(精选)线性代数教案 第二章 矩阵及其运算

作业题:P53 11(1)(3)(4), 12(1),13(1)
备注:
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授课章节
§4矩阵分块法（简介）
目的要求
分块矩阵运算
重点难点
分块矩阵运算
复习……………………………………………………………………………………3分钟
§4矩阵分块法
授课章节
§3逆矩阵
目的要求
掌握逆矩阵的算法
重点难点
求逆阵
复习……………………………………………………………………………………3分钟
§3逆矩阵
知识点：逆矩阵的定义，逆矩阵存在的充分必要条件。
定义9（逆矩阵）设 是 阶矩阵，若存在矩阵 ，使得
，
则称矩阵 是矩阵 的逆矩阵；并称 是可逆矩阵（或称矩阵 是可逆的）。
，下面给出它的三种分法，
（i） ；令 ， ， ， 。则 。
（ii） ；令 ， ，
， ， ， 。
则 。
（iii） 。令 ， ，
， ，则 。
当然矩阵分块的目的是为了简化矩阵的表示或运算，矩阵分块后的运算法则与普通矩阵运算基本相同，如
设 ， ，
当各个对应的子块是同型矩阵。则
；
。
设 ， ，则
， 。
一般地说，将矩阵分块后再运算并不减少计算量，只有特殊的矩阵，利用分块材能减特殊的，若两个矩阵A和B满足 ，则称矩阵A和B是可交换的。
例7设 是一般矩阵， 和 分别是m和n阶单位阵，则 和 。如果A是方阵时，有
AE=EA=A，E相当于数1的作用。这就是称E为单位阵的原因。
矩阵乘法满足以下运算律：
（1）结合律 。
（2）数乘结合律 。
（3）分配律 ； 。
矩阵的幂设 是 阶矩阵，定义：
.
由定义，不难看出（强调）：
（1）只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB；
（2）矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数；
（3）矩阵C=AB在 位置上的元素等于A的第 行元素与B的第 列对应元素的乘积之和。
例4设矩阵 ， ，求AB和BA
(BA无意义)。
例5设矩阵 ,求AB和BA。
,
其中， 是正整数；特别规定 .由于乘法成立分配律结合律，有
， ，
但由于不成立交换律，故一般 。
例8设矩阵 、 是上（下）三角矩阵，则 亦是上（下）三角矩阵；且 的对角元素等于 、 对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。
例9用矩阵表示线性方程组 。
解：令 ，称A为系数矩阵；
，称b为常数项矩阵； ，称X为未知数矩阵；则原方程组可表示为AX= b。
（7）结合律
例3设 ， 且 求矩阵X。
解：由 得 。
三、矩阵与矩阵相乘
设有两个线性变换：
，其系数矩阵 ；
，其系数矩阵
从而可得从 到 的线性变换：
，其系数矩阵，记做C则
。
显然，矩阵C是由矩阵A、B产生的，把这种运算称为矩阵与矩阵的乘积。
定义4（矩阵乘法）设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，
A与B的乘法，记作AB，定义为一个 的矩阵 ，其中
（３）所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做Ｏ。
（４）当ｍ＝ｎ时，矩阵 称为方阵。即
，这里 的位置称为矩阵的主对角线。注意：不是方阵没有主对角线。在方阵中，
上三角矩阵： （主对角线以下均为零）；
下三角矩阵： （主对角线以上均为零）；
对角矩阵： （既是上三角又是下三角），记作 .
单位矩阵：对角元素为1的对角矩阵，记作Ｅ或Ｅｎ（ 阶），即
。
例2设 , ，计算 。
负矩阵设 ，称矩阵 为矩阵A的负矩阵。矩阵的减法：
二、数与矩阵相乘
定义3（矩阵数乘）数 与矩阵 的乘积（称之为数乘），记作 或 ，定义为一个 的矩阵
。
以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：
（1）交换律
（2）结合律
（3）
（4）
（5）数对矩阵的分配律
（6）矩阵对数的分配律
授课章节
第二章矩阵及其运算§1矩阵§2矩阵的运算
目的要求
理解矩阵的概念
重点难点
矩阵的乘法及伴随矩阵
复习……………………………………………………………………………………3分钟
§1矩阵
定义1由m×n个数aij（i= 1, 2,…,m，j= 1, 2,…,n），排成m行n列的数表：
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。记做
知识点：分块的目的，一些特殊结构矩阵的分块运算。
把一个矩阵看成是由一些小矩阵组成的，有时会对一些具有特殊结构的矩阵的运算带来方便，如乘法和求逆等。而在具体运算时，则把这些小矩阵看作数一样（按运算规则）进行运算。这种把一个矩阵划分成一些小矩阵，就是所谓的矩阵分块。
矩阵分块是将矩阵用任意的横线和丛线切开，例如
四、矩阵的转置
定义5(转置矩阵)
设 ， 是将A的行和列对应互换得到的 矩阵，称它为A的转置矩阵，记作 。
如 ，则 。
矩阵的转置满足下列运算法则：
（1） ；
（2） ；
（3） 是数；
（4）
例10设 ， ，求 。
解：解法1 ，
所以 。
解法2 。
定义6 (对称矩阵)设 是 阶矩阵。如果 ，则称A为对称阵。显然，其元素满足： ；
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例12判断矩阵 是否可逆，如果可逆求它的逆矩阵。
例13设 、 、 ，求矩阵X，使其满足AXB=C。
例14利用逆矩阵求方程组
方阵的逆矩阵有下面的性质，
（1）若A可逆，则A-1亦可逆，并且 。
（2）若A可逆， ，则 亦可逆，并且 。
定理矩阵 是可逆的充分必要条件是它的行列式 ；
且在 时， 。
证明必要性，设A可逆，则存在A-1满足 ，取行列式 ，故 。
充分性，设 ，由伴随矩阵得 ，从而，当 时，有 ，即A可逆，且
。
此定理给出矩阵可逆的充要条件，同时还给出逆矩阵的求法——伴随矩阵法。有时称可逆矩阵为非奇矩阵；称不可逆矩阵（即 时）为奇异矩阵。
。
当 时，即 ，此时矩阵退化为一个数 。
矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。
例如含有n个未知数 ，m个方程的线性方程组
把 和 按原顺序可以组成一个 矩阵：
任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。
例1已知某方程组对应于下列矩阵 。那么该方程组就是： 。
同型矩阵具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。
， ，则
， 。
例15利用逆矩分块法计算 的逆矩阵。
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习题课
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内容小结:分块矩阵
思考题:分块矩阵运算与矩阵运算的区别与联系
作业题:P53 22,29(1)
如果 ，则称A为反对称阵。显然，其元素满足： 。
例如 是一个对称矩阵，而 是一个反对称矩阵。显然，对角矩阵一定是对称矩阵。
五、方阵的行列式
定义7 (方阵的行列式)由n阶方阵 的元素，不改变它的位置构成一个n阶行列式，称此行列式为矩阵A所对应的行列式，记做|A|或det( ，即 。
注意：矩阵的行列式与矩阵是两个不同的概念，前者是一个数，后者是一个数表。
定理1设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则
证明记 ，由矩阵的乘法，展开定理1.3及推论1.3，得
。
例11求矩阵 的伴随矩阵。
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内容小结:矩阵运算
思考题:任何矩阵都有伴随矩阵吗?
作业题:P53 3, 4(4), 5
备注:
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例6设A是 的矩阵（行向量）， 是 的矩阵（列向量），即 ， ，求AB和BA。
上述几个例子显示，当AB有意义时，BA不一定有意义（例4）；即使AB和BA都有意义（例5、6），但不一定有相同的阶数（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例5）。例5还说明，如果AB=O，不是一定有A=O或B=O。
一般情况而言矩阵乘法不满足交换律。
（3）若A、B可逆，则AB亦可逆，且 。
（4）若A可逆，则 亦非奇，且 。
（5）若A可逆，则 。
（因为 ）
（6）设A是方阵，如果存在方阵B，使得AB=E（或BA=E），则B=A-1。
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内容小结:逆阵
思考题:若AB=E,则矩阵A、B一定是可逆的，这种说法对吗？
或 ，
也可简记 。切记不允许使用 。
矩阵的横向称行，纵向称列。矩阵中的每个数aij称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。本课中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。
几种特殊得矩阵：
（１）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量，
（２）只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。
矩阵相等若同型矩阵 和 在对应位置上的元素都相等，即 则称矩阵A与B相等，记做A=B。
注意，不同型的矩阵是不能比较相等的。同型矩阵也不能比较大小。
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§2矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义2设 和 是 的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定义为一个 的矩阵：
例如 ，则 是A的逆矩阵。