弹性力学第十章等截面直杆的扭转(全部)

2 xy
0
将(10 2)代入，得：
xz
zx
y
yz
zy
x
(10-2）
2 0, 2 0
x
y
C 2 (10-3）
第十章 等截面直杆的扭转
10.1
2 考察边界条件： s 常量
2dxdy M
扭转问题的应力和位移
y
(1) 在杆的侧面上，有n 0及X Y Z 0,
可见应力边界(8 5)中的前两式总能满足，而第三式要求：
小相等而转向相反的扭矩M。
取杆的一端平面为xy面，z轴
沿着杆的纵向。
x
第十章 等截面直杆的扭转
1、求应力分量和位移分量：
设有等直截面杆，体力可以不 计，在两端平面内受有大小相等而 转向相反的扭矩M。取杆的一端平 面为xy面，z轴沿着杆的纵向。
10.1 扭转问题的应力和位移
用半逆解法。参考材料力学中对于圆截面杆的解答，这里假设：除了
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
(2) 在杆的任一端，例如上 端，l m 0，而n 1，应力边界条件 (8 5)中的第三式总能满足，
而前二式成为：
xz X, yz Y
因为面力X及Y必须合成力偶， 而力偶的矩等于扭矩M，所以要求：
Xdxdy 0 Ydxdy 0
一个函数(x, y)，使得:
xz
y
,
yz
x
于是可以将应力分量用
函数表示成为： xz
zx
y
,
yz
zy
x
这里的函数 (x, y)称为扭转问题的应力函 数，是普朗都提出的。
将(10 1)及(10 2)代入相容方程 (9 32), 可见其中的前三式及 最后总能满足，其余二 式要求：
(10-2）
第十章 等截面直杆的扭转
l( xz )s m( yz )s 0
l j ji Xi
l
(
y
)
s
m(
x
)s
0
xz
zx
y
yz
zy
x
x
(10-2）
dy dx d
( y )s ds ( x )s ds ds 0
在边界上有：l dy , m dx
ds
ds
s 常量
这就是说，在杆的侧面上（在横截面的边界曲线上）， 应力函数的边界值应当是常量。
相邻截面翘曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没 有正应力。 约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。
相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加正应力。
弹性力学讨论自由扭转。
第十章 等截面直杆的扭转 y
10.1 扭转问题的应力和位移
x
设有等直截面杆，体力可
y
以不计，在两端平面内受有大
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移 10.2 扭转问题的薄膜比拟 10.3 椭圆截面杆的扭转 10.4 矩形截面杆的扭转
学习指导
扭转问题是空间问题中的一个专门问 题。
扭转问题的理论，是从空间问题的基 本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立 起来的。扭转问题的应力函数(x，y)，仍 然是二维问题。
横截面上的剪应力τzx和τzy（即扭应力）以外，其余应力分量都等于零，即：
x y z xy 0
(10-1）
代入平衡方程 (8－1), 注意：X Y Z 0，即得：
x yx zx X 0
x y x
y zy xy Y 0
y z y z xz yz Z 0
10.1 扭转问题的应力和位移
前三式自动满足。
(1
)2 x
2 x 2
0
(1
)2 y
2 y 2
0
x y z xy 0
(1
)2 z
2 z 2
0
(1
) 2
yz
2 yz
0
(1
) 2
zx
2 zx
0
该两式要求： 2 yz 0,
2 zx 0
最后一式自动满足。
(1
)2 xy
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
讨论：
xz
zx
y
,
yz
zy
x
(10-2）
由式(10 2)可见，当应力函数增加增加或减少一个常数时，
应力分量并不受影响。因此，在单连截面的情况下，即实心杆的
情况下，为简便，应力函数的边界值可以取零：
s 0
(10-4）
在多连截面的情况下，虽然应力函数在每一边界上都是常数，但 各个常数一般并不相同。因此，只能把其中某一个边界上的s取为 零。其他边界上的s，则须根据位移单值条件来确定。
x y
(a）
由前两个方程可见， zx和 zy应当只是x和y的函数，
不随z变化。第三个方程可以改写为：
xz
x
y
( yz )
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
由前两个方程可见， zx和 zy应当只是 x和y的函数，不随 z变化。第三个方程可以 改写为
xz
x
y
( yz )
根据微分方程理论，一定存在
(e）
Xdxdy zxdxdy
dxdy
y
dx
dy
y
(B A )dx
其中B及A是横截面上B点及A点的值，应当等于零。可见(c)
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
柱体扭转
• 圆柱扭转：平面假设 • 非圆截面扭转：横截面发生翘曲 • 柱体扭转精确求解是十分困难的！！！
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
等直非圆杆扭转： 横截面翘曲 纯扭转（自由扭转）：端面可以自由翘曲（翘曲不受限制）。
(2) 在杆的任一端，例如上 端，l m 0，而n 1，应力边界条件 (8 5)中的第三式总能满足，
而前二式成为：
xz X, yz Y
因为面力X及Y必须合成力偶， 而力偶的矩等于扭矩M，所以要求：
Xdxdy 0 Ydxdy 0 ( yX xY )dxdy M
(c）
(d） 静力等效
z x y
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
1、求应力分量和位移分量：
x yx zx X 0
x y z
y zy xy Y 0
y z x z xz yz Z 0
z x y
F(x,y)
平衡方程:
xz 0,
z
yz 0,
z
xz yz 0
(c）
静力等效
(d）
( yX xY )dxdy M
(e）
xz
zx
y
,
yz
zy
x
根据(b)中的第一式及 (10 2)，式(c)左边的积分式可以写成 ：
(10-2）
Xdxdy zxdxdy
dxdy
y
dx
dy
y
ห้องสมุดไป่ตู้
(B A )dx
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移