4.1_线性方程组的基本概念

3. 设1 a1 , a2 , a3 , 2 b1 , b2 , b3 , 3 c1 , c2 , c3 ,
T T T
则下列三条直线: L1 : a1 x b1 y c1 0, L2 : a2 x b2 y c2 0, L : a x b y c 0, 3 3 3 3 ( A) 1 , 2 , 3线性相关; ( B ) 1 , 2 , 3线性无关; (C ) r 1 , 2 , 3 r 1 , 2 ; ( D ) 1 , 2 , 3线性相关,1 , 2线性无关.
因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
注:
定理表明对增广矩阵作 行初等变换不改变方 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩阵A [a ij ]mn 是线性方程组的系数矩 阵 , 用Ai 记A 的第i列, 即 Ai [a 1i ,a 2 i ,,a mi ]T , i 1,2,, n
(1) 若1 , 2 , 3不共面，则方程组只有 零解X [0,0,0]T
( 2) 若1 , 2 , 3 共面但不共线，则垂直 于 i , i 1,2,3的 向量X均是解，这些解彼此平 行
( 3) 若1 , 2 , 3 共线，则以 i 为法向的平面是所有向 量 都是解, 即解向量组成一个平面
证
定理1： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
x1 A1 x2 A2 xn An 0有非零解
A1 , A2 ,, An 线性相关 rA1 , A2 ,, An n
即r A n
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
注： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 仅有零解
思考题:
1. m n型齐次线性方程组 AX 0只有零解的 充要条件是 ( A) ( A) A的列向量的行向量线性无关 ( D ) A的行向量线性相关
定理 2: n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B A, b 的秩.
其中每一个方程都表示 平面上一条直线, 一个2 2 型线性方程组中两直线 在平面上的位置有下列 三 种情况 :
(1) 两直线相交于一点， 则交点就是方程组的唯 一解； ( 2) 平行，则该方程组无 解
( 3) 重合，则直线上任何 一个点都是方程组的解
例:
3 3型齐次线性方程组的一 般形式为：
的秩相等.
• 第一章的克莱姆法则是针对方程的个数与未知 量的个数相同时来考虑的，由于它的系数矩阵 的行和列数相同，因而我们可以借助于行列式 来研究。 然而，本章学习的线性方程的系数矩阵一般非 方阵，因而我们借助于列向量组的秩来考虑。 另外，注意齐次线性方程组可以看成是非齐次 线性方程组常数列均为0的情形，因而对于非 齐次线性方程适用的结论对齐次方程也是适用 的。
小结: 与方程组 Ax b有解等价的命题

线性方程组 Ax b有解
向量b能由A的列向量组A1 , A2 ,, An线性表示 ;
向量组A1 , A2 ,, An与向量组A1 , A2 ,, An , b等价;
矩阵A A1 , A2 ,, An 与矩阵B A1 , A2 ,, An , b
则m n型线性方程组可表示为 x1 A1 x2 A2 xn An b
方程组有解等价于 b是A的列向量的线性组合 ;
方程组的解就是列向量 线性组合的组合系数 .
如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B ， 思考: 讨论线性方程组 Ax b 的解．
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
故向量[ x1 k1 , x2 k2 ,, xn kn ]T 也是AX b的解,
与AX b的解唯一矛盾. 故r ([ Ab]) r ( A) n.
充分性．
r ([ Ab]) r ( A) n时, 方程组AX b有解, 故
{ A1 , A2 ,, An , b}线性相关, 而{ A1 , A2 ,, An }线性无关.
称Amn为线性方程组的 程组的 系数矩阵;[ Ab]称为线性方
方程组的解是 使矩阵等式成立的 n维向量X 增广矩阵 ;
设矩阵 A和B是行初等变换下等价的 矩阵, 定理 4.1: 即存在可逆矩阵 P , 使PA B , 则线性方程组AX b BX Pb是等价的线性方程组
第4.1节 线性方程组的 基本概念
主要内容 一、 线性方程组的一般形式 二、线性方程组的矩阵形式 三、线性方程组的向量形式
一、线性方程组的一般形式
含m个方程，n个未知量的线性方程组 的一般形式为：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
证 : 设向量 X是方程组AX b的任何一个解,
有AX b, 两边左乘矩阵P , 则有 BX Pb, 即X也是BX Pb的一个解.
反之, 任取BX Pb的一个解, 两边左乘P 1 , 则有P 1 BX b, 即AX b, 所以X是AX b的一个解
又 A , A ,, A A , A ,, A , b 1 2 n 1 2 n



A1 , A2 , , An , b A1 , A2 , , An 的极大线性无关组是
的极大线性无关组 . 故b是A1 , A2 ,, An 的线性组合
即Ax b有解
一解的充分必要条件是 r [ A, b] r A n
其中ai2 bi2 0, i 1,2,3, 交于一点的充要条件是 ( D )
4. 若齐次线性方程组 tx1 x2 x3 0, x1 tx2 x3 0, x x x 0, 1 2 3 t 1 只有零解, 则t应该满足条件__________
不全为零的数k1 , k2 ,, kn , 使 k1 A1 k2 A2 kn An 0
b [ x1 A1 x2 A2 xn An ] k1 A1 k2 A2 kn An ( x1 k1 ) A1 ( x2 k2 ) A2 ( xn kn ) An ,
a11 x1 a12 x2 a13 x3 0 a21 x1 a22 x2 a23 x3 0 a x a x a x 0 31 1 32 2 33 3
其中每一个方程都表示 一个以向量 i [ai 1 , ai 2 , ai 3 ]T
1 , 为法向量，过点 [0,0,0]T 其解是一个与 的平面. 2 , 3均正交的向量X .
设有 m n型线性方程组( I )和k n型 定义 4.1: 线性方程组( II ), 如果( I )和( II )的解向量集合相等 , 则称( I )和( II )为 等价的线性方程组
二、线性方程组的矩阵表示
利用矩阵乘法, m n型线性方程组可表示为 Amn X n1 bm1 ,
n 元非齐次线性方程组 Amn X b 有唯 定理3:
证: 必要性． 已知AX b有唯一解, 则由定理2,
r [ Ab] r A 且有唯一解向量 [ x1 , x2 , , xn ]T , 使
b x1 A1 x2 A2 xn An .
设r A n, 则向量组A1 , A2 ,, An 线性相关, 存在
由定理3.2, b可由A1 , A2 ,, An唯一的线性表示 , 从而 AX b有唯一解
思考题:
2. 对m n型非齐次线性方程组 AX b, 设 r A r , 则下列命题中正确的是 ( A) ( A) 若r m , 则方程组AX b有解 ( B ) 若r n, 则方程组AX b有唯一解 (C ) 若m n, 则方程组AX b有唯一解 ( D ) 若r n, 则方程组AX b有无穷多解
证: 必要性 Ax b有解, 则
b是A的列向量的线性组合
A的列向量组A1 , A2 ,, An 等价于A1 , A2 ,, An , b
所以二者秩相等 , 即r A r B
充分性.
r A r B ,
即rA1 , A2 ,, An rA1 , A2 ,, An , b
其中x1 , x2 ,, xn为未知量, aij 和bi 为常数; 称为m n型线性 方程组
如果b 0, 则称方程组为齐次线性方程组
如果存在bi 0, 则称方程组为非齐次线性方程组
例:
2 2型线性方程组的一般形 式为：
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2