简单拉压的静不定问题
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材料力学第六章静不定
FHale Waihona Puke 5、列补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程
材料力学
.
6
FN2l2FN3l3FN1l1cos
E2A2 E3A3 E1A1
解得
FN1
1
F 2E2A2l1
cos2
E1 A1l2
FN2 FN3 2cosE F2A E21l1 Ac1lo2s
材料力学
.
7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
l2 sin 45o
2l1
②
l
l
l
EAsF in N 1 2 clos2EAsiF nN b2closb
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1F E N A 1(co 2 sl)， l2F E N A 2(colsb)
材料力学
.
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
2
l2 l2
2l1 2l1
变形协调方程 。
第二章-轴向拉伸与压缩-拉压静不定
三、拉压静不定问题举例
1.不同材料组成的组合杆件 不同材料组成的组合杆件 变形特点：两种材料的伸长或缩短变形相同。 变形特点：两种材料的伸长或缩短变形相同。 弹性模量为E 横截面面积为A 弹性模量为 1、横截面面积为 1的实心 圆杆与弹性模量为E 横截面面积为A 圆杆与弹性模量为 2 、 横截面面积为 2 的 圆筒用刚性板联接，如图a)所示 试求在F 所示。 圆筒用刚性板联接，如图 所示。试求在 力作用下圆杆和圆筒的应力。 力作用下圆杆和圆筒的应力。 解：受力分析如图，可知为一次静不定问题。 受力分析如图，可知为一次静不定问题。 (1)平衡条件（平衡方程） 平衡条件（平衡方程） 平衡条件
a
受力分析如图示，可知为一次静不定。 解:受力分析如图示，可知为一次静不定。
(1)平衡方程
a
N1 a
∑F = 0
y
N1 − N2 = 0
(2)变形几何方程 (2)变形几何方程
∆L = ∆LT + ∆LN = 0
N2 a
（3）本构方程 ）
N1a N2a ∆L = 2a∆Tα ; ∆LN = −( + ) T EA EA 1 2
∆L A 3 1
(2)变形几何方程 (2)变形几何方程
∆L 1
α α
A
δ
∆L 2
∆L 1 ∆L3 + =δ cosα
E A cos2 α 1 1 FN1 = FN2 = ⋅ L3 1+ 2cos3 α E A / E3 A 1 1 3
(4)联立求解 联立求解
(3)本构方程 本构方程
δ
FN3L3 FN1L 1 + =δ 2 E3 A E A cos a 3 1 1
∆L2
3-1 静不定(14年) (拉压应力作业问题)
5
（压应力）
拉压杆超静定问题
例 阶梯钢杆上下两段在T1=5℃被固定,上下
两段面积为=cm2 ， =cm2，当温度 升至T2 = 25℃时,求各杆的温度应力。已知， a
FN1
a
弹性模量E=200GPa，线膨胀系数为
解：① 平衡方程
a
② 变形方程
a FN2
拉压杆超静定问题
③ 本构方程
l l1 l 2 l 3 l4 0
FN i li l i EA
FN 3 FN A P FN 4 FN A P 2P 3P
例2、平行力系: 求各杆内力。 已知：AB为刚性梁，两杆A=1000mm2，P=50kN •几何：Δl2=2Δl1
l a A
P
A
FN1
静不定结构的特点(2) ———装配应力
B D B C D
静定结构 ——无装配应力
A
A
静不定结构 ！ ——？
已知：三杆EA相同，1杆制造误差δ，求装配内力
B○ 2 ⊿l1 ⊿l2 α
○
C α 3
○
D
解题思路：因制造误差，
装配时各杆必须变形，
1
因此产生装配内力。
l
δ
几何方程： ⊿l1＋⊿l2 / cosα = δ 物理方程 ？虎克定律！
实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。
2）静不定问题——仅用静力平衡方程不能求 出全部未知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
二. 静不定问题的解法： 1. 判断静不定次数： 方法1: 未知力数目－平衡方程数目 方法2：多余未知力数目 2. 列平衡方程 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的 关系，需要具体问题具体分析。 4. 列物理方程：变形与力的关系。 5. 列补充方程：物理方程代入几何方 程即得。
（压应力）
拉压杆超静定问题
例 阶梯钢杆上下两段在T1=5℃被固定,上下
两段面积为=cm2 ， =cm2，当温度 升至T2 = 25℃时,求各杆的温度应力。已知， a
FN1
a
弹性模量E=200GPa，线膨胀系数为
解：① 平衡方程
a
② 变形方程
a FN2
拉压杆超静定问题
③ 本构方程
l l1 l 2 l 3 l4 0
FN i li l i EA
FN 3 FN A P FN 4 FN A P 2P 3P
例2、平行力系: 求各杆内力。 已知：AB为刚性梁，两杆A=1000mm2，P=50kN •几何：Δl2=2Δl1
l a A
P
A
FN1
静不定结构的特点(2) ———装配应力
B D B C D
静定结构 ——无装配应力
A
A
静不定结构 ！ ——？
已知：三杆EA相同，1杆制造误差δ，求装配内力
B○ 2 ⊿l1 ⊿l2 α
○
C α 3
○
D
解题思路：因制造误差，
装配时各杆必须变形，
1
因此产生装配内力。
l
δ
几何方程： ⊿l1＋⊿l2 / cosα = δ 物理方程 ？虎克定律！
实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。
2）静不定问题——仅用静力平衡方程不能求 出全部未知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
二. 静不定问题的解法： 1. 判断静不定次数： 方法1: 未知力数目－平衡方程数目 方法2：多余未知力数目 2. 列平衡方程 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的 关系，需要具体问题具体分析。 4. 列物理方程：变形与力的关系。 5. 列补充方程：物理方程代入几何方 程即得。
材料力学拉压静不定问题
§1－8 温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的 制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由 于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。
对于无约束的杆件，当温度变化为 t t2t1时，杆 件的变形为：
lt tl
式中： ——为材料的线膨胀系数。
例 图示结构，杆①、杆② EA均相同，当杆①温
P
0.72P
求结构的许可载荷
N 1 0 .0P 7 A 1 1
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086 cm2
P 1 A 1 1 / 0 . 0 7 3 0 8 . 6 1 6 0 / 0 . 0 7 7 0 5 . 4 k N
N 2 0 .7P 2 A 2 2
P 2 A 2 2 / 0 . 7 2 2 5 0 2 1 2 / 0 . 7 2 1 0 4 2 k N
变形内力关系（物理方程）
方程
P
N3
N1
N2
A
P
例2 求图示两端固定等直杆的约束反力
解：解除约束,以已知方向约束反力代替
EA
EA
平衡方程: PRARB0
A
a
P B 为得到变形协调方程,解除多余约束，分别
b
考虑外力和多余约束反力产生的位移叠加
设B为多余约束，此处的实际位移必须为0
RA
P
R B 几何方程: lP lRB
PP
PP
解：平衡方程:
yy
Y 4 N 1 N 2 P 0
44NN1 1
N2
几何方程
N2
L1 L2
物理方程及补充方程：
L1N E11A L1 1 N E22A L2 2 L2
04-2.7 拉压静不定问题
A l1
F
研究变形
内力假设受拉
变形假设伸长
内力假设与变形假设一致 !
注意事项2：几何方程的求法
B
CD
1
2 3
l3 A l2
A 方法1
l1 F
B
CD
1
2 3
l2Al3
A l1
F
方法2
新节点向原杆作垂线 原节点向新位置作垂线
Statically indeterminate problem 特点：未知力的数目多于静力平衡方程的数目
未知力的数目 pk. 静力平衡方程的数目
例子
B
C
1 2
A
F
y
FN1
FN2
A
x
F
未知力数目： 2 ( FN1 , FN2 ) 静力平衡方程数目： 2 ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 ) 判断： 静定结构——静定问题
仅用静立平衡方程 便能求解全部未知量
例子
FN2 FN3
FN1
FN4
F
F
未知力数目：4个 静力平衡方程数目：2个 判断：静不定结构，静不定问题
需要补充 2 个方程
3. 静不定次数
Degree of statical indeterminancy
未知力数目与平衡方程数目之差
也是需要补充的方程数目
FN2 FN3
5.25°
2°
5°
4° 2.75°
5.25° 2.75°
4°X5=20° 4° 5° 4°X3=12°
6° 5°
Ⅲ 5°
4°X4=16° 4°
Ⅰ
纵向对接桁 Ⅳ
16
内力按刚度比分配实例2
初始设计
第十章 简单静不定问题
3、物理关系
l1
FN1l
EA cos
l3
FN 3l EA
补充方程 FN1l FN3l cos EAcos EA
FN1 FN3 cos2
FN1
FN 2
F cos2 1 2 cos3
FN 3
1
F
2 cos3
目录
例题10-2 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，
由平衡方程解得， F1= F2= F3=
由对称知， F4= 根F2据卡氏第二定理，
2 2 F6
F5 =F6
A
F2
F1 F6
F2’B
FN6 1 F6
FN1 2 F6 2
F5
F3
6
FNili
FNi
4
2 2
F6l
2 2 F6
2l 2F6l (1
2)
i1 EA F6
EA 2
EA EA
F6
EA
2l (1
L 1 1000 ，将杆装在两刚性支座之间，试求装配应力。
解： L FNl
EA
FN
EA L
FN E
AL
200MPa
目录
例10-4 图示杆系结构中，6杆比名义长度短δ，设各杆的抗拉刚度 都是EA，试求装配完成后，各杆的内力。
F6 F6’
解：设6杆受拉，拉力为F6。
取节点A 、B为研究对象，
静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高
目录
二． 基本静定系（静定基），相当系统 基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。 相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。
MC
MA
材料力学2-2拉压静不定
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7）组合体伸长： 6）应力： （压） （拉）
作业： P73
P81
2.43
2.47
P81
2.48
九、应力集中的概念
P
P 0 A
P
max
P
P
P
P
理论应力集中系数：k
max 0
习 题 课
例题1：图示构架，两杆的材料相同，其横截面面积之 比为A1：A2=2：3，承受载荷为P，试求： 1)为使两杆内的应力相等,夹角应为多大? 2)若P=10kN，A1=100mm2，则杆内的应力为多大?
0.06 10 3 L1 0 .1 L2 0 .3
作业：
P82 2.51
P84 2.53
soc
1
L
1L 3L soc , 3L
)2 ( 0 soc 1 N 2 3 N，0 Y )1(
2
已知三杆的EA相同，3杆制造短了长度， 若将三杆用铰A装配，试求装配后各杆的受力。
解： 1）平衡方程
2）装配后的变形几何关系(变形图)
3
L N L 1N soc 3 A 3E soc 1A 1E
3
L N 3L 3 N , 1 1 1L 3L A A 3E 1 1E
3
soc 3L 2L 1L
2)变形几何关系、变形图：
3)物理关系：
5)联立求解：
4)补充方程：
3. 静不定问题特征： 1）各杆的受力与刚度有关； 2）静不定问题可能产生初应力或温度应力。
tAE R tE B t A A
例1： D1=45mm，t = 3mm，d2=30mm，E1=210GPa， 1=1210 -61/oC， E2=110GPa， 2=16 10 - 61/oC， t从30o升高至180o（30o为装配时温度），求钢管和铜 杆内的应力以及组合体的伸长。 解：1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7）组合体伸长： 6）应力： （压） （拉）
作业： P73
P81
2.43
2.47
P81
2.48
九、应力集中的概念
P
P 0 A
P
max
P
P
P
P
理论应力集中系数：k
max 0
习 题 课
例题1：图示构架，两杆的材料相同，其横截面面积之 比为A1：A2=2：3，承受载荷为P，试求： 1)为使两杆内的应力相等,夹角应为多大? 2)若P=10kN，A1=100mm2，则杆内的应力为多大?
0.06 10 3 L1 0 .1 L2 0 .3
作业：
P82 2.51
P84 2.53
soc
1
L
1L 3L soc , 3L
)2 ( 0 soc 1 N 2 3 N，0 Y )1(
2
已知三杆的EA相同，3杆制造短了长度， 若将三杆用铰A装配，试求装配后各杆的受力。
解： 1）平衡方程
2）装配后的变形几何关系(变形图)
3
L N L 1N soc 3 A 3E soc 1A 1E
3
L N 3L 3 N , 1 1 1L 3L A A 3E 1 1E
3
soc 3L 2L 1L
2)变形几何关系、变形图：
3)物理关系：
5)联立求解：
4)补充方程：
3. 静不定问题特征： 1）各杆的受力与刚度有关； 2）静不定问题可能产生初应力或温度应力。
tAE R tE B t A A
例1： D1=45mm，t = 3mm，d2=30mm，E1=210GPa， 1=1210 -61/oC， E2=110GPa， 2=16 10 - 61/oC， t从30o升高至180o（30o为装配时温度），求钢管和铜 杆内的应力以及组合体的伸长。 解：1）
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
第三章拉压杆的强度计算及静不定问题
第三章 拉压杆的强度计算及静不定问题本章重点内容及对学生的要求：（1）杆件承受拉压时的强度条件以及许用应力的确定；（2）能熟练应用杆件承受拉压时的强度条件去完成强度校核、截面设计、确定最大许可载荷等与其强度相关的计算。
第一节 承受拉压杆件的强度计算1、强度条件和许用应力的确定（1）工作应力AN=σ，前面讨论杆件轴向拉压时截面的应力是构件的实际应力——工作应力。
工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。
只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成的构件的工作应力是相同的。
随着N 的增加，杆件的应力也相应增加，为保证杆的安全工作，杆的工作应力应该规定一个最高的允许值。
这个允许值是建立在材料力学性能的基础上的，称作材料的许用应力。
（2）许用应力[]σ的确定◆材料的极限应力材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能承受的最大应力值。
对于塑性材料，当应力达到屈服极限时，整个杆件都会发生比较大的变形且不能恢复，因此构件材料的极限应力为屈服极限。
脆性材料时，当应力达到强度极限时发生断裂，故对脆性材料以b σ作为极限应力。
⎪⎩⎪⎨⎧=脆性材料为强度极限塑性材料为屈服极限 )(2.00b s t t σσσσ◆安全系数和许用应力的确定 工程实际中是否允许⎩⎨⎧==bs σσσσ0 不允许！对于同样的工作应力，为什么有的构件破坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。
原因为：# 实际与理想不相符生产过程、工艺不可能完全符合要求； 对外部条件估计不足； 数学模型经过简化；某些不可预测的因素；# 构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备。
（例如南方与北方的温差问题） # 考虑安全因素综上所述得出许用应力[]nσσ=[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==b bs s n n σσσσ脆性材料：塑性材料： 一般来讲，s b n n 〉，因为断裂破坏比屈服破坏更危险。
安全系数的选取还要考虑对安全要求的高低和经济等因素的影响。
（3）强度条件以上为受拉压杆件的强度条件。
材料力学简单静不定问题
a
上增加的约束，称为多余约束。相应
的反力称为多余约束力。
F
多余约束并不“多余”，通过增加多
A
CBa
余约束，可提高安全度，减少变形。
a
精品课件
4
2、静不定结构的类型
外力静不定结构
仅在结构外部存在多余约束，即支座反力不能全由静力 平衡方程求出。
q
q
FAx
A
B CD
FAy
FB
FC FD
精品课件
5
2、静不定结构的类型
精品课件
9
m
（基） （相）
X1
P
m
P
X2 X3
精品课件
X1
X1
P
X1
X3
1X02
P X2 X3
X1
P X1
X2 X3
P X1
X2 X3
精品课件
11
静不定次数
1． 外静不定结构 约束反力数-平衡方程数
2 ．内静不定结构 将结构切开一个或n个截面——去掉内部多余约束，使其变 成静定的，则切开截面上内力分量的总数就是静不定次数 内力分量的总数=原内部多余约束数
FN2 l EA
,
B
DlTaDT品,课N件2
3EAalDT,
10
RC
6E
AalDT
5 37 ,
❖第三节 扭转静不定问题
精品课件
38
解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得；
Dl2
FN2l EA
联立静力方程求解得到：
FN15 3F
FN2
6F 5
第六章静不定
刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m， d=0.2m。1杆由黄铜制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a1=16.5×10-6/ 0C。 2和3杆由碳钢制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2， A3=3cm2 ， a2=a3=12.5×10-6/0C，F=40kN。 设温度升高20 0C，求各杆的应力。
9
中南大学土木工程学院
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同， EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
450 ① ②
Dl 2 2Dl1 0 sin 45
即
O a
D l1
A a
D l2
B
F
Dl2 2Dl1
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
∆l2
（ c）
∆l3
材料力学
中南大学土木工程学院
5
还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。 FN1
∆l1
FN2
FN3
∆l2
∆l3
（a）
∆l1 ∆l2 ∆l3
（a）
F FN3
对应受力图
FN1
FN2
（b）
（b）
F FN3
FN1
∆l1 ∆l2
FN2
（ c）
∆l3
（ c）
F
6
材料力学
中南大学土木工程学院
5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得补充方程。
材料力学
中南大学土木工程学院
4
图示静不定结构， 可列如右变形图。
几何方程
∆l1
∆l2
∆l3
清华出版社工程力学答案-第12章 简单的静不定问题
①
②
③ l
(a)
A a FP A
B a
C
FN1
FN2 B a
FN3 C
(b) a
FP A1 (c) A Δl1 A′
习题 12－4 图
B1 B B′
Δl2
C′ Δl3 C
即
Δl1 − Δl3 = 2Δl2
3. 物理方程
(b)
Δl1 =
FN1l ， EA 5FP , 6
Δl2 =
FN 2l ， EA
Δl3 =
FP 铜,Ec=105GPa 铝,Ea=70GPa
300
25 60
FP
习题 12－2 图
ε=
0.24 = 8 × 10 − 4 300
轴向载荷等于二者受力之和：
FP = σ cu Acu + σ al Aal = Ecu εAcu + Eal εAal
π π = 105 × 109 × 8 × 10−4 × × 252 × 10 −6 +70 × 109 × 8 × 10−4 × ( 602 − 252 ) × 10−6 4 4 = 172.1 kN
4． 联立求解 将（a） 、 （b） 、 （c）三式联立，求得：
F1 =
(16 + 2 ) l
2 Eδ
2 EAδ
， F2 =
1
(16 + 2 ) l
4 EAδ
1
据此求得二杆横截面上的正应力分别为：
F1杆 = F2杆 =
(16 + 2 ) l
4 Eδ
＝
2 × 200 ×109 × 1. 5 × 10−3
7
FA =
7F 4
材料力学第六章静不定
FN2
FN3
（c） F
材料力学
中南大学土木工程学院
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
中南大学土木工程学院
C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
中南大学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
拉压静不定问题(精)
N AD
N N AB AC
A
A
A3
A A2
A1
P
P
B
D
C
（三）补充方程
由上面分析过程知,各杆变形量为：
AB杆变形量：l AB AA ；AD杆变形量： 1
A A3 A1
A2
l AD AA2；AC杆变形量：l形几何（协调/相容）关系：
P
图（a）
问题可解： N AB N AC
P 2 cos
二、问题的提出 在此结构竖直方向加上材料和截面
尺寸与其他两杆相同的等直杆AD后（这是工程中常见 的三杆桁架结构），求此时各杆内力 。
B D C
A
P
N AD
解： 静不定问题：仅用静力平衡 （一）静力学关系 方程求解不出结构所有未知 以节点 A为研究对象，其受力情况如 力的问题。也称为超静定问 题。相应的结构称为静不定 图（ b）所示，则列平衡方程有 结构或超静定结构。
x AC AB y AC AD AB
N AB
A
N AC
（1） F 0, N sin N sin 0 0, N cos N N cos P 0 （2） F 简单静不定问题的解法：从
P
图（b）
变形几何方面寻求补充方程 两个独立方程含有三个未知量，仅凭静 力平衡方程不能求出该问题的全部解。 与平衡方程联立求解。
变形图
补充方程
例：求图示杆的支反力。
R A RB P 解：静力平衡条件：
(1)
变形协调条件： l l AC l BC 0
R A l1 RB l2 0 引用胡克定律： EA EA
第3章9-讲义 - 拉压静不定问题
3 章
不定结构”。
(4) 本章节针对简单的拉压静不定问题，通过例题介绍
轴向 拉压
一种直观的求解方法 —— 变形比较法。
及材
料的 常规
变形比较法 —— 简单拉压静不定问题
力学
性能
例3.11~3.13
讲
义
2
BRY
注意：
求解静不定结构的关键 是寻找变形协调关系
材
(1) 静不定结构具有多于独立平衡方程个数的未知力所
力学 性能
称为静不定次数。
讲
义
1
BRY 静不定（超静定）结构的求解方法
(1) 求解静不定结构，必须在静力平衡方程之外增加补
材 充方程。
料 力
(2) 对于静不定结构，考虑到结构中各部分变形的相互
学 协调条件和变形与力之间的物理关系，就可以给出补充方程，
B 与静力平衡方程联立进行求ห้องสมุดไป่ตู้。
第
(3) 静不定结构的一般分析和求解方法，见“第8章 静
及材 是求解静不定结构的关键。
料的
常规
力学
性能
讲
义
3
料 力 学
含未知量，但是同时结构也存在着变形应满足的几何协调关 系，而变形与力又满足物理关系，这就给出了未知力应满足
B 的补充方程。
第
(2) 静定结构的变形不需要满足几何上的协调关系，也
3 即各杆件的变形只决定于其内力，而内力完全由静力平衡方 章 程确定。
轴向 拉压
(3) 从几何上找出结构中各杆件变形之间的协调关系，
BRY
§3.9 变形比较法求解简单拉压
静不定问题
材
料
力 静不定（超静定）结构
学
第十章 简单静不定问题
F
MA FB MC
y
0, FA FB 4q 0
FA 71.25 kN
M
FA
A
0,
M A 4q 2 4 FB 0
M A 125 kN m
F ’B
4.取BC 为研究对象，建立平衡方程：
FQ / kN
71.25
+
FC
F
y
0, FB FC F 0
M
max
3 qL 16
3 qL 16
5 qL 16
-
3 qL 16
7.5kN m
4.22kN m
+ 7.5kN m
+
5.建立强度条件 M max 32 M max 76.4MPa 3 WZ d 梁安全
目录
例10-10 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，
建立补充方程
一、求解拉压静不定问题的约束反力
目录
例题10-1
解：1、列出独立的平衡方程
F 0 F 0
x y
FN1 FN 2 2FN1 cos FN 3 F 0
l1
l2
l3
2、找变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
FN 1l l1 EA cos
A
EIZ
q
A
3.用叠加法求变形，建立补充方程
wB 1
wB 2
EIZ
B
qL4 FB L3 0 8 EI Z 3EI Z
3 FB ql 8
A
EIZ
B
FB
目录
拉伸与压缩例题
拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算
1、计算各杆轴力
1.5m A 1 F 2 B
1
FN 1
FN 2
2
2m
F FN 2 cos FN 1 FN 2 sin
解得
C
FN 1
B
FN 2
材料力学
F
3 FN 1 F（拉） , 4 5 FN 2 F（压） 4
拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算
例1
求轴力并画轴力图。
A
1-1截面
X 0
得：
1 B
40 kN
2C
30 kN
N1 40 30 20 0 N 1 N1 50 kN(拉） N 2 30 20 0 N 2 10 kN(拉）
N3 20 0 N3 20 kN(压）
N 50 kN
2-2截面
X 0
得：
3-3截面
N2
30 kN
20 kN
N3
20 kN
X 0
得：
材料力学
10 kN
x
20 kN
例2
作图示杆的轴力图。
10kN
A
15kN
B C
15kN
D
20kN
解： AB段： N AB 10 kN BC段：
N
10 kN
x
或
N图 10 kN 5 kN 20 kN
N BC 5 kN
[ ]1 150MPa ；杆2：方形截面，边长 a=100 mm, [ ]2 4.5MPa ,(1)当作用在B点的载荷 F=2 吨时，校核强 度；(2)求在B点处所 1.5m 能 承受的许用载荷。 B A 1 解： 一般步骤：
剪切应力计算 (2)
以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。
1.2轴向拉压的内力、应力及变形
1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力 ，符号规定：拉力为正，压力为负。工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。
2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为
4自我测试
拉 压
1.轴向拉伸杆，正应力最大的截面和切应力最大的截面（）。
(A）分别是横截面、45°斜截面；（B）都是横截面，
（C）分别是45°斜截面、横截面；（D）都是45°斜截面。
正确答案是。
2.轴向拉压杆，在与其轴线平行的纵向截面上（）。
（A）正应力为零，切应力不为零；
（B）正应力不为零，切应力为零；
例题2.5：
1、2杆均为圆截面钢杆，杆端为铰接。两杆长度L、直径d、材料E均相等，A处作用力F，如图2－5所示，试求节点A在力F作用下的位移。
解：
在力F作用下，杆1、2为轴向拉伸，由静力平衡关系得：
代入胡克定律解得1、2杆的变形量
但两杆铰接在一起，不能自由伸长，可判断出变形后节点A位移向下。分别以B、C为圆心， 、 为半径作圆弧，所作圆弧的交点A1就是杆件变形后节点A的位置。在实际工程中，为了便于计算，从杆件变形后的端点作杆件的垂线，用垂线代替圆弧线，近似认为其交点A2为变形后A的位置，AA2为节点A的位移。这种求位移的方法称为图解法。
例题2.3
图2－3（a）所示铰接正方形结构，各杆的横截面面积均为30cm2，材料为铸铁，其许用拉应力 ，许用压应力 ，试求结构的许可载荷。
解：
1求各杆轴力
取B节点作为研究对象，如图2－3（b）所示，代平衡方程
， （拉）
1.2轴向拉压的内力、应力及变形
1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力 ，符号规定：拉力为正，压力为负。工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。
2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为
4自我测试
拉 压
1.轴向拉伸杆，正应力最大的截面和切应力最大的截面（）。
(A）分别是横截面、45°斜截面；（B）都是横截面，
（C）分别是45°斜截面、横截面；（D）都是45°斜截面。
正确答案是。
2.轴向拉压杆，在与其轴线平行的纵向截面上（）。
（A）正应力为零，切应力不为零；
（B）正应力不为零，切应力为零；
例题2.5：
1、2杆均为圆截面钢杆，杆端为铰接。两杆长度L、直径d、材料E均相等，A处作用力F，如图2－5所示，试求节点A在力F作用下的位移。
解：
在力F作用下，杆1、2为轴向拉伸，由静力平衡关系得：
代入胡克定律解得1、2杆的变形量
但两杆铰接在一起，不能自由伸长，可判断出变形后节点A位移向下。分别以B、C为圆心， 、 为半径作圆弧，所作圆弧的交点A1就是杆件变形后节点A的位置。在实际工程中，为了便于计算，从杆件变形后的端点作杆件的垂线，用垂线代替圆弧线，近似认为其交点A2为变形后A的位置，AA2为节点A的位移。这种求位移的方法称为图解法。
例题2.3
图2－3（a）所示铰接正方形结构，各杆的横截面面积均为30cm2，材料为铸铁，其许用拉应力 ，许用压应力 ，试求结构的许可载荷。
解：
1求各杆轴力
取B节点作为研究对象，如图2－3（b）所示，代平衡方程
， （拉）
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例 题
例 1-1 长度 l = 54 mm ，内径 di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
0.3。经预紧后，轴 向变形 l ＝0.04 mm。试求： (a) 螺拴横截面上的正应力
(b) 螺拴的横向变形 d
解：1. 横截面正应力
l 7.41 10-4 l
E 148.2 MPa
处的向心加速度：
ar 2
叶片
作用在 d 微段上的离心力：
dF 2 dm 2 rAd dF 2 rAd
2. 叶片轴力与应力
2. 叶片轴力与应力 x 截面的轴力：
FN ( x )
2
Ro x
2 rAd
( Ro2 x 2 )
图示对称桁架，已知 ：E1A1= E2A2=EA， l1=l2=l，试求节点 A 的铅垂位移fA
f A AB (l l )cos b l cos a
l aa A F
b
l
cos b cos(a ) cos a sin a ( )2 cos a
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移， 已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
FN1 2F ( 拉伸)
FN2 F ( 压缩)
l1 FN1 l1 2F 2l 2 Fl ( 伸长) E1 A1 EA EA
FN2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
F
叠加原理（力的独立作用原理）
“ 几个载荷同时作用所产生的总效果， 等于各载荷单独作用产生的效果的总和” 说明： 1）Δ1----支反力、内力、应力、位移、应变， F ----广义载荷：力、力偶矩、分布力；
2）同一点（或截面）处的同类量叠加；
3）标量、共线矢量－－代数和； 非共线矢量－－矢量和。 应用条件： 载荷的效果（内力、应力、变形）与载荷成线性
轴力分段（阶梯形杆）
l
i 1
n
FNi li Ei Ai
FNi－杆段 i 轴力（设正） n－总段数，l—伸长为正
变截面变轴力杆 取微段dx, 微段变形
FN ( x )dx EA(x )
FN ( x ) l dx l EA( x )
若nB，如何求变形？
横向变形与泊松比
拉压杆的横向变形
横向变形
b b1 b
横向应变
'
b b
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比
泊松比 试验表明
'
：在比例极限内，’ ，并异号
－泊松比 (横向变形系数）
Poisson’s Ratio
0 0.5
• 对于绝大多数各向同性材料
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5 • 铜泡沫
3. 比较
( l )分段 ( l )分解载荷
载荷同时作用
载荷单独作用之和
1 kF
2(F1 F2 ) 2(F1 ) 2(F2 )
2 cF
n
(F1+ F2) (F1) (F2) F2
1(F1 F2 ) 1(F1 ) 1(F2 )
F1
F1+F2
f A l cos a ( l l ) sin a ( l l )( )2 cos a
l
A1
B
A
(l l ) A1 B A1 A
切线代圆弧
l f A l cos a l tg a sin a AA cos a
节点位移分析
2 rA
x 截面的应力：
( x) 2r
2 ( Ro2 x 2 )
3. 叶片的轴向变形
l
Ro Ri
FN ( x ) 2r dx ( 2 Ro3 3 Ro2 Ri Ri3 ) EA 6E
§2 桁架的节点位移
节点位移分析 小变形概念 例题
节点位移分析
( l )分段
2. 分解载荷法
F F1l1 F2 ( l1 l2 ) F2 (1ll1 1 l2 ) ( l ) lF1 分段 l F2 EA EA EA EA
( l )分解载荷 lF1 lF2
ห้องสมุดไป่ตู้
F2 ( l1 l2 ) F1l1 EA EA
§1 拉压杆的变形与叠加原理
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理 例题
轴向变形与胡克定律
拉压杆的轴向变形
E
(当 p时) l
FN A
l l
FN l －胡克定律 EA
EA－杆截面的抗拉压刚度 l－伸长为正，缩短为负
轴向变形一般公式
第三章 轴向拉压变形 本章主要研究: 轴向拉压变形分析的基本原理 简单拉压静不定问题分析 热应力与预应力分析 结构优化设计概念简介
•求桁架节点位移
•求解静不定
研究变形
第三章
§1 §2 §3 §4 §5 §6
轴向拉压变形
拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能 简单拉压静不定问题 热应力与预应力 结构优化设计概念简介
2. 螺拴横向变形
' 2.22 104
d ' di 0.0034 mm
横截面内任一点、 在任一方向上的应变 若杆件截面为空心圆， 内、外径如何变化？
螺拴直径缩小 0.0034 mm
例 1-2
图示涡轮叶片，单位体积的质量为r ，求叶
片横截面上的正应力与轴向变形 解：1. 叶片外力
E
0.39
'
E
叠加原理
算例
试分析杆 AC 的轴向变形 l
1.分段解法
FN1 F2 F1
( l )分段
FN2 F2
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2 l2 EA EA EA EA F2 ( l1 l2 ) F1l1 EA EA
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’ 切线代圆弧法 将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替 3. 节点位移计算
Ax AA2 l2 ( )