多边形内角和公式的几种推导方法

多边形内角和公式的几种推导方法

云南省西双版纳州勐海县勐阿中学 赵艳

学生在学习探索多边形的内角和的时候，已学习了三角形内角和定理、三角形相关知识，在前面特殊四边形性质的探索过程中，也体会了转化思想在解题中的应用，所以具备了进一步学习的基础。随着几何知识学习的逐步深入，学生具备了一定的解决几何问题的方法，本节课需要用到图形转化，多边形内角和定理的探索，需要学生结合图形发现规律。所以在教学中教师引导学生推导多边形内角和公式的方法是将多边形分割为多个三角形，将多边形的内角和转化为我们所熟知的三角形内角和来解决。下面介绍几种推导多边形内角和公式常用的方法。

方法（一）：如（图七）所示，取多边形上任意一个

顶点，连接除相邻的两点，则多边形的内角和可转化为

三角形内角和之间的关系，即六边形ABCDEF 的内角和

等于4个三角形内角和之和：4×1800 ，从而边数为6的多边形内角和为（6-2）×1800 =4×1800 ，再列举

其它多边形可以归纳总结出n 边形内角和为（n-2）×

1800 。

方法（二）：如（图八）所示，在多边形内任意找

一点O ，连接各个点，则多边形的内角和可转化为三角形内角和之间的关系，即八边形ABCDEFGH 的内角和等

于8个三角形内角和减去一个周角的度数：8×1800

-3600=8×1800 -2×1800 =（8-2）×1800 ，再列举其它

多边形可以归纳总结出n 边形内角和为（n-2）×1800 。

方法（三）：如（图九）所示，在多边形的一条边上

任意取一点P ，连接这点与各顶点的线段，把六边形

ABCDEF 分成了五个三角形，所以此六边形的内角和等

于五个三角形的内角和减去一个平角的度数，即：5×

1800 -1800=4×1800 ，归纳之后得到n 边形的内角和为

（n-2）×1800 。

方法（四）：如（图十）所示，在多边形外取一点

(图七)F E D

C

B A O

H

G (图八）F E D C

B A （图九）F

E D P C

B A （图十）F E D P

C

B A

P（点P不在n边形任一边的延长线上），连接此点与各顶点，得到五个三角形（不含△CPD），所以此六边形的内角和等于五个三角形的内角和减去△CPD的内角和，即5×1800-1800=4×1800，归纳之后得到n边形的内角和为（n-2）×1800。

综述以上几种方法，不难发现，推导多边形的内角和公式，都是利用转化思想而得，即把多边形分成若干个三角形，从而将多边形问题转化为三角形问题来解决，这种思想对于学好数学是极为重要的，而且对学生理解及掌握知识有一定的帮助，有利于教师的教学和学生的学习。