简单复合函数解析式求解(含答案)
复合函数的相关方法
序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。
而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的 定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F=),(21x Fu =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。
[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
例1． 已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。
（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。
当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ； 当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。
将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。
如（图1）)(x t ： )(t f ：)(x g ： -1 0 1 x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
复合函数一，复合函数的定义：设y是u的函数，即y=f(u),u是x的函数，即u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u)，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为中间变量。
二，对高中复合函数的通解法——综合分析法1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1：指出下列函数的复合过程。
（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。
（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。
（3）∵y=sin3x=(sinx)-3∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx复合而成的。
（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2复合而成的。
2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。
看下例题：例２：已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5) 的定义域。
经典误解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3复合而成的。
F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5复合而成的。
由g(x),G(x)得：u2=2x-11即：y=f(u2),u2=2x-11∵f(u1)的定义域为[1、2]∴１≤x﹤2∴-9≤2x-11﹤-6即：y=f(u2)的定义域为[-9、-6]∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6]经典误解２：解：∵f(x+3)的定义域为[1、2]∴1≤x+3﹤2∴-2≤x﹤-1∴-4≤2x﹤-2∴-9≤2x-5﹤-7∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7]（下转2页）注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“y”通过u的联系成为x的函数，这个函数称为由y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中u称为“中间变量”。
高一数学函数概念及解析式求解(含答案)
函数概念及解析式求解一、单选题(共10道，每道10分)1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同形异构”函数，那么解析式为，值域为的“同形异构”函数共有( )A.4个B.8个C.9个D.10个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的概念及其构成要素2.已知是一次函数，且，则=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式3.已知是一次函数，且，，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：待定系数法求解析式4.已知是一次函数，且，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：待定系数法求解析式5.已知，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式6.若，则当且时，( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式7.若，则=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式8.若函数，则函数的解析式是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式9.若，，则的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式10.设函数，，则的值域是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式。
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
复合函数
复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。
这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。
要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。
二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。
分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。
本题用换元和“凑型”的办法解决。
解法一 设13+=x t ,则31-=t x 。
把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。
解法二 由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。
分析 由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。
随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（ ）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。
高考必考点之求解函数解析式
高考必考点之求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1).●案例探究［例1］(1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求 f(x) 的表达式.命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对"f"的理解，用好等价转化，注意定义域.错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0<A<1,T因此f(t)= (at－a－t)∴f(x)= (ax－a－x)(a>1,x>0;0<A<1,X<0)(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c得并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1.［例2］设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.解：(1)当x≤－1时，设f(x)=x+b∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2.(2)当－1<X∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1∴f(x)=－x2+2.(3)当x≥1时，f(x)=－x+2综上可知：f(x)=作图由读者来完成.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( )A.3B.C.－D.－32.(★★★★★)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,则x>1时f(x)等于( )A.f(x)=(x+3)2－1B.f(x)=(x－3)2－1C.f(x)=(x－3)2+1D.f(x)=(x－1)2－1二、填空题3.(★★★★★)已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_________.4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________.三、解答题5.(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式.6.(★★★★)设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.(★★★★★)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA 的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法）∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)解法二：(配凑法）f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x －1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4).歼灭难点训练一、1.解析：∵f(x)=.∴f［f(x)］==x,整理比较系数得m=3.答案：A2.解析：利用数形结合，x≤1时，f(x)=(x+1)2－1的对称轴为x=－1,最小值为－1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1.答案：B二、3.解析：由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面两式联立消去f()可得f(x)=－x.答案：f(x)= －x4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f(x)=x2+x.答案：x2+x三、5.解：利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=.6.解：(1)设x∈［1,2］,则4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4.(2)设x∈［0，1］，则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知x∈［0,2］时，f(x)=－2(x－1)2+4,设A、B坐标分别为(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1,则|AB|=2t,|AD|=－2t2+4,S 矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令S矩=S，∴=2t2(2－t2)·(2－t2)≤()3=,当且仅当2t2=2－t2,即t=时取等号.∴S2≤即S≤,∴Smax=.7.解：(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD 可得PA=;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=;当P点在DA上运动时，PA=4－x,故f(x)的表达式为：f(x)=(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0；当P在BC上时，即1＜x≤2时，S△ABP=AB·BP=(x－1）；当P在CD 上时，即2＜x≤3时，S△ABP=·1·1=；当P在DA上时，即3＜x≤4时，S△ABP=(4－x).故g(x)=8.(1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.(2)解：当x∈［1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).(3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k·1=k,∴k=－3.∴当0≤x≤1时，f(x) =－3x,当－1≤x＜0时，f(x)=－3x,当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=－3(x－5)=－3x+15, 当6＜x≤9时，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)=.。
高一数学人教版必修一第一章1.2.2复合函数问题练习(含答案)
复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为 A, u=g(x)的值域为B,若A 二B ,则y 关于x函数的y=f [ g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二复合函数解析式1待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例 1 设 f (x)是一次函数，且 f [ f (x)] = 4x • 3，求 f (x).解：设 f (x)二 ax b (a = 0)，则f [ f (x)] = af (x) b = a(ax b) b = a 2x ab b二 f(x)=2x+1 或 f(x) = —2x + 3 .2、 配凑法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配 成g(x)的运算形式时，常用配凑法 .但要注意所求函数f (x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域.1 2 1例2已知f(x ) = x 22(x 0)，求f (x)的解析式.xx1 12 12解： f(x )=(x )2 -2, x 2,. f(x) = x 2-2 (x_2).x xx3、 换元法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式.与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化. 例 3 已知 f (.X • 1) = x • 2、.. x ，求 f (x T). 解：令 t• 1,则 t -1 , x =(t -1)2 .:f ( 一 x 1) =x 2 ..X ,■ f(t) =(t 一1)2 2(t 一1) =t 2 -1,.f(x)=x 2-1 (x -1),■ f(x 1) = (x 1)2 -1 = x 2 2x (x _ 0).4、 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法 例4已知：函数 目仝 x 与y =g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式. 解：设M(x,y)为y = g(x)上任一点，且 M (x ,y )为M (x, y)关于点(-2,3)的对称点.r 2. a =4ab +b =32=2 b=1a =-2又 f (1) -1,故f (x 1) - f (x) =x 1①• 2「点 M(x ；y)在 y = g(x)上,”•” y 「=x" +xx * = 一x —4 把」— 代入得：6—y=(—X —4)2 +(—X —4) •y = 6-y整理得 y - -x 2 —7x -6 ,. g(x) - -x 2 -7x -6 .5、 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式. 例 5 设 f (X )满足f (x) - 2f (丄)=x,求 f (x). x解 f(x) —2f 』)=x ①X显然x=0,将x 换成丄，得：f (1^2f(x) ^1 ②XX X解①②联立的方程组，得：f (x) =-X - Z .3 3x6、 赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式.例7已知：f(0)=1，对于任意实数x 、y ，等式f (x-y) = f (x) - y(2x-y T)恒成立,求 f (x).解：对于任意实数X 、y ,等式f (x - y)二f (x) - y(2x - y T)恒成立，不妨令 x = 0，则有 f (「y) = f (0)「y(「y 1) = 1 y( y 「1) = y 2「y 1 . 再令- y = x 得函数解析式为：f (x) = x 2亠x T .7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭 力口、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式. 例8 设f (x)是定义在 N •上的函数，满足f(1) =1，对任意的自然数a,b 都有f (a) f (b) = f(a b) -ab ，求 f (x).解• f (a) f (b)二 f (a b) - ab , a,b N .,不妨令 a = x,b =1，得：f (x) f (1) = f (x 1) - x ,，解得:乂 = _x_4y =6 —y令①式中的x= 1,2，…，n—1 得：f(2)_f(1)=2, f(3) _f(2) =3川I川，f (n) _ f (n _1) = n 将上述各式相加得：f(n) 一f (1) = 2 • 3 •…n ,复合函数定义域问题，解得n(n 1).f(讥1 2 3" 2 f (x)⑴、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以g（x）•二D，解得的定义域。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的求法简介1.定义与概念2.求解方法二、代换法求解复合函数解析式1.代换法的原理2.具体求解步骤3.示例三、待定系数法求解复合函数解析式1.待定系数法的原理2.具体求解步骤3.示例四、常见问题与注意事项1.问题解析2.注意事项正文：复合函数解析式的求法是数学中的一个重要内容。
复合函数是指由多个函数嵌套而成的函数，解析式则是指将复合函数用公式表示出来的过程。
求解复合函数解析式的方法有多种，常见的有代换法和待定系数法。
代换法是求解复合函数解析式的一种基本方法。
其原理是根据已知函数的性质，通过变量替换将复合函数中的内部函数求解出来，再代入外部函数中求解解析式。
具体求解步骤包括：确定变量替换关系，求解内部函数，代入外部函数求解解析式。
例如，已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2-2x+3，求解复合函数f(g(x))的解析式。
我们可以先令u=g(x)，即u=x^2-2x+3，然后将u代入f(u)中，得到f(g(x))=f(u)=2u+1=2(x^2-2x+3)+1=2x^2-4x+7。
待定系数法是另一种求解复合函数解析式的方法。
其原理是假设复合函数解析式为F(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n，然后通过已知条件求解待定系数，确定解析式。
具体求解步骤包括：确定解析式的一般形式，列方程求解待定系数。
例如，已知函数f(x)=x^2+2x+1，g(x)=2x-1，求解复合函数f(g(x))的解析式。
我们可以假设f(g(x))=ax^3+bx^2+cx+d，然后通过代入已知函数求解待定系数，得到解析式为f(g(x))=x^3+x^2+x-1。
在求解复合函数解析式时，需要注意一些常见问题。
例如，在代换法中，替换关系可能不唯一，需要根据题目条件选择合适的替换关系；在待定系数法中，需要根据题目条件选择合适的一般形式。
同时，求解过程中需要灵活运用代数运算和函数性质，以简化求解过程。
复合函数
复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.形象的称u=g(x)为内函数，y=f(u)为外函数。
1、复合函数的解析式求解：已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f例2．已知 求；2、复合函数的定义域（也叫做抽象函数定义域）1).已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2).已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3).已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 例3. 函数 y=(x+1)f 定义域是[-2,3]，则=(2x-1)y f 的定义域是（ ） 例4 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 四、复合函数单调性问题：（1）．复合函数单调性的判断：复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同增异减”.（2）、复合函数))y=的单调性判断步骤：fg(x(1、确定函数的定义域；将复合函数分解：)(xgu=。
复合函数
复合函数的定义域一、复合函数的概念如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案：[-1/2 ，0 ]例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。
答案：[-1 ，1]（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。
例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。
答案：[ 1 ，3]（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 - 2 ) 的定义域。
复合函数求解析式解题技巧
复合函数求解析式解题技巧求解复合函数的解析式是高中数学中的一种重要技巧，也是解决相关问题的常用方法之一。
对于给定的两个函数，可以通过复合运算得到一个新的函数，它是两个函数的组合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
本文将介绍复合函数求解析式的一般方法和一些常用的技巧。
一、复合函数的定义和表示复合函数是指由两个已知的函数f(x)和g(x)组成的一个新函数h(x)，它的定义如下：h(x) = f(g(x))其中，f(x)表示函数f关于自变量x的解析式，g(x)表示函数g关于自变量x的解析式，h(x)表示函数h关于自变量x的解析式。
二、复合函数求解析式的一般方法要求解复合函数的解析式，可以按照以下步骤进行。
1. 将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。
2. 将复合函数的自变量替换成中间变量，即设y = g(x)。
3. 将中间变量y代入函数f的解析式，得到h(x) = f(y)。
4. 将中间变量y的解析式替换成g(x)的解析式，得到h(x) = f(g(x))。
需要注意的是，求解复合函数的解析式时，需要注意两个函数之间的定义域和值域是否相容。
即函数g的值域必须是函数f的定义域的子集，否则无法进行复合运算。
三、常用的复合函数求解析式的技巧在实际的题目中，常常需要利用复合函数求解析式解决问题。
以下是一些常用的技巧和方法。
1. 复合函数的相反运算有时候需要求解复合函数的相反运算，即已知h(x)，要求g(x)。
可以通过以下步骤进行求解。
将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。
将复合函数的自变量和因变量互换位置，得到g(x) = f ⁻¹(h(x))，其中f⁻¹表示函数f的反函数。
需要注意的是，函数f必须是可逆的，即函数f必须是单调且一一对应的。
2. 复合函数的化简运算有时候需要求解复合函数的结果，可以通过化简运算来简化问题。
例如，已知f(x) = 2x + 3和g(x) = x²，求h(x) = f(g(x))的解析式。
复合函数(习题及答案)
⎩复合函数（习题）1. 若函数 f (x ) = x 2 + 2 ， g (x ) = ⎧-x + 2 ，x < 1 ，则函数 g ( f (x ))⎨x ， x ≥1 的解析式是 ．2. 已知 f (x -1) = x 2 + 4x - 5 ，则 f (x +1) = ．3. （1）若函数 f (x + 3) 的定义域为[-5，- 2] ，则F (x ) = f (x +1) + f (x -1) 的定义域为 ．x 2 x +1 （2）已知 y = f ( ) 的定义域为[ 2 ，2 2] ，则 y = f ( )4 2的定义域为 ．4. （1）函数 f (x ) = 4x - 3 ⋅2x + 3（0 < x ≤1 ）的值域是 ．（2）函数 f (x ) = 1+ log 3 x 的定义域是(1，9] ，则函数g (x ) = [ f (x )]2 + f (x 2 ) 的值域是 ．125. （1）函数 y = (1)- x 2 + 4 x -3 的单调递增区间为 ．3（2） 函数 y = log (2x 2 - 3x +1) 的单调递减区间为 ．（3） 函数 y = x 4 - 8x 2 - 7 的单调递减区间是 ．（4） 函数 y = (log 2 x )2 - 2log 2 x - 3（1 ≤ x ≤ 4 ）的单调递增区间是 ．（5） 函数 y = -4x + 2x +1 -1 的单调递增区间是．6.（1）函数 f (x ) = 3 - 4x 的单调递增区间是 ．2x - 4（2） 函数 f (x )的单调递增区间是 ．B ． (0，1) D ． (0，1) (2，+ ∞) A ． (1，2)C ． (0，1) (1，2)a a B ．[0，+ ∞)D ．[0，1) A ． (-1，0)C ． (-∞，0] B ．[6，+ ∞)D ． (-∞，6] A ． (6，+ ∞)C ． (-∞，6)（3） 函数 y =的单调递减区间是．7.函数 y 的单调递减区间是 ．8. 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - x ) 在其定义域上单调递减，则函数ag (x ) = log (1- x 2 ) 的单调递减区间是（） 9. 若函数 f (x ) = 2x2 -2(a -1) x +1 在区间[5，+ ∞) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）10. 已知函数 f (x ) = log (2 - a x ) 在区间(-∞，1] 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（）【参考答案】1. g( f (x)) =x 2 + 22. x2+8x+73. （1）[-1，0]；（2）[0，3]4. （1）[3，1]；（2）(2，7] 45. （1）(2，+∞)；（2）(-∞ 1 ) ；，2（3）(0，2)，(-∞，-2)；（4）(2，4)；（5）(-∞，0)6. （1）(-∞，2)，(2，+∞)；（2）(3，2)；（3）(-∞，1) 47. (3，+∞)8. A9. D10.A。
高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
求函数解析式题型方法总结
求函数解析式题型方法总结一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。
例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ②由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法（方程组法）例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x 1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x 1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可.解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足，求的解析式。
复合函数解析式的几种求法
复合函数解析式的几种求法复合函数解析式的几种求法题型一 已 知 函 数 y =f （ x ）的 解 析 式，求 函 数 y =f ［ g （ x ）］的解析式 解法：将函数将函数 y = f （ x ）中的全部中的全部 x 都用都用 g （ x ）来代换，即可得到复合函数即可得到复合函数 y = f ［ g （ x ）］的解析式］的解析式例 1 若 f （x ）= 3x+ 1，g （x ）= x2，则，则 f ｛f ［g （x ）］｝= 解：f ｛f ［ g （ x ）］｝= f ［3g （ x ）+ 1］= 3［3g （ x ）+ 1］+ 1 =9g （ x ）+ 4 = 9x 2+ 4. 题型二 已 知 函 数 y =f ［ g （ x ）］的解析式，求函数 y =f （ x ）的解析式 . 解法：令解法：令 t = g （ x ），由此解出，由此解出 x = h （ t ），求出以，求出以 t 为自变量的函数为自变量的函数 y = f （ t ）的解析式 .因为y = f （ t ）和）和 y = f （ x ）为同一函数，所以将函数）为同一函数，所以将函数 y = f （ t ）中的全部）中的全部 t 都换成都换成 x ，即可得到函数可得到函数 y =f （ x ）的解析式）的解析式例 2 若 f （3x + 1）= 6x +4，则，则，则 f （ x ）= 解：令解：令 t = 3x + 1，则，则 x =(t- 1)/3 ， ∴ f （ t ）= 6 × (t- 1)/3 + 4 (t- 1)/3 + 4 =2t+ 2. ∴ f （ x ）= 2x + 2. 题型三 已 知 函 数 y =f ［ g （ x ）］的解析式，求函数 y =f ［ h （ x ）］的解析式 解法：利用题型二，由函数解法：利用题型二，由函数 y = f ［ g （ x ）］的解析式，可求出函数］的解析式，可求出函数 y = f （ x ）的解析式，再利用题型一，由函数再利用题型一，由函数 y = f （ x ）的解析式，可求出函数）的解析式，可求出函数 y = f ［ h （ x ）］的解析式］的解析式 . 例 3 若 f （2x - 1）= 4x 2 + 1，则，则，则 f （ x + 1）= 解：令解：令 t = 2x - 1，则，则 x =（t+ 1）/2， ∴ f （ t ）= 4 ×［（t+ 1）/2］2 + 1 =（ t+ 1）2+ 1，∴ f （ x ）=（ x + 1）2 + 1，∴ f （x + 1）=［（x + 1）+ 1］2 + 1 = x2 + 4x + 5. 题型四 利用待定系数法求函数的解析式例 4 若 f （ x ）为一次函数，f （2x+ 3）+ f （- x ）=x+ 2，则，则 f （ x ）= 解：令解：令 f （x ）= ax+ b， 则 f （2x+ 3）= a （2x+ 3）+ b= 2ax + 3a + b ，f （- x ）= - ax + b. 由f （2x+3）+ f （- x ）= 3x+ 2知，（2ax+3a+ b ）+（- ax+b ）= 3x + 2， 即 ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然，a = 3，解得，解得，解得 3a + 2b = 2 , b = -7/2. ∴ f （ x ）= 3x -7/2. 题型五 利用解方程组求函数的解析式 . 例 5 若f(x)+2f(-x)=x 2-x,求f(x)解析式解析式解：f(-x)+2f(x)=x 2+x (1) f( x)+2f(-x)=x 2-x (2) 2*(1)式-（2）式整理得：）式整理得：3f(x)=x 2+3x 所以f(x)=(x 2+3x)/3 例例6 6 （（2009安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( ) A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数含答案解析
1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e －0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2. [一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________． 解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)；(2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1)＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1. [一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )．解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－x x 22x －1. (2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] f (1))处的切线为l ，若l与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨] 求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14 相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________．解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4， 即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x ，∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ，∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)．∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a， 则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数．(1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。
复合函数(人教A版)(含答案)
复合函数（人教A版）试卷简介:本套试卷主要涵盖了复合函数的定义域、值域，主要考查学生对于不同情形下复合函数的定义域、及在定义域范围内求解值域的掌握情况，要求学生对于初等基本函数的基本性质达到熟练运用。
一、单选题(共10道，每道10分)1.若定义在上的函数的值域为，则的值域为( )A. B.C. D.无法确定答案：A解题思路：由题意，函数的图象可由函数的图象向左平移1个单位得到的，其值域不改变，故其值域仍为，选A．试题难度：三颗星知识点：复合函数的值域2.若函数的定义域为，则的定义域为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由的定义域为，则，，故的定义域为．要使有意义，则，解得，即，故的定义域是，选A．试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域3.若函数的定义域为，则的定义域为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由的定义域为，则，，故的定义域为．要使有意义，则，解得，故的定义域为，选D．试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域4.已知，则的定义域是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域5.对函数作代换，则总不会改变的值域的代换是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，函数的定义域是，要求总不改变的值域，变换后的函数的值域应为．对于A，由对数函数性质知的值域为；对于B，由指数函数性质知的值域为；对于C，由二次函数性质知的值域为；对于D，由幂函数性质知的值域为．综上，选A．试题难度：三颗星知识点：复合函数的值域6.函数满足，则这样的函数共有( )个．A.8B.16C.10D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的值域7.已知函数，则方程的解集为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，①当，即时，；若，则；②当，即时，；若，则．由题意，若，则或；①当时，，此时不满足或；②当时，，则或，解得或．故方程的解集为，选A．试题难度：三颗星知识点：复合函数的求值8.已知函数的图象如下图所示，则函数的图象不可能是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：由题意，，且，当时，的图象与的图象一样；当时，因题中未给的信息，则不确定图象形状．故选B．试题难度：三颗星知识点：复合函数的图象9.如果，则的表达式为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：由题意，，；则，此时，；则，此时，；……以此类推，，选B．试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式10.对于函数，设，，…，，令集合，则集合M 为( )A.空集B.实数集C.单元素集D.二元素集答案：A解题思路：由题意，对于函数，，，，，……由此可得，是以为首项，以周期为4重复出现的一列代数式，而2014÷4=503…2，即，故集合，方程无解，则，选A．试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式。
函数解析式的练习题兼答案
函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；1．已知f （x ）是一次函数，且f[f （x ）]=x+2，则f （x ）=（ ）A ．x+1B ．2x 1﹣C ．﹣x+1D ．x+1或﹣x 1﹣【解答】解：f （x ）是一次函数，设f （x ）=kx+b ，f[f （x ）]=x+2，可得：k （kx+b ）+b=x+2．即k 2x+kb+b=x+2，k 2=1，kb+b=2．解得k=1，b=1．则f （x ）=x+1．故选：A ．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；9．若函数f （x ）满足f （3x+2）=9x+8，则f （x ）是（ ）A ．f （x ）=9x+8B ．f （x ）=3x+2C ．f （x ）=34﹣﹣D ．f （x ）=3x+2或f （x ）=3x 4﹣﹣【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f （t ）=9×+8=3t+2．所以f （x ）=3x+2．故选B ．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式；18．已知f （）=，则（ ）A ．f （x ）=x 2+1（x≠0）B ．f （x ）=x 2+1（x≠1）C ．f （x ）=x 21﹣（x≠1）D ．f （x ）=x 21﹣（x≠0）【解答】解：由，得f （x ）=x 2﹣1，又∵≠1，∴f （x ）=x 21﹣的x≠1． 故选：C ．19．已知f （2x+1）=x 22x 5﹣﹣，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）=4x 26﹣B ．f （x ）=C ．f （x ）=D ．f （x ）=x 22x﹣5﹣【解答】解：方法一：用“凑配法”求解析式，过程如下：；∴．方法二：用“换元法”求解析式，过程如下：令t=2x+1，所以，x=（t 1﹣），∴f （t ）=（t 1﹣）22×﹣（t 1﹣）﹣5=t 2t ﹣﹣，∴f （x ）=x 2x ﹣﹣，故选：B ．(4)消去法：已知f(x)与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).21．若f （x ）对任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）=2x+1，则f （2）=（ ）A ．﹣B ．2C ．D ．3【解答】解：∵f （x ）对任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）=2x+1，∴用﹣x 代替式中的x 可得f （﹣x ）﹣2f （x ）=2x+1﹣，联立可解得f （x ）=x ﹣1，∴f （2）=×21=﹣故选：C函数解析式的求解及常用方法练习题一．选择题（共25小题）2．若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）的值为（ ）A．6B．9C．16D．27 3．已知指数函数图象过点，则f（﹣2）的值为（ ）A．B．4C．D．24．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]=4x+8，﹣D．或﹣2x8﹣﹣C．2x8则f（x）=（ ）A．B．﹣2x85．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），若f（1）=2，则函数f（x）的解析式为（ ）A．f（x）=4x B．f（x）=2xC．D． 6．已知函数，则f（0）等于（ ）A．﹣3B．C．D．3 7．设函数f（x）=，若存在唯一的x，满足f（f（x））=8a2+2a，则正实数a的最小值是（ ）A．B．C．D．2 ﹣）=x2，则f（x）的表达式为（ ）8．已知f（x1A．f（x）=x2+2x+1B．f（x）=x22x+1﹣﹣D．f（x）=x22x1﹣﹣C．f（x）=x2+2x110．已知f（x）是奇函数，当x＞0时，当x＜0时f（x）=（ ）A．B．C．D．﹣），11．已知f（x）=lg（x1则f（x+3）=（ ）A．lg（x+1）B．lg（x+2）C．lg（x+3）D．lg（x+4） 12．已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（ ）A．0B．1C．log23D．3 13．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（ ）﹣B．3x+1C．3x+2D．3x+4 A．3x114．如果，则当x≠0且x≠1时，f（x）=（ ）A．B．C．D． 15．已知，则函数f（x）=（）A．x22﹣（|x|≥2）D．x22﹣ ﹣（x≥2）C．x22﹣（x≠0）B．x22﹣）=x2+6x，则f（x）的表达式是（ ）16．已知f（x1﹣﹣D．x2+6x10A．x2+4x5﹣B．x2+8x+7C．x2+2x317．若函数f（x）满足+1，则函数f（x）的表达式是（ ）﹣ A．x2B．x2+1C．x22﹣D．x21﹣），则g（x）的表达式为（ ）20．若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x1﹣D．g（x）=2x+7 A．g（x）=2x+1B．g（x）=2x1﹣C．g（x）=2x322．已知f（x）+3f（﹣x）=2x+1，则f（x）的解析式是（ ）﹣D．f（x）=﹣A．f（x）=x+B．f（x）=2x+﹣C．f（x）=x+x+ 23．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（ ）A．﹣3B．﹣1C．1D．324．若函数f（x）满足：f（x）﹣4f（）=x，则|f（x）|的最小值为（ ）A．B．C．D．25．若f（x）满足关系式f（x）+2f（）=3x，则f（2）的值为（ ）A．1B．﹣1C．﹣ D． 二．解答题（共5小题）26．函数f（x）=m+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；﹣），求g（x）的最小值及取得最小值时x （Ⅱ）令g（x）=2f（x）﹣f（x1的值．27．已知f（x）=2x，g（x）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[g（x）]的图象上，点（2，5）在函数g[f（x）]的图象上，求g（x）的解析式．28．已知f（x）=，f[g（x）]=4﹣x，（1）求g（x）的解析式；（2）求g（5）的值．29．已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．30．已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．函数解析式的求解及常用方法练习题参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）2．【解答】解：幂函数f（x）的图象过点（2，8），可得8=2a，解得a=3，幂函数的解析式为：f（x）=x3，可得f（3）=27．故选：D．3．【解答】解：指数函数设为y=a x，图象过点，可得：=a，函数的解析式为：y=2x﹣，则f（﹣2）=22=4．故选：B．4．【解答】解：设f（x）=ax+b，a＞0∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x+8，∴，∴，∴f（x）=2x+．故选：A．5．【解答】解：∵f（x）=a x（a＞0，a≠1），f（1）=2，∴f（1）=a1=2，即a=2，∴函数f（x）的解析式是f（x）=2x，故选：B．﹣6．【解答】解：令g（x）=12x=0则x=则f（0）===3 故选D7．【解答】解：由f（f（x））=8a2+2a可化为2x=8a2+2a或log2x=8a2+2a；则由0＜2x＜1；log2x∈R知，8a2+2a≤0或8a2+2a≥1；又∵a＞0；故解8a2+2a≥1得，a≥；故正实数a的最小值是；故选B．﹣）=x28．【解答】解：∵函数f（x1∴f（x）=f[（x+1）﹣1]=（x+1）2=x2+2x+1 故选A．10．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，﹣），则f（﹣x）=﹣（1x又f（x）是奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x）=（1x﹣）．故选D．11．【解答】解：f（x）=lg（x﹣1），则f（x+3）=lg（x+2），故选：B．12．【解答】解：函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=f（）=log23．故选：C． ﹣故答案是：A 13．【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1 f∴（x）=3x114．【解答】解：令，则x=∵∴f（t）=，化简得：f（t）=即f（x）=故选B15．【解答】解：=，﹣（|x|≥2）．故∴f（x）=x22选：C．﹣）=x2+6x，16．【解答】解：∵f（x1﹣，则x=t+1，设x1=t∴f（t）=（t+1）2+6（t+1）=t2+8t+7，把t与x互换可得：f（x）=x2+8x+7．故选：B．17．【解答】解：函数f（x）满足+1=．函数f（x）的表达式是：f（x）=x21﹣．（x≥2）．故选：D．﹣代换函数f（x）=2x+3中的x，20．【解答】解：用x1﹣）=2x+1，则有f（x1∴g（x+2）=2x+1=2（x+2）﹣3，﹣，故选：C．∴g（x）=2x322．【解答】解：∵f（x）+3f（﹣x）=2x+1…①，用﹣x 代替x ，得：f （﹣x ）+3f （x ）=2x+1…﹣②；①﹣3×②得：﹣8f （x ）=8x 2﹣，∴f （x ）=x+﹣，故选：C ．23．【解答】解：由f （x ）﹣g （x ）=x 3+x 2+1，将所有x 替换成﹣x ，得f （﹣x ）﹣g （﹣x ）=x ﹣3+x 2+1，根据f （x ）=f （﹣x ），g （﹣x ）=g ﹣（x ），得f （x ）+g （x ）=x ﹣3+x 2+1，再令x=1，计算得，f （1）+g （1）=1．故选：C ．24．【解答】解：∵f （x ）﹣4f （）=x ，①∴f （）﹣4f （x ）=，②联立①②解得：f （x ）=﹣（），∴|f （x ）|=（），当且仅当|x|=2时取等号，故选B ．25．【解答】解：∵f （x ）满足关系式f （x ）+2f （）=3x ，∴，①﹣②×2得﹣3f （2）=3，∴f （2）=﹣1，故选：B ．二．解答题（共5小题）26．【解答】解：（Ⅰ）由得，解得m=1﹣，a=2，故函数解析式为f （x ）=1+log ﹣2x ，（Ⅱ）g （x ）=2f （x ）﹣f （x 1﹣）=2（﹣1+log 2x ）﹣[1+log ﹣2（x 1﹣）]=，其中x ＞1，因为当且仅当即x=2时，“=”成立，而函数y=log 2x 1﹣在（0，+∞）上单调递增，则，故当x=2时，函数g （x ）取得最小值1．27．【解答】解：设g （x ）=ax+b ，a≠0；则：f[g （x ）]=2ax+b ，g[f （x ）]=a•2x +b ；∴根据已知条件有：；∴解得a=2，b=3﹣；∴g （x ）=2x3﹣．28．【解答】解：（1）∵已知f （x ）=，f[g （x ）]=4x ﹣，∴，且g （x ）≠﹣3．解得g （x ）=（x≠1﹣）．（2）由（1）可知：=．29．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x 2+mx+n ，且f （0）=f （1），∴n=1+m+n ．…（1分）∴m=1﹣．…（2分）∴f （x ）=x 2x+n ﹣．…（3分）∵方程x=f （x ）有两个相等的实数根，∴方程x=x 2x+n ﹣有两个相等的实数根．即方程x 22x+n=0﹣有两个相等的实数根．…（4分）∴（﹣2）24n=0﹣．…（5分） ∴n=1．…（6分）∴f （x ）=x 2x+1﹣．…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ），知f （x ）=x 2x+1﹣．此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．…（8分）∴当时，f （x ）有最小值．…（9分）而，f （0）=1，f （3）=323+1=7﹣．…（11分）∴当x ∈[0，3]时，函数f （x ）的值域是．…（12分） 30．【解答】解：（1）∵定义在R 上的函数g （x ）=f （x ）﹣x 3，且g （x ）为奇函数，∴f （x ）=g （x ）+x 3，故f （﹣x ）=g （﹣x ）+（﹣x ）3=﹣g （x ）﹣x 3=f ﹣（x ），∴函数f （x ）为奇函数；（2）∵x ＞0时，f （x ）=2x ，∴g （x ）=2x x ﹣3，当x ＜0时，﹣x ＞0，故g （﹣x ）=2x ﹣﹣（﹣x ）3，由奇函数可得g （x ）=g ﹣（﹣x ）=2﹣x ﹣x ﹣3．。
复合函数解析式的几种求法
解法：将函数（）中地全部都用（）来代换，即可得到复合函数［（）］地解析式
例若（），（），则｛［（）］｝
解：｛［（）］｝
［（）］
［（）］
（）
.
题型二已知函数［（）］地解析式，求函数（）地解析式 .资料个人收集整理，勿做商业用途
解法：令（），由此解出（），求出以为自变量地函数（）地解析式.因为（）和（）为同一函数，所以将函数（）中地全部都换成，即可得到函数（）地解析式资料个人收集整理，勿做商业用途
例若（），则（）
解：令，则( ) ，
∴（）× ( )
.
∴（）.
题型三已知函数［（）］地解析式，求函数［（）］地解析式资料个人收集整理，勿做商业用途
解法：利用题型二，由函数［（）］地解析式，可求出函数（）地解析式，再利用题型一，由函数（）地解析式，可求出函数［（）］地解析式 .资料个人收集整理，勿做商业用途
例若（），则（）
解：令，则（），
∴（）×［（）］
（），
∴（）（），
∴（）［（）］
.
题型四利用待定系数法求函数地解析式
例若（）为一次函数，（）（），则（）
解：令（），
则（）（），（）.资料个人收集整理，勿做商业用途
由（）（）知，（）（），资料个人收集整理，勿做商业用途
即.显然，，解得, .资料个人收集整理，勿做商业用途
∴（） .
题型五利用解方程组求函数地解析式.
例若()(),求()解析式
解：()() ()
( )() ()
*()式（）式整理得：
()
所以()()
例（安徽卷理）已知函数在上满足，则曲线
在点处地切线方程是( )
....。
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简单复合函数解析式求解
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知函数的图象经过坐标原点，且，则
( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：待定系数法求解析式
2.已知函数满足，，且为正实数，则
( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：待定系数法求解析式
3.已知，，那么整系数多项式函数g(x)的各项系数和为( )
A.8
B.9
C.10
D.11
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：待定系数法求解析式
4.若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)的表达式为( )
A.g(x)=2x+1
B.g(x)=2x-1
C.g(x)=2x-3
D.g(x)=2x+7
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式
5.已知函数，则函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式
6.若函数，且，则=( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式
7.若函数，，则函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式
8.若函数，，则函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式
9.若，，则的解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式
10.若，，则的解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：复合函数的解析式。