天津市普通高中学业水平考试数学试题(含答案)

合集下载

2024年天津市河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学试题(含答案)

2024年河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．参考公式●柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．●锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．●球的体积公式，其中表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知全集，集合，，则集合（）（A ）（B ）（C ）（D ）（2）的值为（）（A（B ）（C（D ）（3）不等式的解集为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（4）命题“，”的否定是（）（A ），（B ），（C ），（D ），V Sh =柱体S h 13V Sh =锥体S h 34π3V R =球R {}0,1,2,3U ={}0,1A ={}1,2B =()U A B = ð{}2{}4{}1,3{}5,62πtan3()()2320x x --≥32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭322xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭322x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭x ∀∈Z 20x ≥x ∃∈Z 20x ≥x ∃∉Z 20x ≤x ∃∈Z 20x <x ∃∉Z 2x <（5）函数的定义域为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（6）如图所示，，，为的中点，则为（）（A）（B ）（C ）（D ）（7）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（8）已知，，则用，表示（）（A ）（B ）（C ）（D ）（9）已知圆锥的母线长为）（A ）（B ）（C ）（D ）（10）已知，则（）（A ）3（B （C）5（D （11）射击运动员甲、乙分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中恰有一人射中目标的概率是（）（A ）0.06（B ）0.16（C ）0.26（D ）0.72y =(]0,1()0,1()1,+∞()()0,11,+∞ AB a = AC b = M AB CM12a b+ 12a b- 12a b+ 12a b- ()0,1sin y x =3xy -=2y x=1y x=lg 3x =lg 5y =x y lg 452xy 3xy 2x y+2x y-π2π3π4π()i 12i z =-z =（12）为了得的图象，只需把，图象上所有点的（）（A ）纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变（B）纵坐标缩短到原来的，横坐标不变（C ）横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变（D ）横坐标缩短到原来的，纵坐标不变（13）函数的零点所在的区间为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（14）兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中，，三位游客所在位置如图所示，则的大小为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（15）某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是，数据的分组依次为：，，，，．已知活动时间在内的人数为300，则活动时间在内的人数为（）（A ）600（B ）800（C ）1000（D ）1200第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上）cos y x =x ∈R 1313()42x f x x =-+()1,2()2,3()3,4()4,523⨯A B C ABC ∠π6π4π35π12[]9,14[)9,10[)10,11[)11,12[)12,13[]13,14[)9,10[)11,12（16）函数的最大值为______．（17）据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取人，若青年旅客抽到60人，则______．（18）若复数，则______．（19）在中，，，的长度为______．（20）已知，，且，则的最小值为______．三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（21）（本小题满分8分）已知，是第二象限角．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值．（22）（本小题满分10分）已知向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与的夹角的余弦值．（23）（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．（24）（本小题满分12分）已知，函数．()()3sin 2f x x x =-∈R 5:2:3n n =2i z =+21z =-ABC △45A ∠=︒105C ∠=︒BC =AC 0a >0b >2a b =2b a+3sin 5α=αcos αtan απsin 3α⎛⎫-⎪⎝⎭()3,4a = ()1,b x = ()1,2c =a b ⊥b ()2c a b -∥2a b -aP ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 1PA AB ==M N PA PB MN ∥ABCD CD ⊥PAD PC PAD 0a >()()2,,f x ax bx c a b c =++∈R（Ⅰ）函数的图象经过点，且关于的不等式的解集为，求的解析式；（Ⅱ）若有两个零点，，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；（Ⅲ）设，记为集合中元素的最大者与最小者之差，若对，恒成立，求实数的取值范围．2024年河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学答案第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案A D B C B B A C题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）答案CDCDABD第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上）（16）1；（17）200；（18）；（19）6；（20）2．三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（21）（本小题满分8分）解：（Ⅰ），是第二象限角，，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，．（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由，得，解得，()f x ()0,2-x ()0f x ≤[]1,2-()f x ()f x α()βαβ<()f x 4a -102a <≤()()22g x ax b x c =+-+(),αβ2b a =()h t (){}()11f x t x t t -≤≤+∈R (],1t ∀∈-∞-()2h t a a >-a 1i -3sin 5α= α4cos 5α∴==-sin 3tan cos 4ααα==-πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭a b ⊥340x +=34x =-，则．（Ⅱ）由题意，又，，解得，则，，，，即向量与（23）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）在中，，分别是，的中点，，又平面，平面，平面．（Ⅱ）四边形是正方形，，又平面，，又，平面．解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面，为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成角．由题意，在中，，，，31,4b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭54b== ()21,42a b x -=-()2c a b -∥()121420x ∴⨯-⨯-=1x =()21,2a b -= 2a b -== 5a == ()2cos 2,2a b a a b a a b a-⋅∴-==-2a b -a PAB △M N PA PB MN AB ∴∥MN ⊄ABCD AB ⊂ABCD MN ∴∥ABCD ABCD AD CD ∴⊥PA ⊥ ABCD PA CD ∴⊥PA AD A = CD ∴⊥PAD CD ⊥PAD PD ∴PC PAD CPD ∠PC PAD Rt PCD △PD =1CD =PC ∴==，即直线与平面．（24）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数的图象经过点，，又关于的不等式的解集为，，为方程的两个实根，因此，解得所以的解析式为．（Ⅱ）解法一：，由题意得，即，令，解得，即，，对于任意，设，则，，又，，而，即，sinCD CPD PC ∴∠===PC PAD ()2f x ax bx c =++()0,2-()02f c ∴==- x ()0f x ≤[]1,2-1x ∴=-2x =220ax bx +-=()12,212,b a a ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩1,1,a b =⎧⎨=-⎩()f x ()22f x x x =--()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭ ∴2444ac b a a-=-22416b ac a -=()20f x ax bx c =++=42b ax a-±==22b a α=--22baβ=-+()12,,x x αβ∈12x x <()()()()1212122g x g x x x a x x b ⎡⎤-=-++-⎣⎦1222242b b x x a a β⎛⎫+<=-+=-+ ⎪⎝⎭102a <≤()12242420b a x x b a b a a ⎛⎫∴++-<++-=-≤ ⎪⎝⎭120x x -<()()()()12121220g x g x x x a x x b ⎡⎤-=-++->⎣⎦因此，函数在区间上是单调递减的．解法二：，由题意得，即，令，解得，即，，由，则函数图象的对称轴方程为，()()12g x g x >∴()g x (),αβ()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭∴2444ac b a a-=-22416b ac a -=()20f x ax bx c =++=42b ax a-±==22b a α=--22baβ=-+()()22g x ax b x c =+-+()g x 2122b bx a a a-=-=-。

2024年天津市高中数学学业水平合格考试卷试题(含答案)

2024年高中学业水平合格性考试模拟练习数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间90分钟．参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．球的体积公式24π3V R =，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0,1,2,3U =，集合{}0,1,2M =，{}0,2,3N =，则U M N = ð（）．A ．∅B ．{}1C ．{}2,3D ．{}0,1,22．命题“R x ∃∈，()12f x <≤”的否定形式是（）．A ．R x ∀∈，()12f x <≤B ．R x ∃∈，()12f x <≤C ．R x ∃∈，()1f x ≤或()2f x >D ．R x ∀∈，()1f x ≤或()2f x >3．复数1i1i+-等于（）．A ．1B ．1-C ．i D ．i-4．不等式()()120x x --≥的解集为（）．A ．{|}12x x ≤≤B ．}1{|2x x x ≤≥或C ．{}2|1x x <<D ．}1{|2x x x <>或5．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四6．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不够8环的概率为（）．A ．0.9B ．0.6C ．0.4D ．0.37．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（）．A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π3个单位8．在△ABC 中，π3A =，3BC =，AB =，则C =（）．A ．π6B ．π4或3π4C ．3π4D ．π49．若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，l α⊥，则“l m ⊥”是“m α∥”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列函数中，周期为π且为偶函数的是（）．A ．sin(22πy x =-B ．cos(2)2πy x =--3）C ．sin(2πy x =+D ．cos()2πy x =+11．三个数3log 2a =，21log 4b =，0.512c -⎛⎫= ⎪⎝⎭之间的大小关系为（）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．b c a<<12．一个圆柱的底面直径和高都等于球O 的直径，则球O 与该圆柱的体积之比为（）．A ．18B ．16C ．12D ．2313．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，点E 满足13EC AC = ，则DE =（）．A ．2133a b-B ．2133a b- C ．1233a b- D ．1233a b- 14．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（）．A ．23B ．36C ．2121D ．4212115．函数()22log 43xf x a x a =+⋅+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，则实数a 的取值范围是（）．A ．12a <-B ．32a <-C ．3122a -<<-D ．34a <-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上。

2022年6月天津市普通高中学业水平合格性考试数学试题(含答案解析)

2022年6月天津市普通高中学业水平合格性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．a b +B ．b - 11．为了得到函数cos y x ⎛=- ⎝A ．向左平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度12．从2名女生和3名男生中任选（）A ．35B ．1213．甲、乙两人独立地破译密码译的概率是（）A ．112B ．1214．函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间是A ．6B ．8C ．12二、填空题16．函数sin y x =，x ∈R 的最大值为.17．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样三、解答题(1)求证：//MN 平面PDB ；(2)求证：AC ⊥平面PDB .24．已知函数()24x x x f a =-+(1)若()14f =，求a 的值；(2)当1a =时，（i ）根据定义证明函数()f x 在区间（ii ）记函数()()(),08,0f x x g x f x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()()33g b g b +=-，求实数b 的值.参考答案：24．(1)1-(2)（i ）证明见解析；（ii ）【分析】（1）根据函数值直接代入求参即可；（2）（i ）任取(12,2,x x ∈+∞（ii ）根据题意研究该分段函数单调性，根据【详解】（1）因为函数f 解得1a =-，所以a 的值为（2）当1a =时，()f x =（i ）任取()12,2,x x ∈+∞，且则()()(21124f x x x f x =--()()12124x x x x =+--，因为122x x ＞＞，所以1x +所以()()120f x f x -＞，即所以函数()f x 在区间(2,()g x ⎧=答案第7页，共7页若()()33g b g b +=-，显然①30b b +≥＞，即0b ≥时，()()2234314b b b +-++=-②03b b +＞＞，即3b -＜时，()()223431b b b -+-+-=-③30b b +≥＞，即30b -≤＜()()223431b b b +-++=--解得352b -±=，均符合题意综上所述，0b =或32b -±=。

2023天津高中学业水平合格考数学模拟试卷(含答案详解)

D． 5,6
14．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，下列几种说法正确的是（）
A．A1C1⊥AD
B．D1C1⊥AB
C．AC1 与 DC 成 45°角
D．A1C1 与 B1C 成 60°角
15．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方
图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为
x 故选：B
6．D
【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得
i
(2 1
i) 2i
1 2i 1 2i
1 2i1 2i 1 2i1 2i
2i 2
5
1
1.
故选：D．
7．C
【详解】试题分析：由余弦定理有： cos BAC AB2 AC 2 BC 2 52 32 72 1 .所以
【详解】 cos 540 cos 540 360 cos180 1.
故选：C 4．A 【分析】根据 x 0 x 1， x 1 x 0 得到答案. 【详解】 x 0 x 1，但 x 1 x 0 ，故“ x 0 ”是“ x 1”的充分不必要条件. 故选：A 5．B 【分析】A 选项，画出函数图象，得到 A 正确；B 选项，根据函数解析式直接得到函数单调性；CD 选项，在 x 0 处无意义，CD 错误. 【详解】A 选项， y x 的图象如下：
a,b, c ，则（）
A． b a c
B． a b c
C． a c b 2
第Ⅱ卷
D． b c a 2
二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分．请将答案填在题
中横线上．

2020年天津市普通高中学业水平考试数学试卷(1月份)

2020年天津市普通高中学业水平考试数学试卷（1月份）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{2A =-，0，1，2}，{1B =-，0，1}，则集合(UAB = )A ．{0，1}B ．{2-，2}C ．{2-，1}-D ．{2-，0，2}2．（5分）设a R ∈，则“2a ”是“2320a a -+”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．（5分）函数2()x x f x e=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．（5分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积为36，E 为棱1CC 上的点，且12CE EC =，则三棱锥E BCD的体积是()A．3B．4C．6D．125．（5分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分别直方图如图：则图中t的值为()分组频数频率[0，0.5)40.04[0.5，1)50.08[1，1.5)15a[1.5，2)220.22[2，2.5)m0.25[2.5，3)140.14[3，3.5)60.06[3.5，4)40.04[4，4.5)20.02合计100 1.00A．0.15B．0.075C．0.3D．156．（5分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞单调递增则( ) A ．221(log )(log )(2)3f f f ππ->>B ．221(log )(2)(log )3f f f ππ->C ．221(2)(log )(log )3f f f ππ->>D ．221(2)(log )(log )3f f f ππ->>7．（5分）抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为( ) A ．52B ．403C ．203D8．（5分）已知函数()sin cos f x x x =+，下列结论错误的是( ) A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()y f x =的图象关于直线54x π=对称 C ．74π是()f x 的一个零点 D ．()f x 在区间3(,)2ππ单调递减 9．（5分）已知函数22,0()24,0x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()|1|F x f x kx =--有且只有3个零点，则实数k 的取值范围( ) A ．9(0,)16B ．9(,)16+∞C ．1(0,)2D ．19(,0)(0,)1616-二．填空题（共6小题） 10．（5分）i 是虚数单位，复数321ii+=- ． 11．（5分）已知直线250x y +-=与圆229x y +=相交于A ，B 两点．则线段AB 的长为． 12．（5分）42)x的展开式中，常数项是．13．（5分）已知某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果互相独立，则恰投中两次的概率为；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数，则随机变量X 的数学期望为．14．（5分）已知0a >，0b >，则2233224a b a b a b ++的最小值为．15．（5分）如图，在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，1AE =，且12AD AE =，则||AD = ，若P 是线段DE 上的一个动点，则BP CP 的最小值为．三．解答题（共5小题）16．（15分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知223()32a c b ac -=-．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若53a b =， ()i 求sin A 的值； ()ii 求sin(2)6A π+的值．17．（15分）如图，已知在四棱锥P ABCD -中，已知5AB BC ==，4AC =，22AD DC ==点O 为AC 的中点，PO ⊥底面ABCD ，2PO =，点M 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D AM C --的正弦值；（Ⅲ）记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且//NQ 平面ADM ，求线段OQ 的长．18．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>63(22,)T 在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线2y x m +与椭圆交于A ，B 两点，点P 的坐标为(22,0)，且1PA PB =-，求实数m 的值．19．（15分）已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 是等比数列，且347a a a +=，245b b b =，4234a b b =-，数列{}n c 满足：212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m-=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩，其中*m N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记*3231313331()n n n n n n n t c c c c c c n N ---+=++∈，求数列{}n t 的前n 项和． 20．（15分）已知函数2()2f x x xlnx =-，函数2()()ag x x lnx x=+-，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求实数0x 和a 的值；（3）证明*21(21)()241nk ln n n N k =>+∈-．2020年天津市普通高中学业水平考试数学试卷（1月份）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{2A =-，0，1，2}，{1B =-，0，1}，则集合(UAB = )A ．{0，1}B ．{2-，2}C ．{2-，1}-D ．{2-，0，2}【解答】解：全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{2A =-，0，1，2}，{1B =-，0，1}，则{2UB =-，2}，则集合{2UA B =-，2}，故选：B ．2．（5分）设a R ∈，则“2a ”是“2320a a -+”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：由2320a a -+，得1a 或2a ．即由2a 可得2320a a -+，反之不一定成立．故“2a ”是“2320a a -+”的充分非必要条件．故选：A ．3．（5分）函数2()x x f x e=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当1x =时，f （1）10e=>．排除C ．22222()x x x x xe x e x x f x e e --'==，令220xx x e -=，可得2x =，当(0,2)x ∈，()0f x '>，函数()f x 是增函数，当(2,)x ∈+∞，()0f x '<，函数是减函数， C ∴，D 不正确，故选：A ．4．（5分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积为36，E 为棱1CC 上的点，且12CE EC =，则三棱锥E BCD -的体积是( )A ．3B ．4C ．6D ．12【解答】解：设长方体1111ABCD A B C D -的同顶点的三条棱CB ，CD ，1CC 长分别为a ，b ，c ，则有36abc =．则三棱锥E BCD -的体积是112143239ab c abc ⨯⨯==．故选：B ．5．（5分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量（单位：吨），其频率分布表和频率分别直方图如图：则图中t 的值为( ) 分组频数频率 [0，0.5) 4 0.04 [0.5，1) 5 0.08[1，1.5) 15 a[1.5，2) 220.22 [2，2.5) m0.25 [2.5，3) 14 0.14 [3，3.5) 6 0.06 [3.5，4) 4 0.04 [4，4.5)2 0.02 合计1001.00A ．0.15B ．0.075C ．0.3D ．15 【解答】解：由频率分布表可知，1.00(0.040.080.220.250.140.060.040.02)0.15a =-+++++++=，则0.150.30.50.5a t ===．故选：C ．6．（5分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞单调递增则( ) A ．221(log )(log )(2)3f f f ππ->>B ．221(log )(2)(log )3f f f ππ->C ．221(2)(log )(log )3f f f ππ->>D ．221(2)(log )(log )3f f f ππ->>【解答】解：()f x 是偶函数，2221(log )(log 3)(log 3)3f f f ∴=-=，221log 3log 2π<<<，021π-<<，2202log 3log 2ππ-∴<<<<， ()f x 在[0，)+∞为增函数，22(2)(log 3)(log )f f f ππ-∴<<，即221(2)(log )(log )3f f f ππ-<<，故选：A ．7．（5分）抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲线221169x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为( ) A ．52B ．403C ．203D【解答】解：由双曲线的方程可得右焦点坐标为：(5,0)渐近线的方程为：340x y ±=，而由抛物线的方程的的坐标为(0,)2p，所以两个焦点连线的斜率为：2510pp=--，由题意可得4103p -=-，解得403p =，故选：B ．8．（5分）已知函数()sin cos f x x x =+，下列结论错误的是( ) A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()y f x =的图象关于直线54x π=对称 C ．74π是()f x 的一个零点 D ．()f x 在区间3(,)2ππ单调递减【解答】解：已知函数()sin cos 2sin()4f x x x x π=+=+，对于A 项，()f x 的最小正周期为22||T ππω==，A 正确；对于B 项，55()2sin()2444f πππ=+=-，()y f x =的图象关于直线54x π=对称，故B 正确；对于C 项，77()2sin()0444f πππ=+=，74π是()f x 的一个零点，故C 正确；对于D 项，sin cos x + 2sin()4x x π=+，函数的单调递减区间为：322242k x k πππππ+++，k Z ∈，解得：52244k xk ππππ++，k Z ∈，故()f x 在区间3(,)2ππ单调递减错误，故D 错误．故选：D ．9．（5分）已知函数22,0()24,0x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()|1|F x f x kx =--有且只有3个零点，则实数k 的取值范围( ) A ．9(0,)16B ．9(,)16+∞C ．1(0,)2D ．19(,0)(0,)1616-【解答】解：依题意，函数()f x 与函数()|1|g x kx =-的图象有三个交点，且()y g x =恒过点(0,1)，与x 轴的交点为1(,0)(0)k k≠，作出示意图如下图所示，当0k >，且()|1|g x kx =-的右侧图象刚好与24x y x-=相切时，此时有2340kx k -+=，则△9160k =-=，解得916k =，当0k <，且()|1|g x kx =-的右侧图象刚好与24x y x-=相切时，此时有240kx x +-=，则△1160k =+=，解得116k =-，由图象可知，满足条件的k 的取值范围为19(,0)(0,)1616-．故选：D ．二．填空题（共6小题）10．（5分）i 是虚数单位，复数321i i +=- 1522i + ．【解答】解：32(32)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==+--+．故答案为：1522i +． 11．（5分）已知直线250x y +-=与圆229x y +=相交于A ，B 两点．则线段AB 的长为 4 ．【解答】解：圆心(0,0)O 到直线的距离d =∴线段AB 的长4==．故答案为：4．12．（5分）42)x 的展开式中，常数项是 8- ．【解答】解：二项式42)x 的展开式的通项公式为44433144()(2)(2)r r rr rr rr T x xx---+=-=-．令x 的幂指数4403r-=，解得1r =， ∴展开式中的常数项为：1124(2)8T =-=-．故答案为：8-．13．（5分）已知某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果互相独立，则恰投中两次的概率为 49；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数，则随机变量X 的数学期望为．【解答】解：某同学投篮投中的概率为23，现该同学要投篮3次，且每次投篮结果互相独立，则恰投中两次的概率为223214()()339P C ==；记X 为该同学在这3次投篮中投中的次数，则2~(3,)3X B ，则随机变量X 的数学期望为2()323E X =⨯=．故答案为：49，2． 14．（5分）已知0a >，0b >，则2233224a b a b a b ++的最小值为 4 ．【解答】解：0a >，0b >，则22332222224141442a b a b ab ab ab a b b a b a ab ++=+++=+，（当且仅当2214b a =即2a b =时取等号）， 424ab ab =，当且仅当4ab ab=即2ab =时取等号，故22332244a b a b a b++，当且仅当2ab =且2a b =即1b =，2a =时取等号，此时取得最小值4．故答案为：415．（5分）如图，在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，1AE =，且12AD AE =，则||AD = 1 ，若P 是线段DE 上的一个动点，则BP CP 的最小值为．【解答】解：1AE =，60BAC ∠=︒，∴11||22AD AE AD ==，∴||1AD =，∴在DAE ∆中，根据余弦定理得，22212cos6011212DE AD AE AD AE =+-︒=+-⨯=，又3AB =，2AC =，2BD ∴=，1CE =，且60ADE AED ∠=∠=︒， P 是线段DE 上的一个动点，∴设DP DE λ=，01λ，则(1)EP DE λ=-， ∴()()BP CP BD DP CE EP =++()[(1)]BD DE CE DE λλ=++-2(1)(1)BD CE DE BD DE DE CE λλλλ=+-+-+21112121(1)11()222λλλλ=⨯⨯+-+⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯22λλ=-211()416λ=--，∴14λ=时，BP CP 取最小值116-．故答案为：11,16-．三．解答题（共5小题）16．（15分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知223()32a c b ac -=-．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若53a b =， ()i 求sin A 的值； ()ii 求sin(2)6A π+的值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由223()32a c b ac -=-，整理可得222223a cb ac +-=，又由余弦定理可得，2cos 3B =；（Ⅱ）()i 由（Ⅰ）可知，sin B ，又由正弦定理sin sin a b A B=及53a b =可得，sin 3sin 5a B A b ===()ii 由()i 可得，23cos2125A sin A =-=，由53a b =可得a b <，故有A B <，所以A 为锐角，故由5sin 5A =，可得，25cos 5A =，从而有4sin 22sin cos 5A A A ==，所以4331433sin(2)sin 2cos cos2sin 666525210A A A πππ++=+=⨯+⨯=． 17．（15分）如图，已知在四棱锥P ABCD -中，已知5AB BC ==，4AC =，22AD DC ==，点O 为AC 的中点，PO ⊥底面ABCD ，2PO =，点M 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求直线PB 与平面ADM 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D AM C --的正弦值；（Ⅲ）记棱PD 的中点为N ，若点Q 在线段OP 上，且//NQ 平面ADM ，求线段OQ 的长．【解答】解：依题意，可以建立以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，可得(0O ，0，0)，(0A ，2-，0)，(1B ，0，0)，(0C ，2，0)， (2D -，0，0)，(0P ，0，2)，(0M ，1，1)，（Ⅰ）依题意可得(2,2,0),(0,3,1)AD AM =-=，设平面ADM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则22030n AD x y n AM y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，可取(1,1,3)n =-，又(1,0,2)PB =-，故755cos ,55||||PB n PB n PB n <>==， ∴直线PB 与平面ADM 755；（Ⅱ）由已知，可得OB ⊥平面AMC ，故平面AMC 的一个法向量为(1,0,0)OB =，∴11cos ,11||||OB n OB n OB n <>==， ∴二面角D AM C --的正弦值为11011；（Ⅲ）设线段OQ 的长为(02)h h ，则点Q 的坐标为(0，0，)h ，由已知可得点N 的坐标为(1-，0，1)，进而可得(1,0,1)NQ h =-，由//NQ 平面ADM ，故NQ n ⊥，则13(1)0NQ n h =--=，∴4[0,2]3h =∈，即线段OQ 的长为43．18．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>63(22,)T 在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线2y x m +与椭圆交于A ，B 两点，点P 的坐标为(22,0)，且1PA PB =-，求实数m 的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的离心率6c e a ==，∴不妨设3,6(0)a t c t t ==>，22223b a c t ∴=-=，点3(22,T 在椭圆上，∴22183193t t +=，解得21t =，∴椭圆的方程为22193x y +=．（Ⅱ）设A ，B 的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立222193y x mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22762390x mx m ++-=，∴1221262397mx x m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，22(62)47(39)0m m =-⨯⨯->即2021m <<，1PA PB =-，∴211221212(22,)(22,)3)8PA PB x yx y x x x x m =--=+-+++22239424283()81777m m m m -++=⨯+-⨯-++==-，解得7522m =--或，均符合2021m <<．故7522m =--或．19．（15分）已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 是等比数列，且347a a a +=，245b b b =，4234a b b =-，数列{}n c 满足：212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m-=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩，其中*m N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记*3231313331()n n n n n n n t c c c c c c n N ---+=++∈，求数列{}n t 的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）数列{}n a 是公差d 为1的等差数列，且347a a a +=，可得11256a d a d +=+，即11a d ==，则11an n n =+-=；设等比数列{}n b 的公比为q ，由245b b b =，2344b b -=，可得24411b q b q =，21144b q b q -=，解得11b =，2q =，则12n n b -=；（Ⅱ）2221212,322,32,312,31,3,3m m m n m mb n m n mc b n m n m a n m m n m---⎧=-=-⎧⎪⎪==-==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩，*m N ∈，2221212432132313133312222232n n n n n n n n n n n n n t c c c c c c n n n --------+=++=++=+，设数列{}n t 的前n 项和为n T ，则543352135212(116)(222)3(1122322)3(1222322)116n n n n n T n n ----=++⋯+++++⋯+=++++⋯+-，设35211222322n n R n -=+++⋯+，3572141222322n n R n +=+++⋯+，两式相减可得352121212(14)322222214n n n n n R n n -++--=+++⋯+-=--，化简可得2122(31)99n n R n +=+-，则数列{}n t 的前n 项和为212162822163(31)1515315n n nn n T R n +-=+=+-+． 20．（15分）已知函数2()2f x x xlnx =-，函数2()()ag x x lnx x=+-，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求实数0x 和a 的值；（3）证明*1(21)()2nk ln n n N =>+∈．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域(0,)+∞，()222f x x lnx '=--，令()222h x x lnx =--，则2(1)()x h x x-'=，由()0h x '=可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，故当1x =时，函数取得极小值也是最小值h （1）0=，所以()0h x 即()0f x '，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）()g x 的定义域(0,)+∞，22()1a lnxg x x x'=--，由题意可得，0()0g x '=即200020x x lnx a --=①，由0()2g x =可得220000()220x x lnx lnx ---=②，联立①②消去a 可得，20002()220x lnx lnx ---=，令2()2()22t x x lnx lnx =---，则222(1)()2lnx x lnx t x x x x--'=--=，由（1）知10x lnx --，故()0t x '，故()t x 在(0,)+∞上单调递增，又t （1）0=，故方程③有唯一的解01x =，代入①可得1a =，所以01x =，1a =，（3）证明：由（1）2()2f x x xlnx =-在(0,)+∞上单调递增，故当1x >时，()f x f >（1）1=，22221()1()0x xlnx f x g x x x---'==>，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，因此当1x >时，()g x g >（1）2=，即21()2x lnx x+->，故22()lnx >，∴lnx >，取2121k x k +=-，*k N ∈(21)(21)ln k ln k >+--，=，故(Tex translation failed)，所以*1(21)()2nk ln n n N =>+∈．。

2010年天津市普通高中学业水平考试数学试题(含答案)

2010年天津市普通高中学业水平考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分100分，考试用时90分钟。

参考公式：·主体体积公式ｓｈ柱体=V ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱高.·椎体体积公式 sh 31V =椎体其中S 表示锥体的底面积，h 表示椎体的高. ·球的体积公式 3R 34V π=球，其中R 表示球的半径第I 卷一．选择题：本题共20题，共45分。

其中（1）～（15）题每小题2分；第（16）～（20）题每小题3分，在每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7}，则A ∪B 等于A.{4，5}B.{1，2，3，4，5，6，7}C.{1，2，3}D.{6，7}2.函数)63sin(2π+=x y （x ∈R ）的最大值是A.-2B.1C.2D.33.若向量a=（2，m ），b=（6，9），且a ∥b ，则m 的值是 A. 34- B.-3 C. 34 D.3 4.若向量a ，b 满足|a|=2，|b|=5，a·b=35，则a 与b 的夹角是A.30°B.45°C.60°D.1505.计算ii +2（其中i 为虚数单位）等于 A.1-2i B.1+2i C.-1-2i D.-1+2i6.椭圆191622=+y x 的离心率等于 A.43 B. 47 C. 54 D. 7747.双曲线192522=-y x 的渐近线方程是 A. x y 925±= B. x y 259±= C. x y 35±= D. x y 53±= 8.若抛物线y 2=2px 焦点的坐标为（2，0），则p 的值等于A.8B.4C.2D.19.在等比数列{a n }中，若211=a ，a 4=4，则公比q 的值等于 A. 21 B.2 C.2 D.4 10.直线l 1：321+=x y 与直线l 2：y=kx-5互相垂直的充要条件是 A.21=k B.21-=k C.k=2 D.k=-2 11.下列函数中，在R 上单调递减的是A.y=-xB.21x y = C.y=x -1 D.y=x 212.在下边的程序框图表示的算法中，输出的S 值是A.31B.15C.14D.713.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-.062;03;02y x y x y x ，则目标函数z=x+2y 的最大值是A.3B.4C.8D.1014.如图，某几何体的正视图和侧视图都是边长为2cm 的正方形，俯视图是一个圆，则该几何体的体积等于A.2πcm 3B.4πcm 3C.8πcm 3D.32πcm 3 15.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1B 所在的直线与底面ABCD 所成角的余弦值等于 A.33 B.22 C.36 D.2316. 如图，在矩形ABCD 中，AD=1，AB=2，以A 为圆心，AD 为半径在矩形内部作扇形A ED ，若向矩形ABCD 内部随机投一点，则所投点落在该扇形中的概率是A.4π B.8π C.31 D.52 17.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次，出现“一次正面向上，两次反面向上”的概率是 A.81 B.61 C.31 D.83 18.要得到函数)43cos(π+=x y （x ∈R ）的图象，只需将函数y=cos3x （x ∈R ）图象上所有的点 A.向右平行移动4π个单位长度 B.向左平行移动4π个单位长度 C.向右平行移动12π个单位长度 D.向左平行移动12π个单位长度 19.若a=ln3，b=log 3e ，c=log 9e ，其中e 为自然对数的底，则a ，b ，c 三者的大小关系是A.c ＜a ＜bB.b ＜c ＜aC.c ＜b ＜aD.a ＜b ＜c20.已知m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．若m ⊥α，β⊂n ，则下列命题为真命题的是A.若m ∥n ，则α⊥βB.若m ⊥n ，则α∥βC.若α⊥β，则m ⊥nD.若α⊥β，则m ∥n第Ⅱ卷（非选择题，共55分）注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市武清区2020年高二(下)数学期末学业水平测试试题含解析

天津市武清区2020年高二(下)数学期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某射手每次射击击中目标的概率是(01)p p <<，且各次射击的结果互不影响.设随机变量X 为该射手在n 次射击中击中目标的次数，若()3E X =，() 1.2D X =，则n 和p 的值分别为（） A ．5，12B ．5，35C ．6，12D ．6，35【答案】B 【解析】【分析】通过二项分布公式()3E X np ==及()(1) 1.2D X np p =-=可得答案. 【详解】根据题意，(,)X B n p :，因此()3E X np ==，()(1) 1.2D X np p =-=，解得35,5n p ==，故选B. 【点睛】本题主要考查二项分布的相关公式，难度不大.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()121n n S S n N ++=-∈，则10a =（） A ．128 B ．256 C ．512 D ．1024【答案】B 【解析】【分析】S n+1＝2S n ﹣1（n ∈N +），n≥2时，S n ＝2S n ﹣1﹣1，相减可得a n+1＝2a n ．再利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】∵S n+1＝2S n ﹣1（n ∈N +），n≥2时，S n ＝2S n ﹣1﹣1，∴a n+1＝2a n ． n ＝1时，a 1+a 2＝2a 1﹣1，a 1＝2，a 2＝1． ∴数列{a n }从第二项开始为等比数列，公比为2．则a 10822a =⨯=1×28＝3．故选：B ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，且()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，下述四个结论：①满足条件的ω取值有2个 ②3,02π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 ③()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 在()0,π上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是（） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③【答案】D 【解析】【分析】依照题意找出ω的限制条件，确定ω，得到函数()f x 的解析式，再根据函数图像逐一判断以下结论是否正确．【详解】因为函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线34x π=对称，所以3+k 42ππωπ= 41()0,32k k Z ω=+>∈，又()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为单调函数，24ππω∴≤，即2ω≤，所以23ω=或2ω=，即()2sin 3f x x =或()sin 2f x x =所以总有3()02f π=，故①②正确；由()2sin3f x x =或()sin 2f x x =图像知，()f x 在,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故③正确；当(0,)x π∈时，()2sin3f x x =只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确；综上，所有正确结论的编号是①②③．【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，意在考查学生综合分析解决问题的能力． 4．已知x ，y 的取值如下表示：若y 与x 线性相关，且$0.95y x a =+，则a =（）A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9【答案】B 【解析】【分析】求出,x y ，代入回归方程可求得a ．【详解】由题意013424x +++==， 2.2 4.3 4.8 6.74.54y +++==，所以4.50.952a =⨯+， 2.6a =．故选：B. 【点睛】本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键．回归直线一定过中心点(,)x y ． 5．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）A ．1∶2∶3B ．1C ．1D ．1∶∶【答案】A 【解析】【分析】设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。

天津市河北区2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析

天津市河北区2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义语句“mod r m n =”表示把正整数m 除以n 所得的余数赋值给r ，如7mod31=表示7除以3的余数为1，若输入56m =，18n =，则执行框图后输出的结果为（）A ．6B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的m 的值.【详解】第一次进入循环，因为56除以18的余数为2，所以2r ，18m =，2n =，判断r 不等于0，返回循环；第二次进入循环，因为18除以2的余数为0，所以0r =，2m =，0n =，判断r 等于0，跳出循环，输出m 的值为2.故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.2．设()f x 是可导函数,且满足()()011lim 22x f f x x ∆→-+∆=∆,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为( ) A ．4B ．-1C ．1D ．-4【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导得到f′（1）=-4，由此能求出曲线y=f （x ）在（1，f （1））处切线的斜率．【详解】由()()011lim 22x f f x x∆→-+∆=∆，得()()()()()()001111=lim lim 2421x x f f x f f x f x x ∆→∆→-+∆-+∆=⋅-∆∆'=--， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为-4，故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题.3．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为，计算其相关系数为，相关指数为.经过分析确定点为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，相关指数为.以下结论中，不正确．．．的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据相关性的正负判断和的正负，根据两个模型中回归直线的拟合效果得出和的大小关系，将第一个模型中的样本数据中心点代入直线的方程得出的值，由两回归直线的倾斜程度得出两回归直线的斜率大小关系。

天津市六校2024届数学高一上期末学业水平测试试题含解析

2πx
π 6
的最小正周期是（
）
A.1
B.2
C. π
D. 2π
3．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4．已知函数 y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为 R，则 k 的取值范围是( )
14．某学校在校学生有 2000 人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比
赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为 a，b，c，且 a : b : c 2 : 5: 3 ，全校参加登山的人数占总人数的 1 . 4
为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为 200 的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______.
【题目详解】由 9x 1 2 2 9x 1 2 6 2 4 ,当且仅当 9x 1 ，即 x 1 时等号成立.
x
x
x
3
当 x 时，函数 y 9x 1 2 的函数值趋于 x
所以函数 y 9x 1 2 无最大值，有最小值 4 x
故选：B
7、D
【解题分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系
解不等式得 k≤0 或 k≥1 所以选 C 【题目点拨】本题考查了对数函数的性质，注意定义域为 R 与值域为 R 是不同的解题方法，属于中档题 5、C
【解题分析】设 c a1 a2 ，
∵ a1 a2 0 ，且 ai 1i 1, 2 ，
∴ c a1 a2 2
∵ a1 a2 a3 c a3 c a3 2 1，当且仅当 c 与 a3 共线同向时等号成立，

天津市红桥区2022-2023学年高中学业水平合格性考试模拟数学试题(含答案解析)

天津市红桥区2022-2023学年高中学业水平合格性考试模拟
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．0
10．半径为1的球的表面积是（
A ．2π
11．已知0.2log 2a =，A ．c<a<b
12．为了得到函数cos y =A ．向左平行移动
C ．向左平行移动13．同时掷两个质地均匀的骰子，向上点数之积为A ．
13
14．某市招募生活垃圾分类志愿者，通过开展丰富多彩的志愿服务活动，调动和引导社会各界广泛参与本市的垃圾分类工作，提高居民垃圾分类的知晓率、参与率和准确率此次共招募志愿者300志愿者队伍30人.现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为者队伍中抽取的人数为（
A ．6
15．若a ，b 都是正数，则
三、解答题21．已知3sin 5α=
，π,π2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
(1)求cos α，tan α的值；
(2)求πcos 3α⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
22．已知向量()
1,3a =
，向量()
3,1b =--r .
(1)求a b + ，3b ；(2)求a r ，a b ⋅ .
23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB =点.求证：
(1)1BC A D ⊥；
参考答案：
因为D 是AB 的中点，所以OD ⊂ 平面1ACD ，1BC ⊄1BC ∴∥平面1
ACD .。

天津市武清区2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题含解析

天津市武清区2020年高二第二学期数学期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A ．1712π+B ．2012π+C ．1212π+D ．1612π+【答案】B 【解析】【分析】根据三视图可确定几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果. 【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱∴几何体表面积：()221112312332132231220222S ππππ=⨯-+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+本题正确选项：B 【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况. 2．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则最多有一个二等品的概率为（）A ．49041001C C -B ．0413109010904100C C C C C + C ．1104100C CD ．1310904100C C C 【答案】B【解析】解：解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为4100C 个，其中恰好有一个二等品的事件有130410901090+C C C C 个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为0413********4100C C C C C + 3．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（）A ．|a|>b -B ．1a b< C <D ．11a b< 【答案】A 【解析】【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断．【详解】∵a ＜0，∴|a|＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a|＞﹣b ，故结论A 成立；取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确；1==C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确．故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．4．已知函数()sin cos f x x x =-,且()()2f x f x '=,其中()f x '是()f x 的导函数，则221sin cos sin 2xx x+=-（） A ．195-B ．195C ．113D ．113-【答案】A 【解析】分析：求出原函数的导函数，然后由f′（x ）=2f （x ），求出sinx 与cosx 的关系，同时求出tanx 的值，化简要求解的分式，最后把tanx 的值代入即可．详解：因为函数f （x ）=sinx-cosx ，所以f ′（x ）=cosx+sinx ，由f′（x ）=2f （x ），得：cosx+sinx=2sinx-2cosx ，即3cosx=sinx ，所以tan 3x =.所以221sin cos sin2x x x +-=22222222sin cos sin 2sin cos 2tan 119cos 2sin cos cos 2sin cos 12tan 5x x x x x x x x x x x x x ++++===----. 故答案为A.点睛：（1）本题主要考查求导和三角函数化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化计算能力.(2)解答本题的关键是221sin cos sin2x x x +-=2222sin cos sin cos 2sin cos x x xx x x++-22222sin cos 2tan 1cos 2sin cos 12tan x x x x x x x++==--.这里利用了“1”的变式，1=22sin cos αα+. 5．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】【分析】由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量n 的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算S 时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：1111111111114113355779233557799S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【详解】解：由程序框图知：第一次循环：S 初始值为0，不满足49S ≥，故11133S ==⨯，3n =；第二次循环：当13S =，不满足49S ≥，故11111121133523355S ⎛⎫=+=-+-= ⎪⨯⨯⎝⎭，5n =；第三次循环：当25S =，不满足49S ≥，故11131335577S =++=⨯⨯⨯，7n =；第四次循环：当37S =，不满足49S ≥，故11114133557799S =+++=⨯⨯⨯⨯，9n =；此时，49S =，满足49S ≥，退出循环，输出9n =，故选D . 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.6．已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =；命题q ：若函数()f x 在区间(,)a b 上有()(0)f a f b <，则p 是q 的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断. 【详解】命题p 推不出命题q ，所以充分性不具备；比如：()2f x x =，区间为[]3,2-，满足命题p ，但()()320f f -＞，根据零点存在性定理可知，命题q 能推出命题p ，所以必要性具备；故选：C 【点睛】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.7．设向量a v 与向量b v 垂直，且(2,)a k =v，(6,4)b =v ，则下列向量与向量a b +v v 共线的是（）A ．(1,8)B ．(16,2)--C ．(1,8)-D ．(16,2)-【答案】B 【解析】【分析】先根据向量a b ⊥r r计算出k 的值，然后写出a b +r r 的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.【详解】因为向量a r 与向量b r垂直，所以2640k ⨯+=，解得3k =-，所以()8,1a b +=r r ，则向量()16,2--与向量a b +r r共线，故选：B. 【点睛】本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当()()1122,,,a x y b x y ==r r ，若a b ⊥r r，则12120x x y y +=，若a b r rP ，则12210x y x y -=.8．使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（） A ．23x ≤≤ B ．63x -≤≤C ．53x -≤≤D ．62x -≤≤【答案】B 【解析】解不等式14x +≤，可得414x -≤+≤，即53x -≤≤，故“63x -≤≤”是“53x -≤≤”的一个必要不充分条件，故选B.9．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙，丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键． 10．若随机变量~(,)X B n p ，其均值是80，标准差是4，则n 和p 的值分别是( ) A ．100，0.2 B ．200，0.4C ．100，0.8D ．200，0.6【答案】C 【解析】【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n 和p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．【详解】∵随机变量~(,)X B n p ，其均值是80，标准差是4， ∴由()80,116np np p =-=，∴0.8100p n ==,．故选：C ．【点睛】本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．11．函数()32292f x x x =+-在区间[]4, 2-上的最大值和最小值分别为()A ．25,-2B ．50,-2C ．50,14D ．50,-14【答案】B 【解析】【分析】求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值．【详解】∵函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2， ∴f′（x ）＝6x 2+18x ，当x ∈[﹣4，﹣3），或x ∈（0，2]时，f′（x ）＞0，函数为增函数；当x ∈（﹣3，0）时，f′（x ）＜0，函数为减函数；由f （﹣4）＝14，f （﹣3）＝25，f （0）＝﹣2，f （2）＝50，故函数f （x ）＝2x 3+9x 2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值及函数的单调性问题，属于中档题． 12．已知全集U =R ，集合2{|20},{|2}A x x x B x x =-<=<，则（） A ．()R B C A R ⋂= B ．()R B C A ⋂=∅ C ．A B A ⋃= D ．A B A =I【答案】D 【解析】【分析】首先解出集合A ，B ，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。

2022年天津市河东区普通高中学业水平合格考试数学模拟试卷+答案解析(附后)

2022年天津市河东区普通高中学业水平合格考试数学模拟试卷1. 已知全集，，则( )A. B. C. D.2. ( )A. B. C. D.3. 下列函数与是同一个函数的是( )A. B. C. D.4. 若，，则等于( )A. B. C. D.5. 下列函数中，是偶函数的为( )A. B. C. D.6. 命题p：“”，的否定为( )A. ，B. ，C. D.7. 如图，在直三棱柱中，，如果，，，那么直三棱柱的体积为( )A. 2B. 3C. 4D. 68. 复数为纯虚数，则a的取值是( )A. 3B.C.D. 19. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )A. B.C. D.10. 某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是( )A. 方差B. 中位数C. 众数D. 平均数11. 要得到函数的图象，只需将函数，的图象( )A. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变B. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变C. 横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变D. 横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变12. 已知三个数，则( )A. B. C. D.13. 彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下．某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高( )A. 30mB.C.D.14. 函数的零点所在的大致区间是( )A. B. C. D.15. 现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测得了它的物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.( )A. 34B. 67C. 340D. 67016. 函数，的最大值是______.17. 某校足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，为了了解运动员的身体素质，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则应抽取的．男运动员人数为__________；女运动员人数为__________.18. 若正数a，b满足，则的最小值为______.19. 已知平面向量，满足，，，则______ .20. 已知函数，则______.21. 若，且是第三象限角．求与的值．求的值．22. 同时抛掷3枚硬币一次，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．写出这个试验的基本事件；求“至少有两枚正面向上”这一事件的概率．23. 如图，在正方体中，E为的中点，求证：平面；平面24. 已知函数是二次函数，不等式的解集为，且在区间上的最小值是求的解析式；求在上的最大值的解析式；设，若对任意恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：全集，，故选：利用补集定义求出本题考查补集的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：故选：利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得解．本题考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：的定义域为R，A. ，且定义域为R，故正确；B. ，故错误；C. ，故错误；D.，故错误；故选：根据同一函数的定义判断．本题考查函数的三要素，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：，，故选：利用向量的坐标运算即可得出．本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由为奇函数，故A错误；为奇函数，故B正确；为偶函数，故C正确；为奇函数，故D错误．故选：由常见函数的奇偶性可得结论．本题考查函数的奇偶性的判断，考查推理能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：命题p：“”，的否定为，，故选：由命题的否定的定义判断即可本题考查命题的否定的定义，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：在直三棱柱中，，，，，又平面ABC，且，故选：由已知求出直棱柱的底面积，再由棱柱体积公式求解．本题考查棱柱体积的求法，是基础的计算题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．实部为0而虚部不为0的虚数被称为纯虚数，由此定义建立关系式，即可求得答案．【解答】解：是纯虚数，且，解之得故选：9.【答案】C【解析】解：由图形可知A：，A显然不正确；由平行四边形法则知B：，B也不正确；对于C：根据向量加法的平行四边形法则得故C正确；D中：，故D不正确．故选结合平行四边形可以看出以平行四边形的边做向量，所得到向量之间的关系，依据是平行四边形的一对对边平行且相等，得到相等向量和相反向量．本题考查相等向量和相反向量，以及向量的加法、减法及其几何意义，是一个借助于平行四边形的边之间的关系来解题的，是一个基础题，只要认真就没有问题．10.【答案】A【解析】解：由题意知，设上次的月考成绩的方差为，则本次的方差为，而平均数、中位数、众数都相差50，故选：利用平均数、中位数、众数、方差的概念直接求解．本题考查这两个样本不变的数字特征的判断，考查平均数、中位数、众数、方差的概念等基础知识，是基础题．11.【答案】C【解析】解：要得到函数的图象，只需将函数，的图象横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变；故选：直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：因为，所以故选：利用指数函数和对数函数的单调性求解．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】D【解析】解：在中，，，，，由正弦定理，得，所以，在中，所以塔高AB为故选：先根据三角形内角和为，求得，再根据正弦定理求得BC，进而在中，根据求得本题考查了解三角形的实际应用，正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：在上是增函数，，，，根据零点存在性定理，可得函数的零点所在区间为故选：根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得在上是增函数，再通过计算、的值，发现，即可得到零点所在区间．本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．15.【答案】D【解析】【分析】本题考查频率分布直方图的应用，考查学生的识图能力，属于基础题．根据频率分布直方图的性质即可求得答案．【解答】解：由图可得指标值小于95的频率为：，故指标值不小于95的频率为，则指标值不小于95的件数为故选：16.【答案】2【解析】解：，，则函数则函数，的最大值是故答案为：直接由余弦函数的范围求解原函数的最大值．本题考查函数的最值及其求法，是基础题．17.【答案】1812【解析】【分析】本题考查分层抽样，属于基础题.总体中男女的比例为3：2，由分层抽样知，样本中男女的比例为3：2，由比例列式求解．【解答】解：男运动员抽取人，女运动员抽取人．故答案为：18；18.【答案】【解析】解：正数a，b满足则，当且仅当即，时取等号．故答案为：由基本不等式可得，，代入即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．19.【答案】【解析】解：，，，，故答案为：根据数量积的运算即可求出的值，进而得出的值．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．20.【答案】3【解析】解：根据题意，函数，则；故答案为：根据题意，由函数的解析式可得，进而计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．21.【答案】解：，，①又，②是第三象限角，由①②解得，，【解析】由，可得①，又②，再由是第三象限角，故可由①②解得与的值．利用二倍角公式求出的值，再由两角差的正切公式求出的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的正切公式的应用，属于基础题．22.【答案】解：根据题意，续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．这个试验的基本事件有8个，分别为：正正正，正反正，正正反，反正正，反反正，反正反，正反反，反反反根据题意，“至少有两枚正面向上”这一事件包含的基本事件有4个，分别为：正正正，正反正，正正反，反正正，故“至少有两枚正面向上”这一事件的概率【解析】根据题意，利用列举法求解；根据题意，利用列举法分析事件的情况数目，进而由古典概型的概率求解．本题考查古典概型的计算，注意列举法的使用，属于基础题．23.【答案】解：四边形ABCD是正方形，又平面ABCD，面ABCD，，，平面设O为底面ABCD的对角线的交点，连结OE、E分别是BD、的中点，是的中位线，平面AEC，平面AEC，平面【解析】正方形ABCD中，可得，由平面ABCD证出，再利用线面垂直的判定定理，即可证出平面设O为底面ABCD的对角线的交点，连结OE，可得OE是的中位线，得利用线面平行的判定定理即可证出平面本题在正方体中证明线面垂直和线面平行，着重考查了正方体的性质和空间线面垂直、平行位置关系的判定与证明等知识，属于中档题．24.【答案】解：因为解集为，所以可设，且，其图象对称轴为，开口向下，则在区间上的最小值，解得，所以；由得函数的图象对称轴为，开口向下，所以当时，，当时，；所以由题意，，因为对任意恒成立，即对任意恒成立，则，即对恒成立，令则，该二次函数开口向下，对称轴为，所以当时，，故，所以，解得或，即【解析】依题意，设，且，分析在区间上的单调性及最小值，得，可解得a，从而可得其解析式；由得函数的图象对称轴为，开口向下，分与两类讨论，可求得在上的最大值的解析式；对任意恒成立可转化为：对恒成立，令可求得的最小值，于是可得实数m的取值范围．本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质及其应用，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．。

2019-2020学年天津市河北区数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年天津市河北区数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋3B ．4π＋3C 23D 23【答案】C 【解析】【分析】【详解】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是2，侧棱长22213-=2，高是2，所以组合体的体积是21123223122323ππ⨯⨯⨯⨯⨯=+，故选C. 考点：几何体的三视图及体积的计算. 【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.2．函数的定义域为R ，()f 22022-=，对任意的x R ∈，都有()f'x 2x <成立，则不等式()2f x x 2018<+的解集为( ) A ．()2,∞-+ B ．()2,2-C ．(),2∞--D ．R【答案】A【解析】【分析】把原不等式化为右侧为0的形式，令左侧为()g x ，利用导数得到()g x 的单调性，得解集．【详解】原不等式化为()2f x x 20180--<，令()()2g x f x x 2018=--，则()()g'x f'x 2x =-，对任意的x R ∈，都有()f'x 2x <成立，()g'x 0∴<恒成立， ()g x ∴在R 上递减，()()2g 2f 2(2)2018-=---- 2022420180=--=，()g x 0∴<的解集为()2,∞-+，故选：A ．【点睛】此题考查了利用导数研究单调性，解决不等式问题，难度适中．对于没有解析式或者表达式比较复杂的不等式，通常采取的方法是，研究函数的单调性和零点，进而得到解集。

2024届天津市静海区瀛海学校高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届天津市静海区瀛海学校高一数学第二学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．sin480°等于（） A ．12-B ．12C ．32-D ．322．在ABC ∆中, 16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( ) A ．1063B ．563C ．103D ．2033．把十进制数15化为二进制数为 A ．1011 B ．1001 C ．1111 D ．11104．函数12xy x=-的零点所在的区间是（） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．设向量(1,1),(2,)a b m ==,若()//2a a b +,则实数m 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c a C =，则ABC ∆是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7．将一个底面半径和高都是R 的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为1V ，半径为R 的半球的体积记为2V ，则1V 与2V 的大小关系为( ) A ．12V V > B ．12V <VC ．12V =VD ．不能确定 8．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为A ．B ．C ．D ．9．如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么：①AD MN ⊥；②//MN 平面CDE ；③//MN CE ；④MN 、CE 异面.其中不正确．．．的序号是（）A ．①B ．②C ．③D ．④10．在数列{}n a 中,1132,4n n a a a +==-,则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值是（） A ．136B ．140C ．144D ．148二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟试卷数学试题

2020年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间90分钟．参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 球的表面积公式24S R π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集{0,1,2,3},{0,2}I I M ==，则M =（）． A ．{3} B ．{1,3} C ．{2,3} D ．∅ 2．函数1cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x R ∈的最小正周期是（）． A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 3．函数()ln()f x x =-的定义域是（）．A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞ 4．已知(1,1)a =，(2,0)b =-，则32a b -=（）． A ．(7,0) B ．(7,2)- C ．(1,3)- D ．(7,3)5．下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增的是（）．A ．||y x =B ．2y x =- C ．2xy = D ．y =6．过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（）．A ．210x y +-=B ．250x y +-=C ．250x y +-=D ．270x y -+= 7．体积为3a 的正方体外接球的表面积为（）． A ．2a π B ．22a π C ．23a π D ．24a π8．已知(1,2)a =，(2,)b m =-，若//a b ，则m =（）．A ．4B ．4-C ．1-D ．19．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则这个数在区间30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的概率为（）．A ．14 B ．23 C ．13 D ．3410．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB a =，AD b =，则BE =（）．A ．12b a -B ．12b a +C ．12a b +D ．12a b - 11．要得到函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（）． A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度 12．三个数20.320.3,log 0.3,2a b c ===之间的大小关系为（）．A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<13．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率满足：第一小组与第三小组的频率和是第二小组频率的2倍，第二小组的频数为15，则抽取的学生人数为（）．A ．30B ．45C ．60D ．12014．在ABC 中，3A π=，3BC =，AB =，则C =（）．A ．4π或34π B ．4π C ．34π D ．6π15．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下：且回归方程是ˆ0.95y x a =+，则当6x =时，y 的预测值为（）．A ．8.1B ．8.25C ．8.3D ．8.4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上． 16．先后抛3枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率为_________． 17．2cos 15︒=_____．18．在ABC 中，若2,3,60AB AC A ︒==∠=，则BC 的长为_____．19．已知(1,3),(2,1)a b λ==+，且a 与b 成锐角，则实数λ的取值范围是______． 20．函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．（本小题满分10分）已知3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求tan ,sin2αα的值；（Ⅱ）求sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值．22．（本小题满分10分）已知点(2,3)-在圆22:860C x y x y m +-++=上．（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）过点(1,1)M -，斜率为43-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求弦AB 的长．23．（本小题满分10分）如图，在正方体ABCD EFGH -中，（Ⅰ）求证：平面//BEG 平面ACH ；（Ⅱ）求证：DF ⊥平面BEG ．24．（本小题满分10分）已知函数22()222f x x ax a =-++．（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值；（Ⅲ）关于x 的方程2()2f x a =有解，求实数a 的取值范围．2020年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷参考答案一、选择题：二、填空题：16．78； 17 18； 19．555,,33⎛⎫⎛⎫--⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 20．(0,3) 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） 21．解：（Ⅰ）3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，4sin 5α∴==-， 2分sin 4tan cos 3ααα∴==-， 4分 24sin 22sin cos 25ααα==-． 6分（Ⅱ）sin sin cos cos sin 333πππααα⎛⎫∴-=-⎪⎝⎭8分3144252510⎛⎫=⨯-⨯-=⎪⎝⎭ 10分 22．解：（Ⅰ）点(2,3)-在圆22:860C x y x y m +-++=上，222(3)16180m ∴+---+=，解得21m =． 2分∴圆C 的方程为22(4)(3)4x y -++=， 3分∴圆心C 坐标为(4,3)-，半径2r =． 5分（Ⅱ）．依题意，直线l 的方程为41(1)3y x -=-+，即4310x y ++=． 7分则圆心到直线l 的距离为85d ==， 9分12||5AB ∴==10分 23．解：（Ⅰ）四边形BEHC 和四边形ABGH 为平行四边形，//BE CH ∴，//BG AH ， 1分又,BE BG ⊂平面BEG ，且,CH AH ⊄平面BEG ，//CH ∴平面BEG ，//AH 平面BEG ． 3分又,CH AH ⊂平面ACH ，且CH AH H ⋂=，∴平面//BEG 平面ACH ． 5分（Ⅱ）连结HF ，DH ⊥平面EFGH ，且HF ⊂平面EFGH ，DH EG ∴⊥． 6分EG HF ⊥，又HF DH H ⋂=，EG ∴⊥平面HDF ． 7分DF ⊂平面HDF ，EG DF ∴⊥． 3分同理可得，EB DF ∴⊥．EG EB B ⋂=，DF ∴⊥平面BEG ． 4分24．解：（Ⅰ）22()()2f x x a a =-++， 1分()f x ∴关于直线x a =对称， 2分当1a =时，()f x ∴在区间(,1]-∞单调递减，在区间[1,)+∞单调递增． 4分（Ⅱ）当32a <-时，2min 317()2324f x f a a ⎛⎫=-=++ ⎪⎝⎭； 5分当3322a -时，2min ()2f x a =+； 6分当32a >时，2min 317()2324f x f a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭． 7分（Ⅲ）方程2()2f x a =有解，即方程2220x ax -+=有解． 8分2Δ480a ∴=-， 9分a ∴的取值范围是(,)-∞⋃+∞． 10分。

天津市南开区2023-2024学年高中学业水平合格性考试模拟考试数学试题

只需将 y = sin 2x 的图象向右平移 π 个单位， 6
故选:D. 8．C
【分析】由已知结合正弦定理可得 sin C =
2 ，从而可求出角 C 的值 2
【详解】因为
ÐA
=
p 3
,
BC
=
3,
AB
=
6
，所以由正弦定理
a sin
A
=
c sin C
，得
答案第21 页，共22 页
sin C
=
c sin a
三、解答题
21．已知
cosa
=
3 5
,a
Î
æ çè
-
p 2
,
0
ö ÷ø
．
(1)求 cos 2a 的值；
(2)求
sin
æ çè
p 3
-
a
ö ÷ø
的值．
22．已知向量
ar
=
(
-1,
2)
，
r b
=
(1,
-2)
，
cr
=
(
2,
x
)
．
(1)若 ar ^ cr ，求 x 的值；
试卷第41 页，共33 页
( ) (2)若 cr//
2ar
+
r b
，求 cr
的值．
23．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，
(1)求证：平面 AB1C / / 平面 A1C1D ； (2)求直线 AB1 和平面 BDD1B1 所成角．
24．设函数 f (x) = ax2 + bx +1 （a,bÎ R），满足 f (-1) = 0 ，且对任意实数 x 均有 f (x) ³ 0 .

天津市高一下学期3月学业能力调研数学试题(解析版)

一、单选题1．下列命题：①若，则；a b = a b = ②若，，则；a b = b c =a c = ③的充要条件是且； ab =a b = //a b r r ④若，，则；//a b r r //b c//a c ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其A B C D AB DC =ABCD 中，真命题的个数是（） A ． B ．C ．D ．2345【答案】A【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④.0b =【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；a b = a b a b对于②，若，，则，②对；a b = b c =a c = 对于③，且或，a b = //a b a b ⇔= a b =- 所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；a b = //a b r r a b =对于④，取，则、不一定共线，④错；0b = a c对于⑤，若、、、是不共线的四点，A B C D 当时，则且，此时，四边形为平行四边形， AB DC =//AB CD AB DC = ABCD 当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，ABCD AB DC =所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，A B C D AB DC =ABCD ⑤对. 故选：A.2．在中，内角、、所对的边分别为、、，不解三角形，确定下列判断正确的是ABC A A B C a b c （）A ．，，，有两解B ．，，，有一解 60B =︒4c =5b =60B =︒4c = 3.9b =C ．，，，有一解D ．，，，无解60B =︒4c =3b =60B =︒4c =2b =【答案】D【分析】已知，的前提下，利用直角构造出关于的不等式，即可得出三角形的60B =︒4c =ADB A b 个数解.【详解】因为，，如图于， 60B =︒4c =AD BD ⊥D由直角可得ADB A sin60AD c =⨯︒=当时，有一解； b =4b ≥当时，无解； b <当时，有两解.4b <<结合四个选项，可知，选项A ，B ，C 三项错误. 故选：D3．已知，，，则（） 5MN a b =+ 2(4)NP a b =-- 3()PQ a b =-A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线【答案】B【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可．【详解】，，28NP a b =-+3()PQ a b =- ， 283()5NQ NP PQ a b a b a b ∴=+=-++-=+ ，5MN a b =+ ，MN NQ ∴= 由平面向量共线定理可知，与为共线向量， MN NQ又与有公共点，MN NQN ，，三点共线，M ∴N Q 故选：B ．4．在中，若满足，则A 等于（） ABC A 222sin sin sin sin A B B C C =⋅+A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得. cos A A 【详解】由正弦定理得，222222,a b c b c a =++-=，222cos 2b c a A bc +-==由于，所以. 0180A <<︒︒150A =︒故选：D5．已知向量，，且的夹角是（） 2= a 1= b a - ,a bA ．B ．C ．D ．5π6π62π3π3【答案】D【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.237a b -= a b ⋅【详解】，，2223691367a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= 1a b ∴⋅=，又，. 1cos ,2a b a b a b ⋅∴<>==⋅ [],0,πa b <>∈π,3a b ∴<>= 故选：D.6．在中，若，，，则的值为（）ABC A 30A ∠=︒1b=ABCS =A sin sin abA B++A ．B ．C D【答案】B【分析】利用三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理进行求解. 【详解】在中，设角所对的边分别为，ABC A A B C ，，a b c ，，由题知，，又，，1sin 2ABC S bc A ==A 30A ∠=︒1b =所以，解得c =2222cos a b c bc A=+-a =所以由正弦定理有：A ，C ，D 错误. sin sin sin sin a b a b A B A B +====+故选：B.7．设O 是所在平面内一定点,P 是平面内一动点,若ABC ∆,则点O 是的()()()()0PB PC OB OC PC PA OA OC -⋅+=-⋅+=ABC ∆A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心【答案】B【解析】设的中点分别为，可得，再由已知可得,BC AC ,D E 2,2OB OC OD OA OC OE +=+=，得，同理可得，即可得出结论.20CB OD ⋅=OD BC ⊥OE AC ⊥【详解】设的中点分别为， ,BC AC ,D E ，2,2OB OC OD OA OC OE +=+= ，()()20,O PB PC OB OC CB CB D OD -⋅+=⋅=∴⊥ 所以，点在线段的垂直平分线上， OD BC ⊥O BC 同理点在线段的垂直平分线上， O AC 所以为的外心. O ABC ∆故选:B.【点睛】本题考查三角形外心的向量表示，考查向量线性运算以及垂直的向量表示，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题8．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为a b(),21c xa b d a x b =+=+- c d x ___________ 【答案】或112-【分析】利用向量共线的充要条件以及一元二次方程求解.【详解】已知向量、不共线，，所以， a b(),21c xa b d a x b =+=+- 0,0c d ≠≠ 若与共线，则存在实数，使，即， c dt c td = ()21xa b t a x b ⎡⎤+=+-⎣⎦所以，即，解得或.()121x t t x =⎧⎨=-⎩2210x x --=1x =12-故答案为：或.112-9．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则角的ABC ∆A B C a b c 222()tan a b c C ab +-=C 值__________．【答案】6π【详解】在中，由，整理得，即，ABC ∆()222tan a b c C ab +-=222122tan a b c ab C +-=cos cos 2C C sinC=，为内角，或，因为ΔABC 为锐角三角形，cos 0C ≠Q 1sin ,2C C ∴= ABC ∆6C π∴=56π6C π∴=，故答案为.6π【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc+-=的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函30,45,60o o o 数值，以便在解题中直接应用.10．已知一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距20海里，随后货轮按M S 15︒S 北偏西的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为______海里每小30︒时. 【答案】20【分析】设货轮最后的位置为，根据题意，画出示意图，利用正弦定理求出的长，即可求解N MN 货轮的速度，得到答案．【详解】设货轮最后的位置为，N 由题意如图所示，， 301545,451530,105M S N ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒=︒∠=︒在中，， MNS A 20MS =()sin105sin 4560︒=︒+︒=因为，sinsin MN MSS N=∠∠所以，10MN =海里每小时.20=故答案为：.2011．若，且，那么是____________三角形 ()()3a b c b c a bc +++-=sin 2sin cos A B C =ABC A 【答案】等边三角形【解析】根据余弦定理得到，再根据正弦定理结合余弦定理得到，得到答案.3A π=b c =【详解】由题设可得，故，故， 222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==3A π=根据正弦定理得到：，故，即，即，2cos a b C =22222a b c a b ab +-=⋅220b c -=b c =即该三角形是等边三角形．故答案为：等边三角形.【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边ABC A D AB O CD 2CO OD =O 分别相交于点，若，则__________．,AC BC ,E F 3,4CE CA CF CB μ==μ=【答案】##0.635【分析】利用线性运算得到，然后根据三点共线得到，最后解4193CO CE CF μ=+ ,,E O F 41193μ+=不等式即可.【详解】，所以，因为三点共3112122232CD CO CA CB CE CF μ==+=+4193CO CE CF μ=+,,E O F 线，所以，解得. 41193μ+=35μ=故答案为：.3513．在边长为6的正三角形中，E 为的中点，F 在线段上且．若与ABC BC AC 12AF FC =AE BF 交于M ，则_____．MA MB =⋅【答案】 274-【分析】先以为基底表示出，再利用向量数量积的定义即可求得的值.,AB AC ,MA MB MA MB ⋅【详解】令，则,AB c AC b ==()1,312A c b E b c BF ==-+令， ()2b AM AEc λλ==+则()2222BM AM AB c c c b b λλλ-=-=+-=+ 由，可得，则，解之得 //BM BF =BM BF μ 12322λμλμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩3412μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则，()14b AM c =+ 1344B c b M -= 则 ()2211331144416168MA MB c c c c b b b b ⎛⎫=-+⋅-=-+- ⎪⎭⋅+⎝⋅ 311π27363666cos 1616834=-⨯+⨯-⨯⨯=-故答案为： 274-三、解答题14．平面内给出三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4，1)，求解下列问题：a bc (1)求向量在向量方向上的投影向量的坐标；a b(2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围；a b + mc b +m (3)若(＋k )(2－)，求实数k 的值.a c ⊥b a【答案】(1)12(,)55-(2)且12m >-47m ≠(3) 1118-【分析】（1）根据投影向量坐标公式计算即可；（2）根据与的夹角为锐角得到且与不同向共线，然后列a b + mc b + ()()0a b mc b +⋅+> a b + mc b +不等式求解即可；（3）根据得到，然后解方程即可.()()2a kc b a +⊥- ()()20a kc b a +⋅-=【详解】（1）在方向上的投影向量坐标为. a b12cos ,,55a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2），， ()2,4a b +=()41,2mc b m m +=-+ 因为与的夹角为锐角，所以，且与不同a b + mc b + ()()82480a b mc b m m +⋅+=-++> a b + mc b +向共线，即，解得且.()()22441m m +≠-12m >-47m ≠（3），， ()34,2a kc k k +=++ ()25,2b a -=-因为，所以，解得.()()2a kc b a +⊥- ()()()()2534220a kc b a k k +⋅-=-+++= 1118k =-15．在中，内角所对的边长分别为，且满足. ABC A 、、A B C a b c 、、2cos sin sin b A Bc C=(1)求；A (2)若，求.4a b ==ABC S A 【答案】(1) π3(2)【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出； A （2）由正弦定理得出，再由面积公式求解. 1sin 2B =【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 2cos sin sin b A Bc C =2sin cos sin sin sin B A B C C=因为，所以 sin sin 0B C ≠1cos 2A =因为为三角形的内角，所以 A π3A =（2）因为，， a =4b =π3A =，所以4sin B =1sin 2B =因为为三角形的内角，所以A ππ,66B C ==. 111sin 4222ABC S ab C ==⨯⨯=△16．如图，在边长为2的等边三角形中，D 是的中点.ABC BC(1)求向量与向量的夹角；AD2AC AB - (2)若O 是线段上任意一点，求的最小值；AD OA OB ⋅(3)通过本题的解答，试总结利用平面向量解决平面问题的基本方法【答案】(1)； 2π3(2)；34-(3)详见解析.【分析】（1）利用向量夹角公式即可求得向量与向量的夹角；AD2AC AB - （2）先求得的代数表达式，再利用二次函数最值即可求得的最小值；OA OB ⋅ OA OB ⋅（3）合理使用平面向量基本定理和向量数量积是解决平面向量问题的基本方法.【详解】（1）由题意可得，2()3AD AC AD AD DC AD ⋅=⋅+== ，，()23AD AB AD AD DB AD ⋅=⋅+== π22cos 23AB AC ⋅=⨯= (2)cos ,2|||2|AD AC AB AD AC AB AD AC AB ⋅--><=-==.12==-因为， π0,2AD AC AB >≤<-≤故向量与向量的夹角为. AD 2AC AB - 2π3（2）()OA OB OA OA AB ⋅=⋅+2OA AO AB =-⋅.2π||||||cos 6OA OA AB =-⋅⋅2||||OA OA = 23||4OA ⎛=- ⎝ 当取得最小值，且最小值为.||OA = OA OB ⋅ 34-（3）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用数量积的几何意义；利用向量的坐标运算．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、双空题17．如图，在平面四边形中，，，，且，则ABCD AB AD ⊥AB BC ==3ABC π∠=12AD AC ⋅=___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________.AD = M AB DM CM ⋅【答案】 4 45[,18]4【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设6π∠=CAD AC =AD，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二(01)AM t AB t =≤≤ DM CM AB AC ADDM CM ⋅ t 次函数，根据二次函数知识可求得结果.【详解】因为，所以为正三角形，所以AB BC ==3ABC π∠=ABC A AC =3BAC π∠=，因为，所以，AB AD ⊥6π∠=CAD因为，所以，所以. 12AD AC ⋅= |||cos 6AD AC π⋅ 12=||4AD = 因为是线段上的一个动点，所以可设，M AB (01)AM t AB t =≤≤ 所以DM CM ⋅ ()()AM AD AM AC =-⋅- ()()t AB AD t AB AC =-⋅- 22t AB t AB AC t AB AD AD AC =-⋅-⋅+⋅(2210122t t =-⋅-+， 212612t t =-+214512(44t =-+因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值01t ≤≤14t =214512(44t -+4541t =214512()44t -+，18所以的取值范围是. DM CM ⋅ 45[,18]4故答案为：4； 45[,18]4【点睛】关键点点睛：将和化为、、表示，利用定义求出是解题关DM CMAB AC AD DM CM ⋅ 键.五、解答题18．已知向量，函数. ()1sin ,1,,cos22m x n x x ⎫==⎪⎭()f x m n =⋅ (1)求函数的最大值及相应自变量的取值；()f x (2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围. ABC A A B C ､､a b c ､､()1,22f A a ==b c +【答案】(1)； 1π,Z 6πk x k =+∈(2)(]2,4【分析】(1)利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出，即可求出其最大值以及相()f x 应自变量的取值；(2)结合(1)中的，求出，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果.()f x π3A =【详解】（1）由题知，()1cos cos 22f x m n x x x =⋅=+， 1πcos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以当， Z 2ππ2,62πk k x =+∈+即时，最大，且最大值为； π,Z 6πk x k =+∈()f x ()f x 1（2）由(1)知，， ()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则， ()π1sin 262f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得或， π,Z A k k =∈ππ,Z 3k k +∈所以中，，又，ABC A π3A =2a =则， 2221cos 22b c a A bc +-==整理得，()243b c bc +-=则， ()22432b c b c bc +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭≤当且仅当时，等号成立，b c =整理可得，()216b c +≤又在中，所以，ABC A 24b c <+≤即的取值范围为.b c +(]2,419．已知中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，. ABC A )222ABC S a b c =--△(1)求角A 的大小；(2)若，D 为BC 边上一点，，且，求.2b =DA BA ⊥4BD DC =cos C 【答案】(1) 2π3A =【分析】（1）运用三角形面积公式及余弦定理化简求解即可.（2）运用正弦定理求得c 的值，运用余弦定理可求得a 的值，进而求得的值. cos C【详解】（1）因为，所以，即)222ABCS a b c=--△1sin cos)2bc A bc A=sin A A=，所以，所以.tan A=()0,πA∈2π3A=（2）由（1）可知，所以，2π3A=2πππ326CAD∠=-=又，所以，πADB ADC∠+∠=sin sinADB ADC∠=∠根据正弦定理，在△CAD中，，在△BAD中，，2πsinsin6CDADC=∠πsinsin2BD cADB=∠又，∴，4BD DC=4c=所以在△ABC中，由余弦定理可得，则22212cos416224282a bc bc A⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭a=，所以.222cos2b cbaCa+-===。

2022年6月天津市普通高中学业水平合格性考试数学含答案

2022年6月天津市普通高中学业水平合格性考试数学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时90分钟。

第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、考场号、座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共15小题，每小题3分，其45分。

参考公式：➢柱体的体积公式V柱=Sh，其中S表示柱体的底面积。

h表示柱体的高➢锥体的体积公式V锥体=1Sh，其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高。

3πR3，其中R表示球的半径。

➢球的体积公式V球=43一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A={1，3}，B={2，3，4}，则A∩B等于A．{1} B．{3C．{1，3} D．{1，2，3，4}(2)一元二次不等式x(x－2)>0的解集为A．(－2，0) B．(0，2)C．(－∞，－2)∪(0，+∞) D．(-∞，0)∪(2，+∞)(3)把360°化成弧度为A．π2B．πC．3π2D．2π(4)命题“∃x∈R，x2+x≥1”的否定是A．∃x∈R，x2+x<l B．∃x∈R，x2+x≤1 C．∀x∈R，x2+x<! D．∀x∈R，x2+x≤l (5)函数f(x)=log3(x－1)的定义域为A．(－∞，l) B．(1，+∞)C．(0，+∞) D．R(6)下列函数中是奇函数的为A．f(x)=|x| B．f(x)=log2xC．f(x)=x D．f(x)=e x(7)已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为A．2π3B．πC．4π3D．2π(8)i是虚数单位，复数1+2i在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(9)已知2m=3，2n=5，则2m+n的值为A．53B．2 C．8 D．15 (10)如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，则BD可以表示为A．a+bB．b－aC．12(a+b)D．12(b－a)。

2021年天津市河北区普通高中学业水平合格性检测试卷(6月份)(附答案详解)

2021年天津市河北区普通高中学业水平合格性检测试卷（6月份）一、单选题（本大题共15小题，共45.0分）1. 已知集合A ={0,1，3，5}，B ={−1,0，1}，则A ∩B 等于( )A. {0,1}B. {−1,0，1}C. {−1,0，1，3，5}D. ⌀2. cos120°是( )A. −12B. −√32C. 12D. √323. 函数y =−sin2x ，x ∈R 是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数4. 设a =log 0.70.8，b =log 1.10.9，c =1.10.9，那么( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b5. 半径为1的球的表面积为( )A. πB. 43πC. 2πD. 4π6. 化简PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所得的结果是( ) A. 2MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 0⃗ D. PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(0,1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 为( )A. (−1,1)B. (−1,3)C. 1D. 28. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是( )A. 互斥B. 互为对立C. 相互独立D. 相等9. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，则此函数的解析式是( )A. y =x 2B. y =√22x C. y =√xD. y =1x 210. 设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知函数f(x)=x 2−kx −8在区间[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,10]∪[40,+∞)B. (−∞,−40]∪[−10,+∞)C. [10,+∞)D. [40,+∞)12. 为了得到y =cos(x +13),x ∈R 的图象，只需把余弦曲线y =cosx 上的所有点( )A. 向左平行移动π3个单位长度 B. 向右平行移动π3个单位长度 C. 向左平行移动13个单位长度D. 向右平行移动13个单位长度13. 已知命题：∀x ∈Z ，|x|∈N ，则该命题的否定是( )A. ∀x ∈Z ，|x|∉NB. ∃x ∈Z ，|x|∈NC. ∃x ∈Z ，|x|∉ND. ∃x ∉Z ，|x|∉N14. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁−18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图，根据图可得这100名学生中体重在：(56.5,64.5)的学生人数是：( )A. 20B. 30C. 40D. 5015. 设a 为函数y =sinx +√3cosx(x ∈R)的最大值，则a 的值是( )A. 2B. 1C. −2D. −1二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,t)，若a ⃗ //b ⃗ ，则实数t 的值是________． 17. 已知x >0，则x +4x −1的最小值是______．18. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，若事件A 为“第一次摸到红球”，则P(A)=______． 19. 设奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是_________．20. 如图所示，一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是______ 海里．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分） 21. 已知sinθ=45，π2<θ<π．(Ⅰ)求tanθ的值； (Ⅱ)求sin 2θ+sin2θ3sin 2θ+cos 2θ的值．22. 已知复数z =(2m 2+3m −2)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)根据下列条件，求m 值．(1)z 是实数； (2)z 是虚数； (3)z 是纯虚数； (4)z =0．23. 如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，BD 与AC 相交于O 点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(Ⅰ)求证：MO//平面PAD ；(Ⅱ)若∠PDA =45°，求证：MN ⊥平面PCD ．24.已知函数f(x)={x 2−4x+6,x≥0x+6,x≥0．(Ⅰ)求函数y=f(x)的零点；(Ⅱ)求不等式f(x)>f(1)的解集．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={0,1，3，5}，B={−1,0，1}，∴A∩B={0,1，3，5}∩{−1，0，1}={0，1}．故选：A．直接利用交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：cos120°=cos(180°−60°)=−cos60°=−12，故选：A．利用诱导公式把要求的式子化为−cos60°，从而求得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由周期公式T=2πω=2π2=π∵f(−x)=−sin(−2x)=sin2x=−f(x)可得f(x)为奇函数故选：A．由周期公式T=2πω=2π2=π，由f(−x)=−sin(−2x)=sin2x=−f(x)，从而可得本题主要考查了正弦型的函数的周期公式及函数奇偶性的判断，属于基础试题4.【答案】C【解析】解：a=log0.70.8>0，且a=log0.70.8<log0.70.7=1．b=log1.10.9<log1.11=0．c=1.10.9>1．∴c >1>a >0>B 、即b <a <c 、故选：C ．对a 、b 、c 三个数，利用指数、对数的性质，进行估算，和0、1比较即可．本题考查对数值的大小比较，指数函数、对数函数的关系，是基础题．5.【答案】D【解析】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D ．利用球的表面积公式S =4πR 2解答即可求得答案．本题考查了球的表面积公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．故选：C ．利用向量加法法则直接求解．本题考查向量的运算，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：向量a⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(0,1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =−1×0+2×1=2．故选：D ．直接利用向量的数量积公式转化求解即可．本题考查向量的数量积公式的应用，是基础题．8.【答案】C【解析】解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，事件A=“第一枚出现奇数点”={①,②}，事件B=“第二枚出现偶数点”={②,④}，两个事件不相等，排除D，A∩B≠⌀，所以不是互斥事件，排除A，B，C选项，事件A=“第一枚出现奇数点”，P(A)=36=12，事件B=“第二枚出现偶数点”，P(B)=36=12，事件AB=“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P(AB)=3×336=14，满足P(AB)=P(A)⋅P(B)，所以事件A和事件B是相互独立事件，故选：C．根据互斥，对立，独立事件的定义判断即可．本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足P(AB)=P(A)⋅P(B)即独立，本题属于基础题．9.【答案】C【解析】解：设幂函数的解析式为y=x a，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，∴√2=2a，解得a=12∴y=√x故选C设出函数的解析式，根据幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，构造方程求出指数a的值，即可得到函数的解析式．本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法．10.【答案】A【解析】解：l ，m ，n 均为直线，m ，n 在平面α内，l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n(由线面垂直性质定理)．反之，如果l ⊥m 且l ⊥n 推不出l ⊥α，也即m//n 时，l 也可能平行于α．由充分必要条件概念可知，命题中前者是后者成立的充分非必要条件．故选：A ．由题意可知：l ⊥α时，由线面垂直性质定理知，l ⊥m 且l ⊥n.但反之不能成立，由充分必要条件概念可获解．本题主要考查线面垂直和充分必要条件的有关知识．主要注意两点： (1)线面垂直判定及性质定理．(2)充分必要条件的判定，要注意方向性，即谁是谁的．11.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)=x 2−kx −8为二次函数，其开口向上，对称轴为x =k2，若函数f(x)=x 2−kx −8在区间[5,20]上具有单调性，则k2≤5或k2≥20，解得k ≤10或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(−∞,10]∪[40,+∞)；故选：A ．根据题意，求出二次函数f(x)=x 2−kx −8的对称轴，结合函数单调性的定义可得k2≤5或k2≥20，再求出k 的取值范围即可．本题考查函数的单调性，涉及二次函数的性质，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：把余弦曲线上所有的点向左平行移动13个单位长度，可得函数y =cos(x +13)的图象，故选：C ．利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．13.【答案】C【解析】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，命题：∀x∈Z，|x|∈N，则该命题的否定是：∃x∈Z，|x|∉N．故选：C．根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，写出该命题的否定命题即可．本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．14.【答案】C【解析】解：由频率直方图得，体重在(56.5,64.5)的频率为0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.07×2=0.4，∴所求人数为100×0.4=40．故选：C．由频率直方图求出体重在(56.5,64.5)的频率，再求出频数即可．本题考查频率分布直方图的应用，考查了频率，频数的关系，考查学生的实际应用能力，基础题．15.【答案】A)(x∈R)的最大值，则a=2，【解析】解：∵a为函数y=sinx+√3cosx=2sin(x+π3故选：A．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的值域求得它的最值，从而得出结论．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题．16.【答案】−4【解析】解：a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,t)，由a⃗//b⃗ ，得1×t−2×(−2)=0，解得：t=−4．故答案为：−4．直接利用向量共线的坐标表示列式求得t值．本题考查平面向量共线的坐标表示，关键是公式的记忆与应用，是基础题．17.【答案】3【解析】解：∵x>0，∴x+4x −1≥2√x⋅4x−1=3，(当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立)故答案为：3．先检查知满足基本不等式求最值的要求，利用基本不等式求最值即可．本题考查了基本不等式的简单应用，属于基础题．18.【答案】25【解析】解：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，若事件A为“第一次摸到红球”，则P(A)=25×34+25×14=25．故答案为：25．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】(−2,0)∪(2,5]【解析】解：由于奇函数关于原点对称，故函数(x)在定义域为[−5,5]的图象如右图由图象知不等式f(x)<0的解集是[(−2,0)∪(2,5)故答案为：(−2,0)∪(2,5)本题是一个研究奇函数对称性及函数图象的位置与函数值符号对应关系的题，可先补全函数在定义域上的图象，再由图象观察出不等式的解集，给出正确答案本题考查函数的图象，解题的关键是理解函数图象的数字特征，本题的重点是利用函数的图象解不等式，难点是根据函数的奇函数的性质作出对称区间上的函数的图象来，对函数图象的考查是新教材实验区高考考试的热点，近几年明显加强了对图形的考查，学习时要注意归纳此类题的解题规律20.【答案】10√2【解析】【分析】根据题意，确定∠BAC 、∠ABC 的值，进而可得到∠ACB 的值，根据正弦定理可得到BC 的值．本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的解法，属于基本知识的考查．【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC =30°，∠ABC =105°，AB =40×12=20，从而∠ACB =45°．在△ABC 中，由正弦定理可得BC =AB sin45°×sin30°=10√2海里．故答案为10√2． 21.【答案】解：(Ⅰ)已知sinθ=45，π2<θ<π．所以cosθ=−35，所以tanθ=sinθcosθ=−43． (Ⅱ)sin 2θ+sin2θ3sin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+2tanθ3tan 2θ+1=−857．【解析】(Ⅰ)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22.【答案】解：(1)当m2+m−2=0，即m=−2或m=1时，z为实数；(2)当m2+m−2≠0，即m≠−2且m≠1时，z为虚数；(3)当{2m2+3m−2=0m2+m−2≠0，解得m=12，即m=12时，z为纯虚数．(4)令{2m2+3m−2=0m2+m−2=0，解得m=−2，即m=−2时，z=0．【解析】(1)当复数的虚部等于零时，复数为实数，由此求得m的值．(2)当复数的虚部不等于零时，复数为虚数，由此求得m的值．(3)当复数的实部等于零，且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由此求得m的值．(4)当复数的实部等于零，且虚部也等于零时，复数等于零，由此求得m的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数相等的充要条件，属于基础题．23.【答案】证明：(Ⅰ)∵M，O分别是AB，BD的中点，∴MO//AD∵AD⊂平面PAD，MO⊄平面PAD，∴MO//平面PAD．(Ⅱ)∵∠PDA=45°，∴PA=AD，连接PM，CM，由Rt△PAM≌Rt△CBM，得PM=CM，∵N为PC中点，∴MN⊥PC，∵PA⊥平面ABCD，NO//PA，∴NO⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴NO⊥CD，∵MO⊥CD，且MO∩NO=O，∴CD⊥平面MNO，又∵MN⊂平面MNO，∴MN⊥CD，又MN⊥PC，PC∩CD=C，∴MN⊥平面PCD．【解析】(Ⅰ)推导出MO//AD，由此能证明MO//平面PAD．(Ⅱ)由Rt△PAM≌Rt△CBM，得PM=CM，从而MN⊥PC，由PA⊥平面ABCD，NO//PA，得NO⊥平面ABCD，NO⊥CD，再由MO⊥CD，得CD⊥平面MNO，从而MN⊥CD，再由MN⊥PC，能证明MN⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．24.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)={x 2−4x +6,x ≥0x +6,x ≥0，若f(x)=0，则有{x 2−4x +6=0x ≥0或{x +6=0x <0，解可得x =−6，即函数y =f(x)的零点为x =6；(Ⅱ)根据题意，f(1)=1−4+6=3，若f(x)>f(1)，则有{x 2−4x +6>3x ≥0或{x +6>3x <0，解可得：−3<x <1或x >3，即不等式的解集为{x|−3<x <1或x >3}．【解析】(Ⅰ)根据题意，由函数零点的定义可得{x 2−4x +6=0x ≥0或{x +6=0x <0，解可得x 的值，即可得答案；(Ⅱ)根据题意，求出f(1)的值，进而可得{x 2−4x +6>3x ≥0或{x +6>3x <0，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，注意分段函数的解析式，属于基础题．。

天津市河北区2022届数学高二下期末学业水平测试试题含解析

天津市河北区2022届数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是（）A ．1(,0)4-B ．1(,0)3-C ．1(,0)2-D ．(1,0)-2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．73B ．83C ．3D ．1033．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（） A ．0.5B ．0.48C ．0.4D ．0.324．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论： ()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 3220x y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]10max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()1245．已知命题:p 若实数,x y 满足3x y +≠，则2x ≠或1y ≠，():0,q x ∀∈+∞，48log log x x <，则下列命题正确的是( ) A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧6．已知函数()2f x x ln x =-，则函数()y f x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．7．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()()12G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数． A ．②③B ．①②③C ．②D ．③④8．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．r 2<r 1<0B ．r 2<0<r 1C ．0<r 2<r 1D ．r 2＝r 19．已知函数 ()(1)e ln x f x x a x =--在1[,3]2上单调递减，则a 的取值范围是（） A ．)39,e ⎡+∞⎣B ．(3,9e ⎤-∞⎦C ．)24,e ⎡+∞⎣D ．(2,4e ⎤-∞⎦10．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A ．求a ，b ，c 三数中的最大数B ．求a ，b ，c 三数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列11．若直线1x =的倾斜角为α，则α（） A ．等于0B ．等于C ．等于D ．不存在12．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的所有项系数和是（） A ．0B ．1C ．256D ．512二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有____________种．14．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若直线PA 与PB 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为_____． 15．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t （分钟）与数学成绩y 之间的一组数据如下表所示：时间t （分钟） 30 40 7090 120 数学成绩y3548m8292通过分析，发现数学成绩y 与学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程为0.715ˆyt =+，则表格中的m 的值是___．16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知直线l 的参数方程是21{()22x t y =+=-是参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为=22)4πρθ+．（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1,0)，求PA PB +的值．18．已知在ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是a 、b 、c ，且22sin 3cos()0A B C ++=．（1）求角 A 的大小；（2）若ABC 的面积，3S = 4c =，求 sin sin B C +的值．19．（6分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23cos cos 3b c CA a-=. （1）求角A 的值；（2）若6B π=，且ABC ∆的面积为43，求BC 边上的中线AM 的大小.20．（6分）已知函数()()()3212f x x a x a a x b =+--++(),a b R ∈ （1）若函数()f x 的导函数为偶函数，求a 的值；（2）若曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围 21．（6分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，416S =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求n S ，并求n S 的最小值．22．（8分）已知函数()1ln f x ax x =--()a ∈R ．（1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，且对任意()0,x ∈+∞,()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e >>-时，求证：ln(1)ln(1)x yx ey -+>+．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】【分析】【详解】由已知，函数在区间[]1,3-的图象如图所示，直线y 1kx k =++（k R ∈且1k ≠-）表示过定点()1,1-的直线，为使关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，即直线1y kx k =++与函数的图象有4个不同的交点.结合图象可知，当直线1y kx k =++介于直线1233y x =-+和直线1y =之间时，符合条件，故选B.考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程.2．D【解析】分析：作出三视图的直观图，然后根据组合体计算体积即可.详解：如图所示：由一个三棱柱截取G-DEF三棱锥后所剩下的图形，故该几何体的体积为：111102222212323⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故答案为103选D.点睛：考查三视图还原为直观图后求解体积的计算，对直观图的准确还原是解题关键，属于中档题. 3．B【解析】【分析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.【详解】设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球”为事件B，则得2分的概率为()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B .【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系. 4．D 【解析】【分析】()1根据新定义由[]1OP x y =+=，讨论x 、y 的取值，画出分段函数的图象，求出面积即可；()2运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得[]OP 的最小值；()3根据k 等于1或1-都能推出[]OP 最小的点P 有无数个可判断其错误；()4把P 的坐标用参数表示，然后利用辅助角公式求得[]OP x y =+的最大值说明命题正确．【详解】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 为直线3220x y +-=上任一点，可得312y x =-，可得31x y x +=+，当0x ≤时，[]3111OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当03x <<时，[]3113OP x ⎛⎛=+∈ ⎝⎝⎭；当3x ≥时，可得[]3113OP x ⎛=-++≥ ⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]max OP ∴=()4正确．则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．【点睛】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是中档题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 5．C 【解析】由题意可知，p 是真命题，q 是假命题，则()p q ∧⌝是真命题. 本题选择C 选项. 6．A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果．【详解】由题意()()2ln f x x x f x -=--=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ；又()211ln110f =-=>，所以排除B,C ．故选A ．【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 7．A 【解析】【分析】本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．【详解】画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；函数f(x)的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数()()1 2G x f x=-有无数个零点，故③正确；函数f(x)有增有减，故④不正确．故答案为②③．【点睛】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．8．B【解析】【分析】【详解】分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较.详解：变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，可得：变量Y与X之间成正相关，因此10r>；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，可得：变量V与U之间成负相关，因此20r<∴第一组数据的系数大于0，第二组数据的相关系数小于0.故选B.点睛：本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力. 9．A 【解析】【分析】等价于'()e 0xa f x x x=-在1[,3]2上恒成立，即2e x a x 在1[,3]2上恒成立，再构造函数2()e x g x x =并求g(x)的最大值得解.【详解】'()e 0x a f x x x=-在1[,3]2上恒成立，则2e x a x 在1[,3]2上恒成立，令2()e xg x x =，()2'()2e 0xg x x x =+>，所以()g x 在1[,3]2单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=39e . 故39a e ≥. 故选A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题. 10．B 【解析】【分析】根据框图可知，当a>b 时，把b 的值赋给a ，此时a 表示a 、b 中的小数；当a>c 时，将c 的值赋给a ，a 表示a 、c 中的小数，所以输出a 表示的是a ，b ，c 中的最小数. 【详解】由程序框图，可知若a>b ，则将b 的值赋给a ，a 表示a ，b 中的小数；再判断a 与c 的大小，若a>c ，则将c 的值赋给a ，则a 表示a ，c 中的小数，结果输出a ，即a 是a ，b ，c 中的最小数．【点睛】本题考查程序框图的应用，解题的关键是在解题的过程中模拟程序框图的运行过程，属于基础题. 11．C 【解析】分析:根据画出的直线得直线的倾斜角. 详解：直线x=1的倾斜角为090,.2πα∴=故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查特殊直线的倾斜角，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)任意一条直线都有倾斜角，但是不是每一条直线都有斜率. 12．B 【解析】【分析】令1x =，可求出展开式中的所有项系数和. 【详解】令1x =，则9121x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即展开式中的所有项系数和是1，故选B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了展开式的系数和的求法，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．150 【解析】【分析】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为3、1、1，二是三个贫困村安排的干部数分别为2、2、1，利用排列组合思想分别求出这两种情况的分配方法数，加起来可得出结果.【详解】分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为3、1、1，分配方法种数为13235260C C A =；二是三个贫困村安排的干部数分别为2、2、1，分配方法种数为11235490C C C =.综上所述，所有的分配方法种数为6090150+=，故答案为150．【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分配问题，这类问题一般是先分组再排序，由多种情况要利用分类讨论来处理，考查分类讨论数学思想，属于中等题．14．2．【解析】【分析】设点P 的坐标为()00,x y ，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求离心率．【详解】设点P 的坐标为()00,x y ．由题意，有2200221x y a b+=，① 由A （﹣a ，0），B （a ，0），得00AP y k x a =+，00BP y k x a=-．由12AP BP k k ⋅=-，可得222002x a y =-，代入①并整理得()222020a b y -=．由于00y ≠，故222a b =，于是222212a b e a ，∴椭圆的离心率2e =．．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆离心率的求法，是中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).15．63【解析】30407090120705x ++++== 回归方程过样本中心点，则：0.7701564y =⨯+=，即：35488292645m ++++=，解得：63m =.点睛：(1)正确理解计算,b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．(2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．16．3. 【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos 2A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）直线l 的方程为10x y +-=,圆C 的方程为()()22112x y -++=（2）PA PB +=【解析】【分析】【详解】试题分析：(1)消去参数可得直线l 的普通方程为10x y +-=，极坐标方程转化为直角坐标方程可得圆C 的直角坐标方程是()()22112x y -++=(2)利用题意由弦长公式可得PA PB +=试题解析：解：（1）∵直线l的参数方程是1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），∴10x y +-=．即直线l 的普通方程为10x y +-=．∵2cos 2sin 4πρθθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴22cos 2sin ρρθρθ=- ∴圆C 的直角坐标方程为2222x y x y +=-，即22220x y x y +-+=或()()22112x y -++= （2）将122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入22220x y x y +-+=得210t -=，∴12121t t t t +=⋅=-． ∴12PA PB t t +=-== 18．（1）3π；（2. 【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系得到2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解出角A 的余弦值，进而得到角A ；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到.【详解】（1）∵在△ABC 中2sin 2A+3cos （B+C ）=0，∴2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解得cosA=12，或cosA=﹣2（舍去）， ∵0＜A ＜π，∴A=3π；（2）∵△ABC 的面积S=12，∴bc=20，再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=21，∴sinB+sinC ()sin sin sin 914b A c A A b c a a a =+=⨯+==∴sinB+sinC 的值是14. 【点睛】这个题目考查了同角三角函数的化简求值，考查了三角形面积公式和正余弦定理的应用，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19． (1)6A π=；(2)AM =【解析】试题分析：（1cosC cosA =，整理计算可得20sinBcosA =，则cosA =，6A π=.（2）由题意可得6A π=，6B π=，12ABC S absinC ∆= 21223a sin π==4a =.在AMC ∆中应用余弦定理有2222120AM AC MC AC MCcos ︒=+-⋅，据此计算可得AM =试题解析：（1cosC cosA =，cosC cosA =，所以2sinBcosA =，所以()20sinBcosA A C +=，20sinBcosA -=.又因为0sinB ≠，所以cosA =0A π<<，且2A π≠，所以6A π=.（2）据（1）求解知6A π=.若6B π=，则12ABC S absinC ∆= 21223a sin π==所以4a =，4a =-（舍）又在AMC ∆中，2222120AM AC MC AC MCcos ︒=+-⋅，所以22211212022AM AC AC AC AC cos ︒⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 22142242282⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭.所以AM =20．（1）1a =；（2）11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数()()()23212f x x a x a a '=+--+，由于二次函数'()f x 为偶函数，所以一次项系数为0，进而求得a 的值；（2）由题意得()0f x '=存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于0.【详解】（1）∵()()()23212f x x a x a a '=+--+，由题因为()f x '为偶函数，∴()210a -=，即1a =（2）∵曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程()()()23212f x x a x a a '=+--+有两个不相等的实数根， ∴()()2411220a a a ∆=-++>，即24410a a ++>，∴12a ≠-. ∴a 的取值范围为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线()y f x =存在两条垂直于y 轴的切线转化成方程有两根.21．（1）29n a n =-，（2）28n S n n =-，最小值为−1．【解析】【分析】（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d ，即可表示出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得S n =n 2-8n ，根据二次函数的性质，可得S n 的最小值.【详解】（I ）设{}n a 的公差为d ，由题意得14616a d +=-．由17a =-得d=2．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．（II ）由（I ）得()228416n S n n n =-=--．所以当n=4时，n S 取得最小值，最小值为−1．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，考查了等差数列前n 项和的最值问题；求等差数列前n 项和的最值有两种方法：①函数法，②邻项变号法.22． (1)答案见解析；(2)211b e -≤；(3)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意可得()1'ax f x x-=，分类讨论有：当0a ≤时，函数没有极值点，当0a >时，函数有一个极值点．（2）由题意可得1a =，原问题等价于1ln 1x b x x +-≥恒成立，讨论函数()1ln 1x g x x x =+-的性质可得实数b 的取值范围是211b e≤-；（3）原问题等价于()()ln 1ln 1x y e e x y >++，继而证明函数()()ln 1xe g x x =+在区间()1,e -+∞内单调递增即可.试题解析：（1），当时，()0f x '<在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，()0f x '<得10x a <<，()0f x '>得1x a >， ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（2）∵函数在处取得极值，∴， ∴，令，()22211ln 2ln 'x x g x x x x --+=--=，可得在上递减，在上递增， ∴，即211b e ≤-．（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。