椭圆精选高考真题

椭圆

一、选择题

1.（2014·福建高考文科·Ｔ12）在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为

121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的

定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12

F F ）的点的轨迹可以是 （ ）

【解题指南】本题是新定义问题，考查学生分析问题、解决问题的能力．

【解析】选A.以线段12F F 的中点为坐标原点，12F F 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系． 不妨设12(,0),(,0),(,)F c F c P x y -，则0c >．

由题意2x c y x c y a +++-+=（2a 为定值），整理得22x c x c y a ++-+=．

当x c ≤-时，方程化为222x y a -+=，即y x a =+，即,0,0y x a y y x a y =+≥⎧⎨=--<⎩

．

当x c ≥时，方程化为222x y a +=，即y x a =-+，即,0

,0

y x a y y x a y =-+≥⎧⎨

=-<⎩．

当c x c -<<时，方程化为222c y a +=，即y c a =-+．所以A 图象符合题意．

2.（2014·福建高考理科·Ｔ9）．设Q P ,分别为圆()262

2

=-+y x 和椭圆110

22

=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）

A.25

B.246+

C.27+

D.26

【解题指南】两动点问题，可以化为一动一静，因此考虑与圆心联系． 【解析】D.圆心M (0,6)，设椭圆上的点为(,)Q x y ， 则22222(6)1010(6)91246MQ x y y y y y =+-=-+-=--+，

当2

[1,1]3

y =-

∈-时，max 52MQ =．所以max 52262PQ =+=．

二、填空题

3. （2014·辽宁高考文科·Ｔ1５）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ1５）相同

已知椭圆22:1

94x y C +=，点M 与点C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN

的中点在C 上， 则

___

AN BN +=

【解析】

根据题意，椭圆的左右焦点为

12(F F ，由于点M 的不确定性，不妨令其为椭圆的

左顶点(3,0)M -,线段MN 的中点为椭圆的上顶点(0,2)H ，则M 关于C

的焦点的对称点分别为

(3,0),3,0)A B -，而点(3,4)N ，

据两点间的距离公式得

12

AN BN +==

答案：12

【误区警示】 在无法明确相关点的具体情况的时候，可以取特殊情形处理问题。避免对一般情况处理的复杂性

三、解答题

4.(2014·天津高考文科·T18)设椭圆22

22x y a b

+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A,上顶点为

B.已知

1F 2|. (1)求椭圆的离心率.

(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点F 1,经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M,|MF 2

.求椭圆的方程.

【解析】(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0), 由

|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2

, 又b 2

=a 2

-c 2

,则221

2

c a =.

所以椭圆的离心率

. (2)由(1)知a 2

=2c 2

,b 2

=c 2

,故椭圆方程为22

222x y c c

+=1.

设P(x 0,y 0),由F 1(-c,0),B(0,c),有1F P =(x 0+c,y 0), 1F B =(c,c),

由已知,有1F P ·1F B =0,即(x 0+c)c+y 0c=0. 又c ≠0,故有x 0+y 0+c=0. ①

因为点P 在椭圆上,故2200

222x y c c

+=1. ②

由①和②可得2

03x +4cx 0=0,而点P 不是椭圆的顶点,

故x 0=-

43c ,代入①得y 0=3c ,即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭. 设圆的圆心为T(x 1,y 1),则x 1=4032c -

+=-23c,y 1=32

c

c +=23c,

进而圆的半径

3

c. 由已知,有|TF 2|2

=|MF 2|2

+r 2

, 又|MF 2,

故有2

2

22033c c c ⎛

⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=8+259

c .

解得c 2

=3.

所以所求椭圆的方程为22

63

x y +=1.

5. （2014·天津高考理科·Ｔ18）（本小题满分13分）

设椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知123

2

AB

F F . （1）求椭圆的离心率；

（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切. 求直线的斜率.

【解析】（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c .由123

2

AB

F F ， 可得2

2

23a

b

c ，又2

2

2

b

a

c ，则2

2

12

c a

. 所以，椭圆的离心率22

e

. 223b c ，所以22223a c c ，解得2a c ，22

e

.