直线和圆的方程专题训练
高考数学直线和圆的方程专题复习 专题训练
高考数学直线和圆的方程专题复习专题训练----8ce23688-7166-11ec-986e-7cb59b590d7d高考数学直线和圆的方程专题复习专题训练高考中直线和圆的数学方程专题复习&LPAR；特殊培训和rPar；专题六、解析几何（一）1.线性方程：y=KX+T或ax+by+C=02.点关于特殊直线的对称点坐标：（1）关于线性方程y=x的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=Y0，n=x0；（2）关于线性方程y=x+B的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=Y0-B，n=x0+B；（3）关于线性方程y=-X的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：m=-Y0，n=-x0；（4）关于线性方程y=-x+B的对称点a'（m，n），点a（x0，Y0）的坐标为：n=-x0+B；m=-y0+b3.圆的方程：。
(x-a)+(y-b)=r或x2+y2+dx+ey+f=0d2+e2-4f>024.直线与圆的交点：l=2r2-d2（d为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。
若直线方程和圆的方程联立后，化简为：ax+bx+c=0，其判别式为∆，则=+k2--4=+k2注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可，它广泛应用于解析几何。
5.圆的切线方程：（1）点在圆外：如定点p(x0,y0)，圆：(x-a)+(y-b)=r，[(x0-a)+(y0-b)>r]第一步：设置切线l方程y-y0=K（x-x0）；第二步：求K到d=R，从而得到切线方程。
这里有两个切线方程。
特别说明：当K不存在时，应单独讨论。
（2）圆上的点：若点p(x0，y0)在圆(x-a)+(y-b)=r2（x-x0）（x0-a）+（y-y0）（y0-b）=0⇒（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
专题03 圆的方程(学生版) 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲(苏教版选修第一册)
专题03圆的方程（易错必刷30题13种题型专项训练）三角形外接圆方程 过两点半径最小圆 含参圆求参 “残圆”型元的对称型求参范围 两圆位置关系圆过定点圆上点到圆外点距离最值 圆的“将军饮马”型 圆上点到直线距离最值型 两圆上点距离最值型 弦长最值与圆围成的图形面积一．三角形外接圆方程（共2小题）1．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点()4,2A --，()4,2B -，()2,2C -，则ABC V 外接圆的方程是（）．A ．22(3)20x y +-=B ．22(3)5x y ++=C ．22(3)5x y ++=D ．22(3)20x y -+=2．（23-24高二上·山西运城·期中）已知()()()0,5,0,1,3,4A B C ，则ABC V 外接圆的半径为（）A 5B ．2C 10D ．5二．过两点半径最小圆（共2小题）3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过(6,0)A 和(0,8)B -两点的面积最小的圆的标准方程为（）A ．22(3)(4)10x y -++=B ．22(3)(4)100x y ++-=C ．222(3)(4)5x y +=-+D ．22(3)(4)25x y ++-=4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点()()1,1,3,3A B --，半径最小的圆的方程为（）A ．22(1)(1)8x y -++=B ．22(1)(1)8x y ++-=C ．22(1)(1)32x y -++=D ．22(1)(1)32x y ++-=三．含参圆求参（共2小题）5．（23-24高二上·福建厦门·期中）若32,1,0,,14a ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <-B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≥-四．“残圆”型（共2小题）7．（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程()()220x x y y -+-=（x ，y 不同时为0）表示的曲线的长度为（）A ．B ．C ．D ．4+8．（22-23高二上·广西贵港·期中）方程1y +=表示的曲线为（）A ．圆()()22214x y -++=B ．圆()()22214x y -++=的右半部分C ．圆()()22214x y ++-=D ．圆()()22214x y -++=的上半部分五．圆的对称性求参范围（共2小题）9．（21-22高一下·江西宜春·期中）已知直线:10l ax by ++=，圆22:4210C x y x y ++++=，若圆C 上存在两点关于直线l 对称，则()()2227a b -+-的最小值是（）A ．5B C ．D ．2010．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆2220x x y ++=关于直线10(ax y b a b ++-=､为大于0的常数)对称，则ab 的最大值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2六．两圆位置关系（共2小题）11．（20-21高二上·北京丰台·期中）已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切12．（23-24高二上·江西南昌·期中）设圆221:244C x y x y +-+=，圆222:680C x y x y ++-=，则圆12,C C 的位置关系（）A ．内含B ．外切C ．相交D ．相离七．圆过定点（共2小题）13．（21-22高二上·浙江温州·期中）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,114．（23-24高二上·湖北荆州·期中）圆:²²250C x y ax ay ++--=恒过的定点为（）A ．()()2,1,2,1--B ．()()1,2,2,1--C ．()()1,2,1,2--D ．()()2,1,2,1--八．圆上点到圆外点距离最值（共3小题）15．（23-24高二上·山西大同·期中）已知,x y 满足22(2)(3)2x y -+-=，则222x x y ++的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．[]8,32C ．1⎡⎤-⎣⎦D ．[]7,3116．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点P 是圆22:4210C x y x y +--+=上一点，点(1,5)Q -，则线段PQ 长度的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．917．（23-24高二上·重庆北碚·期中）已知点(),a b 在曲线1y =上，则()222a b +-的取值范围是（）A ．[]2,26B ．2,14⎡+⎣C ．1426⎡⎤-⎣⎦D ．14⎡-+⎣九．圆的“将军饮马”型最值（共2小题）18．（23-24高三上·上海青浦·期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()()()()4,0,1,0,1,0,0,1A B C D -，若点P 满足2PA PB =，则12PC PD +的最小值为（）.A ．2B C ．2D 119．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆O ：221x y +=和点1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()2,1B ，M 为圆O 上的动点，则2MP MB +的最小值为（）AB ．1CD ．3十．圆上点到直线距离最值型（共3小题）20．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆22220x y x y +++=上的点到直线20x y --=的距离的最大值为（）A B ．CD ．221．（23-24高二上·河北唐山·期中）已知()22112225,24x y x y ++=+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）A ．5B ．15C ．5D ．36522．（23-24高三上·北京·期中）在平面直角坐标系中，当θ，m 变化时，点()cos ,sin P θθ到直线340x my m -+-=的距离最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6十一．两圆上点距离最值型（共3小题）23．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点P 为圆1C ：()2211x y -+=上一动点，点Q 为圆2C ：()()22414x y -+-=上一动点，点R 在直线l ：10x y -+=上运动，则PR QR +的最小值为（）A 3-B 3C ．3D ．224．（23-24高二上·湖北·期中）已知点P 是直线1l ：50mx ny m n --+=和2l ：()2250,R,0nx my m n m n m n +--=∈+≠的交点，点Q 是圆C ：()223(5)1x y +++=上的动点，则PQ 的最大值是（）A ．9+B ．10+C ．11+D ．12+25．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知点P 是直线1l ：50mx ny m n --+=和2l ：()2250,,0nx my m n m n m n +--=∈+≠R 的交点，点Q 是圆C ：()2211x y ++=上的动点，则PQ 的最大值是（）A ．5+B ．6+C ．5+D ．6+十二．弦长最值（共3小题）26．（23-24高二上·云南昆明·期中）在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点(0,0)O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．6B ．8C ．12D ．2427．（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知圆C 经过()()1,0,2,1A B -两点，且圆心C 在直线0x y +=上，则过点11,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与圆C 相交所截最短弦长为（）A ．1B C ．32D ．228．（22-23高二上·辽宁大连·期中）当直线()()():121740l m x m y m m +++--=∈R 被圆()()22:2125C x y -+-=截得的弦最短时，实数m 的值为（）A ．34-B ．23-C ．34D ．23十三．与圆围成的图形面积（共2小题）29．（21-22高二·全国·期中）y x =的图象和圆224x y +=在x 轴上方所围成的图形的面积是（）A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π30．（22-23高二上·重庆南岸·期中）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22:22C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为（）A ．88π+B ．84π+C ．168π+D ．816π+。
高考数学专题《圆与方程》训练试题含答案
高考数学专题《圆与方程》一、单选题1．若,,a b c 是ABC ∆的三边，直线0ax by c 与圆221x y +=相离，则ABC ∆一定是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形2．直线210kx y -+=与圆22(1)1y x +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 4．圆22460x y x y ++-=和圆2260x y x +-=交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．3590x y ++=B ．3590x y --=C ．3590x y -+=D ．3590x y +-= 5．已知圆C ：()()22114x y -+-=，过直线l ：()0y m m =>上一点Р作圆C 的切线，切点依次为A ，B ，若直线l 上有且只有一点Р使得2PC AC =，O 为坐标原点．则OP PC ⋅=（ ） A ．-20 B ．20或12 C ．-20或-12 D ．12 6．已知圆C ：221x y +=，则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知圆C ：()()22261x y ++-=，直线l ：3450x y -+=，则圆C 关于直线对称的圆是（ ） A ．()()22421x y ++-=B ．()()22421x y -+-= C ．()()22421x y +++= D ．()()22421x y -++= 8．已知点(1,0)P -，过点(1,0)Q 作直线2()20ax a b y b +++=(a ，b 不同时为0)的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为A B 1 C ．1 D 9．已知圆22:9O x y +=，过点()2,1C 的直线l 与圆O 交于,A B 两点，则当OAB 的面积最大时，直线l 的方程为（ ）A ．30x y --=或7150x y --=B ．30x y ++=或7150x y +-=C ．30x y +-=或7150x y -+=D ．30x y +-=或7150x y +-= 10．若过点()4,3A 的直线l 与曲线22231x y 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭11．若圆224x y +=上恰有2个点到直线y =x +b 的距离等于1，则b 的取值范围是A ．((2,22-B ．(()2,32-C ．(D ．(-12．若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是A ．2⎡⎤--⎣⎦B ．(2⎤--⎦C ．(-D ．2,⎡⎣ 13．若直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，则直线l 的方程是 A ．0x = B ．1y = C ．10x y +-= D ．10x y -+= 14．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7415．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 17．已知直线:10l x y -+=，则“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．圆22(2)(3)9x y ++-=上到直线0x y +=的距离等于2的点有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．已知两圆相交于()()A 1,3B ,1m -，，两圆的圆心均在直线0x y c -+=上，则2m c +的值为A ．1B ．1-C ．3D ．020．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，则2x y +的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．321．设定点()3,4M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为领边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹为（ ）A ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆B ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆C ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．在平面直角坐标系中，已知定点()0,4A ，()2,0B ，若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则实数m 的最大值是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4523．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－D ．14＋24．若直线l 将圆22(2)(1)9x y ++-=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（ ）A ．10x y +-=B ．10x y ++=C ．20x y -=或10x y +-=D ．20x y +=或10x y ++=25．如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，120BAD ∠=︒，动点M 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AM BD ⋅的最大值是（ ）A ．3B ．3C ．5+D ．5+26．若圆22:5C x y m +=-与圆22:(3)(4)16E x y -+=-有三条公切线，则m 的值为A ．2BC ．4D ．627．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路程是（ ）A．4 B ．5 C ．1 D ．28．曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．重合 D ．相离29．已知(),,0A B C ABC ≠成等差数列，直线0Ax By C ++=与圆22260x y tx ty +++-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随着t 的变化而变化 30．已知直线:3l y x =+与x 轴的交点为()30A -,，P 是直线l 上任一点，过点P 作圆()22:14E x y -+=的两条切线，设切点分别为C ､D ，M 是线段CD 的中点，则AM 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．31．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是A ．相切B ．相离C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心32．圆221:(1)(3)1C x y ++-=，圆222:(5)(5)4C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值（ ）A ．6B ．C ．7D ．1033．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点．以12F F 为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P ，且以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切，若18PF =，则双曲线的焦距等于（ ）A．B ．6 C ．D ．334．已知椭圆22:11612x y C +=的左焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆()22:21T x y -+=上的动点，则PF PQ 的最小值是（ ）A ．12 B ．27 C ．23 D 35．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+36． 实数,a b 满足22220a b a b +++=，实数,c d 满足2c d +=，则22()()a c b d -+-的小值是A ．2BC ．8D ．37．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1A Q 、BC 所成角正弦值为定值，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A B C D 38．在平面内，6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=，动点P ，M 满足2AP =，PM MC =，则BM 的最大值是() A ．3 B ．4 C ．8D ．16 39．已知点P 为直线1y x =+上的一点，,M N 分别为圆1C ()()22:414x y -+-=与圆2C ：()2221x y +-=上的点,则PM PN -的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 40．过点()1,2总可以作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A ．()()32,-∞-+∞，B ．()8332,⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，C ．()32,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．8332,⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题41．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆O ：225x y +=有公共点(1,2)P -，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为________． 42．已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，曲线C 上两点(),A m n ，(),B s p ，（m 、n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，则s p m n -=______.43．平面区域321047020y x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的外接圆的方程是____________.44．圆C 经过点(3,1)M -与圆22(1)(3)5x y ++-=相切于点(1,2)N ,则圆C 的方程为____________．45．过圆2225x y +=上一点P 作圆222(05)x y m m +=<<的两条切线，切点分别为A 、B ，若120AOB ∠=︒，则实数m 的值为______.46．已知圆C ：22810x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若2AB =，则实数m 的值为______．47．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______．48．已知圆E ：2220x y x +-=，若A 为直线l ：0x y m ++=上的点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且ABC 为等边三角形，则实数m 的取值范围是________. 49．如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.50．在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 及圆22:24270C x y x y +---=，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ,B 两点，则ABC ∆的面积的最大值为________.51．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是________. 52．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：2220x y y +-=与圆2C：220x y ax ++-=上分别存在点P ，Q ，使POQ △为以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为实数a 的值为___________.53．若圆22211()()x y R -++=上有且仅有三个点到直线4311x y +=的距离等于1，则半径R 的值为______．54．已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为__________．55．22sin )x dx -+=⎰___________56．若直线y x t =+被圆228x y +=，则实数t 的取值范围为______． 57．直线20ax y +-=与圆22:4C x y +=相交于,A B 两点，若2CA CB ⋅=-，则a =__________． 58．设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为__________．59．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．60．若直线l ：2y x =+与圆C ：224x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 中点的坐标为_____．61．把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则APQ 的周长取值范围为______62．动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积的取值范围为__________.63．在平面直角坐标系xOy 中，若与点A （2，2）的距离为1且与点B （m ，0）的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为______．64．在平面直角坐标系xOy 中，定点()2,0F -，已知点P 是直线2y x =+上一动点，过点P 作圆()22:24C x y -+=的切线，切点分别为A ，B ．直线PC 与AB 交于点R ，则线段FR 长度的最大值为______．65．已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点，且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ，使22PA PB 10+=，则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为__________.三、解答题66．已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，点P 在圆224x y +=上运动，求222PA PB PC ++的最大值和最小值．67．已知抛物线2:2C y x =，过点()1,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）若||AB =AOB 外接圆的方程；（2）若点A 关于x 轴的对称点是A '(A '与B 不重合)，证明：直线A B '经过定点.68．已知椭圆C ：22221y x a b+=(0)a b >>过点P ，上、下焦点分别为1F 、2F ， 向量12PF PF ⊥．直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 中点为13(,)22M -． （1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程；（3）记椭圆在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ，若曲线 2222440x mx y y m -+++-=与区域D 有公共点，试求m 的最小值．69．已知直线过点，并与直线和分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分．求：（Ⅰ）直线的方程；（Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为的圆的方程．70．如图，已知圆22:4O x y +=和点()2,2A ，由圆O 外一点(),P a b 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且PQ PA =．（1）求证：3a b +=；（2）求PQ 的最小值；（3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．71．已知直线:220l ax by -+=(0,0)a b >>，圆22:2410C x y x y ++-+=. （1）若1,2a b ==，求直线l 被圆C 截得的弦长；（2）若直线l 被圆C 截得的弦长为4，求14a b+的最小值.72．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e =O 为坐标原点，圆224:5O x y +=与直线AB 相切. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD 内接于椭圆,//E AB DC .记直线,AC BD 的斜率分别为12,k k ，试问12k k ⋅是否为定值？证明你的结论.73．已知直线l 过点()1,1且与直线210x y ++=垂直.（1）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，求AB ；（2）求圆心在直线l 上且过两点()()1,1,3,1M N 的圆的标准方程.74．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 是参数，0απ≤<），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当4πα=时，曲线1C 和2C 相交于M 、N 两点，求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.75．从圆C :22(2)(2)4-++=x y 外一动点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，且PM PO =(O为坐标原点)，求PM 的最小值和PM 取得最小值时点P 的坐标．76．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．77．已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ+3=0，圆M 的极坐标方程为ρ=4sin θ．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）写出直线l 与圆M 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆M 交于A 、B 两点，求AB 的长．78．已知圆C 过两点()3,3M -， ()1,5N -，且圆心C 在直线220x y --=上． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点()2,5-且与圆C 有两个不同的交点A ， B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点()3,1P -，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．79．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.80．已知圆C 的圆心坐标为(2,2)C -，且圆C 的一条直径的两个端点M ，N 分别在x 轴和y 轴上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,2)P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 为直角三角形，求直线l 的方程．81．已知圆22:80C x y y +-=与动直线:22l y kx k =-+交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）已知点()2,2P ，当OP OM =时，求l 的方程及POM 的面积.82．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围．83．如图，已知圆2212x y +=与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点，点B 的横坐标为F 为抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1P 、2P 、3P 、4P ，求：①13PP ；②1324PP P P -的值．84．已知定点F （3，0）和动点P （x ，y ），H 为PF 的中点，O 为坐标原点， （1）求点P 的轨迹方程；（2）过点F 作直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，点C （2，0）．连接AC ，BC 分别交于点M ，N ．试证明：以MN 为直径的圆恒过点F ．85．求半径为2，圆心在直线12:l y x =上，且被直线2l ：10x y --=所截弦的长为圆的方程.86．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．87．已知圆C 方程为228(62)610(,0)x y mx m y m m R m +--+++=∈≠，椭圆中心在原点，焦点在x 轴上.（1）证明圆C 恒过一定点M ，并求此定点M 的坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论；（3）当2m =时，圆C 与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M ，求此时椭圆方程；在x 轴上是否存在两定点A ，B 使得对椭圆上任意一点Q （异于长轴端点），直线QA ，QB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 坐标；若不存在，请说明理由.88．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程：()222411211k x k k y k ⎧=-+⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程；（2）过曲线2C 上一点P 作直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，中点为D，AB =求PD 的最小值.89．已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=. ①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； ②设l 与圆C 交于A 、B两点，若AB l 的倾斜角； ③当实数m 变化时，求直线l 被圆C 截得的弦的中点的轨迹方程.90．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于,M N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>.（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于,A B 两点.（i ）2OA AB =，求直线l 的方程；（ii ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案1．D 【详解】试题分析：因为直线0ax by c 与圆221x y +=1>，即222222,cos 02a b c a b c C ab+-+<=<，角C 为钝角，ABC ∆一定是锐角三角形,故选D.考点：1、点到直线的距离公式；2、余弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而判断其为钝角三角形. 2．A 【分析】确定直线过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，点在圆内，得到答案.【详解】210kx y -+=过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且2211(110)24+-=<，故10,2⎛⎫⎪⎝⎭在圆内，故直线和圆相交. 故选：A 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定直线过定点是解题的关键. 3．B 【详解】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =d =．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a =-∴=-．故选B ． 4．D 【分析】求出两圆的连心线所在直线的方程，即为AB 的垂直平分线的方程. 【详解】圆22460x y x y ++-=的标准方程为()()222313x y ++-=，圆心为()2,3M -，圆2260x y x +-=的标准方程为()2239x y -+=，圆心为()3,0N ，由于两圆关于直线MN 对称，所以，A 、B 两点也关于直线MN 对称， 所以，AB 的垂直平分线为直线MN ， 直线MN 的斜率为303235MN k -==---，则直线MN 的方程为()335y x =--，即3590x y +-=. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查两圆相交弦的垂直平分线所在直线的方程，解题的关键就是由两圆关于连心线所在直线对称，进而得出相交弦被连心线垂直平分，解题时应充分分析圆的几何性质，结合几何性质来解题. 5．A 【分析】由题设易知PC l ⊥且||PC 为C 到直线l 的距离，再根据圆心坐标及半径、2PC AC =即可确定m 的值，进而可得()1,5P ，应用向量数量积的坐标运算求OP PC ⋅. 【详解】∵这样的点P 是唯一的，则PC l ⊥，即||PC 为C 到直线l ：()0y m m =>的距离，而圆C 的半径为2且(1,1)C ，∴要使2PC AC =，则4PC =，又0m >，即5m =， ∴()1,5P ，故()()1,50,420OP PC ⋅=⋅-=-． 故选：A ． 6．C 【分析】根据题意，求出圆C 的圆心与半径，求出圆心到直线的距离125=，分析可得3r d +>，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆C ：221x y +=，圆心为()0,0，半径1r =，则圆心()0,0C 到直线l ：34120x y +-=距离1215d r ==>=， 圆的半径为1，有12135+>，即3r d +>， 则圆上到直线l ：34120x y +-=距离为3的点有2个. 故选C ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析圆心到直线的距离，属于基础题． 7．D【分析】对称圆的圆心C '与C 关于l 对称，且CC '所在直线垂直于直线l ，据此求解出对称圆的圆心C '坐标，再根据圆对称半径不变即可求解出对称圆的方程. 【详解】设对称圆的圆心(),C a b '，()2,6C -，所以CC '中点为26,22a b -+⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2634502263124a b b a -+⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪+⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 关于直线对称的圆的方程为：()()22421x y -++=. 故选：D. 【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的方程，难度一般.求解圆关于直线的对称圆的方程从两方面入手：(1)两圆圆心连线的中点在已知直线上；(2)两圆圆心的连线垂直于已知直线. 8．B 【详解】直线()220ax a b y b +++=整理得()()220a x y b y +++= 可知直线过定点T ()1,2-，所以点H 落在以QT 为直径的圆上，点H 的轨迹为()()22111x y -++=，圆心为C ()1,1-半径为1，PH的最小值为r 1PC -;故选B.点睛：本题关键是分析出直线过定点，从而利用垂直关系找到垂足的轨迹方程，最后点点距离的最小值转化到点到圆心的距离减掉半径，重点是转化的思想. 9．D 【分析】当直线l的斜率不存在时，易求得OAB S =l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，进而得弦长AB =,A B的距离dOAB S ∆=.【详解】当直线l 的斜率不存在时， l 的方程为2x =，则,A B 的坐标分别为在时，所以122OABS=⨯⨯=当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为11(2)2y k x k ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则圆心到直线,A B 的距离d =由平面几何知识得AB =119222OABS AB d ∆=⨯⋅=⨯， 当且仅当229d d -= ，即292d =时， OAB S ∆取得的最大值为92，因为92，所以OAB S ∆的最大值为92.此时292=，解得1k =-或7k =-， 此时直线l 的方程为: 30x y +-=或7150x y +-= 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式求最值，考查分类讨论思想和运算能力，是中档题. 10．C 【分析】先由题意，设直线l 的方程为()34y k x -=-，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较，d r =相切；d r 相离；d r <相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题. 11．B 【分析】问题转化为圆心到直线的距离大于1，小于3，再求出圆心到直线的距离后列出不等式可解得． 【详解】依题意可得圆心到直线的距离()1,3d ∈.∵d =3<，解得b -<b <B . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题． 12．B 【分析】由2y =()()22224x y -+-=，且22y =<，即2y =()2,2为圆心，2为半径的圆位于直线2y =下方的部分， 直线y x b =+表示斜率为1的直线系， 如图所示，考查满足题意的临界条件： 当直线经过点()4,2A 时：24,2b b =+∴=-，当直线与圆相切时，圆心()2,2到直线0x y b -+=的距离等于半径2，即：2=，解得：b =±B 时，b =-结合题中的临界条件可知：实数b 的取值范围是(2⎤--⎦. 本题选择B 选项.【详解】 13．D 【详解】因为直线l ：1y kx =+过定点()0,1M ，而点()0,1M 在圆22:230C x y x +--=内，根据圆的几何性质可知，当直线l 与MC 垂直时,直线l ：1y kx =+被圆22:230C x y x +--=截得的弦最短，由圆的方程可得()1,0C ，于是可得101,101MC k k -==-=-，直线l 的方程是1,y x =+化为10x y -+=，故选D. 14．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C15．C【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r +≥-即可求解.【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --，由图得AC BC AP r +≥-==故选：C.【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解. 16．D【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.【详解】 结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值， 而sin MC r MPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故d ==故1sin 302r PC ==︒=，解得r =故选：D .【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 17．B【分析】根据“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”求出1a =-，由211a a =⇒=±，然后根据必要不充分条件的概念进行判断.【详解】因为直线l 与圆22210x y ay +--=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又因为圆心()0,a=1a =-，又211a a =⇒=±，所以“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的必要不充分条件.故选：B.18．A【分析】首先判断出圆心到直线的距离，然后判断2d +，2d -与r 的关系，从而确定点的个数.【详解】圆的圆心为()2,3-，半径为3圆心到直线的距离d ==可知23<，232+<由上图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由位置关系判断到直线距离为定值的点的个数，解题关键在于确定圆心到直线的距离，再进一步判断.19．A【详解】由圆的性质知：AB 与直线0x y c -+=垂直且被平分，所以3111AB k m+==--，解得5m =，又AB 中点(3,1)在直线上，代入可求得2c =-，所以21m c +=故选A.20．B【分析】建立平面直角坐标系，设00(,)P x y ，利用坐标法将,x y 用P 点坐标表示，即可求出2x y +的最小值.【详解】以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设2AB =，00(,)P x y ，则(0,0)A ，(0,2)D ，(2,1)E ，半圆的方程为22(1)1(0)x y y -+=≥，所以(2,1)AE =，(0,2)AD =，00(,)AP x y =，因为(,)AE xAD y AP x y =+∈R ，即00(2,1)(0,2)(,)x y x y =+，所以00212yx x yy =⎧⎨=+⎩，即0002221y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以001212y x y x -+=+⋅，又00(,)P x y 是半圆上的任意一点， 所以01cos x θ=+，0sin y θ=，[0,]θπ∈， 所以1sin 2121cos θx y θ-+=+⋅+，所以当2πθ=时，2x y +取得最小值1. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查二元变量的最值求法，关键是根据已知把几何图形放在适当的坐标系中，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.21．C【分析】 首先设()()00,,,P x y N x y ，根据平行四边形的性质，求得003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩，代入圆的方程，求得点P 的轨迹，同时注意去掉不能满足平行四边形的点.【详解】设()()00,,,P x y N x y ，则线段OP 的中点坐标为,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段MN 的中点坐标为0034,22x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于平行四边形的对角线互相平分，所以003,22422x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，从而003,4.x x y y =+⎧⎨=-⎩又点()3,4N x y +-在圆224x y +=上，所以()()22344x y ++-=.当点P 在直线OM 上时，22443x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得：912,55x y =-=或2128,55x y =-=. 因此所求轨迹为以()3,4-为圆心，2为半径的圆，除去点91255⎛⎫- ⎪⎝⎭，和点212855⎛⎫- ⎪⎝⎭，.故选：C.22．D【分析】根据题意将所求问题转化为两个圆有交点的问题解决.【详解】以()0,4A ，()2,0B 两点为直径的圆的方程为()()22125x y -+-=，设圆心为N ，所以()1,2N若在圆22:245M x y x y m ++++=上存在点P ，使得APB ∠为直角，则圆M 与圆N 有公共点，又圆22:245M x y x y m ++++=，所以()1,2M --)0m >，所以MN =≤545m ≤≤，所以m 的最大值为45.故选：D23．D【解析】圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(32＝14＋故选D.24．D【分析】由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，分直线l 过原点和直线l 不过原点，分别求得其直线方程.【详解】解：由题意可得直线l 过圆心(2,1)-，当直线l 过原点时，其方程为20x y +=；当直线l 不过原点时，设l ：x y a +=，则211a =-+=-，此时方程为10x y ++=. 故选：D.25．A【分析】先求出AC AB ⊥，然后以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，求出圆C 的方程丹凤 出M 点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最大值．【详解】 由题意3ABC π∠=，所以22212212cos 33AC π=+-⨯⨯=，即222AC AB BC +=，所以2CAB π∠=，以,AB AC 为,x y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(1,0)B ，C ，(D -．直线BD 方程为111x -=--20y +-=，所以圆C 半径为7r ==C 方程为223(7x y +=，设()77M αα，21()AM αα=，(BD =-，所以3AM BD αα⋅=+，33=．故选：A ．26．C【分析】由两圆有三条公切线，可知两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，列出式子即可求出m 的值．【详解】由题意可知两圆外切，圆C 的圆心为()0,0，圆E 的圆心为()3,4，半径为4，4，解得4m =.故答案为C.【点睛】本题考查了两圆的公切线，考查了圆与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题． 27．A【解析】【详解】由题意可得圆心(2,3)C ,半径为1r =,点A 关于x 轴的对称点(1,1)A -'-,求得5A C =',则要求的最短路径的长为514A C r -=-=',故选A.28．B【详解】将sin 20ρθ-=化为直角坐标方程得，20y -= ，由4cos 0ρθ-=可得，24cos ρρθ=化为直角坐标方程可得，()2224x y -+= ，圆心()2,0 到直线20y -=的距离为2 ，等于圆的半径，所以直线20y -=与()2224x y -+=相切，即曲线1:sin 20C ρθ-=，曲线2:4cos 0C ρθ-=，则曲线12C C 、的位置关系是相切，故选B.29．A【分析】若,,A B C 公差为d ，结合直线方程可得(1)(2)0A x y d y ++++=，即可确定所过的定点坐标，再判断定点与圆的位置关系即可.【详解】若,,A B C 公差为d ，则()(2)(1)(2)0Ax A d y A d A x y d y ++++=++++=，∴直线恒过定点(1,2)-，将代入圆中，可得522610t t +--=-<，∴(1,2)-在圆22260x y tx ty +++-=内，故直线与圆相交.故选：A30．B【分析】先求出M 点的轨迹为圆，然后问题转化为圆外的点到圆上的点的距离最大问题求解即可【详解】设点M 坐标为(),x y ，P 点坐标为()00,x y ，因为P ，M ，E 共线所以//PE ME ，得()()0011y x y x -=-因为003y x =+，得0033141y x x y x y y y x +-⎧=⎪-+⎪⎨⎪=⎪-+⎩① CD 的直线方程为()()00114x x y y --+=②将①代入②得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 点的轨迹是以N 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，AM的最大值为2AN r +=+=故选：B31．C【详解】圆心到直线的距离()90,25d ==∈， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 本题选择C 选项.32．C【详解】圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标C 3（﹣1，﹣3），半径为1， 圆C 2的圆心坐标（5，5），半径为2， |PM|+|PN|的最小值为圆C 3与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，31037=-=． 故选C ．33．A【分析】设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F M NM PF F F =，由此可求出223cPF =，而12PF PF ⊥，再由勾股定理可得1PF =18PF =，从而可求出c 的值 【详解】依题意知12PF PF ⊥，设以2OF 为直径的圆与直线1PF 相切于点N ，圆心为M ，则1MN PF ⊥，因此121Rt PF F Rt NF M ∽，所以1212||F MNM PF F F =． 设双曲线的焦距为2c ，则23222c cPF c=，解得223cPF =，由勾股定理可得1PF =8=，c =2c = 故选：A 【点睛】此题考查圆与双曲线的性质的应用，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题 34．B 【分析】作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得PF PQ的最小值.【详解】 如下图所示：。
专题强化训练一 直线方程重难点必刷题- (人教A版2019选择性必修第一册)
高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版选择性必修第一册)第二章 直线和圆的方程 专题强化训练一：直线方程重难点必刷题 一、单选题1．和直线20x y -+=关于x 轴对称的直线方程为（ ）A ．20x y -+-=B ．20x y -+-=C ．20x y ++=D ．20x y +-=2．已知直线1l ：()()()324220x y λλλ++++-+=（R λ∈），2l ：20x y +-=，若12//l l ，则1l 与2l 间的距离为（ ） A ．22 B ．2 C ．2 D ．223．“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点3(2,)A -，(3,2)B --．若直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．设m R ∈，则“1m =”是直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y m -+=平行的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 中点为()00,N x y ，且002y x >+，则00y x 的取值范围为（ ）A ．11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,,25⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 7．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为()()3123--，，，，顶点D 在直线310x y -+=上移动，则顶点B 的轨迹方程为（ ）A ．()320013x y x --=≠B ．3100x y --=()13x ≠C ．()312013x y x --=≠D ．()39013x y x --=≠8．若动点A ，B 分别在直线1l ：–70x y +=和2l ：–10x y +=上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ）A ．322B ．32C ．22D ．39．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线680mx y m --+=交于点P ，若AB 的中点为C ，则PC =（ ） A ．9 B ．4 C ．5 D ．1010．已知直线21:20l a x y ++=与直线()22:110l bx a y -+-=互相垂直，则ab 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．1二、多选题 11．与直线:3410l x y --=平行且到直线l 的距离为2的直线方程是（ ）A ．34110x y --=B ．3490x y -+=C ．34110x y -+=D ．3490x y --=12．若O ()00，，A ()41-，两点到直线ax +a 2y 60+=的距离相等，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1 C ．4 D ．613．下列说法正确的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B ．点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1C ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=14．若动点()11A x y ，，()22B x y ，分别在直线1:3410l x y -+=与2:6850l x y -+=上移动，则AB 的中点M 到原点的距离可能为（ ）A ．310B ．710C ．25D ．1215．直线2326023180x y x m y ++=-+=，和23120mx y -+=围成直角三角形，则m 的值可为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．49- 16．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是217．已知直线()1:120l a x ay +++=，()2:110l a x a y +--=，则（ ）A ．1l 恒过点()2,2-B ．若12l l //，则212a =C ．若12l l ⊥，则21a =D ．当01a ≤≤时，2l 不经过第三象限三、填空题18．已知直线21y kx k =+-过定点，则定点的坐标为__．19．若集合(){},20A x y x y =+-=，(){},240B x y x y =-+=，(){},3C x y y x b ==+，若()A B C ⊆，则b =______． 20．已知a ，b ，c 成等差数列，点()1,0P -到直线:0l ax by c ++=的距离为22，则直线l 的倾斜角是______. 21．已知直线l ：()()12130m x m y m ++--=过定点P ，则点P 的坐标为________．22．已知点P ，Q 的坐标分别为()1,1-，()2,2，直线l ：0x my m ++=与线段PQ 的延长线相交，则实数m 的取值范围是___________.23．设a ，b 是正数，若两直线()()()113210:R l m x m y m -+-+=∈和22:0l ax by ++=恒过同一定点，则12a b +的最小值为__________．四、解答题24．已知直线230x y -+=与直线320x y ++=交于点P ．（1）求过点P 且平行于直线3450x y +-=的直线1l 的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程写成一般式） （2）求过点P 且垂直于直线4320x y ++=的直线2l 的方程；（直线方程写成一般式）（3）求过点P 并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线3l 的方程．（直线方程写成一般式）25．已知ABC 中，()2,2A 、()4,0B -、()3,1C -.（1）求BC 边所在直线的一般式方程；（2）求BC 边上的高所在直线的一般式方程.26．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=.（1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.27．已知2y x =是△ABC 中C ∠的内角平分线所在直线的方程，若(4,2),(3,1)A B -．（1）求点A 关于2y x =的对称点P 的坐标；（2）求直线BC 的方程．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点(),A m n ，()2,1B ，()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且ABC 的面积等于7，求点A 的坐标.29．已知直线1l ：230x y -+=与直线2l ：2380x y +-=的交点为M .（1）求过点M 且与直线3l ：310x y ++=平行的直线的方程.（2）求过点M ，且点P (4，0)到它的距离为3的直线的方程.30．已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ： 340x y n +-=.（1）求直线1l 过的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为 85； （2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线 l 的方程.【答案详解】1．C【详解】直线20x y -+=交x 轴于点()2,0-，且直线20x y -+=的斜率为1，故所求直线的方程为()2y x =-+，即20x y ++=.故选：C.2．B【详解】由12//l l 得32422112λλλ++-+=≠-，解得1λ=， 所以直线1l ：550x y +=，即0x y +=，所以1l 与2l 间的距离为d == 故选B ．3．C【详解】解：当两直线平行，∴12(1)0a a ⨯--=，解得2a =或1a =-，当2a =，两直线重合，舍去；当1a =-时，两直线平行．所以“1a =-”是“直线240x ay ++=与直线(1)20a x y -++=平行”的充要条件． 故选：C4．A【详解】设直线l 过定点(,)P x y ，则直线:10l mx y m +--=可写成(1)10m x y -+-=， 令10,10,x y -=⎧⎨-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩∴直线l 必过定点(1,1)P ． 31421PA k --==--，213314PB k --==--．直线:10l mx y m +--=与线段AB 相交， ∴由图象知，34m -≥或4m -≤-，解得34m ≤-或4m ≥， 则实数m 的取值范围是3,[4,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦．故选：A5．A【详解】解：若直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y m -+=平行， 则12m ≠， 所以“1m =”是“12m ≠”的充分不必要条件， 即“1m =”是直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y m -+=平行的充分不必要条件. 故选：A.6．A【详解】解：设()11,P x y ，00y k x =，则00y kx =， PQ ∵中点为()00,N x y ，()01012,2Q x x y y ∴--， P ，Q 分别在直线210x y +-=和230x y ++=上，11210x y ∴+-=，()010122230x x y y -+-+=，002420x y ∴++=即00210x y ++=，00y kx =，00210x kx ∴++=即0112x k=-+， 又002y x >+，代入得002kx x >+，即()012k x ->即()11212k k ⎛⎫--> ⎪+⎝⎭， 即51021k k +<+， 1125k ∴-<<-， 故选：A7．A【详解】设点()B x y ，，平行四边形ABCD 的两条对角线互相平分，即AC 的中点522⎛⎫- ⎪⎝⎭，也是BD 的中点， ∴点D 为()54x y ---，，而D 点在直线310x y -+=上移动，则()()35410x y ----+=，即3200x y --=，由于A ，B ，C ，D 不共线则应去除与直线AC 的交点()1319，， 故顶点B 的轨迹方程为()320013x y x --=≠.故选：A8．C【详解】由题意知，M 点的轨迹为平行于直线1l 、2l 且到1l 、2l 距离相等的直线l ，可设直线l 方程为0x y C ++=，直线1l 、2l 与y 轴的交点分别为()07，、()01，，则直线l 与y 轴的交点分别为()04，， 将()04，代入直线l 的方程得4C =-， 故其方程为40x y +-=，M ∴到原点的距离的最小值为d == 故选C ．9．C【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点()0,0A ，动直线680mx y m --+=即()680m x y --+=，经过定点()6,8B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点， 所以12PC AB =，又10AB ==，所以5PC =．故选：C ．10．C【详解】直线1l 与直线2l 斜率存在，且互相垂直，()2210a b a ∴-+=，即2210a b a+=>， 当0a >时，12ab ab a a ==+≥； 当0a <时，12ab ab a a=-=--≥， 综上，ab 的最小值为2.故选：C11．AB【详解】 解：设所求直线方程为340x y m -+=2=，解得9m =或11-. 故选：AB ．12．ACD【详解】=2466a a ∴--=±，当2466a a --=时，解得2a =-或6a =；当2466a a --=-时，解得4a =或0(a =舍去)；2a ∴=-或6或4．故选：ACD ．13．ABC【详解】解：当直线的倾斜角为90︒时，直线不存在斜率，所以所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，故A 正确；点()0,2与()1,1的中点坐标13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭满足直线方程1y x =+， 并且两点的斜率为：1-，所以点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1，故B 正确；直线20x y --=在两坐标轴上的截距分别为：2，2-， 与坐标轴围成的三角形的面积是：12222⨯⨯=， 故C 正确；经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=或y x =， 所以D 不正确；故选:ABC.14．BCD【详解】由题意可知，直线1:3410l x y -+=即6820x y -+=与2:6850l x y -+=平行， 点M 在直线1l 与2l 之间且在到两条直线距离相等的直线上，设该条直线方程为680x y c -+==72c =， ∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线76802x y -+=的距离， 即7720d =，即AB 的中点M 到原点的距离的最小值为720， 故选:BCD ．15．ACD【详解】由题意，若3260x y ++=和223180x m y -+=垂直可得：()232230m ⨯+⨯-=，解得1m =±，经验证当1m =时， 后面两条直线平行，构不成三角形，故1m =-；同理，若3260x y ++=和23120mx y -+=垂直可得：660m -=，解得1m =，应舍去；若223180x m y -+=和23120mx y -+=垂直可得：2490m m +=，解得0m =或49m =-，经验证均符合题意， 故m 的值为：0，1-，49-． 故选：ACD16．ABD【详解】对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确． 对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO ==MOD 正确. 故选：ABD.17．BD【详解】()()1:12020l a x ay a x y x +++=⇔+++=，当020x y x +=⎧⎨+=⎩，即2,2x y =-=，即直线恒过点()2,2-，故A 不正确； 若12l l //，则有()()211a a a +-= ，解得：212a =，故B 正确； 若12l l ⊥，则有()()110a a a a ++-=，得0a =，故C 不正确；若直线2l 不经过第三象限，则当10a -≠时，101a≥-，01a a -≤- ，解得：01a ≤<， 当10a -=时，直线2:1l x =，也不过第三象限，综上可知：01a ≤≤时，2l 不经过第三象限，故D 正确.故选：BD18．(2,1)--【详解】解：由21y kx k =+-，得：(2)(1)0k x y +-+=，故2x =-，1y =-，故直线恒过定点(2,1)--，故答案为：(2,1)--．19．2由20240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以{}(0,2)A B =， 因为()A B C ⊆，所以(0,2)C ∈，所以20b =+，得2b =，故答案为：220．π4【详解】解：a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+，即2c b a =-，点(1,0)P -到直线:0l ax by c ++==∴=2()0a b +=，即=-b a ，则直线l 的斜率为1a b -=，故直线的倾斜角是4π， 故答案为：4π． 21．()1,1【详解】 ()()12130m x m y m ++--=化为()()230x y m x y +-+-=，因直线l 恒过定点，即无论m 取何值等式()()230x y m x y +-+-=都成立，即230x y +-=与0x y -=同时成立，由2300x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以点P 的坐标为()1,1．故答案为：()1,122．233m -<<- 解：如下图所示，由题知()211213PQ k -==--， 直线0x my m ++=过点()0,1M -.当0m =时，直线化为0x =，一定与PQ 相交，所以0m ≠，当0m ≠时，1l k m=-，考虑直线l 的两个极限位置. ()1l 经过Q ，即直线1l ，则()1213202l k --==-； ()2l 与直线PQ 平行，即直线2l ，则213lPQ k k ==， 因为直线l 与PQ 的延长线相交， 所以11332m <-<，即233m -<<-， 故答案为：233m -<<-. 23．4【详解】 直线1l 的方程可化为()1:2310l m x y x y --++=， 显然该直线恒过两直线20x y -=和310x y -++=的交点，由20310x y x y -=⎧⎨-++=⎩可得21x y =-⎧⎨=-⎩， 所以直线()()()113210:R l m x m y m -+-+=∈恒过点()2,1--，所以点()2,1--也在直线2l 上，故220a b --+=，即22a b +=．因为a ，b 是正数，所以()121121412444222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当224a b a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即12a =，1b =时等号成立， 故答案为：4.24．由230320x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，可得()1,1P -． （1）设直线1l 的方程为340x y λ++=，代入点P 的坐标得340λ-++=，解得1λ=-， 所以直线1l 的方程为3410x y +-=，所以两平行线间的距离54d ==； （2）设直线2l 的方程为340x y μ-+=，代入点P 的坐标得340μ--+=，解得7μ=． 所以直线2l 的方程为3470x y -+=；（3）当直线3l 过坐标原点时，设直线3l 的方程为y kx =，代入点P 的坐标可得1k -=，解得1k =-，此时， 直线3l 的方程为y x =-，即0x y +=；当直线3l 不过坐标原点时，设直线3l 的方程为1x y a a -=，代入点P 的坐标得111a a--=，解得2a =-， 所以直线3l 的方程的方程为122x y -+=，即20x y -+=． 综上所述，直线3l 的方程为0x y +=或20x y -+=． 25．（1）直线BC 的斜率为011437BC k +==---，所以，直线BC 的方程为()147y x =-+， 故BC 边所在直线的一般式方程为740x y ++=；（2）BC 边上的高所在直线的斜率为7，所以，BC 边上的高所在直线的方程为()272y x -=-，化为一般式方程为7120x y --=.26．（1）证明见解析；（2）47=m 时，距离最大，最大值为（3）AOB 面积的最小值为4，此时直线方程为240x y ++=.【详解】（1）由直线方程整理可得：()23240x y m x y -+++++=，由230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩得：12x y =-⎧⎨=-⎩，∴直线恒过定点()1,2P --； （2）由（1）知：直线恒过定点()1,2P --，则当PQ 与直线垂直时，点Q 到直线距离最大，又PQ 所在直线方程为：214231y x ++=++，即3210x y --=， ∴当PQ 与直线垂直时，()()322210m m --+=，解得：47=m ； 则最大值PQ == （3）由题意知：直线斜率存在且不为零，令0x =得：3421m y m +=-+，即340,21m B m +⎛⎫- ⎪+⎝⎭； 令0y =得：342m x m +=--，即34,02m A m +⎛⎫- ⎪-⎝⎭； 又,A B 位于,x y 轴的负半轴，340213402m m m m+⎧-<⎪⎪+∴⎨+⎪-<⎪-⎩，解得：122m -<<； ()223413434122212232AOB m m m S m m m m +++=⨯⨯=⨯-+-++， 令34m t +=，则5102t <<，43t m -∴=， 222221191950252222550244223233AOB t t S t t t t t t ∴=⨯=⨯=⨯-+---⎛⎫-+--+⨯+ ⎪⎝⎭， 5102t <<，112105t ∴<<， 则当114t =，即0m =时，2max 5025928t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，()min 4AOB S ∴=，此时直线的方程为：240x y ++=.27．（1）(4,2)P -；（2）3100x y +-=.【详解】 （1）由题意，过A 且垂直于2y x =的直线方程为1(4)222x y x =-++=-， ∴2x y =-与2y x =的交点为(0,0)，即A 与P 关于(0,0)对称， ∴(4,2)P -.（2）由题意知：根据角平分线的性质，(4,2)P -一定在直线BC 上，∴直线BC 为1234y y x x -+=--，整理得：3100x y +-=， ∴直线BC 方程为3100x y +-=.28．（1）240x y +-=；（2）()3,4A 或()3,0-.（1）∵311222AB k -==---，采用点斜式设直线方程：11(2)2y x -=-- ∴240x y +-=（2）∵A 点在中线AD 上，把A 点坐标代入，2360-+=m n点A 到直线:240BC x y +-=的距离d =∵11||722ABC S d BC =⋅⋅=△ 即23603 2474m n m m n n -+=⎧=⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩或30m n =-⎧⎨=⎩ 所以，点A 的坐标为()3,4A 或()30A -,29．（1）370x y +-=；（2）512190x y -+=或1x =.【详解】（1）联立直线1l 和2l 起的方程有：2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩，即点M (1.2) 设该直线的方程为：30x y C ++=，将M (1，2)代入得：1320C +⨯+=，所以7C =-，所以该直线方程为：370x y +-=.（2）①当直线斜率存在时，设直线方程为：()21y k x -=-，即为20kx y k -+-=，设点P (4，0)到该直线的距离为d ，则3d ==，解得512k =， 即该直线方程为：()52112y x -=-，化简成一般式为：512190x y -+=， ②当直线斜率不存在时，则该直线方程为：1x =，此时点P (4，0)到直线1x =的距离恰好等于3，符合题意.综上：满足题意的直线方程有：512190x y -+=或1x =.30．（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-=【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=， 所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===， 解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-，因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+△，当且仅当2k =-时等号成立， 故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=扫码关注学科网数学服务号，获取优质数学教育资源↓↓↓。
4-4直线系和圆系方程
专题4 直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是0),(1=y x f 和0),(2=y x f ，它们的交点是),(00y x P ，方程0),(),(21=+y x f y x f λ的曲线也经过点P （λ是任意常数）．由此结论可得出：经过两曲线0),(1=y x f 和0),(2=y x f 交点的曲线系方程为：0),(),(21=+y x f y x f λ．利用此结论可得出相关曲线系方程．第一讲 直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程．几种常见的直线系方程：（1）过已知点),(00y x P 的直线系方程)(00x x k y y -=-（k 为参数）．（2）斜率为k 的直线系方程b kx y +=（b 是参数）．（3）与已知直线0=++C By Ax 平行的直线系方程0=++λBy Ax （λ为参数）．（4）与已知直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程0=+-λAy Bx （λ为参数）．（5）过直线0:1111=++C y B x A l 与0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）． 【例1】已知直线02:1=++y x l 与0332:2=--y x l ，求经过的交点且与已知直线013=-+y x 平行的直线L 的方程． 【解析】设直线L 的方程为0)2(332=+++--y x y x λ．032)3()2(=-+-++∴λλλx ．L 与直线013=-+y x 平行，1321332--≠-=+∴λλλ．解得：211=λ．所以直线L 的方程为：016515=++y x ． 【分析】不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点．【解析】由原方程得0)5()12(=-+--+y x y x m ，即⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-+=-+4905012y x y x y x ，∴直线过定点)4,9(-P ． 【例3】求过直线：012=++y x 与直线：012=+-y x 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【解析】设所求直线方程为：0)12(12=+-+++y x y x λ，当直线过原点时，则01=+λ，则1-=λ，此时所求直线方程为：02=-y x ；当所求直线不过原点时，令0=x ，解得21-+=λλy ，令0=y ，解得121++-=λλx ，由题意得，12121++-=-+λλλλ，解得31=λ，此时，所求直线方程为：0455=++y x ．综上所述，所求直线方程为：02=-y x 或0455=++y x ．概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系．几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：22020)()(r y y x x =-+-，0x 、0y 为常数，r 为参数．（2）过两已知圆0),(:1112211=++++=F y E x D y x y x f C ．和0),(:2222222=++++=F y E x D y x y x f C 的交点的圆系方程为：)1(0)(2222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x若1-=λ时，变为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ，则表示过两圆的交点的直线．其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线．（3）过直线与圆交点的圆系方程：设直线0:=++C By Ax L 与圆0:22=++++F Ey Dx y x C 相交，则过直线L 与圆C 交点的圆系方程为0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ．【例4】求过圆：012222=++-+y x y x 与圆：042422=--++y x y x 的交点，圆心在直线：052=--y x 圆的方程． 【解析】设所求圆的方程为：)1(0)424(222222-≠=--++++-+λλy x y x y x y x ．整理得041)1(2)24()1()1(22=-+-+-++++λλλλλy x y x ，所以所求圆的圆心为)11,121(λλλλ+-+-，由已知所求圆的圆心在直线：052=+-y x 上，所以05112121=++-⨯-+-λλλλ，解得，8-=λ，代入圆系方程整理得，所求圆的方程为073371873522=+-++y x y x ． 【例5】求经过两条曲线①03=-++y x y x 和②0233=+++y x y x 交点的直线方程． 【解析】先化②为圆的一般式方程：③0313222=+++y x y x 由①－③得：0)311()323(=--+-y x 即047=-y x ．此为所求直线方程．【例6】求过直线042=++y x 和圆0142=+-++y x y x 的交点，且过原点的圆方程．【解析】根据（3），设所求圆的方程为：0)42(14222=++++-++y x y x y x λ．即0)41()4()1(222=++-++++λλλy x y x ，因为过原点，所以041=+λ，得41-=λ． 故所求圆的方程为：04172322=-++y x y x ． 【例7】已知圆O ：0142=++-+y x y x 和圆外一点)4,3(A ，过点A 作圆的切线，切点分别为C 、D ，求过切点C 、D 的直线方程．【分析】本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO 为直径的圆上，故直线CD 是以线段AO 为直径的圆与圆O 的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程．【解析】由切线性质知，切点C 、D 在以线段AO 为直径的圆上，由题知，)2,1(-O ，102)24()13(22=++-=∴AO ，线段AO 的中点为)1,2(，∴以线段AO 为直径的圆的方程为10)1()2(22=-+-y x ，即052422=---+y x y x ，圆O 的方程与以AO 为直径的圆的方程相减整理得：033=++y x ，∴直线CD 的方程为033=++y x ．【例8】求过点)4,1(-P 圆1)3()2(=-+-y x 的切线的方程．【解析】设所求直线的方程为0)4()1(=-++y B x A （其中B A ,不全为零），则整理有04=-++B A By Ax ， 直线l 与圆相切，∴圆心)3,2(C 到直线l 的距离等于半径1，故143222=+-++B A BA B A ，整理，得0)34(=-B A A ，即0=A （这时0≠B ），或043≠=B A ．故所求直线l 的方程为4=y 或01343=-+y x ．【例9】平面上有两个圆，它们的方程分别是1622=+y x 和0248622=++-+y x y x ，求这两个圆的内公切线方程． 【解析】 1)4()3(024862222=++-⇒=++-+y x y x y x ，∴这两圆是外切，020430)16()2486(2222=--⇒=-+-++-+∴y x y x y x y x ，∴所求的两圆内公切线的方程为：02043=--y x ．【例10】已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 【分析】充分挖掘本题的几何关系OQ OP ⊥，不难得出O 在以PQ 为直径的圆上．而P ，Q 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程．【解析】过直线032=-+y x 与圆0622=+-++m y x y x 的交点的圆系方程为：0)32(622=-+++-++y x m y x y x λ，即①03)3(2)1(22=-+-++++λλλm y x y x依题意，O 在以PQ 为直径的圆上，则圆心)3,21(λλ-+-显然在直线032=-+y x 上，则03)3(221=--++-λλ，解之可得1=λ，又)0,0(O 满足方程①，则03=-λm ，故3=m ． 达标训练1．求证：无论m 取何实数时，直线0)11()3()1(=--+--m y m x m 恒过定点，并求出定点的坐标．2．求过两直线042=+-y x 和02=-+y x 的交点，且满足下列条件的直线L 的方程．（1）过点)1,2(；（2）和直线0543=+-y x 垂直．3．过点)1,3(P 作曲线02:22=-+x y x C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．032=-+y xB ．032=--y xC ．034=--y xD ．034=-+y x4．对于任意实数λ，曲线0616)46()1()1(22=---++++λλλλx y x 恒过定点 ．5．求经过两圆02322=--++y x y x 和0123322=++++y x y x 交点和坐标原点的圆的方程．6．求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点,并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程．7．求与圆0202422=---+y x y x 切于)3,1(--A ，且过)0,2(B 的圆的方程．8．求过两圆522=+y x 和16)1()1(22=-+-y x 的交点且面积最小的圆的方程．9．求经过直线042:=++y x l 与圆0142:22=+-++y x y x C 的交点且面积最小的圆的方程．10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 过点)1,0(-，)0,23(+，)0,23(-．（1）求圆C 的方程；（2）是否存在实数α，使得圆C 与直线0=++αy x 交于A ，B 两点，且OB OA ⊥，若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由．11．已知圆25)2()1(:22=-+-y x C ，直线)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．12．已知圆024:22=+-++αy x y x C ，直线03:=--y x l ，点O 为坐标原点．（1）求过圆C 的圆心且与直线l 垂直的直线m 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且ON OM ⊥，求实数α的值．13．已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线034=++y x 相切．（1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线8=x 上，过P 点引圆C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试问，直线AB 是否过定点，若过定点，请求出；若不过定点，请说明理由．。
专题06 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系(重难点突破)原卷版
专题06 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点一直线与圆的位置关(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解【知识必备】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By ＋C)＝0(λ∈R)；(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x ＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
直线与圆的综合问题
此时|2k— 0| :k2+1全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）a直线与圆的综合问题考点一与圆有关的最值问题考法（一）斜率型最值问题［典例］已知实数x,y满足方程x2 + y2— 4x+ 1= 0,求#的最大值和最小值.入2 2［解］原方程可化为（x— 2） + y = 3,表示以（2,0）为圆心，，3为半径的圆.$的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设x= k,即y= kx.入当直线y= kx与圆相切时（如图），斜率k取得最大值或最小值,解得k= 土, 3.所以x的最大值为一 3,最小值为—一 3.入［解题技法］形如尸y—b型的最值问题，可转化过定点（a, b）的动直线斜率的最值问题x — a求解.如本题y= y~0表示过坐标原点的直线的斜率.x x— 0全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)考法（二）截距型最值问题［典例］已知实数x, y满足方程x2 + y2— 4x+ 1 = 0,求y— x的最大值和最小值.全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)2)2 + y 2= 3,故可令x — 2= 3cos 0, y= . 3si n 0,X =A /3COS 0+ 2即彳厂y= . 3sin 0,从而 y — 3sin 0—.3cos ［解］y —x 可看作是直线y=x+ b 在y 轴上的截距，如图 所示，当直线y= x+ b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或 最小值，此时|2—0^b| = 解得b= — 2±6.所以y —x 的 最大值为—2+ .6,最小值为—2— 6.［解题技法］形如 尸ax+ by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解. 如本 题可令b= y — x ，即y=x+ b ，从而将y — x 的最值转化为求直线y=x+ b 的截距 的最值问题.另外，此类问题也常用三角代换求解.由于圆的方程可整理为 (x —0-2 = (6S in 〔0—寸―2,进而求出y — x 的最大值和最小值.考法(三)距离型最值问题［典例］已知实数x, y 满足方程x 2 + y 2 — 4x+ 1 = 0,求x 2 + y 2的最大值和最 小值. ［解］如图所示，x 2 + y 2表示圆上的一点与原点距离的平 方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 -2— 0 2+ 0 — 0 2= 2,所以x 2 + y 2的最大值是(2 + ,3)2= 7 + 4 3, x 2 + y 2 的最小值是(2 — . 3)2 = 7 — 4 3. ［解题技法］形如 尸(x — a)2+ (y — b)2型的最值问题，可转化为动点(x, y)与定点(a, b) 的距离的平方求最值.如本题中x 2 + y 2 = (x — 0)2 + (y — 0)2，从而转化为动点(x,—2k — 0— k+ 2|. ----- =1解得k=3 土;y — 2 x — 1的最大值为3+^・ y)与坐标原点的距离的平方.［专题训练］1.已知圆C: (x+ 2)2 + /= 1, P(x, y)为圆上任意一点，贝U 匕2的最大值为X — 1解析：设匚2 = k,即 kx — y — k+ 2= 0,x- 1圆心 C(—2,0), r = 1.当直线与圆相切时，k 有最值,答案：节2. ____________________ 设点 P(x, y)是圆：x 2+ (y — 3)2= 1 上的动点，定点 A(2,0), B( — 2,0)，则 貳—B 的最大值为 .解析：由题意，知工A = (2 — x, — y), "PB = (— 2—x, — y),所以"PY R 宜= x 2 + y 2 — 4,由于点P(x, y)是圆上的点，故其坐标满足方程x 2 + (y — 3)2= 1,故x 2=— (y — 3)2 + 1,所以"P1? = — (y — 3)2 + 1 + y 2 — 4 = 6y — 12易知 2<y<4,--- A -- A所以，当y= 4时，PA -B 的值最大，最大值为6X 4— 12= 12.答案：12 考点二直线与圆的综合问题［典例］已知直线1: 4x+ ay — 5= 0与直线I': x — 2y= 0相互垂直，圆C 的圆心与点(2,1)关于直线I 对称，且圆C 过点M(— 1,— 1).(1)求直线l 与圆C 的方程.n—•—2 =—1,m= 0,解得］.-0(0,0).n = 0,(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P, Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足k MP+ k MQ = 0,求证：直线P Q的斜率为1.［解］⑴•••直线1: 4x+ ay— 5 = 0与直线I' : x— 2y= 0相互垂直，•'4X 1 — 2a = 0,解得 a = 2.•••直线I的方程为4x+ 2y— 5 = 0.设圆C的圆心C的坐标为(m, n).•••圆心C(m, n)与点(2,1)关于直线I对称，m+2 n+1.4 X 2~ + 2 X ~2~ — 5 = 0,•••圆C 的半径 r = |CM|= 2.•••圆C的方程为x2 + y2= 2.(2)证明：设过点M的直线MP的斜率为k,则过点M的直线MQ的斜率为—k,直线MP的方程为y+ 1 = k(x+ 1).•••直线MP与圆C相交,y+1 = k(x+1,•联立得方程组(2 2lx2+y2=2,2 2 2消去 y 并整理，得(1 + k )x + 2k(k— 1)x+ k — 2k— 1 = 0.•••圆C 过点 M(— 1,— 1),2 2 k — 2k— 1 2k+ 1 — km—2同理，将k替换成—k,可得X Q =2—k2— 2k+1-xP•— 1)= 2 ，• xP= 21 + k 1+ k所以圆心C到直线x+y+ 2= 0的距离为|2+ 2|2 2,y Q — y p — k(X Q + 1)—1 — k(x p+ 1)+ 1 — k(X Q + X P厂 2k •'k pQ = = = = 1.X Q — X P X Q — X P X Q— X P[解题技法]直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决.(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑.[专题训练]1.(优质试题全国卷川)直线X+ y+ 2 = 0分别与X轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(X — 2)2 + y2 = 2上，则△ ABP 面积的取值范围是( )A. [2,6] B . [4,8]C. L.2, 3 2]D. [2 2, 3 2]解析：选A 设圆(x— 2)2+ y2 = 2的圆心为C,半径为r，点P到直线x + y+ 2= 0的距离为d，则圆心 C(2,0)，r = .2,可得 d max= 2讥+ r = 3灵 ,d min = 2.2 — r = 2.由已知条件可得AB|= 2 2,1所以△ABP面积的最大值为2AB| d max= 6,1△XBP面积的最小值为2AB|d min = 2.综上，MBP面积的取值范围是[2,6].则圆心C到直线I的距离d= |2— 0+ m| |2+ m|2 = 22 2 CM2匸 d2 + 哆2,所以4=“ 2(2+ m)2 + 2,2.(优质试题湖北八校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C: x2 + y2— 4x= 0及点 A( — 1,0), B(1,2).(1)若直线I平行于AB,与圆C相交于M , N两点，|MN| =AB|，求直线I的方程；2 2(2)在圆C上是否存在点P,使得|FA |+|PB匸12?若存在，求出点P的个数; 若不存在，说明理由.解：⑴因为圆C的标准方程为(x— 2)2+ y2 = 4,所以圆心C(2,0)，半径为2.因为 I /AB, A(— 1,0), B(1,2),2— 0所以直线1的斜率为C=1,设直线I的方程为x — y+ m= 0,因为 |MN匸 |AB|= 22+ 22 = 2 2,解得m= 0或m= — 4,故直线I的方程为x — y= 0或x— y— 4= 0.(2)假设圆 C 上存在点 P,设 P(x, y)，则(x— 2)2 + y2 = 4, |PA|2 + |PB|2= (x+1)2 + (y— 0)2 + (x— 1)2+ (y— 2)2= 12, 即卩 x2 + y2— 2y — 3 = 0, 即卩 x2+ (y — 1)2 =4, 因为 |2- 2|v ] 2— 02+ 0— 1 2< 2+ 2,所以圆(x— 2)2 + y2 = 4 与圆 x2+ (y— 1)2= 4 相交，所以存在点P,使得|PA|2 + |PBf= 12,点P的个数为2.即卫手宰、r.由基本不等式，得 严a 2r 三翕=近，当且仅当a 4= 1，即a =±时取 ［课时跟踪检测］1. 已知圆 C: x 2 + y 2 — 2x — 2my+ m 2— 3= 0 关于直线 I: x — y+ 1 = 0 对称， 则直线x=—1与圆C 的位置关系是()A .相切B .相交 C.相离D .不能确定解析：选A 由已知得C: (x — 1)2+ (y — m)2 = 4,即圆心C(1, m)，半径r =2,因为圆C 关于直线I: x — y+ 1 = 0对称，所以圆心(1, m)在直线I: x — y+ 1= 0上，所以 m= 2.由圆心C(1,2)到直线x= — 1的距离d= 1 + 1 = 2= r 知，直 线x= — 1与圆C 相切.故选A.2. 直线ax+ zy+ 2 = 0与圆x 2 + y 2= r 2相切，则圆的半径最大时，a 的值是a()A. 1 B . — 1C. ±D. a 可为任意非零实数一 1解析：选C 由题意得，圆心(0,0)到直线ax+ -y+ 2 = 0的距离等于半径r ，a等号.故选C.3. 与圆x 2 + y 2 + 2 2y+ 1 = 0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为()A. 2B. 3C. 4D. 6解析：选B圆的标准方程为x 2 + (y+ ,2)2= 1，设切线方程为y= kx+ m ，B. ,21 "T则詈1,整理得(2+ m)2= k 2+ 1,又因为切线在两坐标轴上的截距相等,；k +1mf(>/2+ m k + 1，0,所以m 二—m ，联立方程得m解得或ki m — m,戶±k =—1, 、 、、 、所以切线方程为y=或y= — x —2 2,切线共有3条.m= — 2 2, 4.已知点P(x, y)是直线kx+ y+4 = 0(k>0)上一动点，PA, PB 是圆C: x 2+ y 2 — 2y= 0的两条切线，A, B 是切点，若四边形FACB 的最小面积是2,则k 的值为()A. 3 C. 2 .2解析：选D 圆C: x 2 + y 2— 2y= 0的圆心为(0,1)，半径r = 1.由圆的性质， 知S 四边形PACB = 2S PBC .T 四边形PACB 的最小面积是2, /S ZPBC 的最小值为1,则1 rd min = 1(d 是切线长)，「d min = 2. v 圆心到直线kx+ y+ 4= 0的距离就是PC 的最小 值，.•.|PC|min = 2= d +1 = 5.・.k>0,.°k = 2故选 D.W + k 25.(优质试题 赣州七校联考)已知圆C: x 2 + y 2— 2ax — 2by+ a 2 + b 2— 1= 0(av 0)的圆心在直线-3x —y+ 3= 0上，且圆C 上的点到直线 3x+ y= 0的距离的最大值为1+ .3,则a 2+ b 2的值为()1解析：直线l 的方程可变形为y=3ax+ 4,所以直线I 过定点 (0,4)，且该点在圆M 上.圆的方程可变形为x 2+ (y — 2)2 = 4,所以A. 1 B . 2C. 3D. 4解析：选C易知圆的标准方程为(x— a)2 + (y— b)2= 1,所以圆心为(a, b),由圆心在直线，3x— y+. 3= 0上，可得• 3a— b+ 3= 0,即b= . 3(a+ 1) ①.厂M3a+ b| 厂圆C上的点到直线3x+ y= 0的距离的最大值 d max= 1 + 2 =』3+ 1,3得|.3a+ b匸2 3 ②.由①②得|2a+ 1|= 2,又av0,所以a=—㊁，a2 +2 2a2 + 3(a+ 1)2= 3.6.已知实数x, y满足(x+ 5)2 + (y — 12)2= 25,那么x2+ y2的最小值为解析：由题意得寸x2+ y2= p(x- 0$+( y-0$表示点P(x, y)到原点的距离，所以-‘X + y的最小值表示圆(x+ 5) + (y — 12) = 25上一点到原点距离的最小值.又圆心(—5,12 )到原点的距离为 J — 5 2+ 122= 13,所以［X2 + y2的最小值为 13 — 5 = 8.答案：82 27.已知P(x, y)为圆(x— 2) + y = 1上的动点，贝U |3x + 4y — 3|的最大值为2 1解析：设 t= 3x + 4y— 3, 即卩 3x+ 4y — 3 — t = 0.由圆心(2,0)到直线 3x+ 4y— 3|6- 3—1|—1= 0 的距离 d= —21,\/32+ 42解得—2 w tw 8所以 |3x+4y— 3| max= 8.答案：88.(优质试题贵阳适应性考试)已知直线I: ax— 3y+ 12= 0与圆M : x2 + y2n圆心为M(0,2),半径为2•如图，因为/AMB = 3,所以△AMB是等边三角形，且边长为2,高为.3,即圆心M至U直线I的距离为•. 3,所以2= .3,解得ayj a + 9=± 3.答案：±_ 39.已知曲线C上任一点M(x, y)到点E - 1, 和直线a： y=—扌的距离相等，圆 D: (x—1)2 + Jy — *)= r2(r>0).(1)求曲线C的方程；(2)过点A( — 2,1)作曲线C的切线b,并与圆D相切，求半径r.解: (1)由题意得、(x+ 1 J + Jy—1J = y+ 4 .两边平方并整理，得y= (x+1)2.•••曲线C的方程为y= (x+ 1)2.2(2)由 y= (x+ 1)，得 y' = 2(x+ 1).•••点A( — 2,1)在抛物线C 上,•••切线b的斜率为y' |x=-2= — 2.•••切线b 的方程为 y— 1 = — 2(x+ 2),即卩 2x+y+ 3= 0.又直线b与圆D相切,•••圆心D 1, 2到直线b的距离等于半径,| 1, n—4y= 0相交于A, B两点，且/ AMB = 3,则实数a = ________________ .Y1+2 + 3I =诬V5 = 10 .10.已知过点A(1,0)且斜率为k的直线I与圆C:(x— 2)2+ (y— 3)2= 1交于M, N两点.(1)求 k的取值范围;2k 2+ 6k+ 129k 2 1 + k 2.(2) 1OM ON = 12,其中0为坐标原点，求|MN|.解：(1)设过点A(1,0)的直线与圆C 相切，显然当直线的斜率不存在时，直 线x= 1与圆C 相切.当直线的斜率存在时，设切线方程为 y= k o (x-1)，即k o x-y — k o = 0. •••圆C 的半径r= 1，|k o — 3|4•••圆心C(2,3)到切线的距离为.2— = 1,解得k o =3.屮0+13 •••过点A 且斜率为k 的直线I 与圆C 有两个交点，44••k >3，即k 的取值范围为3，+.2 2 2(2)将直线I 的方程y= k(x — 1)代入圆C 的方程，得(1 + k)x — (2k + 6k+ 4)x2+ k + 6k+ 12 = o.设 M(X 1，y 1)，N(X 2，y 2)，则22k 2 + 6k+ 4X 1 + x 2 =2 —，1 + k2 2•°y 1y 2= k (X 1 — 1)(x 2 — 1) = k (X 1X 2 — X 1 — X 2 + 1)=2—>—>1ok 2 + 6k+ 12•OM ON = X 1X 2 + y 1y 2=2= 12，解得 k= 3 或 k= o(舍去).1 + k•直线I 的方程为3x — y — 3= o.故圆心(2,3)在直线I上，•|MN|= 2r = 2.B级1.已知圆 M: (x—2)2 + (y — 2)2 = 2，圆 N: x2+ (y— 8)2 = 4o,经过原点的两直线l1，I2满足11丄12,且l1交圆M于不同两点A，B，I2交圆N于不同两点C，所以k的取值范围为2- 3,于D,记l i的斜率为k.(1)求 k的取值范围;(2)若四边形ABCD为梯形，求k的值.1 解：(1)显然 20,所以可设11的方程为y= kx,则12的方程为y=—只.|2k- 2| 厂依题意得点M到直线l1的距离d1= ------------------ 产 2.A/1 + k3 42整理，得 k — 4k + iv0,解得 2- .3v kv 2+ ,3.①同理，点N到直线12的距离d2= r8k^=2v 2屮0,■\/1 + k2解得-乎kv于②由①②可得2- 3v kv^5.3 2X1 X2 X4 X3 X1 + X2X3 + X4X2 X1 X3 X4 ' X1X2 X3X4 '全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)所以X3 + X4=-抚，24k 2X 3X 4=2.将直线12的方程代入圆(2)设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3), D(X 4, y 4).将直线l i 的方程代入圆M 的方程，得(1 + k 2)x 2-4(1 + k)x+ 6= 0,~ .4(1+ k)6所以 x 1 + X 2=2 , X 1X 2=2.1 + k1 + kN 的方程，得(1 + k 2)x 2 + 16kx+ 24k 2 = 0,由四边形ABCD 为梯形可得X = X 6,X 2 X 3所以—+ + 2 = —+ + 2,所以 =全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)2 , 「2— 2 ,x— 2)+( y+4)y E — y F k X E— 1 — 3 + k X F— 1 + 3 X E—X F X E — X F —2k+ k X E + X FX E — X F13,故直线EF的斜率所以(1 + k)2= 4,解得k= 1或k= — 3(舍去).故k的值为1.2.(优质试题成都双流中学模拟)已知曲线C上任意一点到点A(1,— 2)的距离与到点B(2,— 4)的距离之比均为*.(1)求曲线C的方程;(2)设点P(1,— 3),过点P作两条相异的直线分别与曲线 C相交于E, F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段 EF的最大值.■- i x— 1 + y + 2 2解：⑴设曲线C上的任意一点为Q(x,y),由题意得2整理得x2 + y2= 10,故曲线C(2)由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，因为P(1,—3),故可设直线PE的方程为y+ 3— k(x— 1),联立方程得节3；" 7 ' 消[x2 + y2— 10,去 y 得(1 + k2)x2— 2k(k+ 3)x+ k2 + 6k— 1— 0,因为 P(1,— 3)在圆上，所以 x— 12 2k + 6k— 1 k — 6k— 1一定是该方程的解，故可得 x E— 2 —，同理可得 X F —厂，所以 k EF1 + k 1 + k7 1为定值一3设直线EF的方程为y——§x+ b,则圆C的圆心(0,0)到直线EF的全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)所以当b — 0时，线段EF 取得最大值，最大值为2.10. 、基础知识距离d —平生，所以|EF 寸1 + 9 2 10-9b 2 辿 3 v b <10 3，1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i, r2, d= |O i O2|)二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2 = r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为x o x+ y o y= r2.②过圆(x-a)2 + (y- b)2 = r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o — a)(x- a)2+ (y o-b)(y- b) = r .③过圆x2 + y2 =r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+y o y= r2.(2)直线被圆截得的弦长1 2 2“、弦心距d、弦长I的一半2及圆的半径r构成一直角三角形，且有r = d + ?1 2考点一直线与圆的位置关系全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1 — m= 0与圆C:x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A •相交B •相切C •相离D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由2 2［x +(y-1)= 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5 = 0,因为△= 16m2 + 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=<1< , 5，故直线I与寸m2+ 1圆相交.2 2 法三：直线I: mx— y+ 1 — m= 0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x + (y— 1)=5的内部，所以直线I与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2= 1的切线，则切线方程为()A.3x+ 4y — 4 = 0B.4x— 3y+ 4 = 0C.x= 2 或 4x— 3y+ 4= 0全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)D. y=4 或 3x + 4y— 4= 0(2)(优质试题成都摸底)已知圆C: x2 + y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1 = 0对称，经过点M(m, m)作圆C的切线，切点为P,则|MP|=［解析］(1)当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为|k — 1 + 4 — 2k| 4y— 4= k(x—2),即 kx— y+4 — 2k= 0,则 ---------------- =1,解得 k= 3，则切线方彳k2+ 1 3程为4x— 3y+ 4= 0,故切线方程为x = 2或4x— 3y + 4 = 0.2 2⑵圆C: x + y — 2x— 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线I: x+ my+ 1 = 0对称，所以直线l: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1+ 2m+ 1= 0,解得 m=— 1,所以 |MCf= 13, |MP|= ：13-4 = 3.［答案］(1)C (2)3考法(三)弦长问题ax+ by+ c= 0 被圆 x2 + y2 = 1 所截［典例］⑴若a2+ b2 = 2C2(CM0)，则直线得的弦长为A*D. 2(2)(优质试题海口一中模拟)设直线y=x+ 2a与圆C: x2 + y2— 2ay— 2= 0相交于A，B两点，若AB| = 2 .3,则圆C的面积为( )B. 2nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C= 0的距离d= / |C|=刁乩=寸a2 + b2伽誓j=¥，所以-2，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1—全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)弦长为2.(2)易知圆C: x8 9 + y2— 2ay-2= 0的圆心为(0, a)，半径为-''a2+ 2.圆心(0,lai 2 2a)到直线y= x+ 2a的距离d = ，由直线y= x+ 2a与圆C: x + y — 2ay— 2 = 02相交于A, B两点，|AB|= 2 .3,可得+ 3= a2 + 2,解得a2= 2,故圆C的半径为2,所以圆C的面积为4n故选A.［答案］⑴D (2)A［专题训练］1 •已知圆的方程是x2 + y2= 1,则经过圆上一点皿于，于的切线方程是解析：因为M于，2是圆x2 + y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x+ y+ a= 0,所以今+今+ a = 0,得a=—.2,故切线方程为x+ y— 2 = 0.答案：x+ y—. 2= 09 若直线kx— y+ 2= 0与圆x2 + y2— 2x — 3= 0没有公共点，则实数k的取值范围是 __________ .解析：由题知，圆x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2 = 4,圆心(1,0)到直|k+ 2| 4线 kx— y+ 2 = 0 的距离 d>2,即，>2,解得 0vkv$.V k2+1 3答案：0，3解析：因为点A, B关于直线I: x+y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k =1,即y=x+ 1.又圆心i— 1, m在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(—1,1),半径r = 2,所以圆心到直线y=x+ 1的距离d=¥，所以|AB|= 2 ；r2— d2= .6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(优质试题山东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a>0)截直线x+y 二0所得线段的长度是2.2,则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是()A •内切B •相交C •外切D •相离x2 + y2— 2ay= 0,［解析］法一：由 x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为2 2,•'：；：.、：■：a + — a j = 2\:.2.2 2又 a>0,「a= 2. A圆M 的方程为 x + y — 4y= 0,即 x2+ (y — 2)2 = 4,圆心 M(0,2)，半径 r1 = 2.又圆 N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1,圆心 N(1,1),半径匕=1,JMN匸'0— 1 2 + 2— 1 2= 2.•.“一「2= 1, r1 + r2= 3,1<|MN|<3,A两圆相交.法二：由题知圆M : x2+ (y— a)2 = a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+y= 0的距离d=；，所以2 a2—；二2 .2,解得a= 2•圆M，圆N的圆心距|MN|=・2, 两圆半径之差为1两圆半径之和为3,故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (优质试题太原模拟)若圆C i: x2 + 1与圆C2: x2 + y— 6x — 8y+ m= 0 外切，则m=()A. 21B. 19C. 9 D . — 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径「1 = 1,因为圆C2的方程可化为 (x— 3)2 + (y—4)2= 25— m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径「2= 25— m(mv 25).从而 C1C2|=」32 + 42= 5•由两圆外切得 |C1C2|=「1 +「2,即卩 1+ 25— m= 5, 解得m= 9,故选C.2.(变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ______________ .…一“、,、一fx2 + y2— 4y= 0,解析：联立两圆方程 2 2两式相减得，2x— 2y — 1 = 0,［(x—1) + ( y—1) = 1,I—1| y［2因为N(1,1), r = 1,则点N到直线2x — 2y— 1 = 0的距离d= 2一2=広，故公共弦长为2寸1 -乎f =学答案：―4［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的 3步骤C. 3 解析：选B(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长；(2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求n +匕，『1 —匕|； ⑶比较d, r 1+ r 2,『1 —呵的大小，写出结论.［课时跟踪检测］1.若直线2x+ y+ a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ± 5D. ±3圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5,因为直线与圆相切，所以有曇=75，即 a= ±5.故选 B.2.与圆C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12= 0, C 2： x 2 + y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有 C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为 C 1： (x — 3)2 + (y+ 2)2= 1, C 2： (x — 7)2+ (y — 1)2 = 36,则两圆圆心距|C 1C 2|=「7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半 径差，故两圆内切.所以它们只有一条公切线.故选 A. 3.(优质试题 南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2 + (y — 3)2 = 4截得 的弦长为2 3，则直线的倾斜角为()n. 5 nA ・6或石n-nB . — 3或 33. 设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B 关于直线I: x+ y= 0对称，则AB| = ______________ .。
备战2023年新高考数学二轮专题复习直线和圆
专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六 解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12， 所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确． 答案：BD。
专题19直线与圆的方程(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破
专题19直线与圆的方程【考点命题趋势分析】直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及广泛的代数知识，综合性较强、能力要求较高.纵观近几年高考，我们发现直线与圆的方程这部分内容在全国卷中的考查有以下几个特点:一是每年必考，但未必在全国卷I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ中都考.如2017年全国卷I、卷Ⅱ的文科、理科都未涉及“直线与圆的方程”的内容，但全国卷Ⅲ考查了这部分内容，而且是解答题，属于压轴题之一，足见它的分量.二是在每一份试卷中至多有一道有关直线与圆的方程的题目(2016年全国卷理科是个例外，有一小一大两道题).三是选择题、填空题和解答题三种题型都有可能出现，客观题突出了“小而巧”的特点，主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题外，还考查运算求解、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法.四是就文科、理科而言，直线与圆的方程这节内容在文科试卷中出现的频率大于理科，但难度略小于理科.综合以上分析，我们在复习备考中要给予高度重视.高考题大多是比较经典的，因此，在复习备考过程中，它无疑是我们选题的一个风向标，认真研究高考题、品味高考题，可以让我们窥视其中的一些奥妙，使我们的复习备考更具针对性和有效性.典型例题与解题方法1方程问题求直线方程与圆的方程是解析几何中的基础知识与基本技能.求直线的方程，一般采用待定系数法，将直线方程设成点斜式或斜截式.而求圆的方程，一般来说有两种方法:(1)几何法.通过研究圆的几何性质求出圆的基本量:圆心坐标和半径.(2)代数法.先设出圆的方程，然后用待定系数法求解.例1已知抛物线C:y2=2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(I)证明:坐标原点O在圆M上；(Ⅱ)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.2弦长问题但凡涉及直线与圆的位置关系时，都会遇到弦长问题，但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少.小题中大多是已知弦长求参数的值(范围)这一类的逆向思维问题，大题中往往是将弦长作为条件的综合问题，因此，弦长问题举足轻重.解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径所构成的直角三角形中运用勾股定理进行计算.例2已知直线l:mx+y+3m－√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2√3，则|CD|=.3最值与范围问题最值问题是范围问题的特例，因此，研究的方法、手段基本相同.在处理直线与圆的方程的最值与范围问题时，主要有以下两种途径:一是利用圆的几何性质直接判断，如过圆内一个定点的弦长的最值与范围问题，就可以结合图形利用弦长与弦心距之间的关系进行判断；二是构建目标函数的解析式，然后利用函数或基本不等式研究最值与范围.另外，在特定的情境中，利用“三角形两边之差小于第三边”来研究最值与范围问题可以取到意想不到的效果.例3已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x－1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(I)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.例4设圆x2+y2+2x－15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.4定值与定点问题直线与圆的定值与定点问题虽不是高考的热点，但一旦出现则必然是试卷的压轴题，如2017年高考数学全国卷Ⅲ文科第20题，就考查了直线与圆的定值问题，试题综合性较强，难度较大例5在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题:(I)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由；(Ⅱ)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.例6在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C.问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.5复习建议本章的复习首先要注重基础，对基础知识、基本题型要掌握好.求直线的方程基本用待定系数法，复习时应注意直线的方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系，应特别注意直线斜率的存在与不存在两种情况；圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线问题、弦长问题都是高考考查的热点，求圆的方程、圆心坐标和圆的半径的常用方法是待定系数法及配方法，要熟练掌握，还应特别注意充分运用直线与圆的几何性质以简化运算.特别需要指出的是，绝大多数和直线与圆的方程有关的高考题，都会涉及弦长问题，因此，在高考复习备考中，强化弦长问题的训练显得尤为重要.最新模拟题强化训练1．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x 上，线段AB 为圆C 的直径，则PA PB ⋅的最小值为()A ．2B ．52C ．3D ．722．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=3．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是( )A ．()0,223,⎡++∞⎣B ．[2,2]C ．(),0-∞D ．[0∞+，) 4．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线240x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.( )A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．30,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =( )A ．12-B ．1C ．2D ．126．在圆22420x y x y +-+=内，过点(1,0)M 的最短弦的弦长为A B ．C D ．7．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =( )A ．2B ．C ．6D ．8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．22230x y x +--=B ．2240x y x ++=C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=9．已知点P 是直线l ：3x 4y 70+-=上的动点，过点P 引圆C ：222(x 1)y r (r 0)++=>的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，当MPN ∠的最大值为π3时，则r 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为 ( ) A ．230x y +-=B ．230x y +-=C ．210x y --=D ．210x y -+=11．已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA PB ⋅的取值范围为( )A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．)3,⎡+∞⎣ 12．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( )A ．12BC ．3 D13．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是( )A ．2或3B ．2C 或2D ．3或2 14．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( )A ．B ．5C ．2D ．1015．已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为( )A ．B ．C ．4D ．16．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于( )A ．B ．CD ．17．圆224210++--=x y x y 上存在两点关于直线()2200,0ax by a b -+=>>对称，则14a b+的最小值为A ．8B ．9C ．16D ．18 18．在区间[﹣2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( ) A ．14 B ．12 C ．1D ．2 19．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．53-或53 B ．35或32 C ．23-或23 D ．43-或34- 20．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥21．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________：22．已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．23．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ：B 两点，若AB =C 的面积为________ 24．在平面直角坐标系xOy 中，A(-12,0)，B(0,6)，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ·PB ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________25．已知A ，B 为圆22:5O x y +=上的两个动点，4AB =，M 为线段AB 的中点，点P 为直线:60l x y +-=上一动点，则PM PB ⋅的最小值为____．26．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为__________．27．已知直线l 经过点P(：4：：3)，且被圆(x：1)2：(y：2)2：25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________： 28．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为2，则实数p 的值为__________． 29．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于,A B 两点，P 为x 轴上一动点，则ABP ∆周长的最小值为______：30．已知点()1,2P -及圆()()22344x y -+-=，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则PQ QT +的值为______________．。
高中数学【直线与圆】专题练习
高中数学【直线与圆】专题练习1.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A.1B. 2C. 3D.2答案 B解析设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，知当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为 2.2.已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()A.2x－y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.2x－y＋1＝0D.2x＋y＋1＝0答案 D解析由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为M(1，1)，半径为2.如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为12|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.因为|AM |＝2，所以只需|PA |最小. 又|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以只需直线2x ＋y ＋2＝0上的动点P 到M 的距离最小，其最小值为|2＋1＋2|5＝5，此时PM ⊥l ，易求出直线PM 的方程为x －2y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以P (－1，0). 易知P 、A 、M 、B 四点共圆，所以以PM 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即x 2＋y 2－y －1＝0②， 由①②得，直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0，故选D.3.(多选)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4，0)，B (0，2)，则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时，|PB |＝3 2 D.当∠PBA 最大时，|PB |＝3 2 答案 ACD解析 设圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心为M (5，5)，半径为4. 由题意知直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0， 则圆心M 到直线AB 的距离d ＝|5＋2×5－4|5＝115>4， 所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4＋d ＝4＋115， 又4＋115<5＋1255＝10，故A 正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，又115－4<1255－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋（5－2）2－42＝32；当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确.综上，选ACD.4.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切.(1)求抛物线C，⊙M的方程；(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.解(1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限，则根据抛物线的对称性，得∠POF＝∠QOF＝45°，所以P(1，1)，Q(1，－1).设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，则1＝2p，得p＝1 2，所以抛物线C的方程为y2＝x.由题意，圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1，所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1.(2)直线A 2A 3与⊙M 相切，理由如下： 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)，当A 1，A 2，A 3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切，此时直线A 2A 3与⊙M 相切.当x 1≠x 2≠x 3时，直线A 1A 2的方程为x －(y 1＋y 2)y ＋y 1y 2＝0， 则|2＋y 1y 2|（y 1＋y 2）2＋1＝1，即(y 21－1)y 22＋2y 1y 2＋3－y 21＝0， 同理可得(y 21－1)y 23＋2y 1y 3＋3－y 21＝0，所以y 2，y 3是方程(y 21－1)y 2＋2y 1y ＋3－y 21＝0的两个根，则y 2＋y 3＝－2y 1y 21－1，y 2y 3＝3－y 21y 21－1.直线A 2A 3的方程为x －(y 2＋y 3)y ＋y 2y 3＝0. 设点M 到直线A 2A 3的距离为d (d ＞0)，则d 2＝（2＋y 2y 3）21＋（y 2＋y 3）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3－y 21y 21－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2y 1y 21－12＝1，从而d ＝r ＝1，所以直线A 2A 3与⊙M 相切. 综上可得，直线A 2A 3与⊙M 相切.1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.热点一 直线的方程【例1】 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3D.833(2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( ) A.2x ＋3y －12＝0 B.2x ＋3y ＋12＝0 C.2x －3y ＋12＝0 D.2x －3y －12＝0答案 (1)B (2)B解析 (1)由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6， 解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋（－1）2＝823.(2)由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3，1).设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为 2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)， 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去). ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.2.(1)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.【训练1】 (1)(多选)光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y ＝kx ＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过下列哪些点( ) A.(14，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98 C.(13，2)D.(13，1)(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________. 答案 (1)BD (2)252解析 (1)因为直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ＝－1.设点(2，4)关于直线l ：y ＝－x ＋1的对称点为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －4m －2＝1，n ＋42＝－m ＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝－1，所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，则反射光线所在直线的方程为y ＝0－（－1）5－（－3）(x－5)，即y＝18(x－5)，当x＝13时，y＝1；当x＝14时，y＝98.故选BD.(2)由题意可知，直线l1：kx－y＋4＝0经过定点A(0，4)，直线l2：x＋ky－3＝0经过定点B(3，0)，注意到直线l1：kx－y＋4＝0和直线l2：x＋ky－3＝0始终垂直，点M又是两条直线的交点，则有MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.故|MA|·|MB|≤252(当且仅当|MA|＝|MB|＝522时取“＝”).热点二圆的方程【例2】(1)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上，若点A 在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C的标准方程为()A.(x－2)2＋(y＋4)2＝4B.(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C.(x－2)2＋(y－4)2＝4D.(x－2)2＋(y－4)2＝16(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A.2 3B.4 3C.3 6D.4 6答案(1)D(2)B解析(1)∵圆C的圆心在直线y＝2x上，∴可设圆心C的坐标为(a，2a).∵圆C与x轴正半轴相切于点A，∴a>0，且圆C的半径r＝2a，A(a，0).∵点A到直线x－y－4＝0的距离d＝2，|a－0－4|＝2，解得a＝6或a＝2，∴d＝1＋1∴A(2，0)或A(6，0).∵点A在直线x－y－4＝0的左上方，∴A(2，0)，∴C(2，4)，r＝4，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.(2)以甲、乙两地所在直线为x轴，甲、乙两地所连线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设甲、乙两地的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，丙地坐标为(x，y)(y≠0)，则（x＋2）2＋y2＝3·（x－2）2＋y2，整理得(x－4)2＋y2＝12(y≠0)，可知丙地所在的圆的半径为r＝2 3.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为12×4×23＝4 3.探究提高 1.求圆的方程主要方法有两种：(1)几何法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程时，若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，否则选择圆的一般方程.2.第(2)题是一道以阿波罗尼斯圆为背景的数学应用问题，解题关键是先利用题设条件给出的关系式，求出阿波罗尼斯圆的方程，然后应用圆中的几何量求解三角形信号覆盖区域的最大面积.温馨提醒解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.【训练2】 (1)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4 B.5 C.6D.7(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________. 答案 (1)A (2)x 2＋(y －3)2＝10解析 (1)由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min ＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.(2)∵P (3，4)为C 上一点，∴9m －162＝1， 解得m ＝1，则B (1，0)，A (－1，0)， ∴k PB ＝4－03－1＝2，BP 的中点为(2，2)，PB 的垂直平分线方程为l 1：y ＝－12(x －2)＋2， AB 的垂直平分线方程为l 2：x ＝0，则圆心是l 1与l 2的交点M ，联立l 1与l 2方程， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10，∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 热点三 直线(圆)与圆的位置关系 考向1 圆的切线问题【例3】 (1)已知直线y ＝kx ＋b (k ＞0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝__________，b ＝________.(2)若斜率为3的直线与y 轴交于点A ，与圆x 2＋(y －1)2＝1相切于点B ，则|AB |＝________.(3)直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝4的切线，且直线l 过点A (3，－1)，点Q 是直线l 上的动点，过点Q 作圆M ：x 2＋43x ＋y 2＝0的切线QT ，T 为切点，则线段QT 的长度的最小值为________.答案 (1)33 －233 (2)3 (3)13解析 (1)由题意知，直线kx －y ＋b ＝0(k ＞0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|b |k 2＋1＝1，①|4k ＋b |k 2＋1＝1，②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.(2)设直线AB 的方程为y ＝3x ＋b ，则点A (0，b ).由于直线AB 与圆x 2＋(y －1)2＝1相切，且圆心为C (0，1)，半径为1， 则|b －1|（3）2＋（－1）2＝1，解得b ＝－1或b ＝3，所以|AC |＝2.因为|BC |＝1，故|AB |＝|AC |2－|BC |2＝ 3.(3)因为A (3，－1)的坐标满足圆O 的方程，所以点A 在圆O 上.连接OA ，易知l ⊥OA ，k OA ＝－13，所以k l ＝3，所以过点A 的切线l 的方程为3x －y －4＝0. 由x 2＋43x ＋y 2＝0，得(x ＋23)2＋y 2＝12， 易知圆M 的圆心为(－23，0)，半径为2 3.连接MT ，MQ ，在Rt △MQT 中， |QT |＝|MQ |2－|MT |2＝|MQ |2－12.因为|MQ |的最小值是点M 到直线l 的距离d ， d ＝|3×（－23）－0－4|（3）2＋（－1）2＝5，所以线段QT 的长度的最小值为|QT |min ＝52－12＝13.探究提高 1.过一点求圆的切线，要考虑此点是在圆上还是在圆外.若点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，此时过圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上一点(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)上一点(x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；若点(x 0，y 0)在圆外，则切线有两条.2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，但一定要注意斜率不存在的情形.【训练3】 (1)过点D (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线的方程为( ) A.2y －1＝0 B.2y ＋1＝0 C.x ＋2y －1＝0D.x －2y ＋1＝0(2)(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的值可以是( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)AB解析 (1)由圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的方程可知其圆心为C (1，0)，半径为1. 连接CD ，以线段CD 为直径的圆的方程为(x －1)(x －1)＋(y ＋2)(y －0)＝0， 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.将两圆的方程相减，可得公共弦AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0.(2)由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2.过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC ，则四边形PACB 为正方形，所以|PC |＝2r ＝22，则圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，所以实数k 的取值可以是1，2.故选AB. 考向2 直线与圆的弦长问题【例4】 在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2， ①y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22， ②又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.【训练4】 (1)已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝9，过点M (1，1)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则弦长|AB |最短时直线l 的方程为( ) A.2x －y －1＝0 B.x ＋2y －8＝0 C.2x －y ＋1＝0D.x ＋2y －3＝0(2)(多选)关于圆C ：x 2＋y 2－kx ＋2y ＋14k 2－k ＋1＝0，下列说法正确的是( ) A.k 的取值范围是k >0B.若k ＝4，过M (3，4)的直线l 与圆C 相交所得弦长为23，则l 的方程为12x －5y －16＝0C.若k ＝4，则圆C 与圆x 2＋y 2＝1相交D.若k ＝4，m >0，n >0，直线mx －ny －1＝0恒过圆C 的圆心，则1m ＋2n ≥8恒成立答案 (1)D (2)ACD解析 (1)根据题意，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝9的圆心C 为(2，3)，半径r ＝3， 当CM 与AB 垂直时，即M 为AB 的中点时，弦长|AB |最短， 此时k CM ＝3－12－1＝2，则k AB ＝－12，此时直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，变形可得x ＋2y －3＝0. (2)对于A ，由(－k )2＋22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14k 2－k ＋1＝4k >0，得k >0，故A 正确；对于B ，当k ＝4时，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(2，－1)，半径r ＝2，M 在圆外，因此过M (3，4)与圆相交所得弦长为23的直线有两条，故B 错误；对于C ，由B 知，圆C 的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2.因为(2，－1)与(0，0)间的距离为5，2－1<5<2＋1，所以两圆相交，故C 正确；对于D ，由直线mx －ny －1＝0过圆心，得2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8，当且仅当n ＝2m ＝12时等号成立，故D 正确.故选ACD.一、选择题1.设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行， 则⎩⎪⎨⎪⎧2λ（1－λ）＝6（λ－1），2λ×（－4）≠6×（－1），解得λ＝－3或λ＝1. 又“λ＝－3”是“λ＝－3或λ＝1”的充分不必要条件，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件.2.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线 答案 A解析 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点A ，B 分别为(－a ，0)，(a ，0)(a >0)，点C 为(x ，y )， 则AC→＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )， 所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1. 因此点C 的轨迹为圆.故选A.3.(多选)已知直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 可能的取值为( ) A. 2 B.3 2 C.－3 2 D.－ 2答案 AD解析 直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.由圆的半径为2，又圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于1，则|a |2＝1，a ＝±2.故选AD.4.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.455答案 B解析 因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上， 所以可设圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)， 则(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，解之得a ＝1或a ＝5. 所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255或d ＝|2×5－5－3|5＝255.5.已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4，0)，则|PA →＋PB→|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C.226＋4 D.226＋2答案 C解析 取AB 中点D (2，－3)，则PA→＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|＝2|PD →|， 又由题意知，圆C 的圆心C (1，2)，半径为2，|PD →|的最大值为圆心C (1，2)到D (2，－3)的距离d 与半径r 的和， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2，∴2|PD→|的最大值为226＋4， 即|PA→＋PB →|的最大值为226＋4. 6.(多选)已知直线l ：ax ＋by －r 2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝r 2，点A (a ，b )，则下列说法正确的是( )A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 答案 ABD解析 圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b2.若点A (a ，b )在圆C 上，则a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2＝|r |，则直线l 与圆C相切，故A 正确；若点A (a ，b )在圆C 内，则a 2＋b 2<r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2>|r |，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点A (a ，b )在圆C 外，则a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2<|r |，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点A (a ，b )在直线l 上，则a 2＋b 2－r 2＝0即a 2＋b 2＝r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2＝|r |，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选ABD.7.若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1 D.y ＝12x ＋12答案 D解析 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①. 设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0>0)， 则y ′|x ＝x 0＝12x －12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③.由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x －12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去).所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12. 二、填空题8.已知△ABC 的顶点坐标分别为A (3，4)，B (6，0)，C (－5， －2)，则内角A 的平分线所在直线的方程为________.答案 7x －y －17＝0解析 法一 由题意，得|AC |＝10，|AB |＝5.设内角A 的平分线交BC 于点D ，则由角平分线定理得|CD ||DB |＝|AC ||AB |＝2，即CD →＝23CB →，可求得D⎝ ⎛⎭⎪⎫73，－23，从而k AD ＝7，所以直线AD 的方程为7x －y －17＝0. 法二 AB→＝(3，－4)，AC →＝(－8，－6)，所以△ABC 的内角A 的平分线所在直线的方向向量为AP →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝15(3，－4)＋110(－8，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－75，所以所求直线的斜率为7，所以所求直线的方程为y －4＝7(x －3)，即7x －y －17＝0. 9.已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为________________. 答案 x ＋y －3＝0解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9， ∴圆C 的圆心C (4，1)，半径r ＝3. 又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3，0)，则当直线l 与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短. 因此a ·k CP ＝a ·1－04－3＝－1，∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.10.已知曲线y ＝－x 2＋4x －3与直线kx －y ＋k －1＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34解析 曲线y ＝－x 2＋4x －3整理得(x －2)2＋y 2＝1(y ≥0)，则该曲线表示圆心为(2，0)，半径为1的圆的上半部分，直线kx －y ＋k －1＝0过定点A (－1，－1). 如图，当k ∈[k 1，k 2)时，曲线与直线有两个不同的交点，易得k 1＝12，k 2＝34，所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，34.11.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，设点P (t ，4)为直线y ＝4上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 所过定点的坐标为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).因为M 是切点，在圆上，所以以点M 为切点的切线方程为x 1x ＋y 1y ＝1， 因为P (t ，4)在切线PM 上，所以tx 1＋4y 1＝1， 所以切点M (x 1，y 1)在直线tx ＋4y ＝1上， 同理，切点N (x 2，y 2)也在直线tx ＋4y ＝1上， 所以直线MN 的方程为tx ＋4y ＝1， 故直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.三、解答题12.已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线m ：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点. (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程.解 (1)易知点A (－1，2)到直线x ＋2y ＋7＝0的距离为圆A 的半径r ，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)记MN的中点为Q，则∠MQA＝90°，且|MQ|＝19，在Rt△AMQ中，|AQ|＝|AM|2－|MQ|2＝1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，显然x＝－2符合题意，当直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y＝k(x＋2)，由点A(－1，2)到l的距离为1，得|－k－2＋2k|k2＋1＝1，解得k＝34.∴所求l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝－2.13.(多选)已知点A是直线l：x＋y－2＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是()A.(0，2)B.(1，2－1)C.(2，0)D.(2－1，1)答案AC解析如图所示，坐标原点O到直线l：x＋y－2＝0的距离d＝212＋12＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值.连接OP，OQ，OA，当∠PAQ＝90°时，又∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝2|OP|＝2.设A(t，2－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝t2＋（2－t）2＝2，整理得2t2－22t＝0，解得t＝0或t＝2，因此，点A的坐标为(0，2)或(2，0).故选AC.14.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.又已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，OM，由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.。
高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)
专题：直线与圆1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝14．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0D ．2x －y ±5＝05．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2B ．2C ．22D ．426．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0C ．x 2＋y 2－2y ＝0D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝07．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )． A ．30B ．18C ．62D ．528．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2D ．(a ＋b )2＝2r 29．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )． A ．14或－6B ．12或－8C ．8或－12D ．6或－1410．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )． A ．453B ．253 C ．253 D ．21311．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x ＝a 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则a 的值是_________． 13．直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长为_________．14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．参考答案一、选择题 1．A解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2＋ 1 ＋ 2)()(＝13． 因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9， 所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 －＋ 2 ＋ 2)()(＝5． 因为r 1＝2，r 2＝3，所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由221＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心． 所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ． 依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直． 因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)， 所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0．(第6题)解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32． 设圆心到直线的距离为d ，d ＝210＞r ，所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2． 化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0． 由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得221＋ 34 － ＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，所以c ＝14或－6． 10．C解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛3 ，23 ，2， 所以|CM |＝2220 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(⎪⎭⎫⎝⎛＝253． 二、填空题11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)． 令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)． 所以AB 的中点，即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2， －． 因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋223 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛y ＝425．即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切， 所以a 的值是0或2．解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3． 所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．解析：由2221 － ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2＝36．所以z ＝7，或－5． 15．22．解析：如图，S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝21|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22． 三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上． 则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3． 由⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋，－＝023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧．－ ＝，＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 －＋ 1 － 2)()(＝2． 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝21． 所以点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，21 ，1， (第15题)又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1，，． 18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0． 又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧，＝－，＝－－00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧，＝＋，＝－－00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧，＝，44b a ＝或⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 － － 2k k ＝2， 解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2， 所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )， 圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |，(第19题)设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2， 设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7． 在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2． 解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．。
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
高二圆锥曲线专题
②存在直线l, 使得集合Ω中存在无数点在l 上；
()
A.① 成立②成立 B.① 成立②不成立 C.① 不成立②成立 D.① 不成立②不成立
22. (2021 ·北京)已知直线y=kx+m(m
的最小值为2,则m=
A.±1
B.±√2
为常数)与圆x²+y²=4 交于M,N, 当k 变化时，若|MN ()
C.±) 已 知OM:x²+y²-2x-2y-2=0,
直 线l:2x+y+2=0,P
为l 上的动点 . 过
点P 作 ⊙M 的切线PA,PB, 切点为A,B, 当 |PM|·|AB| 最小时，直线AB 的方程为 ( )
A.2x-y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
8
C.
口
19.(2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与
圆(x+1)²+(y-2)²=5 相切，且与直线ax+y-1=0 垂直，则实数a的 值 为 ( )
A
B
C.1
D.-1
20.若直线1:kx-y+3k=0与曲线c:√ 1-x²=y-1 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()
D.√ 14
11. (2023·新高考I) 过点(0,-2)与圆x²+y²-4x-1=0
A.1
B
心
相切的两条直线的夹角为α,则sina=
()
口
12. (2022 ·北京)若直线2x+y-1=0
A
B
是圆(x-a)²+y²=1 C.1
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题(WORD版含答案)
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题（WORD 版含答案）一、选择题1.点M ，N 是圆22240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于A ．．3 2.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．。
其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则△ADG 为黄金三角形。
根据上述作法，可以求出cos36°= A ．415-B ．415+ C ．435+ D ．435-3.已知实数a ，b 满足224a b +=，则ab 的取值范围是 A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．(－∞,－2]∪[2,+∞)D ．[－2,2]4.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213y x -= B ．22139x y -=C ．22125x y -= D ．221412x y -= 5.若直线与圆有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. [－3,－1]B. [－1,3]C. [－3,1]D. （－∞,－3]∪[1,+∞）6.直线20x y -与y 轴的交点为P ，点P 把圆()22136x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),00A m Bm m ->,．若圆．．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．．90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )．A ．．．7B ．．．．6C ．．．．5D ．．．．4．8.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),,00A m B m m ->．． 若圆．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．． 90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )． A ．．．7 B ．．．．6 C ．．．．5 D ．．．．4．9.若函数1)(2+=x x f 的图象与曲线C :()01)(>+=a ae x g x存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，26e B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛28,0e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，22e D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛24,0e 10.已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||||-=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 A ．2 B ．±2 C ．－2D ．2±11.已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P 、Q 分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A 1B ． 2C ．．1函数()e cos xf x x =的图象在(0,f (0))处的切线倾斜角为（ ） A. 0 B . 4π C. 1 D .2π 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：1222=+y x 和C 2：1422=+y x ，又A 点坐标为(3,－1)，M ，N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个 14. 曲线11x y x +=-在点(2,3)处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．－2D ．215.已知过点A (a ,0)作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是A ．(－∞,－4)∪(0,+∞)B ．(0,+∞)C ．(－∞,－1)∪(1,+∞)D ．(－∞,－1) 16.若点P (1,1)为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 17.直线2x －y 与y 轴的交点为P ,点P 把圆22(1)36x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A. 2B. 3C. 4D. 518.若函数1()(0,0)bxf x e a b a=->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）C.2D.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．220.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．221.若直线y x b =+与曲线096422=+--+y x y x 有公共点,则b 的取值范围是( )A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤-⎣⎦22.已知直线4x －3y +a =0与⊙C : x 2+y 2+4x =0相交于A 、B 两点，且∠AOB =120°，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或 21 D ．3或13 23.过点（2，1）且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为A ．2x -3y -1=0B ．2x +3y -7=0C ．3x -2y -4=0D ．3x +2y -8=0 24.若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3b 的取值范围是A ．[1,1-+B ．[1-+C ．[1-D ．[1 25.已知动圆圆心在抛物线y 2=4x 上，且动圆恒与直线x=－1相切，则此动圆必过定点（ ）A. (2,0)B. (1,0)C. (0,1)D.(0,－1) 26.已知曲线421y x ax =++在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)= A ．7B ．－4C ．－7D ．427.已知点(1,2)P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是（ ）A ．RB ．(,)3-∞C ．(33-D ．(3- 28.已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则cos2θ的值为 （ ） A ．35 B ．35- C ．15 D ．15- 29.我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（ ） P 1:对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；P 2:如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； P 3:圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； P 4:圆的太极函数均是中心对称图形； P 5:奇函数都是太极函数； P 6:偶函数不可能是太极函数. A. 2B. 3C.4D.530.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程4)3()1(22=-+-y x ，则点P 的轨迹经过（）A. 第一、二象限B.第二、三象限C. 第三、四象限D.第一、四象限 31.直线1-=x y 的倾斜角是（）A.6π B.4π C. 2π D.43π32.已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（）A.内含B.外离C.相交D.相切 33.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则原点O 到直线l 的距离是A.12D.234.过点()1,1P -作圆()()()22:21C x t y t t R -+-+=∈的切线，切点分别为A,B ，则PA PB ⋅的最小值为A. 103B. 403C. 214D.3 35.已知函数()ln ,f x x x =若直线l 过点(0,－1),且与曲线()y f x =相切,则直线l 的方程为 A.10x y +-= B.10x y ++= C.10x y --= D.10x y -+= 36.圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A ．11(,)23B ．21(,)33C ．11(,)32D ．12(,)3337.过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆C 1：22(5)4x y ++=和圆C 2：222(5)x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1B ．2 38.已知l 1，l 2分别是函数()|ln |f x x =图像上不同的两点P 1，P 2处的切线，l 1，l 2分别与y 轴交于点A ，B ，且l 1与l 2垂直相交于点P ，则△ABP 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C. (0,+∞) D ．(1,+∞) 39.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则△ABP 面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．40.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）441.若圆1C ：2222()(2)410x m y n m n -+-=++（0mn >）始终平分圆2C ：22(1)(1)2x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．92C.6 D ．9 42.函数()2ln (0,)f x x x bx a b a =+-+>∈R 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．243.己知直线1:sin 10l x y α+-=，直线212:3cos 10,sin 2=l x y l l αα-+=⊥若，则 A ．23B ．35±C ．35-D ．3544.若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．]221,221[+- B ．]3,221[- C ．]221,1[+- D ．]3,221[- 45.已知点)3,1(A ，)33,1(-=B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°二、填空题46.若直线20l x y +=：与圆()()22:10C x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为___________． 47.在四边形ABCD 中，︒=∠90ABC ，2==BC AB ，△ACD 为等边三角形，则△ABC 的外接圆与△ACD 的内切圆的公共弦长=___________. 48.设圆O 1，圆O 2半径都为1，且相外切，其切点为P ．点A ，B 分别在圆O 1，圆O 2上，则PA PB ⋅的最大值为 ▲ ．49.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ※※ . 50.已知a ，b 为正数，若直线022=-+by ax 被圆422=+y x 截得的弦长为32，则221b a +的最大值是 .51.已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ，若l 与圆()22:31C x y -+=a = ． 52.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 53.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ． 54.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =的值域是[]0,1；⑤()2π1d 2f x x +=⎰．其中判断正确的序号是__________．55.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P 作圆O 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得23=+，则实数a 的取值范围是 . 56.已知函数a x y +=ln 的图象与直线1+=x y 相切，则实数a 的值为 . 57.函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 58.已知直线:1l mx y -=。
2020年高考数学二轮复习小题押题(12+4)专题精讲特训12-直线与圆(求准度,提速度)
2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）专题精讲特训12（求准度，提速度）小题押题16—(12)⎪⎪直线与圆考查点一 直线方程及应用1．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 由题意知直线AB 的方程为x ＋y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故选B. 考查点二 圆的方程2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，由圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1可知|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43.3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析：选B 在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213. 4．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254考查点三 直线与圆的位置关系5．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10解析：选C 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0， 设M (0，y 1)，N (0，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20， 所以|MN |＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.6．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积S ＝π×22＝4π. 答案：4π7．(2014·全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]速解——圆的方程圆的3种方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．[题组突破]1．(2017·长沙模拟)与圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 法一：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为2. 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.法二：由于两圆关于直线对称，因此两圆心的连线必与该直线垂直，则两圆心连线的斜率为－3，备选项中只有选项D 中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为－3，故选D.2．圆心在直线x ＋2y ＝0上的圆C 与y 轴的负半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦长为26，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －22)2＋(y ＋2)2＝8B ．(x －2)2＋(y ＋22)2＝8C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝8D ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝8解析：选A 法一：由题意，可设圆C 的半径为r ，则圆心为⎝⎛⎭⎫r ，－r 2(r ＞0)，由勾股定理，得(6)2＋⎝⎛⎭⎫r22＝r 2， 解得r ＝22，∴圆心为(22，－2)， ∴圆C 的标准方程为(x －22)2＋(y ＋2)2＝8.法二：四个圆的圆心分别为(22，－2)，(2，－22)，(2，－2)，(2，－2)，将它们逐一代入x ＋2y ＝0，只有A 选项满足，故选A.3．(2017·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2. 答案：x 2＋(y －1)2＝2 [解题方略]稳解——直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系1．判定直线与圆位置关系的2种方法 (1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法．把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0[解析] 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝ 3.[答案] D(2)(2017·广州一模)已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AB ―→·AB ―→＝32，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(－x 1，－y 1)，AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 故Δ＝4m 2－8(m 2－1)＝8－4m 2＞0，即－2＜m ＜2， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2. 又AB ―→·AB ―→＝－x 1x 2－y 1y 2＋x 21＋y 21＝32， 故x 1x 2＋y 1y 2＝－12，故2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝－12，即m 2－1－m 2＋m 2＝－12，解得m ＝±22.[答案] C [解题方略]1．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 由题意得，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2. 因为直线l 为圆C 的对称轴， 所以圆心在直线l 上， 则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6.2．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0交于M ，N 两点．若OM ―→·ON ―→＝12，其中O 为坐标原点，则|MN |＝( )A ．2B ．4 C. 3D ．2 3解析：选A 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －3)2＝1，其圆心为(2,3)，将y ＝kx ＋1代入方程x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，整理得(1＋k 2)x 2－4(k ＋1)x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝4(k ＋1)1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8，由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心(2,3)恰在直线l 上，所以|MN |＝2.考法(二) 与圆有关的最值、范围问题(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[典例] (1)(2017·天津模拟)设M 是圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上的点，直线l ：3x ＋4y －2＝0，则点M 到直线l 距离的最大值为( )A ．8B ．6C ．5D ．2[解析] 圆心(5,3)到直线l 的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5，所以点M 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5＋3＝8.[答案] A(2)(2017·兰州模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3][解析] 依题意，设点P (3＋cos θ，1＋sin θ)， ∵∠APB ＝90°，∴AP ―→·BP ―→＝0，∴(3＋cos θ＋t )(3＋cos θ－t )＋(1＋sin θ)2＝0， 得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[－1,1]，∴t 2∈[1,9]， ∵t ＞0，∴t ∈[1,3]． [答案] D [解题方略]1．(2018届高三·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.2．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 B.⎝⎛⎭⎫2－22，2＋22 C ．[2－2，2＋2]D.()2－2，2＋2解析：选A 圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°.在Rt △PAO 中，|PO |＝2，又圆M 的半径为1，圆心坐标为M (a ，a －4)， ∴|MO |－1≤|PO |≤|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2， ∴a 2＋(a －4)2－1≤2≤ a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22.1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 若a ≠0，则由l 1∥l 2，得a ＋11＝－a 2a ，所以2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，则l 1∥l 2.所以a 的值为－32或0.2．在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1,2)成中心对称，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选B 由题意得圆心(0,1)与点P (1,2)的连线垂直于直线AB ，所以k AB ·2－11－0＝－1，解得k AB ＝－1.而直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.3．(2017·沈阳一模)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.4．(2017·菏泽一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( ) A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝112＋(－3)2＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2.5．(2017·惠州三调)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝3，即d ＝|－a |2＜3，解得－32＜a ＜3 2.6．(2018届高三·湖北八校联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，故直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆心(1,2)，即a ＋2b ＝6.又6＝a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时取等号，故ab 的最大值为92.7．(2017·西安模拟)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x －a )2＋(y －b )2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为( )A ．2 5B ．5 2C ．4D ．8解析：选B ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝(x ＋2)2＋(0－4)2＋(x ＋1)2＋(0－3)2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝(－1＋2)2＋(3＋4)2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为( )A ．－1或1B ．0或－43C ．1D ．－1解析：选A 设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2，k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝⎛⎭⎫k ＋b x 1⎝⎛⎭⎫k ＋b x 2 ＝k 2＋kb ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b2x 1x 2＝k 2＋kb ⎝⎛⎭⎫－2kb b 2－4＋b 2(1＋k 2)b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4， 由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1.12．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝3，∴|AC |2＋|BD |2＝4(4－|OP |2)＋4(4－|OQ |2)＝20.又|AC |2＋|BD |2≥2|AC |·|BD |，则|AC |·|BD |≤10，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5， 当且仅当|AC |＝|BD |＝10时等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为5.故选A.13．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32， 解得x ＝1或x ＝277. 即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 14．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意得圆的半径为4，因为△ABC 是直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，即|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.答案：－115．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，由题意，设A (a ，ka )，B (2a ，2ka )，将A 点坐标代入圆C 的方程得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0.①记AB 中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ， 所以CD ⊥AB ，所以32ka32a －3＝－1k .②联立①②，解得⎩⎨⎧ a ＝54，k ＝±155， 可得点D 坐标为⎝⎛⎭⎫158，±3158， 所以圆心C 到直线l 的距离为|CD |＝ ⎝⎛⎭⎫158－32＋⎝⎛⎭⎫31582＝364. 答案：36416．(2017·云南模拟)已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，圆心C 关于直线x ＋y ＝0的对称点为M ，过点M 的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意知，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C 的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2＜5，所以点M 位于圆C 内，当点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时，|EF |最小，其最小值等于2(5)2－(2)2＝2 3.答案：2 3。
2020版新高考数学二轮复习：第二部分 专题五 第1讲 直线与圆 Word版含解析
第1讲 直线与圆[做真题]题型一 圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x－32)2＋y 2＝254. 答案：(x －32)2＋y 2＝2543．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝46，故选C.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.答案：4[山东省学习指导意见]1．直线与方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．2．圆与方程(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． (2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．空间直角坐标系了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．直线的方程 [考法全练]1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C ．2±52D ．2＋52或0解析：选A.因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.故选A. 2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0D ．4解析：选B.因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝05．(一题多解)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是________．若直线l 3与l 关于点(1，1)对称，则直线l 3的直线方程是________．解析：法一：l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任意一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上的一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则 ⎩⎨⎧x 2－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，故可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2. 所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0.法二：设l 2上任一点为(x ，y )，其关于l 的对称点为(x 1，y 1)，则由对称性可知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12－y ＋y 12－1＝0，y －y1x －x 1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1.因为(x 1，y 1)在l 1上，所以2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2. 所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0. 答案：x －2y －1＝0 x －y ＋1＝0(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法圆的方程 [典型例题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．【解】 由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0， 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝⎛⎭⎫25，45.求圆的方程的2种方法[对点训练]1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2，0)D ．⎝⎛⎭⎫－2，23 解析：选D.若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4解析：选A.设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2＋b 2＝r 2①，(a －2)2＋b 2＝r 2②，ba －2＝1③，联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选A.3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C.圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C.直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一 切线问题已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．⎝⎛⎭⎫12，14B ．⎝⎛⎭⎫14，12C ．⎝⎛⎭⎫34，0D ．⎝⎛⎭⎫0，34【解析】 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为P A ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎫2－m ，m2，且半径的平方r 2＝（4－2m ）2＋m 24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝（4－2m ）2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫14，12.故选B. 【答案】 B过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．命题角度二 弦长问题已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即（a ＋2）2＋（a －0）2＝（a －0）2＋（a －2）2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21， 所以S ＝12|PQ |·|MN |＝12×2×4－d 2×2×4－d 21 ＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝⎛⎭⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立， 所以四边形PMQN 面积的最大值为7.求解圆的弦长的3种方法命题角度三 直线与圆的综合问题已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值．【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上， 故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋（a －2）2， 所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.(3)证明：当直线P A 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线P A 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)， 直线P A 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝⎛⎭⎫2x 02－y 0，0.直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝⎛⎭⎫0，2y 02－x 0.所以|AN |·|BM |＝⎝⎛⎭⎫2－2y 02－x 0⎝⎛⎭⎫2－2x 02－y 0＝4＋4⎣⎡⎦⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×y 20－2y 0＋x 20－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 04－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，综上，|AN |·|BM |为定值8.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________________，圆C被x轴截得的弦长为________________．解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x ＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×（42）2－42＝8.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝083．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，3)，N(1，－3)．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)因为圆C过点M(1，3)，N(1，－3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，故设圆心为C(a，0)，易知a>0，又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝a，所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.因为点M(1，3)在圆C上，所以(1－a )2＋(3)2＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)， 则其方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y ，得(k 2＋1)x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4k 2＋1.所以A ⎝⎛⎭⎫4k 2＋1，4kk 2＋1.由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k ，直线OB 的方程为y ＝－2k x ，在点A 的坐标中用－2k 代替k ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋4，－8k k 2＋4. 当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.当直线l 的斜率存在时，4k 2＋1≠4k 2k 2＋4，即k 2≠2.则直线l 的斜率为4kk 2＋1－－8k k 2＋44k 2＋1－4k 2k 2＋4＝4k （k 2＋4）＋8k （k 2＋1）4（k 2＋4）－4k 2（k 2＋1）＝3k （k 2＋2）4－k 4＝3k2－k 2. 故直线l 的方程为y －4k k 2＋1＝3k 2－k 2⎝⎛⎭⎫x －4k 2＋1.即y ＝3k 2－k 2⎝⎛⎭⎫x －43，所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫43，0. 综上，直线l 恒过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫43，0.一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A.由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(多选)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：选AC.圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1，0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分不必要条件，即求其真子集，故由选项易得AC 符合，故选AC.5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝⎛⎭⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0. 法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k 2＝1，解得k ＝0. 二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12， 当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22， 于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )， 由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2， 整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝⎛⎭⎫t ＋22，t －22， 由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝⎛⎭⎫t ＋22－12＋⎝⎛⎭⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝⎛⎭⎫t 22＋⎝⎛⎭⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3， 所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2（x －x22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34， 所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上， 所以设圆心C 为(a ，2a －4)， 又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有 x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.。
高中数学专题圆的方程：8+2个问题
圆的方程终极训练：10个常考热点问题类型1、标准方程知识梳理：1.若圆C的圆心落在直线y=2x上，且该圆与x轴相切，半径r=4，则圆C的方程是___________________2.类型2、一般方程知识梳理：1.2.3.已知圆的方程为2x²+2y²+2x+my+6=0，则m的范围是_____________.类型3、轨迹方程知识梳理：1.已知平面上有一动点P,点A(-2,0),点B(6,0),且满足PA⊥PB，求动点P所在的轨迹方程？2.已知圆的方程为x²+y²=4，点A(4,0)，动点P在圆上，连结PA,点M是PA的中点，求点P的轨迹方程？类型4、点与圆的位置关系知识梳理：1.已知圆的方程为（x+1)²+(y-2）²=10，A、B、C、D四点的坐标分别为（0，3），（-2，-1），（3，4），（15 ，8），试判断这四点与圆的位置关系分别是什么？2.已知圆的方程为x²+(y+2）²=4，点A(1,m)在圆外，求m的范围？类型5、直线与圆的位置关系知识梳理：举一反三：在上一问题中，把“相切”改为“相交”，其他条件不变，求a的范围？类型6、圆与圆的位置关系、公切线知识梳理：类型7、求切线方程知识梳理：类型8、弦的有关计算：弦长，弦所在直线方程，公共弦知识梳理：求直线AB的方程及AB的弦长？类型9、直线、圆有关对称问题知识梳理：类型10、圆有关最值问题知识梳理：1.已知圆的方程为（x+1)²+y²=4，点A（-2，-1），点B(2,2),试在圆上找一动点P,分别求PA的最小值和PB的最大值各是多少？2.已知圆的方程为（x+1)²+(y-2）²=10，A的坐标分别为（0，3），求过点A的最大弦长和最小弦长分别是多少？。
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直线和圆的方程专题训练
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1、直线30x y -+=的倾斜角是
A 、300
B 、450
C 、600
D 、900
2、直线123=-y
x 的斜率是
A 、
3
2 B 、3
2-
C 、
2
3 D 、2
3-
3、若直线ax+by+c=0在第一、二、四象限，则有
A 、ac>0,bc>0
B 、ac>0,bc<0
C 、ac<0,bc>0
D 、ac<0,bc<0
4、平行直线12
1
-=x y 与012=+-y x 之间的距离等于
A 、
55
2 B 、
5
5
3 C 、
5
2 D 、
5
3 5、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
A 、⎪⎩⎪
⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x
B 、⎪⎩⎪
⎨⎧≥-+≥--≤-+0623063201232y x y x y x
C 、⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x
D 、⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤--≥-+0623063201232y x y x y x
6、圆k k y kx y x 那么实数与两坐标轴无公共点，)0(022222>=++-+的取值范围 A 、20<<k
B 、21<<k
C 、10<<k
D 、2>k
7、设△ABC 的一个顶点是A （3，－1），∠B ，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程
是
A 、y=3x+5
B 、y=2x+3
C 、y=2x+5
D 、2
5
2+-
=x y 8、过圆C ：422=+y x 上两点A （)1,3及B （1，3）所作的两条切线的夹角是
A 、
6
5π B 、
3
π C 、
2
π D 、
6
π 9、从直线l ：03=+-y x 上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线，则切线长的最小值为
A 、
2
2
3 B 、
2
14 C 、
4
2
3 D 、
12
2
3- 10、已知),(),,(222111y x P y x P 分别是直线l 上和直线l 外的点，若直线l 的方程是
0),(=y x f ，则方程0),(),(),(2211=--y x f y x f y x f 表示 A 、与l 重合的直线 B 、过P 2且与l 平行的直线
C 、过P 1且与l 垂直的直线
D 、不过P 2但与l 平行的直线
11、M （),00y x 为圆)0(222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线2
00a y y x x =+与该圆的位置
关系为
A 、相切
B 、相交
C 、相离
D 、相切或相交
12、曲线()
2412≤-+=x x y 与直线()42+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是
A 、⎥⎦⎤
⎝
⎛43125， B 、⎪⎭⎫
⎝
⎛43125， C 、⎪⎭
⎫
⎝⎛4331，
D 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛1250，
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13、直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a ＝___________.
14、参数方程⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
++=λλλλ1121y x （λ
为参数），则它的普通方程为________________________．
15、如果实数的最大值那么满足等式x
y
y x y x ,3)2(,22=+- ． 16、已知集合A ＝｛(x ,y )｜
1
3
--x y ＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x ,y )｜4x +ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若 A ∩B ＝φ，则实数a 的值为 ．
三、解答题：（本大题共4小题，共36分）
17、等腰三角形ABC 的顶点)0,2(),0,1(的坐标为
底边一端点B A -，求另一端点C 的轨迹方程.
18、直线l 在x 轴与y 轴上的截距相等，且到点()43，
P 的距离恰好为4，求直线l 的方程.
19、若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。
20、某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲤鱼，现知放养这两种鱼苗时都
需要鱼料A 、B 、C ，每千克鱼苗所需饲料量如下表：
如果这两种鱼长到成鱼时，鲫鱼和鲤鱼分别是当时放养鱼苗重量的30倍与50倍，目前这位承包户只有饲料A 、B 、C 分别为 120g 、50g 、144g,问如何放养这两种鱼苗，才能使得成鱼的重量最重．
数学参考答案
一、选择题：BADB ABCD BBCA 二、填空题：13.3
2
- 14.)2(1≠=-x y x 15.3 16.4或-2 三、解答题
17.)0(9)1(22≠=++y y x
18．0724=+y x ，0247=--+y x ，0247=+-+y x
19．设圆心为()b a ，，∵圆与x 轴相切，∴圆的方程为()()222b b y a x =-+-．
又圆过()10，
A 、()m
B ，4， 所以： ()()()()()
01681016280124122222
2
22222=+-+--⇒⎪
⎩⎪⎨⎧=++--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+m m a a m m mb a a b a b m b a b b a ，，
，， 由于满足条件的圆有且只有一个，故0=∆，得1=m 或0=m ．
当1=m 时，圆的方程为()4252522
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+-y x ；
当0=m 时，圆的方程为()428921742
2
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+-y x ． 20．解：设放养鲫鱼x kg,鲤鱼ykg,则成鱼重量为)0,(5030≥+=y x y x w ,
其限制条件为 1441885055120
815≤+≤+≤+y x y x y x
画出其表示的区域（如图），不难找出使30x +50y 最大值为428kg.
答：鲫鱼放养3.6kg,鲤鱼放养6.4kg,
此时成鱼的重量最重．
x。