第六章 振动与波

第六章 振动与波

振动：来回往复，周期性的运动。物理量随时间周期性变化，就称该物理量在振动。 机械振动（力学系统的振动）：钟摆；乐器的弦线或簧片；声带；晶体中的原子；核磁共振仪中的试样原子；宇宙。

电磁振动（电磁学系统的振动）：交流电路；微波炉中的电场与磁场；调谐电路。

波动：振动的传播

机械波（声波，水波，地震波等）；电磁波 简谐振动的重要性：

（1）涉及机械振动的大多数问题，在小幅度振动的情况下，可简化为简谐振动； （2）复杂的振动可以看成是由许多简谐振动合成的；

（3）声学、光学、力学、电路、原子物理学都出现简谐振动的微分方程，简谐振动显示着许多物理系统的共同特征。

6.1 简谐振动的基本概念

基本内容和要求：（1）掌握简谐振动的解析表示、特征量以及动力学描述；（2）掌握简谐振动几何表示（旋转矢量法），能熟练绘出振动图线和旋转矢量图。

一、简谐振动的运动学描述：解析表示与特征量

基本模型：弹簧振子（简谐振子） 1 解析表示 )cos(0ϕω+=t A x

2 特征量：

A 为振幅，单位m ；

ω

为角频率，单位rad/s；

T 为周期，单位ν

为频率，单位0ϕω+t 为相位，单位rad；

0ϕ为初相位，单位rad 3 速度与加速度

)2

cos()sin(00πϕωωϕωω++=+−==t A t A dt dx v )cos()cos(0202πϕωωϕωω++=+−==t A t A dt

dv a 注：（1）A v ω=max ；（2）x a 2

ω−= 4 振动曲线

讨论：如何由振动曲线判断位移与速度？ 由振动曲线的斜率正负判断速度的方向； 由下一时刻的运动趋势判断速度的方向。 二、简谐振动的动力学描述

kx F −=

这里，k 为正常数（对弹簧来说，k 就是劲度系数）；x 为质点对平衡位置的位移（为平衡位置）；这样的力0=x F 称为线性回复力。 在线性回复力的作用下，质点作简谐振动

由牛顿方程 kx dt

m −=2 即 x m k dt x d −=22

解得 )cos(0ϕω+=t A x

0,ϕA 由运动的初始条件（即初速度、初位移）

决定。

000

0sin cos ϕωϕA v A x −==→00102020tan )(x v v x A ωϕω−=+=−

讨论：（1）由能量守恒关系确定振幅A

222020*********kx mv kx mv E +=+=（守恒） 在最大位移处，2020022

12121kx mv E kA +==

解得 k

A 0= 即 20

20)(ω

v x A += 此外，在平衡位置，02max 2

1E mv =，所以 A m E v ω==0max 2 （2）0ϕ象限的确定

如果，则0,000<>v x 0ϕ在第一象限；

如果，则0,000<

如果，则0,000>

如果，则0,000>>v x 0ϕ在第四象限。

注意：0ϕ象限的确定是本节重点。 （3）如果一个粒子在势场22

1)(kx x V =中运动，则该粒子一定作简谐振动。

kx dx

x dV F −=−=)(

小结：振动周期决定于振动系统本身的性质；振幅决定于振动的能量；初相决定于对时间原点的选择。

例1 有N 个劲度系数分别为的轻

质弹簧。（1）将它们串联，求等效的劲度系数；（2）将它们并联，求等效的劲度系数。 N k k k ,...,,21解 （1）N N x k x k x k F −==−=−= (2211)

)1...11( (2)

121N N k k k F x x x x +++−=+++= 即 x k k k F N 1 (111)

21+++−=

若记等效的劲度系数为K ，则

N k k k K 1 (111)

21+++= 或 N

k k k K 1...11121+++= （2）x k F x k F x k F N N −=−=−=,...,,2211

x k k k F F F F N N )...(...2121+++−=+++=

若记等效的劲度系数为K ，则

N k k k K +++= (21)

例 2 一劲度系数为k 的轻质弹簧，下面挂一质量为的物体。以弹簧原长处为坐标原点，试求平衡位置，以及物体偏离平衡位置后的运动。

m 解 如图建立坐标系。

)(k

mg x k mg kx F +−=−−= 物体以k

mg x −=为平衡位置作简谐振动，角频率为m

k =ω。 例3 水面上浮沉的木块。试证明木块作简谐振动，并求振动周期。设木块的质量为m ，在水面上静止时没入水中的高度为H ，水的密度为0ρ。

解 如图建立坐标系。木块平衡时，

gHS mg 0ρ=

木块偏离平衡位置的位移为时，

x

gSx mg

S x H g F 00)(ρρ−=++−=

这里为木块截面积。可见，

S gS k 0ρ=

g H gS

HS k m T πρρππ22200===

例4 如图，一质量为的子弹以速度射入

静止的弹簧振子（质量为m 1v M ）

。假定碰撞是瞬时的。以共同运动的时刻为0=t ，求简谐振动的角频率、振幅和初相位。 解 （1）m

M k +=ω （2）m M mv v +=10。因为2202

1)(21kA v m M =+，所以)

(1m M k mv A += 或者，因为A v ω=0，而m

M k +=ω，所以