第2.3伯努利试验与直线上的随机游动

解 令Bk 表示第 k次打开门, 则
1 1 k −1 1 P ( Bk ) = g ( k ; , ) = (1 − ) , n n n
k = 1, 2,L
(4) 帕斯卡分布
帕斯卡分布将主要研究出现第r次成功与试验 次数的关系的概率。 ;r , p ), 设C k = {第r次成功出现在第k次试验},P (C k ) = f ( k ,
a + b - 1，事件An等价于下一次向右移动一次或向左 移动一次被x = a + b吸收，因此
P ( An ) = qn = pqn +1 + qqn−1 , n = 1, 2,L , a + b − 1
其中qn 表示初始位置为x = n而最终被x = a + b吸收 的概率. 同时注意到q0 = 0, qa + b = 1,由上述方程可知
2 无限制随机游动
若质点可以在整个数轴的整数点上游动，称这种随 机游动为无限制随机游动.假定质点在时刻0从原点出发。 设 S n = {随机 游动 t = n时 刻质 点 位 于 k }, k 可以为 正整
k 数 ，也可以为 负 整 数 . 假 设 k > 0, 事件 S n 等价 于 在 n次
移动过 程 中， 质 点 向右移动 的次 数比 向左移动 的次 数多 k 次 . 总 的次 数 为 n, 二 者 之 差 为 k，则可以 计算得 到 ， 向右移动 ( n + k ) 2 ,向左移动 ( n－ k ) 2 ,由二项分 n+k n−k n 布可 得 k 2 2 )= P ( Sn p q ( ) 2 n + k 当n与k的奇偶性不同时，概率为0.
甲胜}, 即事件A表示甲获胜，由帕斯卡分布可知
n + k − 1 n k p甲 = P ( A) = ∑ p q k k =0
m −1
（第k+n次甲胜，前k+n-1甲胜n-1次。乙胜k次）
m + k − 1 k m p甲 = P ( A) = ∑ p q k k =n
解 采用三局二胜制 ,甲最终获胜 , 胜局情况可能是 : “甲甲”, “乙甲甲”, “甲乙甲”;
由于这三种情况互不相 容 , 于是由独立性得甲最终 获胜的概率为 :
p1 = p + 2 p (1 − p ).
2 2
采用五局三胜制 ,甲最终获胜 , 至少需比赛 3 局,
且最后一局必需是甲胜 , 而前面甲需胜二 局.
例如, 比赛四局, 则甲的胜局情况可能是 :
“甲乙甲甲”, “乙甲甲甲”, “甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相 容 , 于是由独立性得 :
在五局三胜制下 ,甲最终获胜的概率为 :
3 3 4 3 2 p2 = p + p (1 − p ) + p (1 − p ) . 2 2
Ck发生等价于前面的k -1次试验中，r -1次成功，k - r 次失败，而第k次成功，利用二项分布以及独立性可得
k − 1 r −1 k − r k − 1 r k −r P ( C k ) = f ( k; , r , p) = p q ⋅ p= pq r −1 r −1
(3) 几何分布
记 Wk 表示 伯努利试验中事件 A 首次发生的所需
试验的次数为 k, 则试验共进行了 k次，前 k - 1次 试验均为A出现，而第k次试验为A出现，即 Wk = A 1 A 2 L A k − 1 A k
k −1 p p ) ( ( ) P ( Wk ) = P ( A1 ) LP ( A k − 1 P A k ) = 1−
M p = P ( A) = N
设B={进行n次有放回的抽样,共抽到k件废品}
n M M M P ( B ) = b( k , n, ) = 1 − N N k N
k n−k
例 7 甲、乙 两 人 进行 乒乓球比赛 , 每 局甲胜 的 例 概率为 p, p ≥ 1 2 ,问对甲 而 言 , 采用三局 二 胜制 有利, 还 是 采用五局三胜制 有利 . 设 各 局胜负 相 互独立 .
将 E 独立地重复地进行 n 次 , 则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利 试验 . 记做 E n .
n重伯努利试验具有如下特点
(1) 每次试验只有两种结果之一：A或 A (2) 每次试验事件A的概率都为p; (3) 各次试验相互独立； (4) 共进行n次试验.
n ˆ ,L, A ˆ )， E n重伯努利试验 的样本点形如 ( A 1 n
3 两端带有吸收壁的随机游动
在随机游动中，在某一点处有一吸收壁，则质点到 达该点时，质点被吸收，不再游动，这样的随机游 动称为有吸收壁的随机游动 设t=0时，质点位于x=a, 而在x=0以及x=a+b处各有 一个吸收壁，问质点被x=0或x=a+b吸收掉的概率 是多少？ 被x=a+b点吸收掉的概率 设An = {质点位于x = n, 被x = a + b吸收},其中1 ≤ n ≤
, p) = q 记 g ( k;
k −1
p, k = 1, 2,L ,
称上式为几何分布.
注意到g(k;p)恰好是几何级数的一般项，这也是 几何分布名称的来历。同时
, p) = ∑ q ∑ g(k ;
k =1 k =1
∞
∞
k −1
1 p= p =1 1−q
(p78例3）一个人开门, 他共有n把钥匙, 其中仅有一 例 把能打开这个门, 他随机地选取一把钥匙开门,即每次 1 每把以 的概率被选中, 求该人在第k次打开门的概率. n
例 一批产品有 20%的次品, 进行重复抽样检查 , 共取 5件样品, 计算 这 5件样品中 (1)恰 好有 3件次品 的概率 , (2)至多 有 3件次品的概率 . 解 设A0 , A1 , A2 , A3分别表示5件样品中恰好有0件,
1件, 2件, 3件次品, A表示至多有件次品, 则
3 P ( A3 ) = C 5 (0.2)3 (0.8)5− 3
∞
(第m+k次乙胜，前k+m-1甲胜k次,即乙胜之前，甲已胜)
p甲 = P ( A) =
m + n −1
∑
k =nHale Waihona Puke Baidu
m + n − 1 k m + n −1− k p q k
(在n+m-1次比赛中，甲获胜次输不少于n,乙获胜次数不 大于m-1) 同一个事件不同的角度来理解，但可以证明结论是 一样的
巴拿赫火柴盒问题
例 数学家的左、右衣袋里各放由一盒装有N根火柴 的火柴盒，每次抽烟时，任取一盒用一根，试求发 现一盒用光时，另一盒有r根的概率。 解 设A={左边空而右边剩r根},事件A等价于取过左 边N+1次，其中前N次用了N根火柴，第N+1 次摸 到空盒，取过右边N-r次，即前2N-r次中取到左边 N次，取到右边N-r次，第2N-r＋1次取到左边，
同时qa + b
当此随机游动为不对称时，即 p ≠ q ，则
q 1− k n −1 n −1 p q qn − q0 = ∑ (qk +1 − qk ) = ∑ q1 = q1 q k =0 k =0 p 1− p
3
由于 p2 − p1 = p 2 (6 p 3 − 15 p 2 + 12 p − 3) = 3 p 2 ( p − 1)2 ( 2 p − 1). 1 1 1 当 p > 时 p2 > p1 ; 当 p = 时 p2 = p1 = . 2 2 2 1 故当 p > 时, 对甲来说采用五局三胜 制为有利 . 2 1 当 p = 时, 两种赛制甲 、 乙最终获胜的概率 2 是相同的, 都是 50% .
P ( A) = P ( A0 + A1 + A2 + A3 ) = P ( A0 ) + P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) = ∑ C 5i (0.2) i (0.8)5− i
i =0 3
例 若N件产品中有M件废品，现进行n次有 放回的抽样检测，问共抽到k件废品的概率是多少？ 解 n次有放回的抽样可以看作n重伯努利试验， 设A={每次抽到废品}, 则
, r , p )称为帕斯卡分布，当r = 1时，帕斯卡分 将f ( k; 布就退化为几何分布。
注意到
∞
∑
k =r
−r l r l r −r ∑ ( −1) p q = p (1 − q ) = 1 l =0 l
∞
k − 1 r k −r ∞ r + l − 1 r l f ( k; , r , p ) =∑ p q = ∑ p q = k =r r − 1 l =0 r − 1
第2.3节
伯努利试验与直线上 的随机游动
一、伯努利概型 二、伯努利概型中的一些分布 三、直线上的随机游动 四、推广的伯努利试验与多项 分布
一、伯努利模型
1 n 重伯努利试验
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A, 则称 E 为伯努利试验 . 设 P ( A) = p (0 < p < 1), 此时P ( A) = 1 − p.
∞
−r l r + l − 1 其中 = ( −1) . l l
德 梅尔问题
甲乙两个赌徒按照某种约定进行赌博，规定先胜t 局者赢得全部赌注，但进行到甲胜r局，乙胜s局（ r<t, s<t),因故中断比赛，试问如何公平合理分配赌 注？ 设n = t − r , m = t − s , A = {出现m次乙胜之前出现n次
p(qn +1 − qn ) = q(qn − qn −1 ), q 即(qn +1 − qn ) = (qn − qn−1 ), p
n = 1, 2,L , a + b − 1, n = 1, 2,L , a + b − 1,
当此随机游动为对称时，即p=q，则
qn +1 − qn = qn − qn −1 = L = q1 − q0 = q1 , 即qn = nq1 , n a = 1, 则qn = , 而qa = a+b a+b
2 可列重伯努利试验
有时需要考虑可列重伯努利试验 E ∞，这时样本 点形如
ˆ ,L, A ˆ , L) (A 1 k ˆ 为 Ai 或A i 。 其中 A i
二、伯努利模型中的一些分布
(1) 伯努利分布(两点分布）
一次伯努利试验只有两种结果之一，则其概率为
P ( A) = p ,
P ( A) = 1 − p .
ˆ 为 Ai 或A i ，分别表示第i次A出现或不出现。 其中 A i
由于伯努利试验每次试验只有两种结果，因此n ˆ ,L, A ˆ ) } 重伯努利试验共有 2n 样本点.基本事件{ ( A 1 n ˆA ˆ LA ˆ 也记为 A ，其中A出现k次，而 A 出现n-k 1 2 n 次的概率为
ˆA ˆ LA ˆ ) = P( A ˆ ) P( A ˆ ) L P( A ˆ ) = p k (1 − p) n − k P( A 1 2 n 1 2 n
(2) 二项分布
设A在 n 次试验中发生 k 次的概率为b(k ; n, p )，
k = 0, 1, 2, L, n.
记 q = 1 − p ，则
b(k; n, p) = C p (1 − p)
k n k
n
n −k
=C p q
k n k
n −k
, k = 0,1,L, n
n k n−k n k n−k n 由于∑ p q = ( p + q ) = 1, 可以看出 p q k =0 k k 刚好是二项展开式的通项，因此此分布称为二项分布.
1 2N − r 1 ; N + 1, ) = P ( A) = f (2 N − r + 1, 2 N 2
2 N − r +1
而所求事件的概率为 2 P ( A)
三、直线上的随机游动
1 随机游动
−1 0
1
t =0 a
x
在x轴上有一质点，它只在整数点上，t=0时，它 位于a点，之后每隔单位时间它会受到外力的作用， 分别以概率为p与1-p向右左方向移动一个单位，这 样的移动称为质点在直线上的随机游动 在随机游动中，当t=n时，质点在某一位置的概 率是多少？ 随机游动问题可以用伯努利试验进行描述，因为 每次试验只有两种可能， t=n相当于n重独立试验.