简单拉压的静不定问题
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材料力学第六章静不定
FHale Waihona Puke 5、列补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程
材料力学
.
6
FN2l2FN3l3FN1l1cos
E2A2 E3A3 E1A1
解得
FN1
1
F 2E2A2l1
cos2
E1 A1l2
FN2 FN3 2cosE F2A E21l1 Ac1lo2s
材料力学
.
7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
l2 sin 45o
2l1
②
l
l
l
EAsF in N 1 2 clos2EAsiF nN b2closb
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1F E N A 1(co 2 sl)， l2F E N A 2(colsb)
材料力学
.
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
2
l2 l2
2l1 2l1
变形协调方程 。
第二章-轴向拉伸与压缩-拉压静不定
三、拉压静不定问题举例
1.不同材料组成的组合杆件 不同材料组成的组合杆件 变形特点：两种材料的伸长或缩短变形相同。 变形特点：两种材料的伸长或缩短变形相同。 弹性模量为E 横截面面积为A 弹性模量为 1、横截面面积为 1的实心 圆杆与弹性模量为E 横截面面积为A 圆杆与弹性模量为 2 、 横截面面积为 2 的 圆筒用刚性板联接，如图a)所示 试求在F 所示。 圆筒用刚性板联接，如图 所示。试求在 力作用下圆杆和圆筒的应力。 力作用下圆杆和圆筒的应力。 解：受力分析如图，可知为一次静不定问题。 受力分析如图，可知为一次静不定问题。 (1)平衡条件（平衡方程） 平衡条件（平衡方程） 平衡条件
a
受力分析如图示，可知为一次静不定。 解:受力分析如图示，可知为一次静不定。
(1)平衡方程
a
N1 a
∑F = 0
y
N1 − N2 = 0
(2)变形几何方程 (2)变形几何方程
∆L = ∆LT + ∆LN = 0
N2 a
（3）本构方程 ）
N1a N2a ∆L = 2a∆Tα ; ∆LN = −( + ) T EA EA 1 2
∆L A 3 1
(2)变形几何方程 (2)变形几何方程
∆L 1
α α
A
δ
∆L 2
∆L 1 ∆L3 + =δ cosα
E A cos2 α 1 1 FN1 = FN2 = ⋅ L3 1+ 2cos3 α E A / E3 A 1 1 3
(4)联立求解 联立求解
(3)本构方程 本构方程
δ
FN3L3 FN1L 1 + =δ 2 E3 A E A cos a 3 1 1
∆L2
3-1 静不定(14年) (拉压应力作业问题)
5
（压应力）
拉压杆超静定问题
例 阶梯钢杆上下两段在T1=5℃被固定,上下
两段面积为=cm2 ， =cm2，当温度 升至T2 = 25℃时,求各杆的温度应力。已知， a
FN1
a
弹性模量E=200GPa，线膨胀系数为
解：① 平衡方程
a
② 变形方程
a FN2
拉压杆超静定问题
③ 本构方程
l l1 l 2 l 3 l4 0
FN i li l i EA
FN 3 FN A P FN 4 FN A P 2P 3P
例2、平行力系: 求各杆内力。 已知：AB为刚性梁，两杆A=1000mm2，P=50kN •几何：Δl2=2Δl1
l a A
P
A
FN1
静不定结构的特点(2) ———装配应力
B D B C D
静定结构 ——无装配应力
A
A
静不定结构 ！ ——？
已知：三杆EA相同，1杆制造误差δ，求装配内力
B○ 2 ⊿l1 ⊿l2 α
○
C α 3
○
D
解题思路：因制造误差，
装配时各杆必须变形，
1
因此产生装配内力。
l
δ
几何方程： ⊿l1＋⊿l2 / cosα = δ 物理方程 ？虎克定律！
实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。
2）静不定问题——仅用静力平衡方程不能求 出全部未知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
二. 静不定问题的解法： 1. 判断静不定次数： 方法1: 未知力数目－平衡方程数目 方法2：多余未知力数目 2. 列平衡方程 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的 关系，需要具体问题具体分析。 4. 列物理方程：变形与力的关系。 5. 列补充方程：物理方程代入几何方 程即得。
（压应力）
拉压杆超静定问题
例 阶梯钢杆上下两段在T1=5℃被固定,上下
两段面积为=cm2 ， =cm2，当温度 升至T2 = 25℃时,求各杆的温度应力。已知， a
FN1
a
弹性模量E=200GPa，线膨胀系数为
解：① 平衡方程
a
② 变形方程
a FN2
拉压杆超静定问题
③ 本构方程
l l1 l 2 l 3 l4 0
FN i li l i EA
FN 3 FN A P FN 4 FN A P 2P 3P
例2、平行力系: 求各杆内力。 已知：AB为刚性梁，两杆A=1000mm2，P=50kN •几何：Δl2=2Δl1
l a A
P
A
FN1
静不定结构的特点(2) ———装配应力
B D B C D
静定结构 ——无装配应力
A
A
静不定结构 ！ ——？
已知：三杆EA相同，1杆制造误差δ，求装配内力
B○ 2 ⊿l1 ⊿l2 α
○
C α 3
○
D
解题思路：因制造误差，
装配时各杆必须变形，
1
因此产生装配内力。
l
δ
几何方程： ⊿l1＋⊿l2 / cosα = δ 物理方程 ？虎克定律！
实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。
2）静不定问题——仅用静力平衡方程不能求 出全部未知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
二. 静不定问题的解法： 1. 判断静不定次数： 方法1: 未知力数目－平衡方程数目 方法2：多余未知力数目 2. 列平衡方程 3. 列几何方程：反映各杆变形之间的 关系，需要具体问题具体分析。 4. 列物理方程：变形与力的关系。 5. 列补充方程：物理方程代入几何方 程即得。
材料力学拉压静不定问题
§1－8 温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的 制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由 于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。
对于无约束的杆件，当温度变化为 t t2t1时，杆 件的变形为：
lt tl
式中： ——为材料的线膨胀系数。
例 图示结构，杆①、杆② EA均相同，当杆①温
P
0.72P
求结构的许可载荷
N 1 0 .0P 7 A 1 1
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086 cm2
P 1 A 1 1 / 0 . 0 7 3 0 8 . 6 1 6 0 / 0 . 0 7 7 0 5 . 4 k N
N 2 0 .7P 2 A 2 2
P 2 A 2 2 / 0 . 7 2 2 5 0 2 1 2 / 0 . 7 2 1 0 4 2 k N
变形内力关系（物理方程）
方程
P
N3
N1
N2
A
P
例2 求图示两端固定等直杆的约束反力
解：解除约束,以已知方向约束反力代替
EA
EA
平衡方程: PRARB0
A
a
P B 为得到变形协调方程,解除多余约束，分别
b
考虑外力和多余约束反力产生的位移叠加
设B为多余约束，此处的实际位移必须为0
RA
P
R B 几何方程: lP lRB
PP
PP
解：平衡方程:
yy
Y 4 N 1 N 2 P 0
44NN1 1
N2
几何方程
N2
L1 L2
物理方程及补充方程：
L1N E11A L1 1 N E22A L2 2 L2
04-2.7 拉压静不定问题
A l1
F
研究变形
内力假设受拉
变形假设伸长
内力假设与变形假设一致 !
注意事项2：几何方程的求法
B
CD
1
2 3
l3 A l2
A 方法1
l1 F
B
CD
1
2 3
l2Al3
A l1
F
方法2
新节点向原杆作垂线 原节点向新位置作垂线
Statically indeterminate problem 特点：未知力的数目多于静力平衡方程的数目
未知力的数目 pk. 静力平衡方程的数目
例子
B
C
1 2
A
F
y
FN1
FN2
A
x
F
未知力数目： 2 ( FN1 , FN2 ) 静力平衡方程数目： 2 ( ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 ) 判断： 静定结构——静定问题
仅用静立平衡方程 便能求解全部未知量
例子
FN2 FN3
FN1
FN4
F
F
未知力数目：4个 静力平衡方程数目：2个 判断：静不定结构，静不定问题
需要补充 2 个方程
3. 静不定次数
Degree of statical indeterminancy
未知力数目与平衡方程数目之差
也是需要补充的方程数目
FN2 FN3
5.25°
2°
5°
4° 2.75°
5.25° 2.75°
4°X5=20° 4° 5° 4°X3=12°
6° 5°
Ⅲ 5°
4°X4=16° 4°
Ⅰ
纵向对接桁 Ⅳ
16
内力按刚度比分配实例2
初始设计
第十章 简单静不定问题
3、物理关系
l1
FN1l
EA cos
l3
FN 3l EA
补充方程 FN1l FN3l cos EAcos EA
FN1 FN3 cos2
FN1
FN 2
F cos2 1 2 cos3
FN 3
1
F
2 cos3
目录
例题10-2 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，
由平衡方程解得， F1= F2= F3=
由对称知， F4= 根F2据卡氏第二定理，
2 2 F6
F5 =F6
A
F2
F1 F6
F2’B
FN6 1 F6
FN1 2 F6 2
F5
F3
6
FNili
FNi
4
2 2
F6l
2 2 F6
2l 2F6l (1
2)
i1 EA F6
EA 2
EA EA
F6
EA
2l (1
L 1 1000 ，将杆装在两刚性支座之间，试求装配应力。
解： L FNl
EA
FN
EA L
FN E
AL
200MPa
目录
例10-4 图示杆系结构中，6杆比名义长度短δ，设各杆的抗拉刚度 都是EA，试求装配完成后，各杆的内力。
F6 F6’
解：设6杆受拉，拉力为F6。
取节点A 、B为研究对象，
静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高
目录
二． 基本静定系（静定基），相当系统 基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。 相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。
MC
MA
材料力学2-2拉压静不定
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7）组合体伸长： 6）应力： （压） （拉）
作业： P73
P81
2.43
2.47
P81
2.48
九、应力集中的概念
P
P 0 A
P
max
P
P
P
P
理论应力集中系数：k
max 0
习 题 课
例题1：图示构架，两杆的材料相同，其横截面面积之 比为A1：A2=2：3，承受载荷为P，试求： 1)为使两杆内的应力相等,夹角应为多大? 2)若P=10kN，A1=100mm2，则杆内的应力为多大?
0.06 10 3 L1 0 .1 L2 0 .3
作业：
P82 2.51
P84 2.53
soc
1
L
1L 3L soc , 3L
)2 ( 0 soc 1 N 2 3 N，0 Y )1(
2
已知三杆的EA相同，3杆制造短了长度， 若将三杆用铰A装配，试求装配后各杆的受力。
解： 1）平衡方程
2）装配后的变形几何关系(变形图)
3
L N L 1N soc 3 A 3E soc 1A 1E
3
L N 3L 3 N , 1 1 1L 3L A A 3E 1 1E
3
soc 3L 2L 1L
2)变形几何关系、变形图：
3)物理关系：
5)联立求解：
4)补充方程：
3. 静不定问题特征： 1）各杆的受力与刚度有关； 2）静不定问题可能产生初应力或温度应力。
tAE R tE B t A A
例1： D1=45mm，t = 3mm，d2=30mm，E1=210GPa， 1=1210 -61/oC， E2=110GPa， 2=16 10 - 61/oC， t从30o升高至180o（30o为装配时温度），求钢管和铜 杆内的应力以及组合体的伸长。 解：1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7）组合体伸长： 6）应力： （压） （拉）
作业： P73
P81
2.43
2.47
P81
2.48
九、应力集中的概念
P
P 0 A
P
max
P
P
P
P
理论应力集中系数：k
max 0
习 题 课
例题1：图示构架，两杆的材料相同，其横截面面积之 比为A1：A2=2：3，承受载荷为P，试求： 1)为使两杆内的应力相等,夹角应为多大? 2)若P=10kN，A1=100mm2，则杆内的应力为多大?
0.06 10 3 L1 0 .1 L2 0 .3
作业：
P82 2.51
P84 2.53
soc
1
L
1L 3L soc , 3L
)2 ( 0 soc 1 N 2 3 N，0 Y )1(
2
已知三杆的EA相同，3杆制造短了长度， 若将三杆用铰A装配，试求装配后各杆的受力。
解： 1）平衡方程
2）装配后的变形几何关系(变形图)
3
L N L 1N soc 3 A 3E soc 1A 1E
3
L N 3L 3 N , 1 1 1L 3L A A 3E 1 1E
3
soc 3L 2L 1L
2)变形几何关系、变形图：
3)物理关系：
5)联立求解：
4)补充方程：
3. 静不定问题特征： 1）各杆的受力与刚度有关； 2）静不定问题可能产生初应力或温度应力。
tAE R tE B t A A
例1： D1=45mm，t = 3mm，d2=30mm，E1=210GPa， 1=1210 -61/oC， E2=110GPa， 2=16 10 - 61/oC， t从30o升高至180o（30o为装配时温度），求钢管和铜 杆内的应力以及组合体的伸长。 解：1）
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
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例 题
例 1-1 长度 l = 54 mm ，内径 di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
0.3。经预紧后，轴 向变形 l ＝0.04 mm。试求： (a) 螺拴横截面上的正应力
(b) 螺拴的横向变形 d
解：1. 横截面正应力
l 7.41 10-4 l
E 148.2 MPa
处的向心加速度：
ar 2
叶片
作用在 d 微段上的离心力：
dF 2 dm 2 rAd dF 2 rAd
2. 叶片轴力与应力
2. 叶片轴力与应力 x 截面的轴力：
FN ( x )
2
Ro x
2 rAd
( Ro2 x 2 )
图示对称桁架，已知 ：E1A1= E2A2=EA， l1=l2=l，试求节点 A 的铅垂位移fA
f A AB (l l )cos b l cos a
l aa A F
b
l
cos b cos(a ) cos a sin a ( )2 cos a
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移， 已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
FN1 2F ( 拉伸)
FN2 F ( 压缩)
l1 FN1 l1 2F 2l 2 Fl ( 伸长) E1 A1 EA EA
FN2 l2 Fl l 2 (缩短) E2 A2 EA
F
叠加原理（力的独立作用原理）
“ 几个载荷同时作用所产生的总效果， 等于各载荷单独作用产生的效果的总和” 说明： 1）Δ1----支反力、内力、应力、位移、应变， F ----广义载荷：力、力偶矩、分布力；
2）同一点（或截面）处的同类量叠加；
3）标量、共线矢量－－代数和； 非共线矢量－－矢量和。 应用条件： 载荷的效果（内力、应力、变形）与载荷成线性
轴力分段（阶梯形杆）
l
i 1
n
FNi li Ei Ai
FNi－杆段 i 轴力（设正） n－总段数，l—伸长为正
变截面变轴力杆 取微段dx, 微段变形
FN ( x )dx EA(x )
FN ( x ) l dx l EA( x )
若nB，如何求变形？
横向变形与泊松比
拉压杆的横向变形
横向变形
b b1 b
横向应变
'
b b
横截面内任一点， 任意面内方向上的应变
横向变形与泊松比
泊松比 试验表明
'
：在比例极限内，’ ，并异号
－泊松比 (横向变形系数）
Poisson’s Ratio
0 0.5
• 对于绝大多数各向同性材料
• 弹性理论证明： 等温下各向同性线弹性材料 1 0.5 • 铜泡沫
3. 比较
( l )分段 ( l )分解载荷
载荷同时作用
载荷单独作用之和
1 kF
2(F1 F2 ) 2(F1 ) 2(F2 )
2 cF
n
(F1+ F2) (F1) (F2) F2
1(F1 F2 ) 1(F1 ) 1(F2 )
F1
F1+F2
f A l cos a ( l l ) sin a ( l l )( )2 cos a
l
A1
B
A
(l l ) A1 B A1 A
切线代圆弧
l f A l cos a l tg a sin a AA cos a
节点位移分析
2 rA
x 截面的应力：
( x) 2r
2 ( Ro2 x 2 )
3. 叶片的轴向变形
l
Ro Ri
FN ( x ) 2r dx ( 2 Ro3 3 Ro2 Ri Ri3 ) EA 6E
§2 桁架的节点位移
节点位移分析 小变形概念 例题
节点位移分析
( l )分段
2. 分解载荷法
F F1l1 F2 ( l1 l2 ) F2 (1ll1 1 l2 ) ( l ) lF1 分段 l F2 EA EA EA EA
( l )分解载荷 lF1 lF2
ห้องสมุดไป่ตู้
F2 ( l1 l2 ) F1l1 EA EA
§1 拉压杆的变形与叠加原理
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理 例题
轴向变形与胡克定律
拉压杆的轴向变形
E
(当 p时) l
FN A
l l
FN l －胡克定律 EA
EA－杆截面的抗拉压刚度 l－伸长为正，缩短为负
轴向变形一般公式
第三章 轴向拉压变形 本章主要研究: 轴向拉压变形分析的基本原理 简单拉压静不定问题分析 热应力与预应力分析 结构优化设计概念简介
•求桁架节点位移
•求解静不定
研究变形
第三章
§1 §2 §3 §4 §5 §6
轴向拉压变形
拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能 简单拉压静不定问题 热应力与预应力 结构优化设计概念简介
2. 螺拴横向变形
' 2.22 104
d ' di 0.0034 mm
横截面内任一点、 在任一方向上的应变 若杆件截面为空心圆， 内、外径如何变化？
螺拴直径缩小 0.0034 mm
例 1-2
图示涡轮叶片，单位体积的质量为r ，求叶
片横截面上的正应力与轴向变形 解：1. 叶片外力
E
0.39
'
E
叠加原理
算例
试分析杆 AC 的轴向变形 l
1.分段解法
FN1 F2 F1
( l )分段
FN2 F2
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2 l2 EA EA EA EA F2 ( l1 l2 ) F1l1 EA EA
2. 作图法求节点位移 圆弧法 作圆弧A1A’、A2A’ 切线代圆弧法 将圆弧A1A’用 其切线A1A3代替 3. 节点位移计算
Ax AA2 l2 ( )