0-1背包问题的多种解法

问题描述

0/1 背包问题 :

现有 n 种物品，对 1<=i<=n ，已知第 i 种物品的重量为正整数 W i ，价值为正整数

V i ， 背包能承受的最大载重量为正整数 W ，现要求找出这 n 种物品的一个子集，使得子集中

物 品的总重量不超过 W 且总价值尽量大。 (注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取， 不允许只取一部分)

算法分析

根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：

n w i x i

W i1 i i

(1)

x i { 0,1}( 1 i n)

n

max v i x i (2)

i1

于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1 )，并使目标函数式( 2 )达到最大的 解向量 X (x 1, x 2 ,x 3, , x n ) 。 首先说明一下 0-1 背包问题拥有最优解。

假设 (x 1,x 2,x 3, ,x n ) 是所给的问题的一个最优解， 则(x 2,x 3, ,x n )是下面问题的

n n n

个问题的一个最 优解，则

v i y i v i x i ，且 w 1x 1 w i y i W 。因此 ，

i 2 i2 i 2

一个最优解：

w i x i W

i2

w

1x 1

n

max v i x i 。如果不是的话，

(y 2,y 3, , y n ) 是这

x i {0,1}( 2 i n) i2

n n n

v1x1 v i y i v1x1 v i x i v i x i ，这说明(x1,y2,y3, ,y n) 是所给的0-1 背包问

i 2 i2 i1

题比( x1 , x 2 , x3 , , x n ) 更优的解，从而与假设矛盾。

穷举法：

用穷举法解决0-1 背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集) ，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。由于程序过于简单，在这里就不再给出，用实例说明求解过程。下面给出了4个物品和一个容量为10的背包，下图就是用穷举法求解0-1 背包问题的过程。

a) 四个物品和一个容量为10 的背包

序号子集总重量总价值序号子集总重量总价值

1 空集

0 0 9 {2，3} 7 52

2 {1} 7 42 10 {2，4} 8 37

3 {2} 3 12 11 {3，4} 9 65

4 {3} 4 40 12 {1,2,3} 14

不可行5 {4} 5 25 13 {1,2,4} 15

不可行6 {1，2} 10 54 14 {1,3,4} 16

不可行

7 {1，3} 11 不可行

15 {2,3,4} 12

不可行物品 1

W2=3

V2=12

物品

2

W3=4

V3=40

物品 3

W4=5

V4=25

物品 4

背包

W1=7 V1=12

(b )用回溯法求解0-1 背包问题的过程

递归法：

在利用递归法解决0-1 背包问题时，我们可以先从第n 个物品看起。每次的递归调用

都会判断两种情况：

(1 ) 背包可以放下第n 个物品，则x[n]=1 ，并继续递归调用物品重量为W-w[n], 物

品数目为n-1 的递归函数，并返回此递归函数值与v[n] 的和作为背包问题的

最优解；

(2) 背包放不下第n 个物品，则x[n]=0 ，并继续递归调用背包容量为W ，物品数目

为n-1 的递归函数，并返回此递归函数值最为背包问题的最优解。

递归调用的终结条件是背包的容量为0 或物品的数量为0. 此时就得到了0-1 背包问题的最优解。

用递归法解0-1 背包问题可以归结为下函数：

KnapSack(n 1,m) 没有选择物品 n

KnapSack(n, m)

KnapSack(n 1,m w[n]) v[n] 选择了物品 n 第一个式子表示选择物品n 后得到价值KnapSack (n 1,m w[n]) v[n] 比不选择物品n 情况下得到的价值KnapSack(n 1,m) 小，所以最终还是不选择物品n; 第二个式子刚好相反，选择物品n 后的价值KnapSack(n 1,m w[n]) v[n] 不小于不选择物品n 情况下得到了价值KnapSack ( n 1,m) ，所以最终选择物品n。

在递归调用的过程中可以顺便求出所选择的物品。下面是标记物品被选情况的数组

x[n] 求解的具体函数表示：

0 KnapSack (n, m) KnapSack ( n 1,m)

x[n]

1 KnapSack (n, m) KnapSack ( n 1,m w[n]) v[n]

在函数中，递归调用的主体函数为KnapSack ，m 表示背包的容量，n 表示物品的数量，x[n]表示是否选择了第n 个物品( 1—选，0—不选)。每个物品的重量和价值信息分别存放在数组w[n] 和v[n] 中。具体的代码见《递归法》文件夹。

贪心法：

0-1 背包问题与背包问题类似，所不同的是在选择物品i(1 i n) 装入背包时，可以选择一部分，而不一定要全部装入背包。这两类问题都具有最优子结构性质，相当相似。但是背包问题可以用贪心法求解，而0-1 背包问题却不能用贪心法求解。贪心法之所以得不到最优解，是由于物品不允许分割，因此，无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包容量使背包单位重量的价值降低了。事实上，在考虑0-1 背包问题时，应比较选择物品和不

选择物品所导致的方案，然后做出最优解。由此导出了许多相互重叠的子问题，所以，0-1 背包问题可以用动态规划法得到最优解。在这里就不再用贪心法解0-1 背包问题了。

动态规划法分析：

0-1 背包问题可以看作是寻找一个序列( x1, x2, x3 , , x n ) ，对任一个变量x i 的判断

是决定x i=1 还是x i=0. 在判断完x i 1之后，已经确定了( x1, x2, x3 , , x i 1) ，在判断x i

时，会有两种情况：

(1) 背包容量不足以装入物品i，则x i =0 ，背包的价值不增加；

(2) 背包的容量可以装下物品i，则x i=1 ，背包的价值增加v i。

这两种情况下背包的总价值的最大者应该是对x i 判断后的价值。令C(i, j) 表示在前i(1 i n) 个物品中能够装入容量为j (1 j W )的背包的物品的总价值，则可以得到如