第六章弹性体振动的精确解法
弹性体的振动
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
弹性体的一维振动_图文
就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
振动理论习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a＝h 2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
弹性体中的波动与振动
弹性体中的波动与振动在自然界中，波动和振动是非常常见的现象，而弹性体中的波动与振动则是一个非常有趣和复杂的研究领域。
弹性体是一种能够恢复其形状和体积的物质，当其受到外力作用时，就会发生波动和振动。
一、弹性体的特性弹性体具有可以恢复形变的特性，当外力作用撤除后，弹性体会回到原来的形态。
这种属性来源于弹性体的分子内部结构。
弹性体的分子间力可以解释为由于电荷相互作用所产生的力，这种力可以使得分子在受到外力作用后变形，并将变形的形状存储下来。
当外力消失时，分子间的力就能使弹性体恢复原始形态。
二、弹性体中的波动在弹性体中，波动表现为能量的传递。
当弹性体受到一个扰动时，这个扰动会通过分子间的力传递给其周围的分子，从而导致波动的形成。
这个传递的过程可以通过振动的方式进行。
在弹性体中，波动有两种常见的类型：横波和纵波。
横波是指波动的方向与传播方向垂直的波动，而纵波则是指波动方向与传播方向相同的波动。
三、弹性体中的振动振动是指弹性体内部的周期性运动。
当弹性体受到一个外力作用时，它会产生振动。
振动可以分为简谐振动和复杂振动。
简谐振动是指一个物体沿一个固定轴线作往返运动。
弹簧振子是一个常见的简谐振动的例子。
当一个弹簧振子受到外力作用时，它会在平衡位置附近产生往复运动，这种运动是以一定的频率进行的。
复杂振动则是指一个物体在多个方向上的振动。
例如，当一个匀质杆的一个端点受到扰动时，杆会以不同的频率和振幅在不同方向上振动。
四、弹性体中的应用由于弹性体的特性和波动振动的机制，弹性体在许多领域都有很重要的应用。
在工程领域，弹性体的特性被广泛应用于设计和制造材料和结构。
例如，钢材的弹性和刚性使得它成为建筑、桥梁和机械的重要构件。
在医学领域，弹性体的波动特性被用于声波成像技术，如超声波医学成像。
超声波技术通过测量声波在人体组织中的传播速度和反射程度来生成图像，从而帮助医生进行诊断。
在地震学领域，弹性体的波动特性被用于研究地震的传播和影响。
弹性体的震动
弹性体的振动5.1 引言任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成的，也就是说这些零部件都是弹性体（连续系统）。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
(a)(b)5.1多自由度系统和弹性体的动力学模型多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零部件）的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图5.l(a)所示，它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n个集中质量(m1，m2，…，m n。
)和n-1个弹簧(k1，k2，…，k n-1)所组成的n个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成，如图5.1(b)所示。
当一个零件的分段数n→∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x也从一个离散值(x1，x2，…，x n)变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x和时间t所表达的二元函数(,)y x t来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由度系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
弹性体材料的质点振动规律
弹性体材料的质点振动规律弹性体材料是一类特殊的材料，具有较大的变形能力和恢复力。
它们在受到外力作用时，会发生质点的振动。
本文将探讨弹性体质点的振动规律。
一、弹性体质点的振动特性弹性体质点的振动特性与质点本身的特性以及材料的弹性刚度有关。
通常情况下，弹性体质点的振动是周期性的，即在一定的时间内，质点会重复地执行相同的振动。
1. 自由振动当弹性体质点没有外力作用时，质点将进行自由振动。
自由振动的周期与质点的质量和弹性刚度有关。
当外力作用为零时，质点将按照一定的频率前后摆动，形成周期性的振动。
质点在振动过程中会经历位移、速度和加速度的变化，这些变化遵循一定的规律。
2. 阻尼振动当弹性体质点受到阻尼力的作用时，振动将会减弱并逐渐停止。
阻尼振动的特点是在振动过程中，质点的振动幅度逐渐减小，最终趋于稳定。
阻尼振动与阻尼系数有关，阻尼系数越大，阻尼力越大，振动减弱的速度也越快。
3. 受迫振动当弹性体质点受到外力周期性的作用时，质点将发生受迫振动。
受迫振动的频率与外力作用的频率相同或者相近。
当外力的频率接近质点的固有频率时，质点的振动幅度会不断增大，形成共振现象。
受迫振动的特点是振动幅度与外力频率的关系，当外力频率接近质点固有频率时，幅度增大；当外力频率与质点固有频率相差较大时，振动幅度较小。
二、弹性体振动的数学描述为了进一步研究弹性体质点的振动规律，我们需要使用数学模型进行描述。
1. 弹簧模型弹簧模型是最简单的一种描述弹性体振动的数学模型。
它假设弹性体质点受到弹性力的作用，弹簧的劲度系数与弹性体的弹性刚度相同。
通过牛顿第二定律可以得到弹性体质点的振动方程。
有时候，还可以加入阻尼项和外力项进行更复杂的振动模拟。
2. 波动方程弹性体振动也可以用波动方程进行描述。
波动方程是一个偏微分方程，它描述了弹性体中的波动传播和振动。
通过求解波动方程，我们可以得到质点的振动波动形式和特性。
三、弹性体振动的应用弹性体振动是一个具有广泛应用的物理现象，在多个领域都有实际应用。
弹性动力学波动解与振动解
弹性动力学主要目标是在给定扰动源及边界条件、初始条件下求解弹性物体的动力响应。
解答的形式有两种：一种是波动解，一种是振动解。
前者描述行波在弹性介质中的传播过程，后者描述弹性体的振动。
为了说明两者的联系与差异，首先考察波动与振动两个物理现象。
一个原来处于静止状态的物体，当期局部受到突然的扰动，并不能立即引起物体各部分的运动。
如图1.2所示的一根半无限长杆端部受到打击时，远离杆端的区域并不能立即感受到端部的打击信号，而要经过一定的时间后才能接受到这个信号。
这是动力问题和静力问题最根本的区别。
实际上由于连续介质中的各个指点由某种约束力而彼此联系起来，在未受到扰动之前，质点之间的相互作用力处于平衡状态。
当某一个质点受到扰动以后，它就要偏离原来的平衡位置而进入运动状态。
由于质点间相对位置的变化，使得受扰动质点痛其周围质点之间增加了附加的弹性力，从而与受扰动质点相邻的质点也必然受到影响而进入运动状态。
这种作用依次传递下去，便形成一个由扰动源开始的波动现象。
这种扰动借质点间的弹性力而逐渐传播的过程，称为弹性波。
如果介质是无限的，扰动将会随时间的发展一直传播出去。
然而一个实际的物体总是有边界的，当扰动到达边界时，将要和边界发生相互作用而产生反射。
对一个有界的物体，由于扰动在其边界上来回反射，从而使得整个物体就会呈现出在其平衡位置附近的一种周期性的振荡现象，称之为弹性体的振动。
弹性波和弹性体的振动之间存在着本质的内在联系。
这两种现象的形成有着相同的机制，它们都是由介质的弹性和惯性两个基本性质所决定。
弹性性质有使发生了位移的质点回复到原来平衡位置的作用，而运动质点的惯性有使当前的运动状态持续下去的作用，或者说弹性是贮存势能的要素，惯性是维持动能的表征。
正由于这两种特性的存在，系统的能量才得以保持和传递，外部的扰动才能激发起弹性波和弹性体的振动。
弹性波的传播和弹性体的振动，实际上可以看作是同一物理问题的不同表现形式。
振动力学第六章弹性体的一维振动
U (0) 0,
EAdU dx
xl kU(l)
C 0, U (x) Dsin p x a
U (x) C cos px D sin px
a
a
EA p cos p l k sin p l
aa
a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
EA p cos p l k sin p l
0 dx
dU j dx
d x pi2
l
0 AU iU j d x
( pi2
p
2 j
)
l
0 AU iU
j
d
x
0
pi p j
i j
l
U
0
j
d dx
(EA dU i dx
)d x
0
l EA dU i dU j d x 0
0 dx dx
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
a
则频率方程为
iπ pi l a
i 1,2,
相应的主振型为
iπ
Ui (x) Di sin l a
i 1,2,
若 k 0，相当于自由端，即
cos p l 0 a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
u
p
p
x
xl
D cos l( Acos pt B sin pt)
a
a
2u t 2
解答振动问题的方法与技巧
解答振动问题的方法与技巧振动是物体在受到外部激励后呈现周期性运动的现象。
振动问题在力学、电路、声学等领域都有广泛的应用。
解答振动问题，需要掌握一定的方法和技巧。
本文将从几个方面介绍解答振动问题的方法和技巧，希望对读者有所帮助。
一、建立振动方程要解答振动问题，首先需要建立振动方程。
振动方程描述了振动系统的运动规律。
根据不同的情况，振动方程可以是线性的或非线性的，可以是一维的或多维的。
常见的振动方程有简谐振动方程、阻尼振动方程和强迫振动方程等。
以简谐振动为例，其振动方程可以表示为：m·x″(t) + k·x(t) = 0，其中m为物体的质量，k为弹簧的劲度系数，x(t)为物体的位移。
建立振动方程是解答振动问题的第一步，可以根据具体情况来选择合适的振动方程。
二、应用边界条件解答振动问题时，需要考虑系统的边界条件。
边界条件是指系统的初始条件和边界上的限制条件。
例如，一个悬挂弹簧的质点具有初始速度为零和位置为最大振幅的边界条件。
根据边界条件，可以确定振动系统的特解。
以弹簧振子为例，假设弹簧振子的初始位移为x0，初始速度为v0。
根据边界条件，可以确定弹簧振子的运动方程。
同时，边界条件还可以用来确定振动系统的自由度。
三、利用能量守恒定律能量守恒定律在解答振动问题中有着重要的应用。
能量守恒定律指出，在没有外力做功的情况下，系统的能量保持不变。
对于简谐振动，系统的总能量可以表示为动能和势能之和。
以弹簧振子为例，假设弹簧振子的弹性势能为U，动能为T。
根据能量守恒定律，有T + U = 常数。
通过计算弹簧振子的动能和势能，可以求解其运动方程和振动频率。
四、应用拉普拉斯变换拉普拉斯变换在解答振动问题中也起到了重要的作用。
拉普拉斯变换能够将微分方程转化为代数方程，简化了问题的求解过程。
以受到阻尼的简谐振动为例，其振动方程可以表示为：m·x″(t) + c·x′(t) + k·x(t) = 0，其中c为阻尼系数。
理论力学中的弹性体运动分析
理论力学中的弹性体运动分析弹性体是指在外力作用下可以产生形变，但在外力消失后又能恢复原状的物体。
弹性体运动分析是理论力学研究的重要内容之一，对于解决工程实践中的弹性问题具有重要意义。
本文将详细探讨理论力学中的弹性体运动分析。
一、弹性体的基本概念弹性体是指在外力作用下，不会发生永久形变的物体。
在理论力学中，弹性体的运动分析基于以下基本概念：1. 座标表述：弹性体运动可以通过一系列坐标来描述，例如质点的位置坐标或杆件的形状坐标。
2. 力学平衡：弹性体在运动过程中需要满足力学平衡条件，即受力平衡和力矩平衡。
3. 弹性力学模型：为了简化问题，可以根据弹性体的不同性质选择合适的弹性力学模型，例如线弹性模型或三维弹性模型。
二、弹性体的动力学方程弹性体的运动可以通过动力学方程来描述。
根据牛顿运动定律，可以得到弹性体的动力学方程。
对于独立的质点运动，其动力学方程可以通过质点的质量、加速度和外力之间的关系求得。
对于连续介质而言，可以利用控制体分析方法得到动力学方程，其中涉及到应力、应变和体积力等参数。
通过施加牛顿定律和应力应变关系，可以得到弹性体运动的动力学方程。
三、弹性体的振动分析弹性体的振动分析是弹性力学的重要研究方向之一。
弹性体的振动可以通过求解振动微分方程得到。
常见的弹性体振动问题有自由振动和受迫振动两种。
自由振动是指在无外力作用下，弹性体自身的固有频率下发生的振动。
通过求解弹性体振动微分方程的特征方程，可以得到弹性体固有频率和振型。
受迫振动是指在外力作用下，弹性体发生的振动。
通过求解弹性体振动微分方程的特解，可以得到弹性体受迫振动的响应。
四、弹性体的变形分析弹性体的变形分析是弹性力学的核心内容。
弹性体在外力作用下会发生弹性变形，即形状发生改变但体积不变。
弹性体的变形可以通过应变分析来研究。
应变是描述弹性体变形程度的物理量，可以分为线应变、剪应变和体应变等。
通过应变-应力之间的本构关系，可以得到弹性体的力学性质。
振动力学第六章弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。
同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。
由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在 物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度 是相似的。
解：此系统仍属于复杂边界条件问题。
当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力
M
2u t 2
xl
因此杆的边界条件为
U (0) 0,
EA u x
xl
M
2u t2
xl
U (x) C cos px D sin px
a
a
得到C = 0
U (x) Dsin p x a
a
a
cos p l 0 a
即为一端固定，一端自由杆的频率方程。
解出固有频率为
pi
2i 1π
2l
a
i 1,2,
相应的主振型为
U
i
(x)
Di
sin
2i
1 π
2l
x
i 1,2,
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
U (x) C cos px D sin px
d2 U (x) d x2
p2 a2
U (x)
0
取特征值问题的两个解 pi2,Ui; p2j ,U j 代入
弹性体动力学模型与振动特性分析
弹性体动力学模型与振动特性分析引言：弹性体动力学模型是研究物体在受到外力作用下的振动特性的重要工具。
通过建立合理的模型，可以预测物体的振动频率、振幅和模态形态等关键参数，为工程设计和科学研究提供依据。
本文将探讨弹性体动力学模型的基本原理以及振动特性分析的方法。
一、弹性体动力学模型的基本原理1. 弹性体的定义与特性弹性体是指在受到外力作用下能够发生形变，但在外力消失后能够完全恢复原状的物质。
弹性体具有线性弹性、各向同性和连续性等特性，这些特性是建立弹性体动力学模型的基础。
2. 弹性体的运动方程弹性体的运动方程描述了物体在受到外力作用下的振动行为。
常见的弹性体运动方程包括一维弹性体的波动方程和三维弹性体的弹性波动方程。
这些方程涉及物体的质量、弹性系数和外力等参数，通过求解这些方程可以得到物体的振动特性。
3. 弹性体的边界条件弹性体的边界条件是指物体在受到外力作用时，与外界的相互作用关系。
边界条件的选择与具体问题相关，常见的边界条件包括固定边界、自由边界和周期性边界等。
合理选择边界条件能够更准确地描述物体的振动行为。
二、振动特性分析的方法1. 模态分析模态分析是研究弹性体振动特性的常用方法。
通过求解弹性体的运动方程，可以得到物体的模态频率、振型和振幅等关键参数。
模态分析可以帮助工程师设计出具有良好振动特性的结构，同时也可以用于故障诊断和结构健康监测等领域。
2. 频域分析频域分析是通过将时域信号转换为频域信号，来研究物体的振动特性。
常见的频域分析方法包括傅里叶变换和小波变换等。
频域分析可以帮助工程师分析物体的频谱特性，识别出关键频率和共振现象，从而优化结构设计和减少振动噪声。
3. 有限元分析有限元分析是一种数值计算方法，用于求解复杂结构的振动特性。
通过将结构离散为有限个单元，建立数学模型，然后利用数值计算方法求解振动方程，可以得到结构的模态频率、振型和振幅等关键参数。
有限元分析在工程实践中被广泛应用，可以帮助工程师进行结构优化和性能评估。
第六章弹性体振动的精确解法
• 这里的i，Xi(x)分别为前(c)，(d)所给， Xi(x)中Ai由(e)的归一条件定出。 • 将(b)代入(a)，两边前乘Xj(x) 并沿杆长积 分 注意(e)，(f)及对函数的积分性质， 分，注意 函数的积分性质 有
2U X ( l )( MX ( l )U EAX ( l )U ) U i i i i i i i i X i ( l ) F0 sin t
• 在线性振动问题中，叠加原理以及建立 在这一原理基础上的模态分析法、脉冲 响应法 频率响应法等同样适用于弹性 响应法、频率响应法等同样适用于弹性 体振动分析。
• 在考察实际振动问题时，究竟该采用那 一类力学模型，得根据具体对象作具体 处理。 • 例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡 轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为 薄壳或厚壳模型等。 • 当考察振动体内弹性波的传播问题时， 就得采用弹性体模型。
2013/12/11
6.1 介绍
第六章 弹性体振动
• 前各章在讨论振动问题时采用的都是集 中参数模型，它只有有限多个自由度， 且运动规律由常微分方程来确定。 • 事实上，它只是现实问题中的一类力学 模型。
• 客观现实的另一类力学模型是弹性体(也 称连续系统或分布参数系统)，它的物理 参数是分布型的 具有无限多个自由度 参数是分布型的，具有无限多个自由度， 且运动规律由偏微分方程来确定。
• 其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振 动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将 (6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到
• 上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数， 所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两 边都等于同一常数。设这一常数为，有
• 只有当为负数时，才能从上述第一个方 程中确定振动运动 所以，取 程中确定振动运动。所以，取 =－p2 • 于是，上述方程改为
第6章--弹性体的一维振动题解
126习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlC i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；127(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 00=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
连续弹性体的振动
4 y d4y T (t ) 4 4 x dx
4 d 2T d y 2 Y x 2 a T t 4 0 dt dx
d y 1 dT 2 4 Y x dx T t dt
a
2
4
2
a 2 d 4Y d 2T 2 4 2 Ydx Tdt d 2T 2 T 0 2 dt
N A x A x E EA x u x
由牛顿第二定律
2u N N x A x dx 2 N dx N dx t x x u E A x x x
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设： 1） 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 2） 纵向运动过程中， 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u x, t
4 y 2 y EI 4 A 2 0 x t
2 y EI 4 y 0 2 4 t A x
4 2 y y 2 a 0 2 4 t x 采用分离变量的求解思路,
,
y x, t Y x T t
2 y d 2T Y ( x) 2 2 t dt
扭矩为零
（3）弹性支承
k
, t GJp ,t X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有
2 J o 2 , t Jpd ,t t x J 圆盘对称轴转动惯量
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10） ， 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 3） 变形时满足平面假设， 并忽略剪力引起的变形
弹塑性力学讲义 第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答
x yx X 0， x y
2.2
xy x
几何方程（3 个） 两平面问题一致：
(u , u , )
,
1 2
u x x
2.3
y
v y ，
xy
u v y x
相容方程（1 个）
2 2 2 x y xy 2 2 两平面问题一致： xy y x
X n
在 S =S 上
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致
5
2(x+y )=0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应变）
问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。 3.3 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为
3
对于平面应力问题还应有
2 z 2 z 2 z 0， 2 0， 0， y xy x 2
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。
2.4
本构方程（3 个） 平面应力问题
x
1 2(1 ) 1 ( x y ) ， y ( y x ) ， xy xy E E E
(1 2 ) (1 2 ) ( y x) ， ( x y) ，y 1 E E 1
平面应变问题
x
xy
2(1 ) xy E
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同， 将平面应力物理方程 中弹性系数 E
E ， ，则平面应力问题的物理方程变为平面 1 1 2
对于单连域，应力函数(x,y)满足双调和方程
4
=0，且在 S上满
理论力学中的弹性体与振动传播研究
理论力学中的弹性体与振动传播研究弹性体是理论力学中重要的研究对象之一，而振动传播又与弹性体密切相关。
本文将介绍弹性体与振动传播的相关理论和研究进展。
一、弹性体的概念和特性弹性体指的是能够在外力作用下发生变形，但在外力撤离后能够恢复到原状的物质。
弹性体的特性包括以下几个方面：1. 弹性模量：弹性模量是衡量物质抵抗变形的能力的物理量，常用的弹性模量有杨氏模量、泊松比等。
杨氏模量描述了物质在拉伸或压缩时的变形程度，泊松比则表示了物质在受力时横向的变形程度。
2. 应力-应变关系：弹性体的变形与所施加的应力存在一定的关系，这种关系被称为应力-应变关系。
根据线弹性理论，当物体受到小的应力作用时，其应变与应力成线性关系。
3. 弹性力学方程：弹性力学方程是描述弹性体力学行为的基本方程，常用的方程有胡克定律、拉普拉斯方程等。
胡克定律描述了线弹性体的应变与应力的关系，拉普拉斯方程则描述了弹性体的平衡状态。
二、振动传播与弹性体振动传播是指振动在介质中的传递过程。
而弹性体在振动传播中起到重要的作用。
弹性体的弹性模量决定了振动的传播速度和传播方式。
1. 振动传播速度：弹性体的杨氏模量和密度决定了振动在该介质中的传播速度。
通常情况下，杨氏模量越大，介质的传播速度越快，例如固体的传播速度大于液体和气体。
2. 纵波和横波：根据振动方向的不同，振动传播可分为纵波和横波。
纵波是指振动方向与传播方向相同的波，而横波则是指振动方向垂直于传播方向的波。
弹性体中的振动传播既可以是纵波，也可以是横波，具体取决于介质的性质和振动的方向。
3. 声速与介质特性：声速是指声波在介质中传播的速度，而声速受到介质的弹性模量、密度等因素的影响。
对于弹性体而言，其声速与弹性模量呈正相关，密度呈负相关。
因此，通过测量声速可以获得弹性体的弹性模量和密度等物理属性。
三、弹性体与振动传播的研究进展弹性体与振动传播的研究一直是理论力学的重要课题，随着科学技术的进步，研究者们在此领域取得了不少重要成果。
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6.3 导致一维波动方程的 其它振动系统
比较典型的有： • 杆的纵向振动 • 轴的扭转振动。 • 与弹性体的分析结果比较，基频的误差为 2.6%，一阶主振型也较好地接近一阶振型函 数X1(x)，随着阶次的增加，误差增大。
杆的纵向振动
• 以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻的 纵向位移。在杆上取微元段dx，它的受 力如上图(b)所示。根据牛顿第二定律， 它的运动方程为
• 假定轴的横截面在扭转振动中保持为平 面作整体转动。以 (x, t)表示轴上x截面 处在t时刻相对左端面的扭转角。 • 为推导轴扭转振动的微分方程，从其中 截取一微元段如上图 截取 微元段如上图。列出运动微分方 列出运动微分方 程为 • 其中T为轴上x截面处的扭矩。由材料力 学知 ，代入式(6.3.8)，整理得
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6.1 介绍
第六章 弹性体振动
• 前各章在讨论振动问题时采用的都是集 中参数模型，它只有有限多个自由度， 且运动规律由常微分方程来确定。 • 事实上，它只是现实问题中的一类力学 模型。
• 客观现实的另一类力学模型是弹性体(也 称连续系统或分布参数系统)，它的物理 参数是分布型的 具有无限多个自由度 参数是分布型的，具有无限多个自由度， 且运动规律由偏微分方程来确定。
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• 讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足 以下假设条件： 1）匀质分布； 2）各向同性； 3）服从虎克定律。 • 通过对一些简单形状的弹性体的振动分析， 着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多 自由度系统振动的共同点与不同点。
6.2 一维连续系统振动 弦振动
• 从有限多自由度模型到无限多自由度模 型－连续系统
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• 将此边界条件代入振型函数X(x)，(式 (6.3.7))中，可得
• 对应给定的值，不难找到各固有频率pi 的数值解，而与各个pi相应的振型函数为
• 由此可知，系统的频率方程为
轴的扭转振动
• 长为l的等截面 直园轴。设轴 单位体积的质 量为，圆截面 对其中心的极 惯性矩为Ip，材 料剪切弹性模 量为G。
进一步的近似可取 tan中的2代入上式右端。可得
•
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或写成 (e) • 上式也就是将轴转动惯量的1/3加到圆盘后 所得单自由度扭振系统的固有频率公式。 它和瑞利法所得的结果相一致 它和瑞利法所得的结果相一致。 • 可看到，当＝1时，用式(e)所得的基频近 似值的误差还不到1%。 • 所以，只要轴的转动惯量不大于圆盘的转 动惯量，那末计算基频近似式(e)在实用上 已足够准确。
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• 系统的前3阶振型函数如下图所示。
讨论：
(1)弦的各阶固有频率由低到高成倍增长， 相应的波形的波数逐渐增多。振幅始终 为零的点称为节点。节点数随振型阶数 的增向而逐一增加 一般地说 第i阶振 的增向而逐一增加。一般地说，第 型有i－1个节点。 (2)如果将弦缩聚成三自由度系统(如下图 所示)，用离散系统的振动分析方法，可 以得到系统前3阶固有频率为
• 观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现 同步振动，即在运动中，弦的各点同时达到 最大幅值，又同时通过平衡位置，而整个弦 的振动形态不随时间而变化。 • 用数学语言来说 用数学语言来说，描述弦振动的函数 描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解为空间函数和时间函数的乘积。 • 即 y(x, t)=X(x)Y(t) (6.3.9)
或写成 以上边界条件也可表示为 其中
tan= =pl/c, =Ipl/J0
(c)
式(c)即轴系的特征方程。 由上二式可得
的物理意义为轴的转动惯量与园盘转动 惯量之比。对于给定的值，不难找出轴
系固有频率的数值解。 在实用上，通常基频振动最为重要。其 对应于基频特征值1。
•
注意，当取小值时， 1亦为小值。如 近似地取tan = ，则式(c)化简为 2= (d) 可写成 p2=c2Ip/(J0l)=GIp/(J0l) GIp/l就是轴的扭转弹簧常数，上式也 就是轴的扭转弹簧常数 上式也 就是略去轴的质量后所得单自由度系统 的固有频率公式。 可看到，当＝0.3时，由上式给出的固 有频率近似值的误差约为5%。
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• 于是方程(6.2.4)演化为一阶偏微分方程： • 将上式两端向除以xi，得 • 随着质点数n的增加。质点间的距离xi越 来越小，弦上各质点的位移yi(t)将趋于—连 续函数y(x,t)。同时， • 其边界条件 y(0, t)=y(l, t)=0 • 可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方程 (6.2.5)，可近似确定系统在外激扰力作用的 响应，这种做法在实际问题中常常用到。 • 若把弦作为连续系统，精确地确定系统的 响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。
• 方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是 Y(t)=Asinpt+Bcospt (6.2.12) X(x)=Csint+Dcost (6.2.12) • 其中A，B，C，D为积分常数。另外由边 界条件(6.2.7)，得 X(0)=0 (6.2.14) X(l)=0 (6.2.15) • 于是有 D=0
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• 而由条件(6.2.15)可得 sinl=0 (6.2.16) • 上式称做弦振动的特征方程。由此可确 定一系列特征值i
• 与其相应的特征函数，亦称振型函数为
• 弦对应于各阶固有频率pi的主振动为
• 所以系统的各阶固有频率为：
• 弦的自由振动可以表示为各阶主振动的 叠加，即有
• 方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种 是波动解，另一种是振动解。 • 波动解将弦的运动表示为 y(x, t)=f1(x－ct)+f2(x+ct) • 即把弦的运动看成是由两个相同形式的反 向行进波的叠加。 • 振动解则将弦的运动表示成各横向同步运 动的叠加，各点的振幅在空间按特定的模 式分布。
• 三角函数族具有正交性，即
• 其中Ai，Bi由运动的初始条件确定。 由运动的初始条件确定 • 将初始条件(6.2.8)代入上式，有
• 由此可得
• 由以上讨论可见，张紧的弦的自由振动 除了基频(最低频率p1)振动外，还可以包 含频率为基频整数倍的振动，这种倍频 振动亦称谐波振动。
• 例 求前图(a)所示弦的前3阶固有频率和相 应的振型函数。 • 解 将i＝1，2，3分别代入式(6.2.18)和 (6.2.19)中，有
• 其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边 界条件确定。 • 典型的边界条件有以下几种：
(3)弹性支承 设杆的右端为弹性支承(如图 (a))，则此处轴向内力等于弹性力，即
• 例 一匀质细直杆的左端固定，右端通过 弹簧与固定点相连(如上图(a))。试推导 系统的频率方程。 (4)惯性载荷 设杆的右端附—集中质量块 (图(b))，则此处杆的轴向内力等于质量 块的惯性力，即 解 杆在两端的边界条件可表示为 u(0, (0 t)=0 ) 0 和 即
(4)惯性载荷 若轴的右端附有一圆盘，则有
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上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量。 例 设轴的一端固定，另一端附有圆盘，如 图所示。圆盘对转轴的转动惯量力J0，试 考察这—系统的扭振固有频率与振型函数。
解 设轴的扭转振动可表为 (x, t)=X(x)(t) (t)=Asinpt+Bcospt 且有 X(x)=Csin(px/c)+Dcos(px/c) 轴在左端有u(0,t)＝0，轴的右端有
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• 将它代入式(6.3.1)并化简，得
• 可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一 维波动方程。方程的求解仍可采用上节中 的分离变量法。 表为 • 将u(x, t)表为： u(x, t)=X(x)U(t) (6.3.5)
• 按上类似的方式可得：
(1)固定端 该处纵向位移为零，即有 u(, t)=0, =0 or l (2)自由端 该处轴向内力为零，即有
(2)自由端 该处扭矩为零，即 • 其中c2=G/。可见轴的扭转振动微分方 程仍为一维波动方程。 • 常见的边界条件有以下几种： 常见的边界条件有以下几种 (1)固定端 该处转角为零，即有
(3)弹性支承 若轴的右端通过刚度为Kt的扭 簧与固定点相连，则有 簧与固定点相 则有
(, t)=0，=0 or l
• 其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振 动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将 (6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到
• 上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数， 所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两 边都等于同一常数。设这一常数为，有
• 只有当为负数时，才能从上述第一个方 程中确定振动运动 所以，取 程中确定振动运动。所以，取 =－p2 • 于是，上述方程改为
• 根据牛顿第二定律，列出质点横向振动 的微分方程为
• 假定作微小振动，因此
张力为T的弦振动－多自由度模型
• 考虑到xi=xi+1－xi＝li在微振动中保持不变。 进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1 ，即弦 中张力可近似看做常量T。 • 并且有
• 写成矩阵形式，有
• 在弦的两端有y0＝yn+1＝0。
• 分别是弦上单位长度的质量和作用在弦上 单位长度上的载荷。
弦的振动微分方程及其自由振动 • 直接就连续体来推导弦横向振动的微分方程。 如图 在弦作微振动 假设下，有：
• 微元段的运动微分方程为
• 与方程(6.2.5)完全相同。 考虑到微元段在 水平方向的平衡， 弦中张力可近似看成是常量T。
讨沦无阻尼自由振动的情形。 此时p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可写成
• 在线性振动问题中，叠加原理以及建立 在这一原理基础上的模态分析法、脉冲 响应法 频率响应法等同样适用于弹性 响应法、频率响应法等同样适用于弹性 体振动分析。