两条直线平行的条件
平行线的判定与性质的条件和结论
平行线的判定与性质的条件和结论
在对平行线的判定与性质的条件和结论进行分析时，应考虑以下几个方面：
首先，有关两条直线的判定与性质，我们应该得出以下结论：如果两条直线l、l'之间存在唯一公共直线，即他们分别以入射角与出射角来标定时，这两条直线必定平行；反之，如果两条直线l、l'之间不存在唯一公共直线，即入射角与出射角不相等，这两条直线必定不平行。
其次，另外，有关平行线的性质，可以得出以下结论：当两条直线的斜率一致时，那么这两条直线必定是平行的；或者当两条直线分别平行于纵轴和横轴时，也就是，它们在竖直方向和水平方向上是平行的，此外，两条有公共点的直线也一定是平行的，即是它们的入射角与出射角相等。
最后，还有一种有关平行线的性质，就是“垂直”性质。
根据这一性质，可以得出结论：如果一点在平行线l、l'上，则以该点为顶点的任意一条垂线都能把同一平面内的平行线分割为两部分，因此，通过这种方式可以得出结论：在一个平面内，如果存在三条直线同时与两条其他线平行，那么这三条直线必定是互相垂直的。
总结起来，在对平行线的判定与性质的分析中，主要考虑到以下几点：1. 以入射角与出射角来判断直线是否平行；2. 如果两条直线斜率一致，则必定平行；3.如果两条直线分别平行于纵轴和横轴，或者存在公共点，则必定平行；4.如果一点在两条直线上，则任一垂线都可以把两条平行线分割开来；5.如果存在一组三条平行线，则必定相互垂直。
10.2两条直线平行与垂直的条件
10.2.2两条直线垂直的条件
如图，当 l1 l2 时，
（1）斜率均存在时：l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2x b2
k1
tan1
BC AB
k2
tan2
tan(π 3 )
tan3
AB BC
所以 k1 k2 1.
（2）如直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，则直线 l2 的倾斜
（1）斜率存在时，l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2 x b2（ b1 b2 ）
若 1
平行；
2
0 时，则k1
k2
0，直线
y b1 和直线 y b2
若 1 2 0 时，则 k1 k2 0 ，直线 y k1x b1 和直
线 y k2x b2 平行.
（2）斜率不存在时：l1 : x x1 ，l2 : x x2（ x1 x2 ），
2．P(1,0) 是直线 l上一点，且平行于经过 A(3,5) 和 B(2, 7)两点
的直线，求直线 l 的方程.
3．直线 ax y 5 0 与直线 3x 2y c 0平行，判断 a, c
的取值.
10.2.2两条直线垂直的条件
如图：l1 l2他们的倾斜角之间满足 1 2 90 ，那么 他们的斜率之间又存在着什么样的关系呢？
解：（1）两条直线斜率都不存在，即两条直线都与 x 轴垂直，
所以 l1 / /l2 .
（2）l2 可化为y
以 l1 / /l2 .
3x 5，有 kl1
kl2
3
且 bl1
1 bl2
5，所
（3）kl1
2 3
kl2
2 3
，所以 l1与l2 相交
高中数学例题：两条直线平行的条件
高中数学例题：两条直线平行的条件例6．已知1l 经过A （―3，3），B （―8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：12//l l ．【解析】 直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----， 直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---， ∵k 1=k 2，∴12//l l ．【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x 轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x 轴垂直时）．判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 举一反三：【变式1】 判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （2，1），2l 经过点M （3，4），N（―1，―1）；（2）1l 的斜率为1，2l 经过点A （1，1），B （2，2）；（3）1l 经过点A （0，1），B （1，0），2l 经过点M （―1，3），N（2，0）（4）1l 经过点A （―3，2），B （―3，10），2l 经过点M （5，―2），N （5，5）．【解析】 （1）11(2)12(1)k --==--，2145134k --==--，∵k 1≠k 2，∴1l 与2l 不平行．（2）k 1=1，221121k -==-， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l 或1l 与2l 重合．（3）101110k -==--，20312(1)k -==---， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l ．（4）∵1l 与2l 都与x 轴垂直，∴1l ∥2l ．【总结升华】 k 1=k 2⇔1l ∥2l 是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解．例7．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标．【答案】 （3，4）【解析】 解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）． 解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ， 所以013104130041n m n m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．举一反三：【变式1】若三条直线ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0能构成三角形，求a的取值范围。
两直线平行关系公式
两直线平行关系公式方法一：斜率之差法假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2、若L1与L2平行，则k1=k2、根据这个条件，我们可以比较两条直线的斜率来判断它们是否平行。
例题1：判断直线y=2x+1和y=2x-3是否平行。
这两条直线的斜率都为2，且它们的截距不相等。
因此，直线y=2x+1和y=2x-3不平行。
例题2：判定直线y=3x-2和y=5x+1是否平行。
这两条直线的斜率分别为3和5，不相等。
因此，直线y=3x-2和y=5x+1不平行。
方法二：方向向量法另一种判断直线平行关系的方法是使用它们的方向向量。
对于直线L1和L2来说，它们平行的条件是L1的方向向量与L2的方向向量共线。
我们可以根据这个条件来判断直线的平行关系。
例题3：判断直线y=-3x+1和y=3x-2是否平行。
这两条直线的方向向量分别为(-1,-3)和(1,3)，它们的比值为-1/-1=3/3=1、因此，直线y=-3x+1和y=3x-2平行。
例题4：判定直线x-2y+3=0和2x-4y+6=0是否平行。
这两条直线可以通过整理方程，将其转化为标准形式，所得到的方向向量分别为(1,-2)和(2,-4)。
它们的比值为1/2=-1/(-2)=1/2、因此，直线x-2y+3=0和2x-4y+6=0平行。
方法三：法线向量法与方向向量法类似，我们也可以使用直线的法线向量来判断其平行关系。
对于直线L1和L2而言，它们平行的条件是它们的法线向量相等或相反。
通过比较两条直线的法线向量，可以确定它们是否平行。
例题5：判断直线3x-4y+7=0和6x-8y+14=0是否平行。
这两条直线可以通过整理方程，将其转化为标准形式，所得到的法线向量分别为(3,-4)和(6,-8)。
它们的比值为3/6=-4/(-8)=1/2、因此，直线3x-4y+7=0和6x-8y+14=0平行。
综上所述，根据斜率之差法、方向向量法和法线向量法，我们可以判断两条直线是否平行。
苏科版七年级数学下册7.1直线平行的条件和探索例题和同步练习(含练习答案)
苏科版七年级数学下册直线平行的条件和探索【直线平行的条件和性质】【学习目标】1.同位角、内错角、同旁内角的识别；2.会判定两条直线平行；3.平行线的性质.【基础知识梳理】1．如图，同位角的是；内错角的是；同旁内角的是．2．直线平行的条件：（1）基本事实：，两直线平行；（2）定理：，两直线平行；（3）定理：，两直线平行．3．平行线的性质：（1）基本事实：两直线平行，；（2）定理：两直线平行，；（3）定理：两直线平行，．【典型例题】一、三线八角模型例1：如图所示，同位角一共有对，分别是；内错角一共有对，分别是；同旁内角一共有对，分别是．【变式】已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1一同旁内角→∠9一内错角→∠3．路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6一同位角→∠10一同旁内角→∠3．试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？二、平行线的判定例2：如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4：③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判断AB∥CD的有．（填写所有满足条件的序号）三、平行线的性质例3：如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，求图2中∠AEF的度数.【变式】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，求∠F的度数.四、综合运用例4：填空并完成以下证明：已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．证明：FH⊥AB（已知）∴∠BHF＝．∵∠1＝∠ACB（已知）∴DE∥BC（）∴∠2＝．（）∵∠2＝∠3（已知）∴∠3＝．（）∴CD∥FH（）∴∠BDC＝∠BHF＝．°（）∴CD⊥AB．例5：（1）如图(1)，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图(2)，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．【变式】问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【拓展应用】例6：如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【能力提升】1．如图所示，下列结论中不正确的是（）A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线3．如图，F A⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（）A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CD B．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CDC．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CD D．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD4．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在所作的图形中，∠A与是内错角；∠B与是同位角；∠ACB与是同旁内角．5．如图，已知∠1＝（3x +24）°，∠2＝（5x +20）°，要使m ∥n ，那么∠1＝ （度）．6．如图，BE ∥CF ，则∠A +∠B +∠C +∠D ＝ 度．7.如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，求∠2的度数.8.（1）如图①，若∠B +∠D ＝∠BED ，试猜想AB 与CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，要想得到AB ∥CD ，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．9.如图，AD ∥BC ，∠DAC ＝120°，∠ACF ＝20°，∠EFC ＝140°．求证：EF ∥AD ．10.【探究】如图①，∠AFH 和∠CHF 的平分线交于点O ，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB 、CD 交于点E 、C ．（1）若∠AFH ＝60°，∠CHF ＝50°，则∠EOF ＝ 度，∠FOH ＝ 度．（2）若∠AFH +∠CHF ＝100°，求∠FOH 的度数．【拓展】如图②，∠AFH 和∠CHI 的平分线交于点O ，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB 、CD 交于点E 、G ．若∠AFH +∠CHF ＝α，直接写出∠FOH 的度数．（用含α的代数式表示）【能力提升】答案第1题 第3题 第4题 第5题 第6题1．如图所示，下列结论中不正确的是（）A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；D、∠3和∠4是内错角，故本选项正确，不符合题意；故选：A．2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线解：如图所示：不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．故选：D．3．如图，F A⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（）A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CDB．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CDC．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CDD．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD解：A、正确，同位角∠CAB＝∠NCD，故AB∥CD；B、错误，∠DCN＝∠BAC不是同位角，所以B不对；C、正确，∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，可得同位角∠BAN＝∠DCN，故AB∥CD；D、正确，同位角∠MAB＝∠ACD，故AB∥CD．故选：B．4．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在作的图形中，∠A与是内错角；∠B与是同位角；∠ACB与是同旁内角．解：如图所示，∠A与∠ACD、∠ACE是内错角；∠B与∠DCE、∠ACE是同位角；∠ACB与∠A、∠B是同旁内角．5．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝75（度）．解：如图所示：∠1+∠3＝180°，∵m∥n，∴∠2＝∠3，∴∠1+∠2＝180°，∴3x+24+5x+20＝180°，解得：x＝17，则∠1＝（3x+24）°＝75°．6．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝180度．解：如图所示，由图知∠A+∠B＝∠BPD，∵BE∥CF，∴∠CQD＝∠BPD＝∠A+∠B，又∵∠CQD+∠C+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°.7.如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，求∠2的度数.解：如图，∵∠ACB＝90°∴∠1+∠3＝90°，∵∠1＝30°，∴∠3＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°.8.（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．解：（1）AB∥CD，理由：如图（1），延长BE交CD于F．∵∠BED＝∠B+∠D，∠BED＝∠EFD+∠D，∴∠B＝∠EFD，∴AB∥CD；（2）∠1＝∠2+∠3．理由如下：如图（2），延长BA交CE于F，∵AB∥CD（已知），∴∠3＝∠EF A（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2+∠EF A，∴∠1＝∠2+∠3．9.如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．证明：∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°，又∵∠EFC＝140°，∴∠BCF+∠EFC＝180°，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD．10. 【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝度，∠FOH＝度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF ＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）解：【探究】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝30°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝30°；∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，∴∠FHO＝25°，∴△FOH中，∠FOH＝180°－∠OFH－∠OHF＝125°；故答案为：30，125；（2）∵FO 平分∠AFH ，HO 平分∠CHF ，∴∠OFH ＝12 ∠AFH ，∠OHF ＝12∠CHF ． ∵∠AFH +∠CHF ＝100°，∴∠OFH +∠OHF ＝12 （∠AFH +∠CHF ）＝12×100°＝50°． ∵EG ∥FH ，∴∠EOF ＝∠OFH ，∠GOH ＝∠OHF ．∴∠EOF +∠GOH ＝∠OFH +∠OHF ＝50°．∵∠EOF +∠GOH +∠FOH ＝180°，∴∠FOH ＝180°－（∠EOF +∠GOH ）＝180°－50°＝130°．【拓展】∵∠AFH 和∠CHI 的平分线交于点O ，∴∠OFH ＝12 ∠AFH ，∠OHI ＝12∠CHI ， ∴∠FOH ＝∠OHI －∠OFH＝12（∠CHI －∠AFH ） ＝12（180°－∠CHF －∠AFH ） ＝12（180°－α） ＝90°－12α．。
两条直线平行的条件(修改)-教学课件(冀教)
解：能
因为AD平分∠EAC，(已知） E 1 所以∠1= ∠EAC(角平分线的定义) 2 因为∠EAC=130° (已知） ）1 A 所以∠1=65°(等量代换) 又因为∠B=65° (已知） 所以∠1=∠B (等量代换)
B C
D
所以AD∥BC(同位角相等,两直线平行.)
你能用一张不规则的纸(比如, 如图所示的四边形的纸)折出两条互 相平行的直线吗?说说你的折法,并 与同伴进行交流.
因为 ∠1 = ∠2 (已知) 所以 a∥b (同位角相等,两直线平行.)
由探究2,我们有如下事实: 两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等,那么这两条直 线平行.简单地说就是:
同位角相等,两直线平行.
（五）例题讲析
例1 如图8-12,∠1=55°, ∠2=55° c 直线a与b平行吗?为什么?
当∠1＞∠2时 当∠1＝∠2时
8分题
当∠1＜∠2时
①木条a和b不平行
②木条 a∥b
③木条a和b不平行
10分题
如图,装修工人 正在向墙上钉木条. 如果木条b与墙壁边 缘垂直,那么木条a与 墙壁边缘所夹角为多 少度时,才能使木条a 与木条b平行呢?
如图：∠B=65°,∠EAC=130°,AD平 分∠EAC，能否判定AD∥BC，为什么？ 12分题
由探究1,我们得到如下事实:
经过已知直线外一点，有且只有 一条直线和已知直线平行．
探究二:
请你观察上面画平行线的过程，
将三角尺沿着固定的三角尺平推，实
际上是为了使直线b和直线a被直尺边
缘所在的直线c所截得的什么角相等？ 在课本图8—11(4)中和探究1画出的图
中，指出这样的角.
c
C
●
两条直线平行与垂直的判定 课件
又∵kBC＝3－2（－－572）＝－163， kDA＝2－－（3－－44）＝－76， ∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行． ∴四边形 ABCD 是梯形．
题型二 两直线垂直
例 2 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过 点 C(1，2)，D(－2，a＋2)．
两条直线平行与垂直的判定
要点 1 两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1 ∥l2⇔k1＝k2． (2)若两条不重合直线 l1 与 l2 都没斜率，则直线 l1 与 l2 平行．
要点 2 两条直线垂直的条件 (1)设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝ －1． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 0， 则两条直线垂直．
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3，或 a＝－4.
探究 2 由 C，D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A，B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此 应注意对 a 的取值的讨论．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不 存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以 l1 与 l2 重 合或平行，需进一步研究 E、F、G、H 四点是否共线． kFG＝43－ －（ （－ －12） ）＝1，∴E、F、G、H 四点共线． ∴l1 与 l2 重合．
两条直线平行与垂直的条件
讨论
已知直线 l1 : A1x+B1y+C1 = 0
l2 : A2x+B2y+C2= 0
（A1B1C1 ≠ 0 ,A2B2C2≠ 0 ）.
那么 l1//l2的充要条件是什么？
A1 B1 C1 A2 B2 C2
答： l1//l2
思考
如果直线 ax＋2y＋2 = 0 与3x－y－2 = 0 平行，那么系数a = （ ）
思考 1.已知直线 l1 : x ay 2a 2 0
l2 : ax y 1 a 0
试求 （ 1） 若 l1 // l2 ，
(2)
答:a=1
a
的值.
的值.
若 l1 l2 ， 试求
答:a=0
a
例5、求过点P(3,5)且垂直于直线 2x –4 y – 5 = 0
的直线方程. 解:设所求直线方程为 4x + 2y + C = 0 因为所求直线过点P(3,5),将其坐标代入方程, 得 4×3 + 2×5 + C = 0 解得 C = – 22 所以,所求直线方程为 2x + y –11= 0
⑷ 已知两直线l1：(3+m)x + 4y +3m + 5 = 0， l2：2x + (5+m)y +2 = 0，当m为何值时l1∥l2，
讨论
两直线如果 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
那么 l1 l2 的充要条件是什么?
答: l1 l2 A 1A 2 B 1B2 0
思考：直线l1的斜率k1 0, 直线l2的
斜率k2不存在，那么 l1 l2 ?
两条直线平行的条件公式
两条直线平行的条件公式1.斜率相等：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的。
斜率是指直线在坐标平面上的斜率或倾斜程度。
若两个直线有相同的斜率，则它们的倾斜程度是相等的，因此它们是平行的。
数学公式：设直线L1的斜率为m1，直线L2的斜率为m2，则L1与L2平行的条件为m1=m22.向量平行：如果两个方向向量或定向线段的方向相同（或相反），则它们是平行的。
由于直线的斜率可以表示为它的方向向量的斜率，所以这个条件也可以用向量来表示。
数学公式：设直线L1的方向向量为v1，直线L2的方向向量为v2，则L1与L2平行的条件为v1∝v2，其中∝表示向量的平行关系。
通过上述两个条件公式，我们可以判断两条直线是否平行。
范例：例1：判断直线L1：2x+3y-5=0和直线L2：4x+6y-7=0是否平行。
解法：首先将这两条直线化为标准形式，即ax + by + c = 0。
L1化为标准形式得：2x+3y+(-5)=0，即2x+3y-5=0。
L2化为标准形式得：4x+6y+(-7)=0，即4x+6y-7=0。
比较两条直线的系数，得到：对于L1，a1=2，b1=3；对于L2，a2=4，b2=6根据斜率相等的条件公式，我们有：斜率m1=-a1/b1=-2/3斜率m2=-a2/b2=-4/6=-2/3由于m1=m2，所以L1与L2平行。
因此，直线L1：2x+3y-5=0和直线L2：4x+6y-7=0是平行的。
例2：判断直线L3：2x+3y-5=0和直线L4：2x+3y+7=0是否平行。
解法：将这两条直线化为标准形式。
L3化为标准形式得：2x+3y+(-5)=0，即2x+3y-5=0。
L4化为标准形式得：2x+3y+7=0，由于两个常数项不相等，将其化简得2x+3y+(-7)=0，即2x+3y-7=0。
比较两条直线的系数，得到：对于L3，a3=2，b3=3；对于L4，a4=2，b4=3根据斜率相等的条件公式，我们有：斜率m3=-a3/b3=-2/3斜率m4=-a4/b4=-2/3由于m3=m4，所以L3与L4平行。
两直线相交平行与重合的条件
两条直线相交、平行与重合的条件课标导航1．会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件2．会用两条直线相交、平行或重合的条件判断两直线的位置关系3．理解用代数方法推导平行条件的思路自主预习1．已知直线0:1111=++C y B x A l ,2l ：0222=++C y B x A ,则有11l 与2l 相交⇔ ;21l 与2l 平行⇔31l 与2l 重合⇔2．已知直线1l ：11y 22211l ∥2l ⇔ ；21l 与2l 重合⇔21k k =且21b b =;典例分析例1：根据下列条件,判断直线1l 与2l 是否平行;11l 经过点)1,2(A ,)5,3(-B ,2l 经过点)33(-，C ；)78(-，D21l 的斜率为3,2l 经过点)31(，M ,)322(--，N ;变式练习1：判断直线1l 与2l 是否平行：11l 平行于y 轴,2l 经过点)2,0(-P ,)5,0(Q ；21l 经过点)1,0(E ,)1,2(--F ,2l 经过点)4,3(G ,)3,2(H ;例2：求实数m 、n 的值,使直线1l ：08=++n y mx ,2l ：012=-+my x 互相平行;变式练习2：当 时,直线1l ：062=++y m x ,2l ：023)2(=++-m my x m 相互平行; 例3：求过直线1l ：01=+-y x 与2l ：052=-+y x 的交点且斜率为－1的直线的方程;变式练习3：求过直线1l ：012=++y x 与2l ：023=-+y x 的交点和原点的直线的方程;基础达标1．下列与直线012=+-y x 平行的是A ．012=++y xB ．012=+-y xC ．0224=+-y xD ．0124=+-y x2．直线014=-+y ax 与直线03=--c y x 重合的条件是A ．≠=c a ,120B ．41,12=-=c aC ．41,12-=-=c a D ．41,12-≠-=c a 3．直线033)1(2=-++m y x m 和直线023=+-m y x 的位置关系是A ．平行B ．重合C ．相交D ．不确定4．平行于直线02=++c ay ax 且过点)2,1(-P 的直线方程为 ;5．直线1l ：06=++my x 与直线2l ：023)2(=++-m y x m 互相平行,则实数=m;6．对于直线l 上任一点y x ,,点)3,24(y x y x ++也在直线l 上,求直线l 的方程;能力提高1．平行于直线0334=-+y x ,且不过第一象限的直线的方程是A ．0743=++y xB ．0734=++y xC ．04234=-+y xD ．04243=-+y x2．过点M 1,4,N a ,22+a 的直线与直线032=--y x 平行,则必有A ．1=aB ．1≠aC ．1-=aD ．1-≠a3．已知直线1l 过点A 1,1,B 3,a ,直线2l 过点C 2,2,D a +3,4,若1l ∥2l ,=a ;4．求与直线0532=++y x 平行,且在两坐标轴上的截距之和为65的直线的方程;两条直线相交、平行与重合的条件自主预习102221≠-B A B A 或21A A ≠21B B 022≠B A 201221=-B A B A 而02121≠-B C C B 或02112≠-C A C A 21A A =21B B ≠21C C 0222≠C B A 3)0(,,212121≠===λλλλC C B B A A 21A A =21B B =21C C 0222≠C B A 典型例题例1：解：1因为1514325k -==---,2734835k -+==--,12k k =,且A,B,C,D 四点不共线,所以 1l ∥2l2因为1k =2k ==12k k =,所以1l ∥2l 或1l 与2l 重合; 变式训练1：解：1由题意知,1l 的斜率不存在,且不是y 轴,2l 的斜率也不存在,恰好是y 轴,所以1l ∥2l ; 2因为111120k --==--,234123k -==-,虽然12k k =,但是E,F,G ,H 四点共线,所以1l 与2l 重合; 例2：解：由820m m ⋅-⨯=得m ＝±4,由8(1)0n m ⨯--⋅≠,得1224,24,2n m n m n l ≠-=≠-=≠、，即或时，∥2l ;变式训练2：解：由题意,得23(2)26(2)m m m m m =-≠-且,即(1)(3)03m m m m +-=≠且,解得01m m ==-或;所以,当01m m ==-或时,1l ∥2l ;例3： 解：由题意,得 ,解得2,1==y x 即直线的交点坐标为1,2;又所求直线的斜率1-=k ,故直线的方程为2(1)y x -=--,即03=-+y x 为所求;变式训练3：解：由题意,得 ,解得1,1=-=y x ,即直线的交点坐标为－1,1; 又所求直线过原点,1-=k ,故直线的方程为0=+y x基础达标1．选D,由于2-11=4-21≠,故选D; 05201=-+=+-y x y x 023012=-+=++y x y x2．选C,1410044a ax y x y +-=⇔+-=,113,,12,444a c a c ∴=-=-=-=-即; 3．选C,由2212212(1)9211A B A B m m -=-+-=--＜0得两直线相交;4．解析：平行于直线20ax ay c ++=的方程为20x y c '++=;将点P-1,2的坐标代入,得(2)3c x y '=-+=-;故直线230x y +-=为所求;5．解析：由已知得10,20.m m l ≠-≠∴直线的斜率11k m =-,直线2l 的斜率223m k -=- ∵12k k =,∴212,230,313m m m m m m --=---===-即得或 当123m l l =时，显然与重合,故当11m l =-时，∥2l ;6．解：设直线l 的方程为：0Ax By C ++=①点42,3x y x y ++在直线l 上,∴(42)(3)0A x y B x y C ++++=②∵①②为同一条直线,∴当C ≠0时,0(423A B C A B A B A B C ==⇒==++舍去）； 当C=0时,423A B A B A B=++, ∴(2)()0,200A B A B x y x y +-=∴-=+=或;能力提高1．选B 平行于直线0334=-+y x 的直线具有形式034=++c y x ,故排除A ,D ;但选项C 中直线的截距为正,直线过第一象限,不符合条件,故应选B;2．选B 依题意,过点)22,(),4,1(+a a N M 的直线斜率21422=--+=a a k ,此时1≠a ,即当1≠a 时,两条直线互相平行; 3．解析：∵211311-=--=a a k ,∴2k 存在且1223242+=-+-=a a k ; 由于1l ∥2l ,∴21k k =,即1221+=-a a ,解之得5±=a , 又当5±=a 时,经检验,1l 与2l 不重合,∴5±=a 适合题意;4．解：设所求直线方程为)5(032≠=++λλy x ,令0=x ,得纵截距3λ-=b ； 令0=y ,得横截距2λ-=a ;由656532=-=--=+λλλb a , 得1-=λ;故所求的直线方程为0132=-+y x。
空间两直线平行的判定
空间两直线平行的判定一、概述在空间几何中，直线的平行性质是一个重要的概念。
对于两条直线而言，如何判定它们在空间中是否平行是我们需要研究和掌握的内容。
二、向量法判定平行性向量是研究空间几何的重要工具之一。
根据向量的性质，我们可以通过判断两个直线的方向向量是否平行来判定它们是否平行。
1. 方向向量的定义在空间中，一条直线可以由它的方向向量来表示。
对于一条直线L，我们可以通过选择直线上两个不同的点A和B，计算向量AB的得到方向向量。
2. 向量平行的性质两个向量平行的充要条件是它们的夹角为0度或180度。
也就是说，如果两个向量的方向完全相同或者完全相反，那么它们是平行的。
3. 平行直线的判定条件根据向量平行的性质，我们可以得到平行直线的判定条件：两条直线L1和L2平行的充要条件是它们的方向向量相等或者方向向量与之相反。
三、参数方程法判定平行性除了向量法，我们还可以使用参数方程来判定两条直线是否平行。
参数方程是一种将直线上的点用参数表示的方法。
1. 参数方程的定义对于一条直线L，我们可以使用参数t来表示直线上的点P的坐标。
假设直线上一点为A，直线的方向向量为向量a，那么点P在直线上的坐标可以表示为P = A + ta，其中t为参数。
2. 平行直线的判定条件假设L1和L2分别是由参数方程P1 = A1 + t1a1和P2 = A2 + t2a2表示的直线，那么L1和L2平行的充要条件是存在一个常数k，使得a1 = ka2。
四、实例分析为了更好地理解和应用上述判定方法，我们通过几个实例来演示判断两条直线平行的过程。
1. 示例1已知直线L1过点A(1, 2, 3)且与向量a(2, -1, 1)平行，直线L2过点B(2, -1, 3)且与向量b(4, -2, 2)平行。
我们需要判定L1和L2是否平行。
解析：首先，我们计算L1和L2的方向向量，得到a(2, -1, 1)和b(4, -2, 2)。
然后，我们比较a和b是否相等或者相反。
同位角相等两直线平行的条件-概述说明以及解释
同位角相等两直线平行的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在几何学中，我们经常遇到两条直线之间的关系。
其中一种重要的关系是两条直线平行的情况。
而当两条直线平行时，它们之间的同位角具有一个特殊的性质，即同位角相等。
因此，研究同位角相等和直线平行之间的条件对于解决与直线相关的几何问题至关重要。
本文将探讨同位角的定义和性质，以及平行线的定义和性质。
进一步，我们将研究同位角相等的条件和直线平行的条件。
通过分析这些条件，我们可以更深入地理解直线之间的关系，并且能够在解题过程中运用这些条件。
首先，我们将介绍同位角的定义和性质。
同位角是指位于同一侧相交直线上两条直线所夹的角。
我们将讨论同位角的定义，并探究同位角的一些重要性质，例如同位角的和角、互补角和对顶角等。
这些性质有助于我们理解同位角的特点，并为后续讨论奠定基础。
接下来，我们将详细探讨平行线的定义和性质。
平行线是指在同一个平面上不相交的直线，它们在任意位置上的距离始终相等。
我们将探讨平行线的定义，并讨论平行线的一些重要性质，例如平行线的性质、平行线与转角的关系等。
这些性质将帮助我们更好地理解平行线的特点，并为进一步讨论提供所需的背景知识。
最后，我们将研究同位角相等的条件和直线平行的条件。
通过分析同位角相等的条件，我们可以确定两个直线平行的判定条件之一。
同时，我们还将讨论直线平行的条件，即确定直线是否平行所需满足的条件。
这些条件的理解和应用将有助于我们解决与直线平行和同位角相关的几何问题，以及在实际生活中应用几何知识时能够更准确地判断直线之间的关系。
通过本文的探讨，我们将能够更深入地理解同位角相等和直线平行的条件。
同时，我们还将学会如何应用这些条件解决与直线相关的几何问题。
这些知识将为我们在学习和应用几何学时提供有力的支持。
下一节将详细介绍同位角的定义和性质。
让我们一起深入研究吧！1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕同位角相等和两条直线平行的条件展开讨论。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
行()1112222220A B CA B CA B CÛ=¹¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k Û¹2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B Û¹ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
的取值范围。
1）1l 与2l 相交；相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
重合。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程方程是相同的，具体为：是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b Û==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B C A B C A B C Û==¹。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条．平行：如果两条直线斜率直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
两条直线位置关系以及点到直线距离公式
两条直线位置关系以及点到直线距离公式一、两条直线相交、平行、重合条件1. 重合：如何两条直线重合，那么化简之后的方程是相同的，具体为：1） 斜截式：直线111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+重合1212,k k b b ⇔==。
2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=重合()1112222220A B CA B C A B C ⇔==≠。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论）。
2．平行：如果两条直线斜率相同或垂直于x 轴，并且不重合，那么这两条直线就是平行的。
1） 斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+平行1212,k k b b ⇔=≠ 2） 一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行()1112222220A B C A B CA B C⇔=≠≠。
3） 对于特殊情况（直线平行于x 轴或垂直于x 轴时需要单独讨论） 3.相交：如果两条直线斜率不同那么必然相交与一点。
1）斜截式：111:l y k x b =+与直线222:l y k x b =+相交12k k ⇔≠2）一般式：直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=相交1221A B A B ⇔≠ 3）对于特殊情况（如果一条直线有斜率，而另一条直线没有斜率，那么这两条直线相交）。
例1：已知直线()212:260,:110l ax y l x a y a ++=+-+-=，求适合下列条件的a的取值范围。
1）1l 与2l 相交； 2）12//l l ； 3）1l 与2l 重合。
例2：设三条直线21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值。
两直线平行的条件ppt 人教课标版
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做一做
判断下列各对直线 之间的位置关系： 1、 l1 :3x 4 y 5 0 2、 l1 : y 3x 4
l2 : 6x 8y 7 0
3、 l1 : x 3 y 4 0 4、
l2 : 2 y 6x 1 0 l1 : y 2 x 2 l2 : y 3 x 3 Nhomakorabeay
A1 B1 l 2 A B A B A B A B 1 2 2 1 0 1 2A 2 1 C
1
b
l1
A1 k1 B1 k2
C1 b1 B1 b2
2
2
b
o 2
x
B2
B2
A2
B2
l 与 l 平 行 或 重 合 k k 1 2 1 2
A1 A2 A B A B A B A B 0 1 2 2 1 1 2 2 1 B1 B2
回忆
x B y C 0 。 问题1 直线的一般式方程 A
A k B ， 它的斜率 C b B ， 在y轴上的截距
一个法向量
A, B ， B , A 或 B ,A 一个方向向量 。
回忆
问题2
y
平面内两直线有哪几种位置关系？
l1 l2
x
y l 2
A1 k1 B1 A2 k2 B2
C1 b1 B1 C2 b2 B2
A1 B 1 k1 k 2 A B 1 1 A B C1 B b b ? k1 k2 A 1 1 2 2 1 2 A B 2 2 A2 B2 C2 C1 B 1 b1 b 2 C C2 C B2 C1 C 2 C 1 B1 1 2 b b 1 2 B B B1 B 2 C 2 B2 1 2
两条直线平行与垂直的条件
两条直线平行与垂直的条件1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊几何里的两条直线，它们的关系可真有趣，不是吗？我们常常听到“平行”与“垂直”这两个词，但它们可不仅仅是简单的数学概念哦！这些直线就像生活中的朋友，有时候亲密得不得了，有时候又是水火不容。
想想你和你的好朋友，可能形影不离，像两条平行线；但有时候又会产生摩擦，像两条相交的垂直线。
今天就让我们轻松愉快地揭开这两条直线背后的秘密吧！2. 平行线的魅力2.1 平行线的定义首先，平行线可不是随便就能当上这个名号的。
它们可得有个硬条件，那就是永远不交汇，简直是势不两立！就像你和你的小伙伴走在同一条路上，朝着同一个方向，但无论你们多努力，总是保持着一定的距离，不会相遇。
平行线的这个特点，在生活中也是屡见不鲜。
比如说，在地铁上，你和朋友坐在两条不同的座位上，聊得热火朝天，却始终没能碰到对方的肩膀，哈哈，这就是平行的最佳体现。
2.2 平行线的条件那么，怎么判断两条线是不是平行呢？这就得靠“斜率”来帮助我们了！在数学的世界里，直线的斜率就像它的性格，决定了它的走向。
如果两条直线的斜率一样，那它们就会像同一个节奏的舞者，永远不会相遇。
所以，如果你拿到一条直线的方程，赶紧算一下它的斜率，看看它和另一条线的斜率是否相等。
平行线就像一对“死党”，永远在同一条路上走！3. 垂直线的碰撞3.1 垂直线的定义接下来，我们再来说说垂直线。
这可是一种相当特别的关系，绝对是“碰撞”的典范！两条直线如果互相交叉，形成90度的角，那就可以称它们为垂直线。
想象一下，两个人在街上突然撞到了一起，正好形成一个直角，哈哈，简直是意外的邂逅！这就是垂直线的魅力所在，它们在某个点上相遇，产生出新的角度与方向，带来新的可能性。
3.2 垂直线的条件说到判断两条直线是不是垂直，大家一定要记住一个小窍门：如果两条线的斜率相乘结果是1，那它们就是垂直的。
简单来说，垂直线就像是“反向”组合，一条线向上走，另一条线则向左走，互不相让，形成那经典的“十”字形。
两条直线平行的条件平行线的特征
两条直线平行的条件平行线的特征主讲：方敏文一周强化一、一周知识概述1、两条直线平行的条件(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行．上述方法可表述为：如图．(1)如果∠1=∠2，那么AB∥CD；(2)如果∠3=∠2，那么AB∥CD；(3)如果∠2＋∠4=180°，那么AB∥CD．关键是－定要看清哪两条直线被哪－条直线所截形成的同位角或同旁内角或内错角相等或互补，才能正确判断是哪两条直线平行．2、平行线的特征(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单地说成“两直线平行，同位角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠l=∠2(两直线平行，同位角相等)．(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单地说成“两直线平行，内错角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单地说成“两直线平行，同旁内角互补”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2＋∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．注意：①只要两条直线被第三条直线所截，都存在这三类角，但同位角、内错角不－定相等，同旁内角也不－定互补；②同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线的特有性质，在使用时，切不可忽略前提条件“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角与内错角就不相等，同旁内角也不互补．3、直线平行的条件与平行线的特征区分几何中，图形之间的“位置关系”－般都与某种“数量关系”有着内在联系，常有“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可以由“数量关系”去确定“位置关系”．正确区分平行线的判定方法和平行线的特征是十分重要的．从表中可以看出，由角的相等或互补关系，得到两直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线的特征．二、典型例题剖析例1、如图，下列条件中，不能判断直线l 1∥l 2的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2＋∠4=180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1=∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠4=∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠2＋∠4=180°时，由同旁内角互补可得l 1∥l 2． 答案：B例2、如图，已知AC 平分∠DAB ，∠BAC ＝∠ACB ，那么AD 与BC 平行吗?请写出推理过程．分析：要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），∵∠BAC＝∠ACB（已知），∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例3、如图，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF．请你将这样的相关的角写出几组，并说明理由．分析：本题属于条件开放性问题，由于图形比较复杂，很容易找不全所有符合条件的答案．解题时要紧紧抓住判定两条直线平行的三种判定方法，以顶点为出发点来寻找符合条件的两个角．由以B为顶点的∠B，可以得到以下条件：∠B=∠7，∠B=∠6，∠B＋∠BAE=180°；然后再找以C为顶点的角有∠1，∠3，∠BCE和∠ACF(∠2不能和其他角构成符合条件的－组角)，可以得到以下条件：∠1=∠5，∠l＋∠CAG=180°，∠3=∠E，∠BCE＋∠E=180°，∠ACF=∠CAG，∠ACF＋∠5=180°，由此可以得到符合条件的全部答案．解：满足条件的两个角有：(1)∠B=∠7(内错角相等，两直线平行)；(2) ∠B=∠6(同位角相等，两直线平行)；(3) ∠B＋∠BAE=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(4) ∠1=∠5(内错角相等，两直线平行)；(5) ∠1＋∠CAG=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(6) ∠3=∠E(内错角相等，两直线平行)；(7) ∠BCE＋∠E=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(8) ∠ACF=∠CAG(内错角相等，两直线平行)；(9) ∠ACF十∠5=180°(同旁内角互补，两直线平行)．小结：以顶点为出发点，有规律、有顺序地寻找符合条件的两角，关键是要从简单情形入手，逐步过渡到复杂情形．例4、如图(1)，线段AB//CD，点P是AB、CD间的－个点．(1)试判断∠A、∠C与∠APC的数量关系；(2)如果点P移动到线段AC的左侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(如图(2))(3)如果点P移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．(如图(3))分析：图中虽然有平行线，但是缺少和两条平行线都相交的第三条直线，因此也就没有同位角、内错角的相等关系以及同旁内角的互补关系，如何构造出这三类角，充分利用平行线的性质是解决问题的关键，因此，需要构造满足平行线的性质的基本图形．解：(1) ∠A＋∠C=∠APC．理由：如图(1)，过P作直线PM∥AB．由AB//PM，得∠A=∠APM．由AB//CD，PM//AB，得CD//PM．于是∠C=∠CPM．而∠APC=∠CPM＋∠APM，故∠APC=∠A＋∠C；(2)不成立，∠BAP＋∠PCD＋∠APC=360°．理由：如图(2)，过P作PM//AB，而AB∥CD，所以AB∥PM∥CD．所以∠1＋∠BAP=180°，∠2＋∠PCD=180°．所以∠1＋∠BAP＋∠2＋∠PCD=180°×2=360°，即∠APC＋∠BAP＋∠PCD=360°；(3)不成立．∠APC=∠C－∠A．理由：如图(3)，过P作PM∥AB，从而知PM∥AB∥CD，于是有∠MPA=∠A，∠MPC=∠C，而∠MPC=∠MPA＋∠APC，故∠C=∠A＋∠APC．即∠APC=∠C－∠A．小结：两条平行线中出现折线时，过折线的折点作平行线是解决问题的关键．。
同位角相等两直线平行条件
同位角相等两直线平行条件同位角相等：两直线平行条件在几何学中，当两条直线被一条第三条直线（称为横断线）所交错时，便会形成八个角。
其中，与对应同边的角相等的角被称为同位角。
同位角相等是一个重要的几何性质，它与两条直线之间的平行性有着密切的关系。
具体来说，当两条直线被一条横断线所交错时，如果其中一对同位角相等，那么这两条直线必定平行。
这个性质得到了欧几里得几何中第五公理的支持，该公理指出：如果一条直线与另外两条直线相交，并且在同一边上形成的内角和小于两个直角，那么这两条直线将相交于该边。
同位角相等平行条件的应用十分广泛。
例如，在建筑学中，它被用来确保墙壁和天花板平行。
在工程学中，它用于设计平行梁和支架。
在测绘学中，它被用来绘制平行线和测量距离。
证明要证明同位角相等平行条件，我们可以使用反证法。
假设两条直线 l1 和 l2 被一条横断线 t 所交错，并且其中一对同位角∠1 和∠2 相等，但 l1 和 l2 不平行。
根据第五公理，l1 和 l2 将相交于线段 t 上的某一点 P。
但是，由于 l1 和 l2 不平行，因此它们之间的距离会随着我们沿着t 移动而不断变化。
当我们沿着 t 朝着 P 点移动时，l1 和 l2 之间的距离会减小。
然而，当我们沿着 t 远离 P 点移动时，l1 和 l2 之间的距离会增加。
这与同位角∠1 和∠2 相等的假设相矛盾。
因为如果 l1 和l2 相交于 P 点，那么∠1 和∠2 就不可能相等。
因此，我们的假设是错误的。
两条直线 l1 和 l2 必须平行。
应用同位角相等平行条件在现实生活中有着广泛的应用。
例如：建筑学：确保墙壁和天花板平行，以创建美观且结构稳定的建筑物。
工程学：设计平行梁和支架，以承受重物和抵抗应力。
测绘学：绘制平行线和测量距离，以创建准确的地图和图表。
机械制造：确保机器部件平行，以实现平稳可靠的操作。
制衣：创建平行接缝和褶皱，以制作合身且美观的服装。
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l1
l2
l1 // l2
1
2
o
x
1 2
k1 k2 k1、k2 都不存在
直线l1 : y k1x b1
直线l2 : y k2 x b2
平行或重合 k1 k2
或k1、k
都不存在
2
重合 k1 k2 且b1 b2 平行 k1 k2 且b1 b2
小结
n1 （A1, B1）
直线l1 : A1x B1 y C1 0 直线l2 : A2 x B2 y C2 0
y
l1
l2
n2 （A2 , B2）
o
x
直线l1 : A1x B1 y C1 0
直线l2 : A2 x B2 y C2 0
平行或重合 A1 B1
A2 B2
重合
A1 A2
B1 B2
C1 C2
平行 A1 B1 C1
A2 B2 C2
小结
例1、已知两条直线 l1 : 2x 4y 7 0 l2 : x 2y 5 求证：l1 // l2
练习 书本P15练习3
小结
例3、求与直线 2x 3y 5 0 平行，且在两坐标轴上截距 之和等于 5 的直线方程
6
知识1
课堂小结
知识2
题型1
题型2
1、求使直线 x 2ay 1 和 2x 2ay 1 平行的实数 a 的取值
2、当 a 为何实数时，两直线 x ay 2a 2 和 ax y a 1
平行？
3、求直线 Ax 2y 1 0 和直线 6x 4y C 0 平行的条件
注意特殊情况：系数为0时
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作业
书本：P15练习：1（2）（4）、2、3（2） P22习题：8-2：4（1）
化一般式 判断两直线是否平行方法有二
化斜截式
A1 B1 C1 A2 B2 C2
k1 k2 且b1 b2
练习 书本P15练习1
小结
例2：求过点A(1,-4)且与直线 2x 3y 5 0 平行的直线方程
解法一可以抛弃了 解法二是通法，必须掌握 解法三是解题技巧，提倡大家用
与Ax By C 0平行的直线方程可设为 Ax By 0( C)