(MD →＋MB →)，在△PAC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12PA →，即PA →＝MD →＋MB →，即PA →与MD →，MB →共面．所以PA →，MB →，MD →不可以组成一个基底．B 级——能力提升练11．(多选)(2021年青岛月考)已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{}MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的是( )A ．OM →＝12OA →＋13OB →＋14OC →B ．MA →＝MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．6OM →＝OA →＋2OB →＋3OC →【答案】AC【解析】对于选项ACD ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即MA →，MB →，MC →共面，所以选项A 中，MA →，MB →，MC →不共面，可以构成基底，选项C 中，MA →，MB →，MC →不共面，可以构成基底；选项D 中，因为6OM →＝OA →＋2OB →＋3OC →，所以OM →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即MA →，MB →，MC →共面，无法构成基底，故选项D 错误；对于选项B ，根据平面向量基本定理，因为MA →＝MB →＋MC →，得MA →，MB →，MC →共面，无法构成基底，故选项B 错误．故选AC ．12．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8，6，4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12，14，10)B ．(14，12，10)C ．(10，12，14)D ．(12，10，14)【答案】A【解析】设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12，14，10)．故选A ．13．若{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．【答案】x ＝y ＝z ＝0【解析】若x ≠0，则a ＝－y x b －z xc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0．14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若向量AE →在以{AA 1→，AB →，AD →}为单位正交基底下的坐标为(1，x ，y )，则x ＝________，y ＝________．【答案】12 12【解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →．15．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 解：(1)D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝D 1D →＋12DB →＝A 1A →＋12(AB →－AD →)＝－AA 1→＋12AB →－12AD →＝－c ＋12a －12b ，所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－1．。
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第30练 空间角的突破方略题型一 异面直线所成的角例1 在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BA 1与AC 所成的角． 破题切入点 利用BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|×cos 〈BA 1→，AC →〉，求出向量BA 1→与AC →的夹角〈BA 1→，AC →〉，再根据异面直线BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角．还可用几何法或坐标法． 解 方法一因为BA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝AB →＋BC →， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(AB →＋BC →)＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB 1→·AB →＋BB 1→·BC →. 因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 所以BA →·BC →＝0，BB 1→·AB →＝0， BB 1→·BC →＝0，BA →·AB →＝－a 2. 所以BA 1→·AC →＝－a 2.又BA 1→·AC →＝|BA 1→|·|AC →|·cos 〈BA 1→，AC →〉， cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ×2a＝－12.所以〈BA 1→，AC →〉＝120°.所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°. 方法二连接A 1C 1，BC 1，则由条件可知A 1C 1∥AC ， 从而BA 1与AC 所成的角亦为BA 1与A 1C 1所成的角， 由于该几何体为边长为a 的正方体， 于是△A 1BC 1为正三角形，∠BA 1C 1＝60°， 从而所求异面直线BA 1与AC 所成的角为60°. 方法三 由于该几何体为正方体，所以DA ，DC ，DD 1两两垂直且长度均为a ，于是以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 于是有A (a,0,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，B (a ，a,0)， 从而AC →＝(－a ，a,0)，BA 1→＝(0，－a ，a )， 且|AC →|＝|BA 1→|＝2a ，AC →·BA 1→＝－a 2， ∴cos 〈AC →，BA 1→〉＝－a 22a ·2a ＝－12，〈AC →，BA 1→〉＝120°，所以所求异面直线BA 1与AC 所成角为60°. 题型二 直线与平面所成的角例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．破题切入点 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量． (1)证明以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)， 则A (1,0,0)，B (0,1,0)．设C (m,0,0)，P (0,0，n ) (m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，m 2，0. 可得PE →＝⎝⎛⎭⎫12，m 2，－n ，BC →＝(m ，－1,0)．因为PE →·BC →＝m 2－m 2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)解 由已知条件可得m ＝－33，n ＝1， 故C ⎝⎛⎭⎫－33，0，0，D ⎝⎛⎭⎫0，－33，0，E ⎝⎛⎭⎫12，－36，0， P (0,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0.因此可以取n ＝(1，3，0)．又P A →＝(1,0，－1)， 所以|cos 〈P A →，n 〉|＝24.所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 题型三 二面角例3 如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．破题切入点 以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系．(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)， D (0,2,0)，E (0,1,1)， F (0,0,1)， M ⎝⎛⎭⎫12，1，12. BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明 由AM →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ， 故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ， 所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解 设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)． 所以cos u ，v ＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13×1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为3. 总结提高 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角． (1)异面直线所成的角的范围是(0，π2]．求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决． 具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角．(2)直线与平面所成的角的范围是[0，π2]．求直线和平面所成的角用的是射影转化法．具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算．注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θ≤α. (3)确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a．如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b．如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c．如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4)二面角的范围是(0，π]，解题时要注意图形的位置和题目的要求．作二面角的平面角常有三种方法．①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．1．(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 答案 C解析 方法一 补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角． 由于∠BCA ＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC ＝CA ＝CC 1， 可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1,1,2)，N (0,1,2)， ∴BM →＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，AN →＝(0,1,2)． ∴cos 〈BM →，AN →〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|＝－1＋4(－1)2＋(－1)2＋22×02＋12＋22＝36×5 ＝3010.方法二 通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解．如图(2)，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN 綊12B 1C 1綊BD ，因此有ND 綊BM ，则ND 与NA 所成的角即为异面直线BM 与AN 所成的角．设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝3010.2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是( ) A.64 B.16 C.63 D.32答案 C解析 建立空间直角坐标系如图所示．设正方体的棱长为1，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝1. ∴n ＝(－1,1,1)，∴sin θ＝|cos 〈n ，BC 1→〉|＝|1＋13·2|＝63.3．如图，过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 B解析 将四棱椎P －ABCD 还原成正方体， 可知∠APD 为平面ABD 与平面PCD 的平面角， 即∠APD ＝45°.4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是( )A.63B.66C.33 D.22答案 B 解析以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，A (1，0,0)，C (0,0,0)， 则A 1B →＝(－1,1，－2)， AC →＝(－1,0,0)，cos 〈A 1B →，AC →〉＝A 1B →·AC →|A 1B →||AC →|＝11＋1＋4＝66.5．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝a .点E 为侧棱PC 的中点，又作DF ⊥PB 交PB 于点F ，则PB 与平面EFD 所成角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 D 解析建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，D 为坐标原点．则P (0,0，a )，B (a ，a,0)， E (0，a 2，a 2)．故PB →＝(a ，a ，－a )， DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， 所以PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ，由已知DF ⊥PB ，且DF ∩DE ＝D ， 所以PB ⊥平面EFD ，所以PB 与平面EFD 所成角为90°.6．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，则下面结论错误的为( ) A ．AC ⊥BDB ．△ACD 是等边三角形C ．AB 与平面BCD 所成的角为60°D ．AB 与CD 所成的角为60° 答案 C解析 取BD 中点O ，连接AO 、CO ， 则AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴BD ⊥平面AOC ，∴AC ⊥BD ，又AC ＝2AO ＝AD ＝CD ， ∴△ACD 是等边三角形，而∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角，应为45°. 又AC →＝AB →＋BD →＋DC →(设AB ＝a )， 则a 2＝a 2＋2a 2＋a 2＋2·a ·2a ·(－22) ＋2a ·2a ·(－22)＋2a 2cos 〈AB →，DC →〉， ∴cos 〈AB →，DC →〉＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°.7．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是______．答案 60°解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°.8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________． 答案 13解析如图，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则D 1(0,0,1)，C 1(0,2,1)，A 1(1,0,1)，B (1,2,0)， ∴D 1C 1→＝(0,2,0)，设平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝(x ，y ，z )·(－1，2，0)＝－x ＋2y ＝0，n ·A 1B →＝(x ，y ，z )·(0，2，－1)＝2y －z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝2y ，令y ＝1，得n ＝(2,1,2)， 设D 1C 1与平面A 1BC 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈D 1C 1→，n 〉|＝|D 1C 1→·n ||D 1C 1→||n |＝22×3＝13.9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．答案 90°解析 方法一 连接MD 1，易证△DD 1M ≌△CDN ， 则∠NDM ＝∠DD 1M ，∴∠NDM ＋∠D 1MD ＝∠DD 1M ＋∠D 1MD ＝90°， 即DN ⊥D 1M ，又A 1D 1⊥平面DC 1， ∴A 1D 1⊥DN ，∴DN ⊥平面A 1D 1M . ∵A 1M ⊂平面A 1D 1M ，∴A 1M ⊥DN . 即A 1M 与DN 所成的角为90°. 方法二 (空间向量法)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴， 设正方体边长为2，则D (0,0,0)，N (0,2,1)，M (0,1,0)，A 1(2,0,2)， ∴DN →＝(0,2,1)，MA 1→＝(2，－1,2)， cos 〈DN →，MA 1→〉＝DN →·MA 1→|DN →||MA 1→|＝0，∴A 1M 与DN 的夹角为90°.10．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________． 答案 30° 解析如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P (0，－a 2，a2)，则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝(－a ，－a 2，a 2)，CB →＝(a ，a,0)．设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)， 则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 所成的角为90°－60°＝30°.11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：PE⊥平面ABCD；(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；(3)求直线BM与CD所成角的余弦值．(1)证明因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD.(2)解连接EC，设EC的中点为H，连接MH，HB，如图．因为M是PC的中点，H是EC的中点，所以MH∥PE.由(1)，知PE ⊥平面ABCD ， 所以MH ⊥平面ABCD ，所以HB 是BM 在平面ABCD 内的射影． 所以∠MBH 为直线BM 与平面ABCD 所成的角．因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 的中点，∠ADC ＝90°，所以四边形BCDE 为矩形， 所以EC ＝2，HB ＝12EC ＝1.又MH ＝12PE ＝32，所以在△MHB 中，tan ∠MBH ＝MH HB ＝32.所以直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值为32. (3)解 由(2)，知CD ∥BE ，所以直线BM 与CD 所成角为直线BM 与BE 的夹角． 连接ME ，在Rt △MHE 中，ME ＝72，同理求得BM ＝72， 又BE ＝CD ＝3，所以在△MEB 中，cos ∠MBE ＝BM 2＋BE 2－ME 22BM ×BE＝74＋3－742×72×3＝217，所以直线BM 与CD 所成角的余弦值为217. 12.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∠DAB ＝60°，AD ＝2，AM ＝1，E 是AB 的中点．(1)求证：AN ∥平面MEC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为π6？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 由已知，MN ∥AD ∥BC ，连接BN ，设CM 与BN 交于F ，连接EF ，如图所示．又MN ＝AD ＝BC ，所以四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点．又E 是AB 的中点，所以AN ∥EF .因为EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以AN ∥平面MEC .(2)解 如图所示，假设在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为π6. 延长DA ，CE 交于点Q ，过A 作AH ⊥EQ 于H ，连接PH . 因为四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以MA ⊥平面ABCD ，又CQ ⊂平面ABCD ，所以MA ⊥EQ ，EQ ⊥平面P AH ，所以EQ ⊥PH ，∠PHA 为二面角P －EC －D 的平面角．由题意，知∠PHA ＝π6. 在△QAE 中，AE ＝1，AQ ＝2，∠QAE ＝120°，则EQ ＝12＋22－2×1×2cos 120°＝7，所以AH ＝AE ×AQ sin 120°EQ ＝37. 又在Rt △P AH 中，∠PHA ＝π6， 则AP ＝AH ×tan 30°＝37×33＝17＝77<1. 所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P －EC －D 的大小为π6， 此时AP 的长为77.。