线性空间中向量之间的线性关系
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(n 1)!
即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
注：此时， f (x) a0 a1x an1xn1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
( f (a), f (a),
1 (1,0, ,0),2 (0,1, ,0), ,n (0, ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
§3 维数·基与坐标
注意： ① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个
线性无关的向量都是V的一组基． ② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
a b ab, k a ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基.
解：数1是R＋的零元素( x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a，且a 1，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k a ak alogax x. 即 x可由 a线性表出.
则数组 a1, a2, , an ，就称为 在基1, 2, , n
下的坐标，记为 (a1, a2, , an ).
a1
有时也形式地记作 (1,2,
,
n
)
a2
注意：
an
向量 的坐标(a1, a2, , an ) 是被向量 和基1, 2, , n 唯一确定的．即向量 在基 1,2, ,n 下的坐标唯一的.
3 1,
kZ
1 0 0
A2
0 0
2
0
0
,
1 0 0
A3
0 0
1 0
0 1
E,
E n 3k
An
A
n 3k 1
kZ
①
A2 n 3k 2
§3 维数·基与坐标
下证 E, A, A2 线性无关. 设 k1E k2 A k3 A2 0, 得齐次线性方程组
k1
k1 k2 k3
任取V中 n＋1个向量 1, 2 , , n , n1 ，由ⅱ)，向量 组1, 2 , , n , n1可用向量组a1,a2 , ,an 线性表出. 若1, 2 , , n , n1是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．
§3 维数·基与坐标
∴V中任意n＋1个向量 1, 2, , n, n1 是线性相关的．
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
引入 问题Ⅰ
如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？
即线性空间的构造如何？ （基的问题）
问题Ⅱ
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西
—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
（坐标问题）
k2 2k3
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
§3 维数·基与坐标
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V的一组基.
使 k11 k22 krr
则称向量 可经向量组 1,2, ,r 线性表出；
§3 维数·基与坐标
若向量组 1, 2, , s 中每一向量皆可经向量组
1,2, ,r 线性表出，则称向量组 1, 2, , s
可经向量组 1,2, ,r 线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
A (aij ) Pmn , 有 A
aij Eij
§3 维数·基与坐标
i1 i1
例6 在线性空间 P4 中求向量 (1,2,1,1) 在基 1,2,3,4 下的坐标，其中
1 (1,1,1,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,1,1,1), 4 (1,1,1,1)
解：设 x11 x22 x33 x44 ，则有线性方程组
f (n1) (a)
,
)
(n 1)!
§3 维数·基与坐标
例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基；
若把C看成是实数域R上的线性空间呢？ 解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的
一组基；
而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为 它的一组基．
注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一 维的，数1就是它的一组基.
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无限 维的. 因为，
对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量 1，x，x2，…，xn－1
§3 维数·基与坐标
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间：
若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个
故，V是n 维的，1,2, ,n 就是V的一组基．
例2 3 维几何空间R3＝ {(x, y, z) x, y, z R}
1 (1,0,0),2 (0,1,0),3 (0,0,1) 是R3的一组基； 1 (1,1,1),2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
一般地，向量空间 Pn {(a1, a2, , an ) ai P,i 1, 2, , n} 为n维的，
§3 维数·基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义：V 是数域 P 上的一个线性空间 （1）1,2, ,r V (r 1), k1, k2, , kr P, 和式
k11 k22 krr
称为向量组 1,2, ,r 的一个线性组合．
（2）1,2, ,r , V，若存在 k1, k2, , kr P
注： 此时， f (x) a0 a1x an1xn1 在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0, a1, , an1)
§3 维数·基与坐标
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f (x) P[x]n，按泰勒展开公式有 f (x) f (a) f (a)(x a) f (n1) (a) (x a)n1
若 1,2, ,r与 1, 2, , s 为两线性无关的
等价向量组，则 r s.
（3）若向量组 1,2, ,r 线性无关，但向量组
1,2, ,r , 线性相关，则 可被向量组
1,2, ,r 线性表出，且表法是唯一的．
§3 维数·基与坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
则称 1,2, ,r 为线性无关的．
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0 向量组 1,2 , ,r线性相关
1,2, ,r 中有一个向量可经其余向量
线性表出．
§3 维数·基与坐标
（2）若向量组1,2, ,r 线性无关，且可被
向量组 1, 2, , s 线性表出，则 r s ;
（3）1,2, ,r V ，若存在不全为零的数 k1, k2, , kr P ，使得 k11 k22 krr 0 则称向量组 1,2, ,r 为线性相关的；
§3 维数·基与坐标
如果向量组 1,2, ,r 不是线性相关的，即
k11 k22 krr 0
只有在 k1 k2 kr 0 时才成立，
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
§3 维数·基与坐标
3、线性空间的基与维数的确定 定理：若线性空间V中的向量组1,2 , ,n 满足
ⅰ） 1,2 , ,n 线性无关； ⅱ） V , 可经 1,2 , ,n 线性表出 , 则V为n 维线性空间，1,2 , ,n 为V的一组基．
证明：∵ a1,a2 , ,an 线性无关，∴V的维数至少为 n．
故R＋是一维的，任一正实数 a( 1)就是R＋的一组基.
§3 维数·基与坐标
2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里
1 0 0
V
f
(
A)
f
(
x)
R[
x],
A
0 0
0
0
2
,
1 i 3
2
§3 维数·基与坐标
解： 2 1 i 3 ,
2
1 n 3k
n
n 3k 1
2 n 3k 2
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
§3 维数·基与坐标
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的． 其次，f (x) a0 a1x an1xn1 P[x]n f (x) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出． ∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n是n维的.
§3 维数·基与坐标
作业
• P273 6.
• P274 7. 2)
•
8. 2)
§3 维数·基与坐标
a c
b d
0
有 a b c d 0.
又对
A
a11 a21
a12 a22
P 22
，有
A a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
∴ E11, E12, E21, E22 是 P22 的一组基，P22是4维的．
§3 维数Biblioteka Baidu基与坐标
注：
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
在基
§3 维数·基与坐标
例5 求数域P上的线性空间 P22 的维数和一组基．
解：令
E11
1 0
0 0
,
E12
0 0
1 0
,
E21
0 1
0 0
,
E22
0 0
0 1
则 E11, E12, E21, E22 是线性无关的．
事实上，由 aE11 bE12 cE21 dE22 0 ，即
n 维线性空间；常记作 dimV＝ n .
注：零空间的维数定义为0.
（2）基
dimV＝ 0 V＝{0}
在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1, 2 , , n ，称为 V 的一组基；
§3 维数·基与坐标
（3）坐标
设 1,2, ,n 为线性空间 V 的一组基， V ,
若 a11 a22 ann , a1, a2, , an P
E11, E12 , E21, E22 下的
坐标就是 (a11, a12, a21, a22 ).
一般地，数域P上的全体 m n 矩阵构成的线性空间
Pmn 为 m n 维的，
0
0
Eij
01 0
第i行 i 1, 2, , m
j 1, 2, , n
0
0 就是 Pmn 的一组基．
第j列
mn
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
解之得，x1
5 4 , x2
1 4
,
x3
1, 4
x4
1 4
．
∴ξ在基
1, 2 , 3 , 4下的坐标为
(
5 4
,
1 4
,
1 4
,
1) 4
．
§3 维数·基与坐标
练习
即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
注：此时， f (x) a0 a1x an1xn1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
( f (a), f (a),
1 (1,0, ,0),2 (0,1, ,0), ,n (0, ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
§3 维数·基与坐标
注意： ① n维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个
线性无关的向量都是V的一组基． ② 任意两组基向量是等价的．
例3（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
a b ab, k a ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基.
解：数1是R＋的零元素( x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a，且a 1，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k a ak alogax x. 即 x可由 a线性表出.
则数组 a1, a2, , an ，就称为 在基1, 2, , n
下的坐标，记为 (a1, a2, , an ).
a1
有时也形式地记作 (1,2,
,
n
)
a2
注意：
an
向量 的坐标(a1, a2, , an ) 是被向量 和基1, 2, , n 唯一确定的．即向量 在基 1,2, ,n 下的坐标唯一的.
3 1,
kZ
1 0 0
A2
0 0
2
0
0
,
1 0 0
A3
0 0
1 0
0 1
E,
E n 3k
An
A
n 3k 1
kZ
①
A2 n 3k 2
§3 维数·基与坐标
下证 E, A, A2 线性无关. 设 k1E k2 A k3 A2 0, 得齐次线性方程组
k1
k1 k2 k3
任取V中 n＋1个向量 1, 2 , , n , n1 ，由ⅱ)，向量 组1, 2 , , n , n1可用向量组a1,a2 , ,an 线性表出. 若1, 2 , , n , n1是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．
§3 维数·基与坐标
∴V中任意n＋1个向量 1, 2, , n, n1 是线性相关的．
一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标
引入 问题Ⅰ
如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？
即线性空间的构造如何？ （基的问题）
问题Ⅱ
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西
—数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
（坐标问题）
k2 2k3
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
§3 维数·基与坐标
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0 故 E, A, A2 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E, A, A2 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E, A, A2 就是V的一组基.
使 k11 k22 krr
则称向量 可经向量组 1,2, ,r 线性表出；
§3 维数·基与坐标
若向量组 1, 2, , s 中每一向量皆可经向量组
1,2, ,r 线性表出，则称向量组 1, 2, , s
可经向量组 1,2, ,r 线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
A (aij ) Pmn , 有 A
aij Eij
§3 维数·基与坐标
i1 i1
例6 在线性空间 P4 中求向量 (1,2,1,1) 在基 1,2,3,4 下的坐标，其中
1 (1,1,1,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,1,1,1), 4 (1,1,1,1)
解：设 x11 x22 x33 x44 ，则有线性方程组
f (n1) (a)
,
)
(n 1)!
§3 维数·基与坐标
例4 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基；
若把C看成是实数域R上的线性空间呢？ 解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的
一组基；
而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为 它的一组基．
注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一 维的，数1就是它的一组基.
例1 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无限 维的. 因为，
对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的向量 1，x，x2，…，xn－1
§3 维数·基与坐标
2、有限维线性空间
（1）n 维线性空间：
若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个
故，V是n 维的，1,2, ,n 就是V的一组基．
例2 3 维几何空间R3＝ {(x, y, z) x, y, z R}
1 (1,0,0),2 (0,1,0),3 (0,0,1) 是R3的一组基； 1 (1,1,1),2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
一般地，向量空间 Pn {(a1, a2, , an ) ai P,i 1, 2, , n} 为n维的，
§3 维数·基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系
1、有关定义：V 是数域 P 上的一个线性空间 （1）1,2, ,r V (r 1), k1, k2, , kr P, 和式
k11 k22 krr
称为向量组 1,2, ,r 的一个线性组合．
（2）1,2, ,r , V，若存在 k1, k2, , kr P
注： 此时， f (x) a0 a1x an1xn1 在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0, a1, , an1)
§3 维数·基与坐标
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f (x) P[x]n，按泰勒展开公式有 f (x) f (a) f (a)(x a) f (n1) (a) (x a)n1
若 1,2, ,r与 1, 2, , s 为两线性无关的
等价向量组，则 r s.
（3）若向量组 1,2, ,r 线性无关，但向量组
1,2, ,r , 线性相关，则 可被向量组
1,2, ,r 线性表出，且表法是唯一的．
§3 维数·基与坐标
二、线性空间的维数、基与坐标
1、无限维线性空间
若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称 V 是无限维线性空间．
则称 1,2, ,r 为线性无关的．
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0 向量组 1,2 , ,r线性相关
1,2, ,r 中有一个向量可经其余向量
线性表出．
§3 维数·基与坐标
（2）若向量组1,2, ,r 线性无关，且可被
向量组 1, 2, , s 线性表出，则 r s ;
（3）1,2, ,r V ，若存在不全为零的数 k1, k2, , kr P ，使得 k11 k22 krr 0 则称向量组 1,2, ,r 为线性相关的；
§3 维数·基与坐标
如果向量组 1,2, ,r 不是线性相关的，即
k11 k22 krr 0
只有在 k1 k2 kr 0 时才成立，
但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
§3 维数·基与坐标
3、线性空间的基与维数的确定 定理：若线性空间V中的向量组1,2 , ,n 满足
ⅰ） 1,2 , ,n 线性无关； ⅱ） V , 可经 1,2 , ,n 线性表出 , 则V为n 维线性空间，1,2 , ,n 为V的一组基．
证明：∵ a1,a2 , ,an 线性无关，∴V的维数至少为 n．
故R＋是一维的，任一正实数 a( 1)就是R＋的一组基.
§3 维数·基与坐标
2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里
1 0 0
V
f
(
A)
f
(
x)
R[
x],
A
0 0
0
0
2
,
1 i 3
2
§3 维数·基与坐标
解： 2 1 i 3 ,
2
1 n 3k
n
n 3k 1
2 n 3k 2
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
§3 维数·基与坐标
证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的． 其次，f (x) a0 a1x an1xn1 P[x]n f (x) 可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出． ∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n是n维的.
§3 维数·基与坐标
作业
• P273 6.
• P274 7. 2)
•
8. 2)
§3 维数·基与坐标
a c
b d
0
有 a b c d 0.
又对
A
a11 a21
a12 a22
P 22
，有
A a11E11 a12E12 a21E21 a22E22
∴ E11, E12, E21, E22 是 P22 的一组基，P22是4维的．
§3 维数Biblioteka Baidu基与坐标
注：
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
在基
§3 维数·基与坐标
例5 求数域P上的线性空间 P22 的维数和一组基．
解：令
E11
1 0
0 0
,
E12
0 0
1 0
,
E21
0 1
0 0
,
E22
0 0
0 1
则 E11, E12, E21, E22 是线性无关的．
事实上，由 aE11 bE12 cE21 dE22 0 ，即
n 维线性空间；常记作 dimV＝ n .
注：零空间的维数定义为0.
（2）基
dimV＝ 0 V＝{0}
在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
1, 2 , , n ，称为 V 的一组基；
§3 维数·基与坐标
（3）坐标
设 1,2, ,n 为线性空间 V 的一组基， V ,
若 a11 a22 ann , a1, a2, , an P
E11, E12 , E21, E22 下的
坐标就是 (a11, a12, a21, a22 ).
一般地，数域P上的全体 m n 矩阵构成的线性空间
Pmn 为 m n 维的，
0
0
Eij
01 0
第i行 i 1, 2, , m
j 1, 2, , n
0
0 就是 Pmn 的一组基．
第j列
mn
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
解之得，x1
5 4 , x2
1 4
,
x3
1, 4
x4
1 4
．
∴ξ在基
1, 2 , 3 , 4下的坐标为
(
5 4
,
1 4
,
1 4
,
1) 4
．
§3 维数·基与坐标
练习