高等数学(下册)第10章第1讲二重积分概念性质
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二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
第一节二重积分的概念与性质
∫∫ D
f ( x , y )d σ
∫∫
D
f (x, y)dσ
才是该曲顶柱体 则
的体积； 的体积； f (x , y)在 定义区域 D 上有正有负时 上有正有负时, 当 )
二重积分 ∫∫ f ( x , y )d σ 的值为 xy 平面上方柱体体 积之和减去下方柱体体积之差. 积之和减去下方柱体体积之差
∫∫[ f (x, y)± g(x, y)] dσ =∫∫ f (x, y)dσ ±∫∫ g(x, y)dσ. D D D
性质 3 积分之和， 积分之和， 即
如果区域 D 被分成两个子区域 D1 与 D2，
则在 D 上的二重积分 等于各子区域 D1、D2 上的二重
∫∫ f (x, y)dσ =∫∫ f (x, y)dσ +∫∫ f (x, y)dσ.
D
二、二重积分的性质
性质 1 被积函数中的常数因子 可以提到二重积 分号的外面， 分号的外面， 即
∫∫ kf ( x , y )dσ = k ∫∫ f ( x , y )dσ (k为常数 ).
D D
函数的和(或差) 性质 2 函数的和(或差)的二重积分 等于各个函 数的二重积分的和(或差) 数的二重积分的和(或差)， 即
D D 1 D 2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 . 性质4 性质 如果在 D 上， f(x, y) = 1，且 D 的面积为 ，
σ，则
∫∫ d σ D
=σ.
性质 5 如果在 D 上， f ( x, y)≤ g( x, y), 则
∫∫ f ( x, y)dσ ≤ ∫∫ g( x, y)dσ . D D
mσ ≤
∫∫ D
f ( x, y)dσ ≤ Mσ .
高等数学(II)(第十章、重积分)
27
Z
A ( x )
(x)
z f ( x, y)
2
1
(x)
f ( x , y ) dy
y
1( x )
所以：
2(x)
2 (x)
D
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
a
[
a
b
f(x .y ) dy ]dx
1 (x)
3-12
28
注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定 积分计算;
2）积分次序: X-型域 3）积分限确定法: 先Y后X;
域中一线穿—定内限， 域边两线夹—定外限
为方便，上式也常记为：
b
dx
a
2 (x)
f(x .y ) dy
1 (x)
29
3、Y-型域下二重积分的计算：
同理：
d
x 1( y)
D
x 2( y)
c
D
f ( x, y )d
6
得 (3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，
到原曲顶柱体体积的近似值，即
V
i1
n
V i f ( i , i ) i .
i1
n
(4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋 向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体
积， 即
V lim
0
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作
则称 f ( x , y )
可积 , 称 I 为 f ( x , y ) 在D上的二重积分.
高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
微积分标准化作业
大纲要求
理解二重积分，了解二重积分的性质，了解二重积分的中值定理.
教 学 基 本 内 容
一．二重积分的概念
1．两个引例
引例1 曲顶柱体体积
引例2 平面薄片的质量
2．二重积分定义
定义设 是有界闭区域 上的有界函数.把 任意划分成 个小闭区域 ，其中 表示第 个小区域，也表示它的面积.在每个 上任取一点 ，作乘积 ， ，并作和 .令 表示各小闭区域的直径的最大值，如果极限 存在，且极限值与区域 的分法以及点 的选取都无关，则称函数 在闭区域 上可积，此极限值为函数 在闭区域 上的二重积分，记为 ，即 ，其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元素， 和 叫做积分变量， 叫做积分区域， 叫做积分和.
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二重积分直角坐标系下的计算教 Nhomakorabea难点二重积分直角坐标系下的计算
参考教材
同济七版《高等数学》下册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
大纲要求
掌握二重积分直角坐标系下的计算方法.
教 学 基 本 内 容
例2计算 , 其中 为球面 及三个坐标面所围成的位于第一卦限的立体.
=常数,表示过 轴，与半坐标面 的夹角为 的半平面族;
=常数,表示与 面平行的平面族.
点 的直角坐标 与柱面坐标 之间有关系式
2.三重积分在柱面坐标系中的计算公式
柱面坐标系下的体积元素 ，则有 .
3. 柱面坐标下求解三重积分的一般步骤
作业布置
微积分标准化作业
大纲要求
理解二重积分，了解二重积分的性质，了解二重积分的中值定理.
教 学 基 本 内 容
一．二重积分的概念
1．两个引例
引例1 曲顶柱体体积
引例2 平面薄片的质量
2．二重积分定义
定义设 是有界闭区域 上的有界函数.把 任意划分成 个小闭区域 ，其中 表示第 个小区域，也表示它的面积.在每个 上任取一点 ，作乘积 ， ，并作和 .令 表示各小闭区域的直径的最大值，如果极限 存在，且极限值与区域 的分法以及点 的选取都无关，则称函数 在闭区域 上可积，此极限值为函数 在闭区域 上的二重积分，记为 ，即 ，其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元素， 和 叫做积分变量， 叫做积分区域， 叫做积分和.
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
二重积分直角坐标系下的计算教 Nhomakorabea难点二重积分直角坐标系下的计算
参考教材
同济七版《高等数学》下册武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
大纲要求
掌握二重积分直角坐标系下的计算方法.
教 学 基 本 内 容
例2计算 , 其中 为球面 及三个坐标面所围成的位于第一卦限的立体.
=常数,表示过 轴，与半坐标面 的夹角为 的半平面族;
=常数,表示与 面平行的平面族.
点 的直角坐标 与柱面坐标 之间有关系式
2.三重积分在柱面坐标系中的计算公式
柱面坐标系下的体积元素 ，则有 .
3. 柱面坐标下求解三重积分的一般步骤
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
高等数学课件D101二重积分概念
则其体积可按如下两次积分计算 y
V f(x,y)d
d
D
d
[
2(y)
f(x,y)dx]dy
x1(y)
y
x2(y)
c 1(y)
c
d
d
y
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
o
x
b
a d x
2019/9/16
高等数学课件
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n
Ml i0m k 1(k,k)k
2019/9/16
高等数学课件
x
(k,k) k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
(x2)2(y1)22
o1 2 3 x xy1
它与 x 轴交于点 (1,0) , 与直 xy线 1相.切 而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 xy1,从而 (xy)2(xy)3
D ( x y )2 d D ( x y )3 d
D (sixn 2cox2s)d 2D six n2 (4)d
三、二重积分的性质
1.D kf(x,y)dkD f(x,y)d ( k 为常数)
2 .D [f(x,y)g(x,y)d ]
D f(x ,y )d D g (x ,y )d
3 .D f ( x ,y ) d D 1 f ( x ,y ) d D 2 f( x ,y ) d
高等数学下册第十章 重积分
sin x dxd y
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
y yx
D xπ
o
πx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
y y 2(x) D
D
:
1(
x) a
y x
b
2
(
x)
x o a y 1(x)b x
则
f (x, y) dx d y
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
D
即先对y后对x积分
y d
x 2(y)
(2)
若D为Y -型区域
D
:
1(
y) c
x y
2 ( y)
d
y
x 1(y)
例 计算二重积分
exyds 其中D {(x, y) x y 1}
D
答案为 e e1
-1
1
DMU
第二节 直角坐标系中二重积分的计算
例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
D2
为D 的面积, 则
1d d
D
101二重积分的概念和性质
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
为D 的面积, 则
D1 d D d
25
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
f (i ,i )i
推导过程和形式 完全一样
17
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二、二重积分的定义及可积性
18
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定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d x d y
x y 1 11
I3 xy d xd y
y
1 1
1
解: I1, I2 , I3 被积函数相同, 且非负,
由它们的积分域范围可知
1
O
x
I2 I1 I3
32
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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
为上半球面。
a2 x2 y2 d = 2 a3
D
3
=上半球体的体积 = 1 4 a3
23
23
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三、二重积分的性质
由于二重积分的定义类似于定积分的定义 因此二重积分具有与定积分相类似的性质
24
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为D 的面积, 则
D1 d D d
25
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
f (i ,i )i
推导过程和形式 完全一样
17
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二、二重积分的定义及可积性
18
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定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d x d y
x y 1 11
I3 xy d xd y
y
1 1
1
解: I1, I2 , I3 被积函数相同, 且非负,
由它们的积分域范围可知
1
O
x
I2 I1 I3
32
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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
为上半球面。
a2 x2 y2 d = 2 a3
D
3
=上半球体的体积 = 1 4 a3
23
23
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三、二重积分的性质
由于二重积分的定义类似于定积分的定义 因此二重积分具有与定积分相类似的性质
24
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10-1 二重积分的概念与性质
i =1
n
i =1
n
å å 4) 取极限.V
= lim l ®0
i =1
f
(x
i取,h极i )D限s
i4)
取极限.m
=
lim
l ®0
µ(xi ,hi )Ds i
i =1
不同点：背景不同
相同点：方法相同
（一）引例
1．曲顶柱体的体积
2．平面薄片的质量
1) 分割.
1) 分割.
用一组曲线网把D分成n个小区域 用一组曲线网把D分成n个小块
i =1
n
i =1
n
å å 4) 取极限.V
= lim l ®0
i =1f(x来自i,hi)Ds
i4)
取极限.m
=
lim
l ®0
µ(xi ,hi )Ds i
i =1
不同点：背景不同
n
å 相同点：方法相同
数学形式相同
lim
l ®0
i =1
f (xi ,hi )Ds i
一、二重积分的概念 （一）引例 （二）定义
Ds1, D几s 2 ,!何, Ds问i ,!题 , Ds n
2) 取近似. DVi » f (xi ,hi )Ds i
2D) s取物 1近, D似s.2理,D!m,iD问»sµi ,(!x题i ,,hDis)Dn s i
n
n
å å 3) 求和. V » f (xi ,hi )Ds i 3) 求和. m » µ(xi ,hi )Ds i
i=1
当各小闭区域的直径中的最大值l ® 0时,这和的极限总存在,
且与闭区域D的分法及点(xi ,hi )的取法无关，那么称此极限为
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题详解-第十章(圣才出品)
（1）若曲面 S 由方程 z＝f（x，y）给出，D 为积分区域，且函数 f（x，y）在 D 上具
有连续偏导数 fx（x，y）和 fy（x，y），则曲面 S 的面积公式为
A
D
1
z x
2
z y
D
顶柱体的体积；
②当 f（x，y）＜0 时， f x, y d 的绝对值等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）
D
为顶的曲顶柱体的体积；
③当 f（x，y）在 D 上有正有负时， f x, y d 等于 xOy 面上方的柱体体积减去 xOy
D
面下方的柱体体积所得之差。
2．二重积分的性质
（1）设α与β为常数，则
sin
z z
其中ρ（0≤ρ＜＋∞），表示以 z 轴为轴的圆柱面；θ（0≤θ≤2π），表示为过 z 轴的半
平面；z（－∞＜z＜＋∞），表示为与 xOy 面平行的平面，则柱面坐标形式的三重积分为
f x, y, z dxdydz F cos , sin , z dd dz
（3）利用球面坐标计算三频学习平台
第 10 章 重积分
10.1 复习笔记
一、二重积分的概念与性质
1．二重积分的概念
（1）定义
n
D
f x, y d
lim 0 i1
f i ,i i
（2）几何意义
①当 f（x，y）≥0 时， f x, y d 等于以 D 为底，以曲面 z＝f（x，y）为顶的曲
Dxy＝{（x，y）|y1（x）≤y≤y2（x），a≤x≤b}，则
f x, y, zdv
b
dx
y2 x dy
z2x,y f x, y, z dz
a
y1 x
高等数学同济第六版第10章公式总结
高等数学同济第六版（下册）（第10章）第10章重积分10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质1 性质 1 设、为常数，则2 性质 2 如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。
(可加性)3 性质 3 如果在上，，为的面积，则4 性质 4 如果在上，，则有特殊地，由于又有5 性质 5 设、为分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有6 性质 6(二重积分的中值定理) 设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得10.2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分7 型(先后)型(先后)例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积。
解设这两个圆柱面的方程分别为及由对称性，将其分为8部分在第一卦限中，所求立体的顶为柱面又积分区域则即所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分8例 5 计算其中是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域。
解在极坐标系中，闭区域则例 6 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分) 立体的体积。
解由对称性，有在极坐标系中，闭区域则*三、二重积分的换元法10.3 三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算1 利用直角坐标计算三重积分9 (先一后二)其中，例 1 计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。
解闭区域则(先二后一)其中，是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域。
例 2 计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域。
解闭区域则2 利用柱面坐标计算三重积分10 点的直角坐标与柱面坐标的关系为例 3 利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域。
解闭区域则*3 利用球面坐标计算三重积分11 点的直角坐标与球面坐标的关系为例 4 求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。
解设球面通过原点，球心在轴上，又内接锥面的顶点在原点，其轴与轴重合，则球面方程为，锥面方程为。
高等数学10.1二重积分的概念与性质
第十章 重 积 分
§1. 二重积分的概念与性质
一、二重积分问题的提出
z f ( x, y)
１．曲顶柱体的体积 曲顶柱体体积=？ 特点： 曲顶.
D
柱体体积= 底面积× 高 特点：平顶.
1. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
z
S
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零 2 以平代曲
0 y i x
D
n
0 i 1
积分区域Ｄ为底面积 当被积函数大于零二重积分是f(x,y)为高的曲顶柱体的体积
二重积分的几何意义
2.
(1 x y)d , D : x y 1, x 0, y 0.
D
z
解 曲面z
f ( x , y ) 1 x y 是 一 平 面,
i 1
n
D
.
x
1. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
z
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
V i f ( x i , y i ) i
3 积零为整 V f ( x i , y i ) i
i 1 n
V
4 取极限
令分法无限变细
V = lim f ( x i , y i )Δ σ i
D
n
0 i 1
积分和 面积元素 被积表达式
f ( i , i ) i 存在， 则称此极限为 如果极限 lim 0
f ( x , y ) 在闭区域D上的二重积分， 记为
D
积分区域
积分变量
n
被积函数
i 1
f ( x , y )d
记 f ( , ) 对二重积分定义的说明： lim i i i D 0
§1. 二重积分的概念与性质
一、二重积分问题的提出
z f ( x, y)
１．曲顶柱体的体积 曲顶柱体体积=？ 特点： 曲顶.
D
柱体体积= 底面积× 高 特点：平顶.
1. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
z
S
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零 2 以平代曲
0 y i x
D
n
0 i 1
积分区域Ｄ为底面积 当被积函数大于零二重积分是f(x,y)为高的曲顶柱体的体积
二重积分的几何意义
2.
(1 x y)d , D : x y 1, x 0, y 0.
D
z
解 曲面z
f ( x , y ) 1 x y 是 一 平 面,
i 1
n
D
.
x
1. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
z
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
V i f ( x i , y i ) i
3 积零为整 V f ( x i , y i ) i
i 1 n
V
4 取极限
令分法无限变细
V = lim f ( x i , y i )Δ σ i
D
n
0 i 1
积分和 面积元素 被积表达式
f ( i , i ) i 存在， 则称此极限为 如果极限 lim 0
f ( x , y ) 在闭区域D上的二重积分， 记为
D
积分区域
积分变量
n
被积函数
i 1
f ( x , y )d
记 f ( , ) 对二重积分定义的说明： lim i i i D 0
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平面薄片质量 M x, yd . D
y
D
o
x
7
一、二重积分的概念
二重积分存在的条件
若f x, y 在有界闭区域D上连续，则 f x, y d必存在. D 二重积分的几何意义
(1) 若f x, y 0，则 f x, y d表示曲顶柱体体积； D
(2) 若f x, y 0，则 f x, yd表示曲顶柱体体积的负值； D
(3) 若在D上既有f x, y 0，也有f x, y 0，
则 f x, y d表示这些部分区域上柱体体积的代数和.
D
8
本讲内容
01 二重积分的概念 02 二重积分的性质
9
二、二重积分的性质 线性性质
性质10.1 k f x, y d k f x, yd，k为任意常数.
D
D
性质10.2 f x, y g x, y d f x, yd g x, yd.
z f x, y
f i ,i
n
n
vi
3 求和：V Vi f i ,i i;
i 1
i 1
y
D
i ,i
n
4
取极限：V lim 0 i 1
f i ,i i.
x
c i
4
一、二重积分的概念
引例2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy平面上有界闭区域D，如果薄片的
面密度是为D上的正值连续函数 x, y, ( x, y 0)，
D
f x, yd
证 由估值定理得 m f x, y d M，则 m D D
M，
f x, yd
D
是介于连续函数f x, y的最小值、最大值之间的一个数，
f x, yd
根据介值定理，在D上至少存在一点( , )，使得 D
f , ，
即 f x, yd f , .
求此平面薄片的质量.
n
M i ,i i i 1
5
一、二重积分的概念
定义10.1
设f x, y 是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D 任意分成n 个小区域
1 , 2, , n，其中i表示第i个小区域，也表示其面积，在每个子
n
区域i上任取 i ,i ，作乘积f i ,i i，并作和 f i ,i i，如果当 i 1
二、二重积分的性质
性质10.4 如果在D上 f x, y) 1， 为D 的面积，则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
保序性
1d d .
D
D
性质10.5 如果在闭区域D上，有f x, y g x, y，则有
f x, yd g x, yd ；
D
D
特别地， f x, yd f x, y d
D
D
推论 如果在D上，f x, y 0，则 f x, y d 0.
1 e0 ex2 y2 ea2 ,
由估值定理知 ex2 y2 d ea2 , D
故 ab e d (x2 y2 ) ab ea2 . D 14
二、二重积分的性质
二重积分中值定理
性质10.7 设函数f (x, y)在有界闭区域D上连续， 为积分区域D 的面积，
则在D上至少存在一点( ,)，使得 f x, y d f , .
y
1
D
o
1
2
x
因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d .
D
D
12
二、二重积分的性质 估值定理
性质10.6
若f (x, y)在有界闭区域D上的最大值为M，最小值为m，则有
m f x, y d M，其中 为积分区域D的面积. D
证 在D上恒有 m f x, y M ,
则 md f x, yd Md，
平顶柱体体积=底面积 高
z x
z f x, y
y D
c
3
一、二重积分的概念
1 分割：由一组曲线网将D 分割为n 个小区域 1 , 2,
,
，
n
以每个小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面将
曲顶柱体分为n 个小曲顶柱体
Vi (i 1, 2, , n)；
z
2 取近似：f i ,i i Vi;
D
11
二、二重积分的性质
例1
比较 ln(x y)d与[ln(x y)]2 d的大小，
D
D
其中D是三角形区域，三顶点分别为(1，1) 、(1, 0) 、(2, 0).
例10.1
解 三角形斜边方程为：x y 2， 在D内有 1 x y 2 e
故 ln(x y) 1, 于是 ln(x y) ln(x y)2 ,
15
二、二重积分的性质
二重积分的中值定理的几何意义: 对于任意的曲顶柱体，必存在一个与它体积相等的平顶柱体； 这个平顶柱体以曲顶柱体的底为底，以曲顶柱体底面上某点处的高为高.
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二、二重积分的性质
例4
设D
{(x,
y)
|
x2
y2
t 2，计算极限
lim
t0
1
t2
ex2 y2 cos(x y)d .
各子区域的最大直径 趋于零时，此和式极限存在，则称此极限为函数
f x, y 在闭区域D上的二重积分，即
积分区域
n
D
f x, y d
lim 0 i1
f i ,i i
被积函数
面积元素
6
一、二重积分的概念
在直角坐标系中，d dxdy，
f x, yd f x, ydxdy.
D
D
曲顶柱体体积 V f x, yd . D
高等数学（下册）
第十章 重积分及其应用
第一讲 二重积分的概念与性质
1
本讲内容
01 二重积分的概念 02 二重积分的性质
一、二重积分的概念
引例1
曲顶柱体：以二元函数z f x, y 所表示
的连续曲面为顶，xOy面上的闭区域D 为 底面，以D的边界曲线c为准线，而母线 平行于z轴的柱面为侧面所围成的柱体.
D
D
D
md m d m , Md M d M ,
D
D
D
D
故 m f x, yd M .
D
13
二、二重积分的性质
例2
例10.2
估计积分值：I ex2y2 d，其中D是椭圆闭区域：x2 y2 1 (0 b a)
D
a2 b2
解 区域D的面积为 ab，
在D上， 0 x2 y2 a2
D
D
D
推广 f1 x, y f2 x, y fn x, y d
D
f1 x, yd f2 x, yd fn x, yd
D
D
D
可加性
性质10.3
若D可以分为两个闭区域D1和D2，则
f x, yd f x, yd f x, yd.
D
D1
D2
D1
D2
D
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