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北京四中初二实数

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北京市第四中学中考数学冲刺复习 实数03 实数(无答案)

北京市第四中学中考数学冲刺复习 实数03 实数(无答案)

实数知识要点：一。

平方根和立方根二．实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 四．实数的运算：数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.五．实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立。

法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

例题分析2、已知M是满足不等式a a的和，N是满足不等式的最大整数．求M＋N的平方根．4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若a －b>0，则a>b ；若a －b ＝0，则a ＝b ；若a －b<0，则a<b.例如：在比较m2＋1与m2的大小时，小东同学的作法是：请你参考小东同学的作法，比较 大小：5、已知a 、b 满足解关于 x 的方程练习：设a 、b 、c 都是实数，且满足 ，求代数式 的值。

6、阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算似值.小明的方法：问题：（1）请你依照小明的方法，估算巩固练习1．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则22a b ＞B ．若a ＞｜b ｜，则22a b ＞C ．若｜a ｜＞b ，则22a b ＞D ．若33a b ＞，则22a b ＞2.下列式子表示算术平方根的是 （ ）．3. 下列说法错误的有（ ）①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；③带根号的数一 定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数.A ①②③B ②③④C ①③④D ①②④4. 下列语句、式子中① 4是16的算术平方根，即4=②4是16的算术平方根，即4=③－7是49的算术平方根，即7=④7是（-7）²的算术平方根，即7=其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④6.下列运算中正确的是（ ）。

2020-2021学年北京四中八年级(上)开学数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京四中八年级(上)开学数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京四中八年级（上）开学数学试卷1. 若a >b ，则下列不等式正确的是( )A. 3a <3bB. ma >mbC. −a −1>−b −1D. a2+1>b2+12. 下列计算正确的是( )A. a 3⋅a 4=a 12B. a 6÷a 2=a 3C. (−2a 2b)3=−6a 6b 3D. −2a 2+3a 2=a 23. 一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为( )A. x >−1B. x ≥1C. −1<x ≤1D. x ≤14. 下列结论正确的是( )A. 3的平方根是√3B. −27没有立方根C. 立方根等于本身的数是0和1D. √−53=−√535. 下列命题是假命题的是( )A. 所有的实数都可以用数轴上的点表示B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行6. 已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为( )A. 17B. 22C. 17或22D. 无法确定7. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，过点O作OF ⊥OE ，若∠AOC =42°，则∠BOF 的度数为( )A. 48°B. 52°C. 64°D. 69°8. 如图，长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，则图中∠1与∠2的关系为( )A. ∠1+∠2=180°B. ∠2=4∠1C. ∠2=∠1+90°D. ∠1+∠2=150°9.在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则()A. y>z>xB. x>z>yC. y>x>zD. z>y>x10.在平面直角坐标系中，点A(0,a)，点B(0,4−a)，且A在B的下方，点C(1,2)，连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内(含边界)，横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a的取值范围为()A. −1<a≤0B. 0<a≤1C. 1≤a<2D. −1≤a≤111.若式子√x−1有意义，则实数x的取值范围是______．12.已知点P(a−2,2a−8)在x轴上，则点P的坐标为______．13.若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是______．14.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A(如图1)．求作：l的平行线，使它经过点A．小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：如图2所示：(1)用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；(2)将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB，所以，直线AB即为所求．老师说：“小凡的作法正确．”请回答：小凡的作图依据是______．15. 比较大小：4−√15 ______12(填“>”，“<”，“=”)． 16. 如图，∠A =50°，∠ABD =35°，∠ACB =70°，且CE 平分∠ACB ，则∠BEC =______°.17. 如图，正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6内部有一个正五边形B 1B 2B 3B 4B 5，且A 3A 4//B 3B 4，直线l 经过B 2、B 3，则直线l 与A 1A 2的夹角α=______°.18. 阅读下面求√m(m >0)近似值的方法，回答问题：①任取正数a 1<√m ；②令a 2=12(a 1+m a 1)，则ma 2<√m <a 2；③令a 3=12(a 2+m a 2)，则ma 3<√m <a 3；……以此类推n 次，得到ma n<√m <a n ．其中a n 称为√m 的n 阶过剩近似值，ma n 称为√m 的n 阶不足近似值． 仿照上述方法，求√11的近似值： ①取正数a 1=3<√11；②于是a 2= ______ ，则______ <√11<a 2； ③√11的3阶不足近似值是______ ．19. 解不等式组{3(x +3)>4x +7x −1≥x−73并写出它的所有整数解．3+|2−√5|−√(−2)2；20.(1)计算：√−27(2)已知2a2+3a−4=0，求代数式3a(2a+1)−(2a+1)(2a−1)的值．21.如图，E、F分别在AB、CD上，∠1=∠D，∠2与∠C互余，EC⊥AF，垂足为G．求证：AB//CD．22.新修订的《北京市生活垃圾管理条例》于2020年5月1日正式施行.新修订的分类标准将生活垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小明所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试.将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如图的频数分布表和频数分布直方图：a.线上垃圾分类知识测试频数分布表成绩分组50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x <100频数39m128b.线上垃圾分类知识测试频数分布直方图c.成绩在80≤x<90这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89根据以上信息，回答下列问题：(1)本次抽样调查样本容量为______ ，表中m的值为______ ；(2)请补全频数分布直方图；(3)小明居住的社区大约有居民2000人，若达到测试成绩80分为良好，那么估计小明所在的社区良好的人数约为______ 人；(4)若达到测试成绩前十五名的可以颁发“垃圾分类知识小达人”奖章，已知居民A的得分为88分，请问居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？23.在正方形网格中沿水平方向确定x轴，竖直方向确定y轴，建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为(3,1)和(−1,2)．(1)按要求在网格中画出平面直角坐标系xOy，并写出点C的坐标为______；(2)若将△ABC进行平移，使点A的对应点为原点O，在网格中画出平移后的三角形OB′C′；(3)点P为x轴上一点且满足S△BCP=S△BCA，请直接写出点P的坐标．24.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i=1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第(i+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i=1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：(1)填入x3补全上表；(2)若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为______；(3)7天后，小云背诵的诗词最多为______首．25.如图，在平面直角坐标系中，线段AB=10，AB⊥x轴，B(−13,0)，将线段AB沿x轴向右平移10个单位长度得到线段CD，点A的对应点是点D，连接AD，点E 在线段AB上，且BE=3．(1)请直接写出点C，点E的坐标；(2)若动点Q从点D出发沿线段DA向终点A运动，动点P同时在四边形ABCD的边上从点A出发，沿A−D−C的方向向终点C运动，点P与点Q的速度比是1：2，点P，Q各自到达终点后停止运动，当运动时间为4秒钟时，线段PQ的中点M的坐标为(−10,10)，求P，Q两点的速度；(3)在(2)的条件下，求点P经过几秒，△PQE的面积是△ADE面积的一半，并直接写出点P的坐标．26.如图，已知AB//CD，点M，N分别是AB，CD上两点，点G在AB，CD之间．(1)求证：∠AMG+∠CNG=∠MGN；(2)如图②，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°，求∠AME的度数；(3)如图③，若点P是(2)中的EM上一动点，PQ平分∠MPQ.NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ//NH，直接写出∠JPQ的度数．27.如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到(0,1)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,1)→(3,0)→⋯…，则20分钟时粒子所在点的坐标是______，2020分钟时粒子所在点的坐标是______．28.在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动(不与点G重合)，过点D作DE//AC交AB于点E．(1)如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB①若∠BAC=100°，∠C=30°，则∠AFD=______；若∠B=40°，则∠AFD=______；②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；(2)点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．29.对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)给出如下定义：若|x1−x2|≥|y1−y2|，则|x1−x2|为点P1与点P2的“分解距离”，即(P1,P2)=|x1−x2|；d分解若|x1−x2|<|y1−y2|，则|y1−y2|为点P1与点P2的“分解距离”，即(P1,P2)=|y1−y2|；d分解点P1，P2的“和距离”为|x1−x2|与|y1−y2|的和，即d和(P1,P2)=|x1−x2|+|y1−y2|.根据以上材料，解决下列问题：(1)已知点A(1,2)，则d分解(A,O)=______；d和(A,O)=______；(2)若点B(x,5−x)在第一象限，且d分解(B,O)=3.求点B的坐标；(3)①若点C(x,y)(x≥0,y≥0)，且d和(C,O)=3.请写出符合题意的三个点C的坐标______，在图1中描出相应的点并观察图形，判断这些点是否在一条直线上______(填“是”或“否”)；②若点E满足d分解(E,O)=4，请在图2中画出所有符合条件的点E组成的图形；若点F满足d和(F,O)≤4，请在图3中画出所有符合条件的点F组成的区域，用阴影部分表示；(4)已知M(m,2m+2)，N(1,0)，①点M与点N的“分解距离”的最小值是______，及此时相应的M点坐标______；②点M与点N的“和距离”的最小值是______，及此时相应的M点坐标______．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵a>b，∴3a>3b，∴选项A不正确；∵a>b，∴m<0时，ma<mb；m=0时，ma=mb；m>0时，ma>mb，∴选项B不正确；∵a>b，∴−a<−b，∴−a−1<−b−1，∴选项C不正确；∵a>b，∴a2>b2，∴a2+1>b2+1，∴选项D正确．故选：D．根据不等式的性质逐一判断，判断出正确的不等式是哪个即可．此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．2.【答案】D【解析】解：A、a3⋅a4=a7，故原题计算错误；B、a6÷a2=a4，故原题计算错误；C、(−2a2b)3=−8a6b3，故原题计算错误；D、−2a2+3a2=a2，故原题计算正确；故选：D．利用同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项计算法则分别进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项，关键是熟练掌握各计算法则．3.【答案】B【解析】解：根据数轴可知：不等式组的解集是x ≥1，故选：B ．根据数轴上表示的解集得出选项即可．本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示不等式组的解集是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：A 、3的平方根是±√3，不符合题意；B 、−27的立方根是−3，不符合题意；C 、立方根等于本身的数是0和±1，不符合题意；D 、√−53=−√53，符合题意，．故选：D ．根据平方根的定义判断选项A ；根据立方根的定义判断选项B ，C ，D ．本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的概念，本题属于基础题型．5.【答案】C【解析】解：A 、所有的实数都可以用数轴上的点表示，A 正确；B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B 正确；C 、两条直线被第三条直线所截，如果两直线不平行，那么同旁内角不互补，C 错误；D 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，D 正确，故选：C ．根据数轴上的点与实数是一一对应关系、垂线的性质和平行线的性质进行判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，解答时，要灵活运用课本知识．6.【答案】B【解析】解：①若4是底边，则三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22；②若4是腰长，则三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8<9，∴不能组成三角形，综上所述，这个等腰三角形的周长为22．故选：B．分4是底边和腰长两种情况，结合三角形的任意两边之和大于第三边讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．7.【答案】D【解析】解：∵∠BOD=∠AOC(对顶角相等)，∠AOC=42°(已知)，∴∠BOD=42°，∵OE平分∠BOD(已知)，∠BOD=21°(角平分线的性质)，∴∠BOE=12∵OF⊥OE(已知)，∴∠EOF=90°(垂直定义)，∵∠BOF+∠BOE=∠EOF，∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=90°−21°=69°，∴∠BOF=69°．故选：D．利用对顶角的性质以及角平分线的性质得出∠BOE的度数，再利用垂直定义得出∠BOF 的度数．此题主要考查了垂直定义以及对顶角和角平分线的性质．能够正确得出∠BOE的度数是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°−∠2，∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°−∠2，∵∠4+∠1=90°，∴180°−∠2+∠1=90°，即∠2=∠1+90°，故选：C．先根据平角的定义得出∠3=180°−∠2，再由平行线的性质得出∠4=∠3，根据∠4+∠1=90°即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义．根据题意，可以判断x、y、z的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意得：若去掉一个最高分，平均分为x，则此时的x一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分z，去掉一个最低分，平均分为y，则此时的y一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分z，y>z>x，故选A．10.【答案】B【解析】解：∵点A(0,a)，点B(0,4−a)，且A在B的下方，∴a<4−a，解得：a<2，若在AB，BC，AC所围成区域内(含边界)，横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，∵点A，B，C的坐标分别是(0,a)，(0,4−a)，(1,2)，∴区域内部(不含边界)没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的4个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，∵点C(1,2)的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，∴其他的3个都在线段AB上，∴3≤4−a<4．解得：0<a≤1，故选：B．根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．本题考查了坐标与图形的性质，分析题目找出横纵坐标为整数的三个点存在于线段AB 上为解决本题的关键．11.【答案】x≥1【解析】解：依题意得x−1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．根据二次根式的性质可以得到x−1是非负数，由此即可求解．此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．12.【答案】(2,0)【解析】解：∵点P(a−2,2a−8)在x轴上，∴2a−8=0，解得：a=4，故a−2=4−2=2，则点P的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案．此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：在坐标轴上的点的性质．13.【答案】8【解析】【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解．【解答】解：∵正多边形的每一个内角为135°，∴每一个外角的度数是180°−135°=45°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷45°=8，即这个多边形是八边形．故答案为8．14.【答案】内错角相等，两直线平行【解析】解：如图所示：由平移的性质可知：∠2=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1．∴EF//l(内错角相等，两直线平行)．故答案为：内错角相等，两直线平行．【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可．本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键．15.【答案】<【解析】解：∵4−12=72，∴(72)2−(√15)2=494−15<0，∴4−12<√15，∴4−√15<12，故答案为：<．先比较4−12与√15的大小，然后根据不等式的性质即可求出答案．本题考查实数大小比较，解题的关键是比较4−12与√15的大小，本题属于基础题型．16.【答案】120【解析】解法一：∵∠A=50°，∠ACB=70°，∴∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−70°=60°，∴∠EBC=∠ABC−∠ABD=60°−35°=25°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=12∠ACB=35°，∴∠BEC=180°−∠EBC−∠ECB=180°−25°−35°=120°．解法二：∵CE平分∠ACB，∴∠DCE=12∠ACB=35°，∴∠BEC=∠BDC+∠DCE=∠A+∠ABD+∠DCE=50°+35°+35°=120°．故答案为：120．利用三角形内角和定理求出∠ABC，再利用角的和差定义求出∠EBC，利用角平分线的定义求出∠ECB，可得结论．本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型．17.【答案】48【解析】解：延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和=(6−2)×180°=720°，∴∠A1A2A3=∠A2A3A4=720°6=120°，∴∠CA2A3=∠A2A3C=180°−120°=60°，∴∠C=180°−60°−60°=60°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和=(5−2)×180°=540°，∴∠B2B3B4=540°5=108°，∵A3A4//B3B4，∴∠EDA4=∠B2B3B4=108°，∴∠EDC=180°−108°=72°，∴α=∠CED=180°−∠C−∠EDC=180°−60°−72°=48°，故答案为：48．延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3=∠A2A3A4=120°，得出∠CA2A3=∠A2A3C=60°，则∠C=60°，由正五边形的性质得出∠B2B3B4=108°，由平行线的性质得出∠EDA4=∠B2B3B4=108°，则∠EDC=72°，再由三角形内角和定理即可得出答案．本题考查了正多边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握正六边形和正五边形的性质是解题的关键．18.【答案】1033310660199【解析】解：a2=12(a1+m a1)=12(3+113)=103；m a2=11103=3310，a3=12(103+3310)=19960，m a3=1119960=660199．故答案为：②103；3310；③660199．根据材料中的公式，将a1的值代入求出a2，a3即可解答．本题主要考查估算无理数的大小，是阅读型问题，解决此类问题时，要认真阅读材料，根据材料中的步骤逐步计算．19.【答案】解：解不等式3(x+3)>4x+7，得：x<2，解不等式x−1≥x−73，得：x≥−2，则不等式组的解集为−2≤x<2，所以不等式组的整数解为−2、−1、0、1．【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】解：(1)原式=−3+√5−2−2=√5−7；(2)原式=6a2+3a−[(2a)2−1]=6a2+3a−4a2+1=2a2+3a+1，∵2a2+3a−4=0，∴2a2+3a=4，∴原式=4+1=5．【解析】(1)先化简立方根，绝对值，算术平方根，然后再计算；(2)先根据单项式乘多项式，平方差公式计算乘法，然后去括号，合并同类项化简，最后利用整体思想代入求值．本题查看实数的混合运算，整式的混合运算，理解立方根，算术平方根的概念以及平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．21.【答案】证明：∵EC⊥AF，∴∠1+∠C=90°，又∵∠2+∠C=90°，∴∠1=∠2，∵∠1=∠D，∴∠2=∠D，∴AB//CD．【解析】因为EC⊥AF，所以∠1+∠C=90°，又因为∠2+∠C=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠2，已知∠1=∠D，则有∠2=∠D，故AB//CD．本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．注意同角的余角相等及等量代换的应用．22.【答案】50 18 800【解析】解：(1)由题意可得，本次抽样调查样本容量为50，表中m的值为：50−3−9−12−8=18，故答案为：50，18；(2)由(1)值m的值为18，由频数分布表可知80≤x<90这一组的频数为12，补全的频数分布直方图如右图所示；=800(人)，(3)2000×12+850即小明所在的社区良好的人数约为800人，故答案为：800；(4)由题意可得，88分是第10名或者第11名，故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．(1)根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值；(2)根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整；(3)根据题目中的数据，可以计算出小明所在的社区良好的人数；(4)根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23.【答案】(1,4)【解析】解：(1)如图所示：点C的坐标为：(1,4)；故答案为：(1,4)；(2)如图所示：△OB′C′即为所求；(3)点P为x轴上一点且满足S△BCP=S△BCA，则点P的坐标为(2,0)，(−8,0)．(1)直接利用已知点画出平面直角坐标系即可；(2)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)利用等积变换即可得出答案．此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．24.【答案】解：(1)(2)依题意可知{4≤x1+x3+x4≤144≤x2+x4≤144≤x4≤14，若x1=4，x2=3，x3=4，∴4≤x4≤6，又x4是整数，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；(3)∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+2③+④得，3(x1+x2+x3+x4)≤70，∴x1+x2+x3+x4≤2313，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，此时x1=5，x2=9，x3=5，x4=4满足题意，故答案为：23．【解析】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．(1)根据表中的规律即可得到结论；(2)根据题意列不等式即可得到结论；(3)根据题意列不等式，即可得到结论．25.【答案】解：(1)由题意四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=10，∵B(−13,0)，∴OB=13，∴OC=3，∵BE=3，∴E(−13,3)，C(−3,0)．(2)设点P速度为v单位/秒，则点O速度为2v单位/秒．4秒后点P横坐标为：−13+4v，点Q横坐标为：−3−8v，=−10，由题意，−13+4v+(−3−8v)2解得v=1，因此点P速度为1单位/秒，则点O速度为2单位/秒．(3)①点Q停止运动前，即t≤5时，点P横坐标为：−13+t，点Q横坐标为：−3−2t，∵S△PQE=1S△ADE，2AD，即|−13+t−(−3−2t)|=5，∴PQ=12或5．解得t=53②点Q停止运动且点P在线段AD上运动，即5<t≤10时，AD，所以不成立．此时PQ>12③点Q停止运动且点P在线段DC上运动，即10<t≤20时，此时S△PQE=S△ADE，所以不成立．,10)或(−8,10)．综上所述，满足条件的点P坐标为(−343【解析】(1)求出OB，OC，可得结论．(2)设点P速度为v单位/秒，则点O速度为2v单位/秒．利用镇店之宝公式，构建方程求解即可．(3)分三种情形：①点Q停止运动前，即t≤5时，②点Q停止运动且点P在线段AD 上运动，即5<t≤10时，③点Q停止运动且点P在线段DC上运动，即10<t≤20时，分别求解即可．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，动点问题等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】(1)证明：如图①，过点G作GE//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//GE，∴∠AMG=∠MGE，∠CNG=∠NGE，∴∠AMG+∠CNG=∠MGN；(2)如图②，设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，在△HNG中，∵∠G+∠HNG+∠NHG=180°∴∠HNG=∠AIE=∠IHM+∠IMH=(∠E+∠EMF)+∠IMH=∠E+(∠EMF+∠IMH)=∠E+∠AME∠NHG=∠IHM=∠E+∠EMF=∠E+12∠AME∴∠G+∠HNG+∠NHG=∠G+(∠E+∠AME)+(∠E+12∠AME)=180°(∠G+2∠E)+3 2∠AME=180°，即90°+32∠AME=180°，∴∠AME=60°；(3)∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，∴∠JPQ=∠JPN−12∠MPN=12(∠ENC−12∠MPN)=12(∠AOE−12∠MPN)=12∠AME=30°．【解析】(1)过点G作GE//AB，根据AB//CD得出AB//CD//GE，再由平行线的性质即可得出结论；(2)设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，点在△HNG中由三角形内角和定理可知∠G+∠HNG+∠NHG=180°，再由MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠E+∠G=90°可得出90°+32∠AME=180°，由此可得出结论；∠MPN，由此得出结论．(3)根据PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC可得出∠JPQ=∠JPN−12本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形外角的性质、角平分线的性质及三角形内角和定理，难度较大．27.【答案】(10,0)(990,40)【解析】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到(0,1)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,1)→(3,0)→⋯…，发现：当x=0时，有两个点，共2个点，当x=1时，有3个点，x=2时，1个点，共4个点；当x=3时，有4个点，x=4，1个点，x=5，1个点，共6个点；当x=6时，有5个点，x=7，1个点，x=8，1个点，x=9，1个点，共8个点；当x=10时，有6个点，x=11，1个点，x=12，1个点，x=13，1个点，x=14，1个点，共10个点；…，有(n+1)个点，共2n个点；当x=n(n−1)2①当2+4+6+8+10+⋯+2n=20时，n=5，=10，即20分钟时粒子所在点的坐标是(10,0)；∴x=5×42②当2+4+6+8+10+⋯+2n≤2020，≤2020且n为正整数，∴n(2+2n)2此时当n=44时，2+4+6+8+10+⋯+88=1980，当n=45时，2+4+6+8+10+⋯+90=2070，∵1980<2020<2070，∴2020在45行，=990，此行有46个点，第45行：x=45×(45−1)2∴2021个粒子所在点的坐标为(990,40)．故答案为：(10,0)；(990,40)．根据前几个点的坐标变化寻找规律即可．本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标的变化寻找规律．28.【答案】115°110°【解析】解：(1)①若∠BAC=100°，∠C=30°，则∠B=180°−100°−30°=50°，∵DE//AC，∴∠EDB=∠C=30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG=12∠BAC=50°，∠FDG=12∠EDB=15°，∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°−40°=140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=∠B+12(∠BAC+∠C)=40°+12×140°=40°+70°=110°；故答案为：115°；110°；②∠AFD=90°+12∠B；理由如下：由①得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=∠B+12(∠BAC+∠C)=∠B+1 2(180°−∠B)=90°+12∠B；(2)如图2所示：∠AFD=90°−12∠B；理由如下：由(1)得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠BDH=1 2∠EDB=12∠C，∵∠AHF=∠B+∠BDH，∴∠AFD=180°−∠BAG−∠AHF=180°−12∠BAC−∠B−∠BDH=180°−12∠BAC−∠B−12∠C=180°−∠B−12(∠BAC+∠C)=180°−∠B−12(180°−∠B)=180°−∠B−90°+12∠B=90°−12∠B．(1)①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出∠BAG=12∠BAC=50°，∠FDG=12∠EDB=15°，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°−40°=140°，由角平分线定义得出∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，由三角形的外角性质即可得出结果；②由①得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；(2)由(1)得：∠EDB=∠C，∠BAG=12∠BAC，∠BDH=12∠EDB=12∠C，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．29.【答案】2 3 C1(0,3)；C2(1,2)；C3(3,0)(答案不唯一)是43(−13,43) 2 (−1,0)【解析】解：(1)∵点A(1,2)，点O(0,0)，且|1−0|<|2−0|，∴d分解(A,O)=|2−0|=2，d和(A,O)=|1−0|+|2−0|=1+2=3，故答案为：2；3；(2)∵点B(x,5−x)在第一象限，∴{x>05−x>0，解得：0<x <5，①当|x −0|≥|5−x −0|时， d 分解(B,O)=|x −0|=3， 解得：x =3， 此时B 点坐标为(3,2)； ②当|x −0|<|5−x −0|时， d 分解(B,O)=|5−x −0|=3，解得：x 1=2，x 2=8(不合题意，舍去)， 此时B 点坐标为(2,3)， 综上，B 点坐标为(3,2)或(2,3)；(3)①若点C(x,y)(x ≥0,y ≥0)，且d 和(C,O)=3，则符合题意的三个点C 的坐标可以为C 1(0,3)；C 2(1,2)；C 3(3,0)， 如图：设直线C 1C 2的解析式为y =kx +b ， 把C 1(0,3)；C 2(1,2)代入可得： {b =3k +b =2， 解得：{k =−1b =3，∴直线C 1C 2的解析式为y =−x +3， 当y =0时，−x +3=0， 解得：x =3，∴C 3(3,0)在直线C 1C 2上，即C 1(0,3)；C 2(1,2)；C 3(3,0)是在同一条直线上，故答案为：C1(0,3)，C2(1,2)，C3(3,0)(答案不唯一)；是；②设E点坐标为(x,y)，当|x−0|≥|y−0|时，d分解(E,O)=|x−0|=4，解得：x=±4，且−4≤y≤4，当|x−0|<|y−0|时，d分解(E,O)=|y−0|=4，解得：y=±4，且−4≤x≤4，综上，所有符合条件的点E组成的图形如图：设F点坐标为(x,y)，(F,O)=|x−0|+|y−0|≤4，d和∴|y|≤4−|x|，当x≥0，y≥0时，y≤4−x，当x≥0，y<0时，y≥x−4，当x<0，y≥0时，y≤x+4，当x<0，y≤0时，y≥−x−4，∴所有符合条件的点F组成的区域如图：(4)①i)当|m −1|≥|2m +2|时，d 分解(M,N)=|m −1|， m −1≥2m +2时， 解得：m ≤−3， m −1≥−2m −2时， 解得：m ≤−13，综上，当|m −1|≥|2m +2|时，m ≤−13， 此时当m =−13时，|m −1|取得最小值为43，ii)当|m −1|<|2m +2|时，d 分解(M,N)=|2m +2|， 由i)可得，当m >−13时，|m −1|<|2m +2| 此时|2m +2|无最小值，∴点M 与点N 的“分解距离”的最小值是43，此时M 点坐标为(−13,43)； 故答案为：43；(−13,43)；②设y =d 和(M,N)=|m −1|+|2m +2|， 当m ≤−1时，y =−m +1−2m −2=−3m −1， 此时y 随m 的增大而减小， ∴当m =−1时，y 有最小值为2，当−1<m <1时，y =−m +1+2m +2=m +3， 此时y 随m 的增大而增大，当m ≥1时，y =m −1+2m +2=3m +1， 此时y 随m 的增大而增大， ∴当m =1时，y 有最小值为4，综上，当m =−1时，点M 与点N 的“和距离”的最小值为2，此时M 点坐标为(−1,0)， 故答案为：2；(−1,0)．(1)根据新定义内容及两个点的坐标列式计算；(2)根据第一象限点的坐标特点求得x 的取值范围，然后根据新定义内容分情况讨论求解；(3)①根据新定义内容写出符合条件的C 点坐标，然后利用待定系数法和一次函数图象上点的坐标特征进行分析判断；②设E 点坐标为(x,y)，根据新定义内容分析当d 分解(E,O)=4时，点E 的坐标取值范围，从而作出图形；设F点坐标为(x,y)，根据新定义内容分析d和(F,O)≤4时，x与y所以满足的函数关系，然后利用数形结合思想作出图形；(4)①根据新定义内容分情况分析m的取值范围，然后结合绝对值的意义取最小值，从而确定点的坐标；(M,N)=|m−1|+|2m+2|，根据新定义内容分情况讨论y与m的函数关系②y=d和式，然后结合一次函数性质分析最值．本题属于新定义类型题目，考查一次函数的应用，题目新颖，需要具备一定的理解能力，运用数形结合思想及分类讨论思想解题是关键．第31页，共31页。

2012北京四中初二(下)期中数学

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2012北京四中初二（下）期中数学一．精心选一选：（本题共30分，每小题3分）1．（3分）在实数范围内有意义，则a的取值范围（）A．a≥3 B．a≤3 C．a≥﹣3 D．a≤﹣32．（3分）若双曲线y=与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．（3分）如图，已知▱ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）4．（3分）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值为（）A．27 B．9 C．12 D．35．（3分）下列线段不能组成直角三角形的是（）A．B．C．D．a=7，b=23，c=246．（3分）在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（）A．加号B．减号C．乘号D．除号7．（3分）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为（）A．10 B． C．10或D．148．（3分）下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（）A．AB=CD，AD=BC B．AD=BC，AD∥BC C．AB=CD，∠B=∠D D．AB∥CD，∠A=∠C9．（3分）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，直线AB交y轴于点C，与双曲线（k＜0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B 重合），Q为线段BC上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设△AOD的面积为S1、△POE的面积为S2、△QOF的面积为S3，则有（）A．S1＜S2＜S3B．S3＜S1＜S2C．S3＜S2＜S1D．S1、S2、S3的大小关系无法确定二．细心填一填：（本题共18分，每小题3分）11．（3分）计算﹣×=．12．（3分）比较大小：（填“＞”“＜”“=”）．13．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC=cm．14．（3分）已知：如图，线段AB、DE表示一个斜靠在墙上的梯子的两个不同的位置，若CB=3m，∠ABC=45°，要使∠EDC=60°，则需BD=m．15．（3分）如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．16．（3分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的面积是．三．用心算一算：（17题每小题8分，18题5分，共13分）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（5分）已知：，求x2+2x﹣3的值．四．解答题（19、20题5分，21题6分，共16分）19．（5分）已知：如图，A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．20．（5分）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．21．（6分）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB=6，AD=8，在AB上取一点E，将纸片沿DE翻折，使点A落在BD上的点F处，求AE的长．五．动手画一画（4分）22．（4分）如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出边长为的格点三角形△ABC．②△ABC的面积=．六．解答题（第23、24题每题6分，25题7分，共19分）23．（6分）如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外侧作两个等边三角形△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF．24．（6分）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．（1）求k的值及点B的坐标；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．25．（7分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=8．理解与作图：（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．七、填空题26．（4分）如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数（x＞0）和（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ．则下列结论：（1）∠POQ不可能等于90°；（2）；（3）这两个函数的图象一定关于x轴对称；（4）△POQ的面积是．其中正确的有（填写序号）27．（4分）△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是AB上的两点，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，则△ABC的面积是．八、简答题28．（6分）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上．（1）求m、k的值：（2）若M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形，则这样的四边形有个．请直接写出此时平行四边形的四个顶点的坐标．29．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABDE，连接AD、BE，交点为O，且OC=．（1）求证：OC平分∠ACB；（2）求BC的长．参考答案与试题解析一．精心选一选：（本题共30分，每小题3分）1．【解答】根据题意得，3﹣a≥0，解得a≤3．故选B．2．【解答】将x=﹣1代入直线y=2x+1得，y=﹣2+1=﹣1，则交点坐标为（﹣1，﹣1），将（﹣1，﹣1）代入y=得，k=﹣1×（﹣1）=1，故选：B．3．【解答】∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．4．【解答】∵与|x﹣y﹣3|互为相反数，∴+|x﹣y﹣3|=0，∴，，∴x+y=27．故选A．5．【解答】A、∵12+（）2=（）2，∴这个三角形是直角三角形，故本选项错误；B、∵12+（）2==（）2，∴这个三角形是直角三角形，故本选项错误；C、∵22+（）2=9=32，∴这个三角形是直角三角形，故本选项错误；D、∵72+232=578≠242=576，∴这个三角形不是直角三角形，故本选项正确．故选D．6．【解答】当填入加号时：（）+（）=﹣；当填入减号时：（）﹣（）=0；当填入乘号时：（）×（）=；当填入除号时：（）÷（）=1．∵1＞＞0＞﹣，7．【解答】设第三边为x，①当8是斜边，则62+82=x2解得x=10，②当8是直角边，则62+x2=82，解得x=2 ．∴第三边长为10或2．故选C．8．【解答】A、AB=CD，AD=BC，即四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B、AD=BC，AD∥BC，即四边形ABCD的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；C、AB=CD，∠B=∠D，即四边形ABCD的一组对边相等，一组对角相等，所以不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，∵∠A=∠C，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；故选C．9．【解答】∵有意义，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴=﹣a．故选A．10．【解答】如右图，∵点A在y=上，∴S△AOD=，∵点P在双曲线的上方，∴S△POE＞，∵Q在双曲线的下方，∴S△QOF＜，∴S3＜S1＜S2．故选B．二．细心填一填：（本题共18分，每小题3分）11．【解答】原式=2﹣=，故答案是：12．【解答】∵﹣1＞1，∴＞．故填空结果为：＞．13．【解答】∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵DE=2cm，∴BC=2×2=4cm．故答案为：4．14．【解答】在△ABC中，∠ACB=90°，CB=3m，∠ABC=45°，由勾股定理和等腰直角三角形的性质得AB=3米，在△ECD中，∠C=90°，AB=3米，∠EDC=60°，由三角函数得CD=米，则BD=BC﹣CD=（）米，故答案为：（）．15．【解答】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，在Rt△A′CD中，∵∠D=90°，∴A′C===10cm．故答案为：10．16．【解答】如图，构造三角形．①如图：过点D作DN⊥AC于点N，CD==2，由题意可得出：DN=EC=4，NC=DE=2，∵D为AB中点，∴AD=CD=BD，∴AN=NC=2，BE=EC=4，∴原直角三角形纸片的面积是：×4×8=16；②如图：过点E作EF⊥AC于点F，因为CE==5，点E是斜边AB的中点，则AE=BE=CE=5，由题意可得出：BD=CD=EF=4，则FC=DE=3，∴AC=6，BC=8，∴原直角三角形纸片的面积是：×6×8=24．故答案为：16或24．三．用心算一算：（17题每小题8分，18题5分，共13分）17．【解答】（1）原式=﹣2+1﹣（2﹣）=﹣2+1﹣2+=﹣﹣1；（2）原式=（2+4）（﹣2）﹣（2+3﹣2）=2（+2）（﹣2）﹣（5﹣2）=2（2﹣12）﹣5+2=﹣25+2．18．【解答】∵：，∴x2+2x﹣3=（x2+2x+1）﹣4=（x+1）2﹣4，=（﹣1+1）2﹣4=2﹣4=﹣2．四．解答题（19、20题5分，21题6分，共16分）19．【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O．∵四边形DEBF是平行四边形，∴OD=OB，OE=OF．又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．20．【解答】（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），∴k2=2，∴双曲线的解析式为：y=．∵点B（m，﹣1）在双曲线y=上，∴m=﹣2，则B（﹣2，﹣1）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y=k1x+b上，得，解得，∴直线的解析式为：y=x+1．（2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，故y2＜y1＜0，又∵y3是正数，故y3＞0，∴y2＜y1＜y3．（3）由图可知x＞1或﹣2＜x＜0．21．【解答】∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8，∴BD===10，∵△DEF由△DEA反折而成，∴△DEF≌△DEA，∴DF=AD=8，EF=AE，∠EFD=∠A=90°，∴BF=10﹣8=2，设AE=x，则BE=6﹣x，EF=x，在Rt△BEF中，BE=6﹣x，EF=x，BF=2，BF2+EF2=BE2，即22+x2=（6﹣x）2，解得x=，即AE的长为．五．动手画一画（4分）22．【解答】①如图所示：②△ABC的面积=5×3÷2=7.5．故答案为：7.5．六．解答题（第23、24题每题6分，25题7分，共19分）23．【解答】证明：连接MC、BN，∵△ABM和△CAN是等边三角形，∴∠BAM=∠CAN=60°，MA=BA，AN=AC∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，即∠MAC=∠BAN，在△MAC与△BAN中，，∴△MAC≌△BAN（SAS），∴MC=NB，∵D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，∴DE=MC，EF=BN，∴DE=EF．24．【解答】（1）∵直线y=2x﹣6与反比例函数的图象交于点A（4，2），∴xy=k=2×4=8，∴k=8，当y=0时，0=2x﹣6，解得x=3，∴B点坐标为：B（3，0）；（2）∵A（4，2），B（3，0），∴AB=，当AB=BC1=时，∴OC1=3﹣，∴C1坐标为：（3﹣，0）；当AB=BC2=时，∴OC2=5，∴C2坐标为：（5，0）；当AB=BC3=时，∴OC3=3+，∴C3坐标为：（3+，0）；当C点在AB的垂直平分线上时，则AC=BC，过点A作AE⊥x轴于点E，∴AE=2，BE=4﹣3=1，则EC=AC﹣BE=AC﹣1，在Rt△AEC中AE2+EC2=AC2，∴22+（AC﹣1）2=AC2，解得：AC=2.5，∴BC=2.5，∴C点坐标为：（5.5，0），综上所述：C点的坐标为．25．【解答】（1）作图如下：（2）在图2中，EF=FG=GH=HE===2，∴四边形EFGH的周长为4×2=8，在图3中，EF=GH==，FG=HE===3，∴四边形EFGH的周长为2×+2×3=2+6=8．猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N．∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠2=∠5．而FC=FC，∴Rt△FCE≌Rt△FCM．∴EF=MF，EC=MC，同理：NH=EH，NB=EB．∴MN=2BC=16．∵∠M=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠N=90°﹣∠3，∴∠M=∠N．∴GM=GN．过点G作GK⊥BC于K，则KM=MN=8，∴GM===4，∴四边形EFGH的周长为2GM=8，证法二：∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠2=∠5．而FC=FC，∴Rt△FCE≌Rt△FCM．∴EF=MF，EC=MC．∵∠M=90°﹣∠5=90°﹣∠1，∠HEB=90°﹣∠4，而∠1=∠4，∴∠M=∠HEB．∴HE∥GF．同理：GH∥EF．∴四边形EFGH是平行四边形．∴FG=HE，而∠1=∠4，∴Rt△FDG≌Rt△HBE．∴DG=BE．过点G作GK⊥BC于K，则KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8．∴GM===4，∴四边形EFGH的周长为2GM=8．七、填空题26．【解答】（1）∵P点坐标不知道，当PM=MQ时，并且PM=OM，∠POQ等于90°，故此项错误；（2）根据图形可得：k1＞0，k2＜0，设点P、Q的横坐标为a，则PM=，MQ=，故=||，故此项错；（3）根据k1，k2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x轴对称，故此项错误；（4）∵|k1|=PM•MO，|k2|=MQ•MO，△POQ的面积=MO•PQ=MO（PM+MQ）=MO•PM+MO•MQ，∴△POQ的面积是（|k1|+|k2|），故此项正确．故答案为：（4）．27．【解答】如图：设DE=x，则AB=7+x，∵∠DCE=∠CAE=∠DBC=45°∴△ACE∽△CDE∽△BDC，设CD=a，CE=b，则有以下等式：x：b=b：3+x，x：a=a：4+x，x：a=b：AC，整理得，b2=x（x+3），a2=x（x+4），x•AC=ab，x2（x+3）（x+4）=a2b2=x2•AC2=，解得，x=5；∴AB=12，∴AC=BC=6，故△ABC的面积是36．故答案为：36．八、简答题28．【解答】（1）∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数的图象上，∴k=xy，∴k=m（m+1）=（m+3）（m﹣1），∴m2+m=m2+2m﹣3，解得m=3，∴k=3×4=12；（2）有两个，作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥y轴于N，两线交于P，由（1）知：A（3，4），B（6，2），则AP=PM=2，BP=PN=3，则四边形ANMB是平行四边形．当M（﹣3，0）、N（0，﹣2）时，根据勾股定理能求出AM=BN，AB=MN，即四边形AMNB是平行四边形，此时A（3，4）、B（6，2）、M（3，0）、N（0，2）或A（3，4）、B（6，2）、M（﹣3，0）、N（0，﹣2）．29．【解答】（1）证明：延长CA到G，使AG=BC，连接GE，∵四边形ABDE是正方形，∴AB=AE，∠EAB=90°，∠EAO=∠AB0=45°，AO=BO=EO．∴∠GAE=∠CBA，∴∠GAE+∠EAO=∠CBA+∠ABO，即∠GAO=∠CBO．在△GAO和△CBO中，，∴△GAO≌△CBO∴GO=CO，∠AGO=∠BCO．∴∠AGO=∠ACO．∴∠ACO=∠BCO，∴OC平分∠ACB；（2）解：∵∠ACB=90°，OC平分∠ACB，∴∠ACO=45°，∴∠CGO=45°，∴∠GOC=90．在Rt△GOC中，由勾股定理，得CG2=32+32，∴CG=8，∵AC=3，∴AG=5，∴BC=5．答：BC的长5．。

北京市第四中学八年级下学期期中数学试题

北京市第四中学八年级下学期期中数学试题

北京市第四中学2019-2020学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠3B．x≥3C．x＞3 D．x≤3【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于0，求出即可．【详解】有意义的条件是：x﹣3≥0．∴x≥3．故选B．【点睛】考查了函数变量的取值范围，此题是中考考查重点，同学们应重点掌握，特别注意根号下可以等于0这一条件．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1 2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．【详解】解：A、∵12+）2＝22，∴以12为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵42+52≠62，∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．3A B C D【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.【详解】解：A的被开方数不同，故A选项错误；B3=，3不是二次根式，故B选项错误；C=C选项正确；D=，的被开方数不同，故D选项错误；故选：C.【点睛】本题主要考查同类二次根式的定义，解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.4．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠1=55°，则∠A=（）A．35°B．55°C．125°D．145°【答案】C【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠A=∠BCD，再根据平角等于180°列式求出∠BCD=125°，即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=∠BCD，∵∠1=55°，∴∠BCD=180°-∠1=125°，∴∠A=∠BCD=125°．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，熟记平行四边形的性质是解题的关键．5．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组邻边相等D．对角线互相垂直【答案】A【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．6．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等【答案】D【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项．【详解】∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，∴选项A. B. C正确，D错误.故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解．7．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形其中的三个角是否都为直角【答案】D【分析】根据矩形的判定定理即可选出答案.【详解】解：A.对角线是否相互平分，能判定平行四边形，而不能判定矩形；B.两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，而不能判定矩形；C.一组对角是否都为直角，不能判定形状；D.四边形其中的三个角是否都为直角，能判定矩形.故选D.【点睛】本题考查了矩形的判定定理.解题的关键是牢记这些定理.矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.8．则x的值为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【答案】D【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：∵∴x+3＝2x，解得：x＝3，故选：D．【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（）A．（1，2）B．（4，2）C．（2，4）D．（2，1）【答案】D【分析】根据三角形的中位线的性质和点的坐标，解答即可．【详解】过N作NE⊥y轴，NF⊥x轴，∴NE∥x轴，NF∥y轴，∵点A(0，2)，B(4，0)，点N为线段AB的中点，∴NE=2，NF=1，∴点N的坐标为(2，1)，故选：D．【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，掌握三角形的中位线的性质和点的坐标的定义，是解题的关键．10．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC 的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．8 B．6 C．4 D．10【答案】A【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【详解】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝6，在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，解得x＝8．即BN＝8．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，熟悉相关性质是解题的关键．二、填空题11．如图，在▱ABCD中，BC＝9，AB＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，则DE的长为_____．【答案】4【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AE ∥BC ，AD=BC=9，∴∠AEB ＝∠EBC ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∴AE=AB ＝5，∴DE ＝AD ﹣AE ＝9﹣5＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出ABE AEB ∠=∠．12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠BOC ＝120°，AB ＝3，则BC 的长为_____．【答案】【分析】根据矩形的性质求出AC ＝2AO ，AO ＝BO ，根据等边三角形的判定得出△AOB 是等边三角形，求出AB ＝AO ＝3，求出AC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】解：120BOC ∠=︒，60AOB ∴∠=︒，四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，AC BD =，AO OC =，BO DO =，AO BO ∴=，AOB ∴∆是等边三角形，AB AO BO ，3AB =，3AO ∴=，26AC AO ，由勾股定理得：22226333BCAC AB ，故答案为： 【点睛】 本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．13．估计12与0.5的大小关系是：12______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 【答案】＞【详解】解：12-，2＞0，＞0． 故答案为：＞14．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 边上的点，AE ＝CF ，∠EFB ＝45°，若AB ＝5，BC ＝13，则AE 的长为_____．【答案】4【分析】过E 作EM ⊥BC 于M ，根据矩形的性质得出∠A ＝∠B ＝90°，得出四边形ABME 是矩形，根据矩形的性质得出EM ＝AB ＝5，AE ＝BM ，求出EM ＝FM ＝5，根据BC ＝13和AE ＝CF ＝BM 求出即可．【详解】解：如图，过E 作EM ⊥BC 于M ，则∠EMF ＝∠EMB ＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABME是矩形，∵AB＝5，∴EM＝AB＝5，AE＝BM，∵∠EFB＝45°，∠EMF＝90°，∴∠MEF＝45°＝∠EFB，∴EM＝FM＝5，∵BC＝13，AE＝CF＝BM，∴2AE+5＝13，解得：AE＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，熟练掌握这些知识并合理的作出辅助线是解题的关键．15．如果一个无理数a的积是一个有理数，写出a的一个值是_____．．【分析】直接化简二次根式，进而得出符合题意的值．【详解】解：＝∴无理数a的积是一个有理数，a．．【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可．16．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若AE ＝6，正方形ODCE 的边长为2，则BD 等于_____．【答案】4【分析】设BD ＝x ，正方形ODCE 的边长为2，则CD ＝CE ＝2，根据全等三角形的性质得到AF ＝AE ，BF ＝BD ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：设正方形ODCE 的边长为2，则2CD CE ==，设BD x =，AFO AEO ，BDO BFO ，AF AE ∴=，BF BD =，6AB x ，628AC ，2BC x =+，222AC BC AB +=，222(2)8(6)x x ，4x ∴=，故答案为：4．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．17．已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业．甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长为半径作弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1）乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2）老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢______的作法，他的作图依据是：______．【答案】乙对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定方法，即可解决问题．【详解】根据平行四边形的判定方法，我更喜欢乙的作法，他的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：乙；对角线互相平分的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查尺规作图-复杂作图，平行四边形的判定定理，掌握尺规作线段的中垂线以及平行四边形的判定定理，是解题的关键.三、解答题18．如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB ．下面结论：①△DEF ≌△DEC ；②S △ABE ＝S △ADF ；③AF ＝AB ；④BE ＝AF ．其中正确的结论是_____．【答案】①②④． 【分析】证明Rt △DEF ≌Rt △DEC 得出①正确；在证明△ABE ≌△DF A 得出S △ABE ＝S △ADF ；②正确；得出BE ＝AF ，④正确，③不正确；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是矩形， 90CABE，//AD BC ，AB CD =，DF AB ，DF CD ∴=， DF AE ⊥，90DFADFE，在Rt DEF ∆和Rt DEC ∆中，DE DE DFDC，Rt DEFRt DEC(HL)，①正确；//AD BC ，AEB DAF ∴∠=∠，在ABE ∆和DFA ∆中，ABEDFA AEB DAF ABDF， ()ABE DFA AAS ， ABEADFSS；②正确；BE AF ∴=，④正确，③不正确；故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．19【答案】．【分析】先化简二次根式，计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可得．【详解】=+=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．）【答案】点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．【分析】根据平行四边形的判定即可得点D的坐标．【详解】解：如图，∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，∴点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系和平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．21．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：EB＝DF（写出主要的证明依据）．【答案】详见解析．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，可得AB∥CD，AB ＝CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FCD＝∠EAB，由已知AE＝CF，可证得△FCD≌△EAB（SAS），所以EB＝DF．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠FCD＝∠EAB（两直线平行，内错角相等），∵AE＝CF，∴△FCD≌△EAB（SAS），∴EB＝DF．【点睛】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 22．已知，如图，等腰△ABC 的底边BC ＝10cm ，D 是腰AB 上一点，且CD ＝8cm ，BD ＝6cm ，求AB 的长．【答案】AB ＝253cm ． 【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC ＝90°，求出∠ADC ＝90°，在Rt △ADC 中，由勾股定理得出a 2＝（a ﹣6）2+82，求出a 即可． 【详解】 解：设ABACacm ，10BC cm =，8CD cm =，6BD cm =，222BD CD BC ∴+=，90BDC ∴∠=︒，即90ADC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：222AC AD CD =+， 即222(6)8aa ，解得：253a =， 即253ABcm ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求出90ADC ∠=︒是解此题的关键．23．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ ∥l ． 作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的延长线于点B；②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵PB＝PA，BC＝，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝．∴PQ∥l（）（填推理的依据）．【答案】（1）详见解析；（2）BA，QC，三角形的中位线定理【分析】（1）根据要求画出图形．（2）利用三角形的中位线定理证明即可．【详解】解：（1）直线PQ即为所求．（2）证明：∵PB＝P A，BC＝BA，BQ＝PB，∴PB＝P A＝BQ＝QC．∴PQ∥l（三角形的中位线定理）．故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．24．下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.已知:如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.求作:四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.作法:①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形.根据小丁设计的尺规作图过程.(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明:∴点O为AC的中点，∴AO=CO.又∵DO=BO，∵四边形ABCD为平行四边形(__________)(填推理的依据).∵∠ABC=90°，∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据).【答案】(1)作图如图所示，见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．【详解】（1）如图，矩形ABCD即为所求．（2）理由：∵点O为AC的中点，∴AO=CO又∵DO=BO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．25．常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：a2+b2＝c2”的一个最简单特例．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为（a，b，c）．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y 轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知△ABC三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点△ABC并计算其面积．【答案】（1）m＝13，n＝40，p＝8；（2）图详见解析，24．【分析】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）根据勾股数的定义计算即可；（2）根据勾股数确定长为13和15的边，再根据三角形的面积公式计算即可．解：（1）∵52+122＝132，∴m＝13；∵92+402＝412，∴n＝40，∵82+152＝172，∴p＝8．（2）如图所示：在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，S△ABC＝S ABD﹣S△ACD＝11129-125=24 22⨯⨯⨯⨯．【点睛】本题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．（1）依题意补全图形；（2）求证∠DMF＝∠ABF．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）按要求画图即可；（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到EN＝AB，再根据已知条件利用垂直平分线的性质定理证明FN＝FM，可得结论．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：延长BF 交CD 的延长线于点N ，∵点P 为线段AE 中点，∴AP ＝PE ，∵AB ∥CD ，∴∠PEN ＝∠P AB ，∠2＝∠N ，∵在△APB 和△EPN 中，∵2=N PAB PEN PA PE ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△EPN （AAS ），∴AB ＝EN∴AB ＝CD ＝EN ，∵EN ＝DN +DE ，CD ＝DM +CM ，∵DE ＝CM ，∴DN ＝DM ，∵FD ⊥MN ，∴FN ＝FM ，∴∠N ＝∠1，∴∠1＝∠2，即∠DMF ＝∠ABF ．【点睛】本题考查了几何作图、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解题的关键．27．（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a 的等边三角形面积是 （用含a 的代数式表示）；（2）小My 同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是 ；②小My 同学按下图切割方法将正方形ABCD 剪拼成一个等边三角形EFG ：M 、N 分别为AB 、CD 边上的中点，P 、Q 是边BC 、AD 上两点，G 为MQ 上一点，且∠MGP ＝∠PGN ＝∠NGQ ＝60°．请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；③正方形ABCD 的边长为2，设BP ＝x ，则x 2＝ ．【答案】（12；（2）①3；②详见解析；③3﹣1． 【分析】 （1）如图1，过A 作AD ⊥BC 于D ，根据等边三角形的性质得到BD ＝CD ＝12BC ＝12a ，由勾股定理得到AD ==，于是得到S △ABC ＝12BC •AD 2； （2）①根据三角形的面积公式即可得到结论；②补全图形如图2所示；③由题意知，PG ＝PE ，GN ＝NF ，推出PN 是△GEF 的中位线，得到PN ＝12EF ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴BD ＝CD ＝12BC ＝12a ，∴AD 2a ==，∴S △ABC ＝12BC •AD 2；（2）①∵边长为2的正方形的面积＝4，∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，∴4a 2＝4，∴a 2＝3，； ②补全图形如图2所示；③由题意知，PG ＝PE ，GN ＝NF ，∴PN 是△GEF 的中位线，∴PN ＝12EF ， ∵N 为AB 边上的中点， ∴BN ＝12AB ＝1， ∵边长为2的正方形的面积＝4，∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，∴4a 2＝4，∴a 2＝3，即△GEF 边长的平方是3，∴EF∴PN，∵PN 2＝BN 2+BP 2，1+x 2，∴x 2＝3﹣1；故答案为：（1）24a ；（2）①3；③13 ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，性质，勾股定理，正方形性质，三角形中位线等知识，根据题意，充分根据解题步骤是解题关键．此类题目每一步都为后续解题提供解题知识准备或解题方法提示．28．如图，双边直尺有两条平行的边，但是没有刻度，可以用来画等距平行线：我们也可用工具自制（如图）：下面是小My 同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的双边直尺作图过程．（1）根据小My同学的作图过程，请证明O为PH中点．（2）根据小My同学的作图过程，请证明PQ∥l．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）根据小My同学的作图过程可得，四边形PMHN是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可得结论；（2）作OK∥TH交QI于点K，由作图过程可证明△OQK≌△TOH（ASA），可得OQ ＝OT，进而可以得结论．【详解】解：（1）根据小My同学的作图过程可知：四边形PMHN是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，所以O为PH中点．（2）如图，作OK∥TH交QI于点K，由作图过程可知：PH∥QI，∴OK＝HI＝TH，∠QOK＝∠OTH，∠OKQ＝∠QIH＝∠OHT，∴△OQK≌△TOH（ASA），∴OQ＝OT，∵OP＝OH，∴四边形PQHT是平行四边形，∴PQ∥l．【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质的应用，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键.。

实数的有关计算问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【解析版】

实数的有关计算问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【解析版】

实数的有关计算问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢1.实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．2.实数运算的“三个关键”（1）．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．（2）．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．（3）．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）计算：2sin60°+√12+|−5|−(π+√2)0．【答案】3√3+4【解析】【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】+2√3+5−1=3√3+4．解：原式=2×√32【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．【例2】（2022·北京·中考真题）计算：(π−1)0+4sin45∘−√8+|−3|.【答案】4【解析】【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．【详解】解：(π−1)0+4sin45∘−√8+|−3|.=1+4×√22−2√2+3=4．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）计算：．【答案】5【解析】【分析】针对零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：原式＝1+√2−2×√22+4=5．2．（2014·北京·中考真题）计算：(6−π)0+(−15)−1−3tan30°+|−√3|.【答案】-4【解析】【详解】特殊角的三角函数值，按顺序计算即可试题解析：原式=1+(−5)−√3+√3=-4考点：1、零指数幂；2特殊角的三角函数值；3、绝对值；4、负指数幂3．（2015·北京·中考真题）计算：(12)−2−(π−√7)0+|√3−2|+4sin60°．【答案】5+√3【解析】【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=√32，求出各项的值即可． 【详解】解：原式=4−1+2−√3+4×√32=5−√3+2√3 =5+√3 【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值．4．（2016·北京·中考真题）计算：(3−π)0+4sin45∘−√8+|1−√3|． 【答案】√3．【解析】【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算即可．【详解】解：原式=1+4×√22−2√2+√3−1=√3． 5．（2017·北京·中考真题）计算：4cos30°+(1−√2)°−√12+|−2|．【答案】3．【解析】【详解】试题分析：利用特殊三角函数值，零指数幂，算术平方根，绝对值计算即可.试题解析：原式=4×√32 +1-2√3+2=2√3+1-2√3+2=3 . 6．（2018·北京·中考真题）计算：4sin45°+(π−2)0−√18+|−1|．【答案】2−√2【解析】【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.【详解】原式=4×√22+1−3√2+1=2−√2．【点睛】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.7．（2019·北京·中考真题）计算：|−√3|−(4−π)0−2sin60∘+（14）−1.【答案】3【解析】【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可【详解】原式=√3−1+2×√32+4=√3−1−√3+4=3【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．8．（2020·北京·中考真题）计算：(13)−1+√18+|−2|−6sin45°【答案】5【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=3+3√2+2−6×√22=3+3√2+2−3√2=5.【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优1．（2022·北京房山·二模）计算：tan60°+(3−π)0+|1−√3|+√27．【答案】5√3【解析】【分析】分别计算三角函数值、零指数幂，化简绝对值和二次根式，再进行加减即可．【详解】解：原式=√3+1+√3−1+3√3=5√3．【点睛】本题考查特殊角三角函数、零指数幂以及绝对值和二次根式的化简，属于基础题，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．2．（2022·北京朝阳·二模）计算√18+2sin45∘−(12)−1+|√2−2|．【答案】3√2【解析】【分析】分别根据二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂及绝对值的性质进行化简，最后再由二次根式的运算法则合并即可．【详解】解：原式=3√2+2×√22−2+2−√2 =3√2．故答案为：3√2．【点睛】 此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的性质，45°角的三角函数值，负整数指数幂定义及绝对值的性质是解题的关键．3．（2022·北京平谷·二模）计算：√83+(13)−1−2cos30°+|1−√3|．【答案】4【解析】【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解．【详解】 解：√83+(13)−1−2cos30°+|1−√3|=2+3−2×√32+√3−1=2+3−√3+√3−1 =4．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键．4．（2022·北京北京·二模）计算：(12)−1−4cos30∘+√12+|−2|．【答案】4【解析】【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊角的三角函数值代入，去值符号，再计算乘法，最后计算加减即可．【详解】解：原式=2−4×√32+2√3+2 =2-2√3+2√3+2=4．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则，负整指数幂的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．5．（2022·北京丰台·二模）计算：|−3|−2sin45∘+√8+(π+√3)0【答案】4+√2【解析】【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，第四项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式 = 3−2×√22+2√2+1 =3−√2+2√2+1=4+√2．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2022·北京西城·二模）计算：|−√2|+2cos45°−√8+(13)−2． 【答案】9【解析】【分析】先去绝对符号，把特殊角三角函数值代入，化简二次根式并计算乘方，再进行乘法运算，最后计算加减即可．【详解】解：原式=√2+2×√22-2√2+9 =√2+√2-2√2+9=9．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整指数幂的运算是解题的关键．7．（2022·北京顺义·二模）计算：√18−4cos45°+|−2|−(1−√2)0． 【答案】√2+1【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂，进行实数的计算即可求解．【详解】解：原式＝3√2−4×√22+2−1 =3√2−2√2+2−1 =√2+1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，求零次幂是解题的关键．8．（2022·北京市十一学校二模）计算：√3tan30°+|√2−2|−√83+(π−3)0【答案】2−√2【解析】【分析】先根据特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根，零指数幂化简，再合并，即可求解．【详解】 解：√3tan30°+|√2−2|−√83+(π−3)0 =√3×√33+2−√2−2+1=1+2−√2−2+1=2−√2【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．9．（2022·北京大兴·一模）计算：2sin30°+√8+|−5|−(−12)−1． 【答案】8+2√2【解析】【分析】先计算锐角三角函数、算术平方根、绝对值和负整数指数幂，再利用实数的加减法法则计算即可．【详解】解：原式=2×12+2√2+5−(−2)=1+2√2+5+2=8+2√2．【点睛】本题考查特殊三角函数值、负整数指数幂、算术平方根等内容，掌握运算法则是解题的关键．10．（2022·北京东城·二模）计算：(−1)2022+√83−(13)−1+√2sin45°．【答案】1【解析】【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．【详解】解：原式=1+2-3+√2×√22=1+2-3+1=1【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 11．（2022·北京丰台·一模）计算：（12）﹣1﹣2cos30°+|﹣√12|﹣（3.14﹣π）0． 【答案】√3+1【解析】【分析】分别根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂计算出各数，再根据混合运算的法则进行计算；【详解】解：（12）﹣1﹣2cos30°+|﹣√12|﹣（3.14﹣π）0＝2﹣2×√32+2√3﹣1 ＝2﹣√3+2√3﹣1 ＝√3+1【点睛】此题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键．12．（2022·北京一七一中一模）计算：3tan30°+(13)−1+20220+|√3−2|.【答案】6【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的计算法则求解即可．【详解】解：3tan30°+(13)−1+20220+|√3−2|=3×√33+3+1+2−√3 =√3+3+1+2−√3=6．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．13．（2022·北京平谷·一模）计算：√12+(15)−1−3tan30°−|−2|．【答案】3+√3【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质进行求解即可．【详解】 解：√12+(15)−1−3tan30°−|−2|=2√3+5−3×√33−2 =2√3+5−√3−2=3+√3．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，以及二次根式的性质，实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键．14．（2022·北京·东直门中学模拟预测）计算：2cos30°+√12−|−√3|−(π+√2)°．【答案】2√3−1【解析】【分析】根据0指数幂运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：原式=2×√32+2√3−√3−1=√3+2√3−√3−1=2√3−1．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．15．（2022·北京市第一六一中学分校一模）计算：2sin45°+|√2−3|−(π−2022)0+(13)−2．【答案】11【解析】【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：2sin45°+|√2−3|−(π−2022)0+(13)−2=2×√22+3−√2−1+32=√2+3−√2−1+9=11．【点睛】此题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（2022·北京朝阳·一模）计算：2cos30°+|−√3|−(π−√3)0−√12．【答案】-1【解析】【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．【详解】解：原式=2×√32+√3−1−2√3 =√3+√3−1−2√3=-1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键．17．（2022·北京顺义·一模）计算：2tan60°−√27+(12)−2+|1−√3|．【答案】3【解析】【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式=2×√3−3√3+4+√3−1=3【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（2022·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校一模）计算：4cos45°+(√3−1)0−√8+2−1． 【答案】32【解析】【分析】先分别根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简、负指数幂计算，然后根据实数混合运算法则计算即可求得结果．【详解】解：原式=4×√22+1−2√2+12 =2√2+32−2√2 =32． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的化简、负指数幂，熟练掌握相关运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．19．（2022·北京·模拟预测）计算：cos 230°+|1﹣√2|﹣2sin45°+（π﹣3.14）0 【答案】34【解析】【分析】根据cos30°=√32，|1−√2|=√2−1，sin45°=√22，(π−3.14)0=1，再计算即可． 【详解】解：原式＝(√32)2+√2−1−2×√22+1 ＝34+√2−√2 ＝34【点睛】本题主要考查了实数的运算，掌握特殊角三角函数值，零指数次幂，绝对值的性质是解题的关键． 20．（2022·北京市师达中学模拟预测）计算：(15)−1−(π−2022)0+|√3−1|−3tan30°【答案】3【解析】【分析】先根据负指数幂、零指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值分别计算，然后再根据实数的混合运算法则计算即可求得结果．【详解】解：原式=5−1+√3−1−3×√33=3+√3−√3=3【点睛】本题主要考查负指数幂、零指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．21．（2022·北京朝阳·模拟预测）计算：（﹣1）2020﹣√9﹣（3﹣π）0+|3﹣√3|+（tan30°）﹣1．【答案】0【解析】【分析】计算乘方、算术平方根、零指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值并计算负整数指数幂，再计算加减可得；【详解】解：原式=1﹣3﹣1+3﹣√3+（√33）-1=1﹣3﹣1+3﹣√3+√3=0．【点睛】本题考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．22．（2022·北京·一模）计算√2cos45°+(1−π)0+√14+|1−√2|．【答案】32+√2【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，化简绝对值进行计算即可．【详解】原式=√2×√22+1+12+(√2−1)=1+1+12+√2−1=32+√2【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，化简绝对值是解题的关键．23．（2022·北京·北理工附中模拟预测）计算：−√274−(1−π)0+2tan 30°−|√32−（√32）−1| 【答案】−√3−1【解析】【分析】根据二次根式的性质化简，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值，进行计算即可【详解】解：−√274−(1−π)0+2tan 30°−|√32−（√32）−1| =−3√32−1+2×√33−|√32−2√33| =−3√32+2√33−(2√33−√32)−1 =−√3−1 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键．24．（2022·北京师大附中模拟预测）计算：√8+(−12)−1−4cos45°+|−2|【答案】0【解析】【分析】根据二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别计算各项，即可求解．【详解】解：原式=2√2−2−4×√22+2 =0．【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键． 25．（2022·北京四中模拟预测）计算：(13)−1−√12+3tan30°+|√3−2|．【答案】5−2√3【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和绝对值的性质化简得出答案．【详解】解：原式＝3−2√3+3×√33+2−√3 =5−2√3．【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．26．（2021·北京平谷·二模）计算：|−√2|−2cos45°+(π−1)0+(12)−1【答案】3【解析】【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂以及负整指数幂进行运算即可【详解】解：|−√2|−2cos45°+(π−1)0+(12)−1 ＝√2−2×√22+1+2 ＝3【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂以及负整指数幂，熟练掌握法则是解题的关键27．（2021·北京朝阳·二模）计算：√12+(√5−2)0−(13)−1+tan60°． 【答案】3√3−2【解析】【分析】直接根据无理数的运算，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式=2√3+1−3+√3=3√3−2．【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握无理数的运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值是关键．28．（2021·北京顺义·二模）计算：(2−π)0+3−1+|√2|−2sin45°．【答案】43【解析】【分析】根据混合运算公式运算即可【详解】解：原式＝1+13+√2−2×√22＝43【点睛】本题主要考查实数混合运算内容，注意运算中的易错点，避免犯错，属于常考题．29．（2021·北京房山·二模）计算：(13)−1−2sin60°+|−√3|−(π−2021)0【答案】2【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值的化简，零指数幂定义依次化简及特殊角的三角函数值代入计算即可．【详解】解：原式=(13)−1−2sin60°+|−√3|−(π−2021)0=3−√3+√3−1=2．【点睛】此题考查实数的计算，正确掌握负整数指数幂，绝对值的化简，零指数幂定义依次化简及特殊角的三角函数值是解题的关键．30．（2021·北京海淀·二模）计算：(12)−1+√8+|√3−1|−2sin60°．【答案】1+2√2【解析】【分析】原式利用负整数指数幂法则、二次根式的性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】原式=2+2√2+√3−1−2×√32=1+2√2．【点睛】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

北京四中八年级第一学期期末数学试题(附答案) 2

北京四中八年级第一学期期末数学试题(附答案) 2

北京四中八年级第一学期期末数学试题（附答案）作者：学大教育编辑整理 来源：网络一、选择（本题共30分，每小题3分） 1．下列说法正确的是（ ）．A ．4的平方根是2B ．9的算术平方根是C ．8的立方根是D ．的立方根是2．计算的结果是（ ）．A ．B ．C ．21D ．3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．下列变形正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．若函数（k≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式≤0的解集在数轴上表示正确的是（）．6．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（）．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL7．若将直线(k≠0)的图象向上平移3个单位后经过点(2，7)，则平移后直线的解析式为（）．A．B．C．D．8．如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）．A ．2B ．4C ．6D ．12 9．已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）．A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限10．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD ，若AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为（ ）．A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分） 11．函数2-=x y 中，自变量x 的取值范围是_________．12．在，，，327这四个实数中，无理数是_________．13．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____．14．若直线（k ≠0）经过点（1，3），则该直线关于x 轴对称的直线的解析式为____15 . Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，P 为AC 边上一点，PC ＝2，∠PBC ＝30°．（1）若PD ⊥AB 于D ，在图中画出线段PD ；（2）点P 到斜边AB 的距离等于_________．16．下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n 个图形中的个数为_____．（n 为正整数）17．如图，钝角三角形纸片ABC 中，∠BAC ＝110°，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ．若点F 恰好在BA 的延长线上，则∠ADF ＝_________°．18．对于三个数a 、b 、c ，用}c b min{、、a 表示这三个数中最小的数， 例如，，那么观察图象，可得到的最大值为_________．三、（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分） 19．因式分解：（1）； （2）．20．计算：．21．先化简再求值：，其中x=3．22．解分式方程：．四、（本题共11分，第23题6分，第24题5分）23．已知：如图，D为△ABC内一点，AC=BC，CD平分∠ACB．求证：∠ABD＝∠BAD．24．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．解：（1）画法：（2）答：AM＋AN_________BM＋BN．（填“＞”、“＝”或“＜”）五、（本题共12分，每小题6分）25．在平面直角坐标系xOy中，一动点从点出发，在由，四点组成的正方形边线上（如图①所示），按一定方向匀速运动．图②是点P运动的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数图象的一部分．请结合以上信息回答下列问题：（1）图②中，s与t之间的函数关系式是_________（t≥0）；（2）与图③中的折线段相对应的点P的运动路径是→_________→_________→_________；（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”或“N”）（3）当4≤s≤8时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．26．某中学初二年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？六、解答题（本题共12分，每小题6分）27．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为，，P为y轴上B点下方一点，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM＝PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示M点的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．28．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．（1）证明：（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为_________．证明：北京四中八年级第一学期期末数学试题（附答案）参考答案一、选择（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B B D A C B A二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）11．x≥2．12．．13．20．14．．15．（1）答案见图1；（2）2．16．．17．40．18．1．三、计算（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）19．（1）解：．（2）解：．20．解：．21．解：．当x= 3时，原式=．22．解：去分母，得．2x=2．x=1．经检验，x=1是原方程的解．所以，原方程的解为x=1．四、认真做一做（本题共11分，第23题6分，第24题5分）23．证法一：如图2-1．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2．在△ACD与△BCD中，∴△ACD≌△BCD．∴AD＝BD．∴∠ABD＝∠BAD．证法二：如图2-2．延长CD交AB于点E．∵AC＝BC，CD平分∠ACB，∴CE垂直平分AB．∵点D在CE上，∴AD＝BD．∴∠ABD＝∠BAD．24．解：（1）答案图如图3所示．画法：1．作点M关于射线OP的对称点，连结交OP于点A．2．作点N关于射线OQ的对称点，连结交OQ于点B．（2）＝．五、仔细想一想（本题共12分，每小题6分）25．（1）（2）M→D→A→N；（3）26．解：（1）．（2）由题意得解得＜x≤180．又因为x为6的倍数，所以x等于168，174，180．因为随x的增大而减小，所以当x等于168，即168名同学购买书包，132名同学购买文具盒时，所购买的学习用品件数最多．因为时，，所以最多可买94件学习用品．此时168名同学购买书包，132名同学购买文具盒。

北京市第四中学2019届中考数学冲刺复习实数01平方根

北京市第四中学2019届中考数学冲刺复习实数01平方根

平方根知识重点 :一、 1. 算术平方根的定义假如一个正数 x 的平方等于 a，即x2a,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根（规定0 的算术平方根仍是0）；a 的算术平方根记作a，读作“ a 的算术平方根”，a叫做被开方数.2.平方根的定义假如x2 a ，那么x叫做a的平方根.求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a ≥0) 的平方根的符号表达为 a a 0，此中a是a的算术平方根.二、平方根和算术平方根的差别与联系1．差别 : （1）定义不一样；（2）结果不一样 :a和a2．联系 : （1）包括关系；（2）被开方数非负；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0．说明 : （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，此中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，依据它的算术平方根能够立刻写出它的另一个平方根 .所以，我们能够利用算术平方根来研究平方根.三、算术平方根小数点位数挪动规律被开方数的小数点向右或向左挪动 2 位，其算术平方根的小数点就相应地向右或向左挪动 1 位.例题剖析1、若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根，求 m的值．2、x 为什么值时，以下各式存心义？（1）x2(2)x 2(3)x 1 1 x(4)x 1x 23、求以下各式的值．（1）（2）252242324220110.3619004354、求以下各式中的x.（1）x23610（2）x2289 1（3）9 3x 2264 05、已知 a、b 是实数，且2a 6 b20解对于 x 的方程 : a 2 x b2a16、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300cm2 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2 ，请你说明小丽可否用这块纸片裁出切合要求的长方形纸片.稳固练习1．以下说法中正确的有（）．①只有正数才有平方根．②-2 是 4 的平方根．③ 16的平方根是 4．④ a2的算术平方根是a．⑤（ -2 ）2的平方根是 -2 ．⑥93．A．1 个B．2个C．3 个D．4 个2．若 m＝40 4 ，则预计m的值所在的范围是（）A．1＜m＜2 B. 2＜m＜3C. 3 ＜m＜4D. 4＜m＜53.有一个数值变换器，原理以下 :当输入的 x＝64 时，输出的 y 等于（）A.2B.8C. 2 2D. 3 2。

北京四中2015-2016学年八年级上期中数学试卷含答案解析

北京四中2015-2016学年八年级上期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．2．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是( )A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣43．使分式有意义，则x的取值范围是( )A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥14．点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是( )A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是( )A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′6．下列各式中，正确的是( )A．B．C．=D．7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．12 B．15 C．12或15 D．188．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18°B．24°C．30°D．36°9．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°10．如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于( )A．50°B．75°C．80°D．105°二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为__________．12．因式分解：3x2﹣6x+3=__________．13．计算的结果是__________．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC=__________cm．15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=__________度．16．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，则△OMN的周长=__________．17．已知，则代数式的值为__________．18．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为__________．19．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD=__________°．20．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于B E的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E的位置共有__________个．三、解答题21．分解因式．（1）x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）（2）（x2+1）2﹣4x2．22．计算：（1）．（2）．23．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．24．解方程：．25．已知：如图，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC．求证：BD=CE．26．甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？27．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．28．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l 上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．附加题（满分20分，计入总分）29．已知：a﹣b=2，2a2+a﹣4=0，则=__________．30．已知：，则（b﹣c）x+（c﹣a）y+（a﹣b）z的值为__________．31．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．2015-2016学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是( )A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．3．使分式有意义，则x的取值范围是( )A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥1【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：A．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．4．点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是( )A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可求出．【解答】解：点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：B．【点评】本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系，根据关于y轴对称的两点的性质得出是解题关键．5．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是( )A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．【解答】解：A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．6．下列各式中，正确的是( )A．B．C．=D．【考点】分式的基本性质．【专题】计算题．【分析】利用分式的基本性质对各式进行化简即可．【解答】解：A、已经是最简分式，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以x+y即可得到，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是在进行分式的运算时要同时乘除．7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．12 B．15 C．12或15 D．18【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18°B．24°C．30°D．36°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故选A．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．9．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数．【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故选：C．【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．10．如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于( )A．50°B．75°C．80°D．105°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．【解答】解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为3.5×10﹣5米．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000035米=3.5×10﹣5米．故答案为：3.5×10﹣5米．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．因式分解：3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2﹣6x+3，=3（x2﹣2x+1），=3（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．计算的结果是4．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂及绝对值，然后合并即可得出答案．【解答】解：原式=2﹣1+3=4．【点评】此题考查了零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC=3cm．【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质．【专题】计算题．【分析】根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，代入BC=BD+CD求出即可．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=1，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=1+2=3，故答案为：3．【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出CD和BD的长是解此题的关键．15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15度．【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．16．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，则△OMN的周长=10cm．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】由BO为∠ABC的平分线，得到一对角相等，再由OM与AB平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到∠MBO=∠MOB，再由等角对等边得到OM=BM，同理ON=CN，然后利用三边之和表示出三角形OMN的周长，等量代换得到其周长等于BC的长，由BC的长即可求出三角形OMN的周长．【解答】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OM∥AB，∴∠ABO=∠MOB，∴∠MBO=∠MOB，∴OM=BM，同理ON=CM，∵BC=10cm，则△OMN的周长c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm．故答案为10cm．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．17．已知，则代数式的值为4．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，得出关系式，所求式子变形后代入计算即可求出值．【解答】解：解法一：∵﹣=﹣=3，即x﹣y=﹣3xy，则原式===4．解法二：将原式的分子和分母同时除以xy，===4故答案为：4．【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．18．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为．【考点】角平分线的性质．【专题】探究型．【分析】过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质可得出DE=DF，再由AB=4，△ABD 的面积为3求出DE的长，由AC=2即可得出△ACD的面积．【解答】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵AB=4，△ABD的面积为3，∴S△ABD=AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；∴DF=，∵AC=2，∴S△ACD=AC•DF=×2×=．故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．19．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD=45°．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠PCD的度数．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°．故答案为：45°．【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键．20．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有4个．【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；轴对称的性质．【专题】压轴题．【分析】分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA 为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．【解答】解：分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点；综上满足要求的P有4个，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质等知识点，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．三、解答题21．分解因式．（1）x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）（2）（x2+1）2﹣4x2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x2（m﹣2）+9y2（m﹣2）=（m﹣2）（x2﹣9y2）=（m﹣2）（x﹣3y）（x+3y）（2）原式=（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）=（x﹣1）2（x+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．计算：（1）．（2）．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=••=﹣；（2）原式===．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．【考点】分式的化简求值．【专题】探究型．【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=×=a+1．当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．24．解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+3）（x+1）﹣8=x2﹣1，去括号得：x2+4x+3﹣8=x2﹣1，移项合并得：4x=4，解得：：x=1，经检验x=1是原方程的增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．25．已知：如图，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC．求证：BD=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角与角之间的等量关系求出∠BAD=∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE=∠EAC﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=EC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．26．甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？【考点】分式方程的应用．【专题】应用题．【分析】设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，再由甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，由题意得，=，解得：x=45，经检验：x=45是原方程的解．答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，根据等量关系建立方程，注意不要忘记检验．27．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．【考点】作图—应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据平行线的性质得出即可；（2）根据题意，有3个角与∠PAB相等．由等腰三角形的性质，可知∠PAB=∠PDA；又对顶角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行线性质，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形．【解答】解：（1）PC∥a（两直线平行，同位角相等）；（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，如图，∵PA=PD，∴∠PAB=∠PD A，∵∠BDC=∠PDA（对顶角相等），又∵PC∥a，∴∠PDA=∠1，∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）如图，作线段AB的垂直平分线EF，则EF是所求作的图形．【点评】本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）对顶角的性质，（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．28．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l 上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°﹣α，且∠DBA+∠BAD=180°﹣α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD=EA，∠DBA=∠CAE，再△DBF≌△EAF（SAS），得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，求出∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，所以△DEF 为等边三角形．即可得到DF=EF．【解答】解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）成立∵∠BD A=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等是解题的关键．附加题（满分20分，计入总分）29．已知：a﹣b=2，2a2+a﹣4=0，则=﹣2．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】由a﹣b=2可得b=a﹣2，代入变为只含有a的代数式，由2a2+a﹣4=0可得，再代入前面化简后的式子，即可解答本题．【解答】解：∵a﹣b=2，∴b=a﹣2．∴=+==．∵2a2+a﹣4=0，∴．∴=．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是可以将题目中的式子灵活变化，变为所求式子需要的条件30．已知：，则（b﹣c）x+（c﹣a）y+（a﹣b）z的值为0．【考点】分式的混合运算；解三元一次方程组．【专题】计算题；整体思想．【分析】设=k，从而可得b+c﹣a=①，c+a﹣b=②，a+b﹣c=③，然后用k、x、y、z分别表示出a、b、c，代入所求代数式就可解决问题．【解答】解：设=k，则b+c﹣a=①，c+a﹣b=②，a+b﹣c=③．由①+②+③得：a+b+c=④，由④﹣①得：a=，由④﹣②得：b=，由④﹣③得：c=，则原式=•x+•y+•z==0．故答案为0．【点评】本题考查了分式的混合运算，解三元一次方程组等知识，运用整体思想是解决本题的关键．31．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．【分析】（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐标；（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论；（3）在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，再证明△ACE≌△BAH就可以得出结论．【解答】（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO．∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°．在△AOB和△EOB中，，∴△AOB≌△EOB（ASA），∴AB=EB，AO=EO，∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．∴∠AEC=∠BHA．在△AEC和△BHA中，，∴△ACE≌△BAH（AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．。

2022-2023学年北京西城区四中初二(上)期中数学及答案

2022-2023学年北京西城区四中初二(上)期中数学及答案

2022北京四中初二（上）期中数 学第一部分一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 下列各式计算正确的是（ ）.A. ()()4224a a = B. 3262510x x x ⋅= C. ()()862c c c −÷−=−D. ()236ab ab = 2. 下列各组线段能组成三角形的是（ ）A. 5cm,8cm,12cmB. 2cm,3cm,6cmC. 3cm,3cm,6cmD. 4cm,7cm,11cm 3. 如图，在ABC 中，,AB AC AD =是ABC 的边BC 上的中线，那么可以证明ABD ACD ∆≅∆，这里证明全等所使用的判定方法是（ ）A. SASB. AASC. ASAD. SSS 4. 如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，125=∠，230∠=，则3∠=（ ）A. 60B. 55C. 50D. 无法计算 5. 如图，在由线段,,,,AB CD DF BF CA 组成的平面图形中，28D ∠=︒，则A B C F ∠+∠+∠+∠的度数为（ ）．A. 62︒B. 152︒C. 208︒D. 236︒ 6. 若15x x +=，则221x x +的值为（ ） A. 27 B. 23 C. 24 D. 37. 在ABC 中，3,5AB AC ==，延长BC 至D ，使CD BC =，连接AD ，则AD 的长度的取值范围是（ ）．A. 713AD <<B. 214AD <<C. 27AD <<D. 511AD << 8. 如图，在ABC 中，,,,65B C BF CD BD CE FDE ∠=∠==∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A. 45︒B. 70︒C. 65︒D. 50︒二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9. 在ABC 中，30A ∠=︒，45B ∠=︒，则C ∠=______________︒．10. 一个多边形的内角和是720︒，这个多边形的边数是______．11. 已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为______________．12. 已知锐角ABC ∆的一个内角是40︒，A B ∠=∠，那么C ∠的外角是______________︒．13. 若29a ka ++是一个完全平方式，则k 的值是________．14. 若x m +与22x x −+乘积中不含x 的二次项，则实数m 的值为______________．15. 如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，D 、C 、E 三点在一条直线上，且90ADC BEC ∠=∠=︒，过点C 作FC DE ⊥，且FC AD BE =+．若AFB α∠=，则DFE ∠=______________．（用含α式子表示）的16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(6,0),(0,8)A B ，P ，Q 是两个动点，其中点P 以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB （按照A O B −−）的路线运动，点Q 以每秒5个单位长度的速度沿折线BOA （按照B O A −−）的路线运动，运动过程中点P 和Q 同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t 秒，直线l 经过原点O ，且l AB ∥，过点P ，Q 分别作l 的垂线段，垂足为E ，F ，当OPE 与OQF △全等时，t 的值为______________．三、解答题（本大题共8小题，第17题24分，第19题4分，第18，20，21题每题6分，第22，23题每题7分，第24题每题8分，共68分）17. 计算：（1）()2234x y xy ⋅−；（2）()24(3)x x y −+； （3）(2)(3)m n n m +−；（4）()3212633−+÷m m m m ；（5）(3)(3)x y x y +−−+；（6）2()a b c +−． 18. 已知2410x x −−=，求代数式22(23)()()x x y x y y −−+−−的值．19. 要求：铅笔作图（可以借助带刻度的直尺、三角板和量角器）：已知ABC ∆（如图），求作：（1）ABC ∆的中线AD ；（2）ABD ∆的角平分线DM ；（3）ACD ∆的高线CN ；（4）若3ADC ADB C C ∆∆−=（其中C 表示周长），且5AB =，则AC =______________．20. 如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上BF ＝CE ，AC ＝DF ．（1）在下列条件①∠B ＝∠E ；②∠ACB ＝∠DFE ；③AB ＝DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ，则所有正确条件的序号是 ．（2）根据已知及（1）中添加一个条件证明∠A ＝∠D ．21. 如图，在ABC 中，=45ABC ∠︒，AH BC ⊥于点H ，点D 为AH 上的一点，且DH HC =，连接BD 并延长BD 交AC 于点E ．（1）请补全图形；（2）写出BD 与AC 数量关系和位置关系并证明．22. 在乘法公式学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：的的的图1 图2（1）如图1，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为____________________________；（2）将图2中边长为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一条直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足5a b +=，3ab =，请求出阴影部分的面积．（3）若图1中每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48，请直接写出图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．23. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为BC 边上一点，DA 平分CDE ∠，且AB AE =，若2CD =，3BD =，求DE 的长．24. 喜欢动手的小马同学收集了很多套三角板，以下是他利用三角板进行的数学探究：（1）小马同学将两个大小相同的含有30︒，60︒的三角板如图1所示放置，即,,,90AB AE AC AD BC ED ACB ADE ===∠=∠=︒，连接BE 、CD 交于点F ，小马同学发现FB FE =，请给出证明：（2）小马同学将两个大小不同的等腰直角三角板如图2所示放置，即,,90AB AC AD AE EAD CAB ==∠=∠=︒，连接BE CD 、交于点F ．当DE BE =时，请写出AEC ∠与BEC ∠之间的数量关系，并证明．第二部分 附加题（共10分）25. 阅读材料：我们已经学习过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±．对于多项式222x x ++，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成22211(1)1x x x +++=++，即一个含x 的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式2(0)ax bx c a ++≠，它总是可以化为2()a x h k ++的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：()22224322152(1)5x x x x x +−=++−=+−，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题：（1）代数式23121x x +−经配方可化为______________．（2）已知2244()50a a b b +−++=，那么ab 的值为______________．（3）已知x 、y 为实数，求代数式2222222022x xy y x y −++++的最小值及取到最小值时x 、y 的值． 26. 小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：问题1：如图1，ABC ∆中，3AB =，2AC =，AD 是ABC ∆的角平分线，求:BD DC 的值．小聪同学经过思考，发现可以过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，利用ABD ∆与ACD ∆的面积比来解决这个问题．问题2：如图2，ABC ∆为等边三角形，点D 为ABC ∆外一点，60CDA ∠=︒，连接DB ，探究,,AD CD BD 三者之间的的数量关系．小明同学经过思考，发现可以在DA 上截取DE DC =，构造等边三角形CDE ，从而解决这个问题．（1）根据两位同学的思考，完成问题1、2的解答（直接写出结果）．（2）根据问题1、2的结论，解决下面问题：如图3，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B ，C ，E 三点共线，连接,AE BD 交于点F ，连接FC ，设AF a =，DF b =，CF c =，若2BC CE =，直接写出23a bc −的值.参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂相除的法则计算即可．【详解】A 、()()42248a a a ==，故本项正确； B 、3252510⋅=x x x ，故本项错误； C 、()()862c c c −÷−=，故本项错误；D 、()2326ab a b =，故本项错误.故选A ．考点：单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．2.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的三边关系求解判断即可．【详解】解：A 、5+8=1312>，故选项A 中线段能组成三角形，符合题意；B 、2+3=56<，故选项B 中线段不能组成三角形，不符合题意；C 、3+3=6，故选项C 中线段不能组成三角形，不符合题意；D 、4+7=11，故选项D 中线段不能组成三角形，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答的关键．3.【答案】D【解析】【分析】根据中线的性质可得BD CD =，结合已知条件根据SSS 可证明ABD ACD ∆≅∆．【详解】解：∵AD 是ABC 的边BC 上的中线，∴BD CD =，在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(SSS)ABD ACD ∆≅∆，故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键4.【答案】B【解析】【分析】根据BAC DAE ∠=∠，可得1EAC ∠=∠，由SAS 证得BAD 与CAE 全等，得到2ABD ∠=∠，根据三角形外角和即可求解． 详解】BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即1EAC ∠=∠，在BAD 与CAE 中 1AB AC EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAD ≌CAE ()SAS ，∴2ABD ∠=∠，230∠=︒，30ABD ∴∠=︒，125=∠，∴31303555ABD ∠∠=+=+∠=．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，推出BAD ≌CAE 是解题的关键． 5.【答案】C【解析】【分析】如图标记1,2,3，然后利用三角形的外角性质得13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，2A C ∠=∠+∠，再利用2,3∠∠互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记1,2,3，13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，28D ∠=︒，328B F ∴∠=∠+∠−︒，又2A C ∠=∠+∠，2328A C B F ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠−︒，23180∠+∠=︒18028A C B F ∴︒=∠+∠+∠+∠−︒，18028208A C B F ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，故选C ．【【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】利用完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，进行计算即可得解． 【详解】解：15x x +=， 22211225x x x x ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭， 22125223x x ∴+=−=； 故选B ．【点睛】此题考查完全平方公式，熟练掌握并运用完全平方公式是解答此题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】画出图形，延长AC ，使CE AC =，连接DE ，证明ABC EDC △≌△得到3DE AB ==，再利用三角形的三边关系求解即可．【详解】解：如图，延长AC ，使CE AC =，连接DE ，在ABC 和EDC △中，AC CE ACB ECD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABC EDC SAS ≌，∴AB DE =，∵3AB =，5AC =，∴210AE AC ==，3DE =，∴103103＜＜AD −+，即713＜＜AD ，故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键．8.【答案】D【解析】【分析】证明≌BDF CED 得到BFD CDE ∠=∠，利用三角形的外角性质得到65B FDE ∠=∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：在BDF 和CED △中，BF CD B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDF CED SAS ≌，∴BFD CDE ∠=∠，∵FDC FDE CDE B BFD ∠=∠+∠=∠+∠，又65FDE ∠=︒，∴65B FDE ∠=∠=︒，∴180250A B ∠=︒−∠=︒故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，证明BDF CED △≌△是关键．二、填空题9.【答案】105【解析】【分析】根据三角形的内角和是180︒求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，30A ∠=︒，45B ∠=︒，∴180105C A B ∠=︒−∠−∠=︒，故答案为：105．【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180︒是解答的关键．10.【答案】6##六【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和定理得到（n ﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则（n ﹣2）×180°＝720°，解得n ＝6，故这个多边形为六边形．故答案是：6．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n 边形的内角和为（n ﹣2）×180°解答． 11.【答案】6或8##8或6【解析】【分析】分两种情况进行讨论：①当腰长为6时；②当底边长为6时，分别进行求解即可．【详解】解：设底边长为x ，腰长为y ，则220x y +=，①当腰长6y =时，2620x ∴+⨯=，8x ∴=；三边长分别为6，6，8能构成三角形，符合题意；故8x =；②当底边长6x =时，6220y ∴+=，7y ∴=；三边长分别7，7，6能构成三角形，符合题意；故6x =；综上所述，6x =或8x =；故答案为：6或8．【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的构成与一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形三边的关系与分类讨论是解答此题的关键． 12.【答案】80或140##140或80【解析】【分析】分两类情况分析：①当40A B ∠=∠=︒时；②当40ACB ∠=︒时．然后利用三角形的外角性质与邻补角的意义进行求解即可．【详解】解：如图所示，ACD ∠是ACB ∠的外角，①当40A B ∠=∠=︒时，80ACD A B ∠=∠+∠=︒；②当40ACB ∠=︒时，180140ACD ACB ∠=︒−∠=︒；∴ACB ∠的外角为80︒或140︒；故答案为：80或140．【点睛】此题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质、邻补角的意义以及分类讨论的思想方法是解答此题的关键．13.【答案】6±【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值． 【详解】解：29a ka ++是一个完全平方式，即22233a a ±⨯+是一个完全平方式，6k ∴=±故答案为：6±【点睛】本题考查了完全平方式，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的 2倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．14.【答案】1【解析】【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x 的二次项系数为0，求解即可． 【详解】解：2()(2)x m x x +−+=32222x x x mx mx m −++−+=32(1)(2)2x m x m x m +−+−+乘积中不含x 的二次项，10m ∴−=，1m ∴=；故答案为：1．【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘积，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是解答此题的关键．15.【答案】90α︒−##90α−+︒【解析】【分析】连接AE ，BD ，先证明ADC CEB ≅, 再证CDF EBD ≅,可得到BDF 是等腰直角三角形，则45BFD ∠=︒，再证ADE ECF ≅，得AEF △是等腰直角三角形，得45AFE ∠=︒，由DFE BFD AFE AFB ∠=∠+∠−∠可得到答案．【详解】解：如图所示，连接AE ，BD ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，∵90ADC BEC ∠=∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴=DAC BCE ∠∠，∵AC BC =，=90ADC CEB ∠∠=︒，∴ADC CEB ≅（AAS ）,∴AD CE =，CD BE =，=ACD CBE ∠∠，∴DE CE CD AD BE =+=+，∵CF AD BE =+，∴DE CF =，∵CF DE ⊥，∴=90BED DCF ∠∠=︒，∴CDF EBD ≅（SAS ）,∴DF BD =，CFD EDB ∠=∠，∴90BDF CDF EDB CDF CFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴BDF 是等腰直角三角形，∴45BFD ∠=︒，∵AD CE =，=90ADE ECF ∠∠=︒，DE CF =，∴ADE ECF ≅（SAS ）,∴=AED EFC ∠∠，AE EF =，∴90AEF CEF AED CEF EFC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴AEF △是等腰直角三角形，∴45AFE ∠=︒，∵AFB α∠=，∴454590DFE BFD AFE AFB αα∠=∠+∠−∠=︒+︒−=︒−．故答案为：90α︒−．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．16.【答案】23或2或6 【解析】【分析】根据题意可分三种情况：①点P 在OA 上，点Q 在OB 上；②点P 、Q 都在OA 上，③点P 在OB 上，点Q 在点A 处，可画出对应图形，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：根据题意，6OA =，8OB =，当点P 运动到点O 时，623t =÷=，当点P 运动到点B 时，()6827t =+÷=，点Q 运动到点O 时，8855t =÷=，点Q 运动到点A 时，()148655t =+÷=， 故可分三种情况：①点P 在OA 上，点Q 在OB 上，如图，当OPE 与OQF △全等时OP OQ =，∵62OP t =−，85OQ t =−，∴6285t t −=−，解得：23t =； ②点P 、Q 都在OA 上，如图，当OPE 与OQF △全等时，点P 、Q 重合，即OP OQ =，∵62OP t =−，58OQ t =−，∴6258t t −=−，解得：2t =；③点P 在OB 上，点Q 在点A 处，如图，当OPE 与OQF △全等时OP OA =，则266t −=，解得：6t =，综上，满足条件的t 值为23或2或6， 故答案为：23或2或6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想解决动点问题是解答的关键．三、解答题17.【答案】（1）474x y （2）32124xyx −−（3）226m mn n −++（4）2421m m −+（5）2269x y y −+−（6）222222a ab ac b bc c +−+−+【解析】【分析】（1）先算积的乘方，再做单项式的乘法即可；（2）利用单项式乘多项式法则计算即可；（3）利用多项式乘多项式的法则计算即可； （4）利用多项式除以单项式的法则计算即可；（5）变形后用完全平方公式展开即可；（6）变形后用完全平方公式展开即可．【小问1详解】解：()2234x y xy ⋅−2264x y x y =⋅474x y =；【小问2详解】的解：()24(3)x x y −+ 32124x x y =−−；【小问3详解】解：(2)(3)m n n m +−22362mn m n mn =−−+226m mn n =−++；【小问4详解】解：()3212633−+÷m m m m 2421m m =−+；【小问5详解】解：(3)(3)x y x y +−−+()()33x y x y =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()223x y =−−2269x y y =−+−；【小问6详解】解：2()a b c +− ()2a b c =+−⎡⎤⎣⎦ ()()222a a b c b c =+−+−222222a ab ac b bc c =+−+−+．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键． 18.【答案】12【解析】【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将241x x −=整体代入求值．【详解】解：∵2410x x −−=，∴241x x −=．∴22(23)()()x x y x y y −−+−−22224129x x x y y =−+−+−23129x x =−+()2349x x =−+139=⨯+12=．19.【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解； （3）答案见详解；（4）8．【解析】【分析】（1）用刻度尺确定边BC 的中点D ，连接AD 即可；（2）利用量角器量出ADB ∠的度数，再求12ADB ∠度数，确定ADB ∠的平分线交AB 于点M ，则DM 即为所求；（3）过点C 作CN AD ⊥交AD 延长线于N ，则CN 即为所求；（4）根据已知列式计算即可．【小问1详解】解：如下图所示，线段AD 即为所求的ABC ∆的中线；【小问2详解】解：如下图所示，线段DM 即为所求的ABD ∆的角平分线；【小问3详解】解：如下图所示，线段CN 即为ACD ∆的高线；【小问4详解】 解：3ADC ADB C C ∆∆−=，∴3AC AD CD AD BD AB ++−−−=，CD BD =，3AC AB ∴−=，5AB =，8AC ∴=．故答案为：8．【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高线的作法，三角形的周长等知识，熟练掌握三角形的中线、角平分线与高线的作图方法是解答此题的关键．20.【答案】（1）②③④；（2）添加条件∠ACB ＝∠DFE ，理由详见解析．【解析】【分析】（1）由全等三角形的判定方法即可得出答案；（2）答案不唯一，添加条件∠ACB ＝∠DFE ，证明△ABC ≌△DEF （SAS ）；即可得出∠A ＝∠D ．【详解】解：（1）①在△ABC 和△DEF 中，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E ，不能判定△ABC 和△DEF 全等；②∵BF ＝CE ，∴BF +CF ＝CE +CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；③在△ABC 和△DEF 中，AC DF BC EF AB DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；④∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；故答案为：②③④；（2）答案不唯一．添加条件∠ACB ＝∠DFE ，理由如下：∵BF ＝EC ，∴BF +CF ＝EC +CF ．∴BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；∴∠A ＝∠D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】（1）图见解析 （2）BD AC =，BD AC ⊥，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题设描述补全图形即可；（2）证明≌AHC BHD 得到AC BD =，ACH BDH ∠=∠，进而可证明90AEB ∠=︒即可得出结论．【小问1详解】解：补全图形如图所示：【小问2详解】解：BD AC =，BD AC ⊥．理由：∵AH BC ⊥于点H ， =45ABC ∠︒，∴90AHB AHC ∠=∠=︒，9045BAH ABC ∠=︒−∠=︒，∴ABH BAH ∠=∠，∴ AH BH =，∵DH CH =，90AHC BHD ∠=∠=︒∴AHC BHD SAS ≌（）， ∴AC BD =， ACH BDH ∠=∠∵BDH ADE ∠=∠，∴ACH ADE ∠=∠，∵90ACH DAE ∠+∠=︒，∴90ADE DAE ∠+∠=︒∴90AEB ∠=︒，∴BD AC ⊥．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、垂直定义，证明△≌AHC BHD 是关键．22.【答案】（1）()()2222=225m n m n m n mn ++++ （2）8 （3）36【解析】【分析】（1）根据图象分别用两种方法表示出大长方形的面积即可求解；（2）根据题意用正方形ABCD 的面积加上正方形ECGF 的面积减去ABD △和BGF 面积求解即可； （3）由题意可得6mn =，222248m n +=，进而得到6m n +=，然后表示出所有裁剪线（虚线部分）的长度之和，进而求解即可．【小问1详解】大长方形的面积可以表示为()()22m n m n ++，大长方形的面积还可以表示为22225m n mn ++，∴()()2222=225m n m n m n mn ++++ 故答案为：()()2222=225m n m n m n mn ++++； 【小问2详解】=ABD BGF ABCD ECGF S S S S S +−−阴影正方形正方形2221122a b a b a b 222111222a b ab b =+−− 22111222a b ab =+− ()2212a b ab =+− ()221232a b ab ab =++− ()21322a b ab =+− ∵5a b +=，3ab =， ∴原式2132595382222=⨯−⨯=−=； 【小问3详解】∵每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48，∴6mn =，222248m n +=∴()2222241236m n m mn n +=++=+= ∵>0m n +∴6m n +=∴裁剪线长为2(2)2(2)6636m n m n m n +++=+=∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为36 cm【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 23.【答案】7【解析】 【分析】过点A 作AF DE ⊥于点F ，根据AAS 可证明ACD AFD ∆≅∆得2DE CD ==，AF AC =，再根据HL 证明Rt Rt ABC AEF ∆≅∆得5EF BC BD DC ==+=，从而可求出DE 的长．【详解】解：过点A 作AF DE ⊥于点F ，如图，∴90AFD AFE ∠=∠=︒,∵90ACB ∠=︒，∴AFD AFE ACB ∠=∠=∠；∵2CD =，3BD =，∴325BC BD CD =+=+=．∵DA 平分CDE ∠，∴ADC ADF ∠=∠在ACD ∆和AFD ∆中AFD ACD ADC ADF AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD AFD ∆≅∆(AAS)∴2DE CD ==，AF AC =，在Rt ABC ∆和Rt AEF ∆中，AC AF AB AE =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABC AEF ∆≅∆(HL)，∴5EF BC ==，∴257DE DF EF =+=+=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．24.【答案】（1）见解析 （2）45AEC BEC ∠+∠=︒，证明见解析 【解析】【分析】（1）连接AF ，在DF 上找点G ，使得EG ED =，利用等腰三角形的性质和判定得到条件，证明EGF BCF ≅，即可得到结论；（2）证明CAD BAE ≅△△（SAS ）,再证得45DEC DEA AEC AEC ∠=∠+∠=︒+∠，得到4590AEC BEC ︒+∠+∠=︒，结论得证．【小问1详解】证明：如图1，连接AF ，在DF 上找点G ，使得EG ED =，∵,BC ED =∴BC EG =，∵30BAC EAD ∠=∠=︒，∴BAC CAE EAD CAE ∠+∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，∵,AB AE AC AD ==，∴ABE 和ACD 都是等腰三角形， ∴()11802ACD ADC CAD ∠=∠=︒−∠，()11802ABE AEB BAE ∠=∠=︒−∠， ∴ACD ADC ABE AEB ∠=∠=∠=∠，∵EG ED =，∴DEG △是等腰三角形，∵90ADE ∠=︒，∴90EGD EDG ADE ADC ADC ∠=∠=∠−∠=︒−∠，∴()1801809090EGF EGD ADC ADC ∠=︒−∠=︒−︒−∠=︒+∠，∵90ACB ∠=︒，∴90BCF ACB ACD ADC ∠=∠+∠=︒+∠，∴EGF BCF ∠=∠，在EGF △和BCF △中，EGF BCF EFG BFC EG BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EGF BCF ≅（AAS ），∴FB FE =．【小问2详解】45AEC BEC ∠+∠=︒，证明如下：如图2，∵90EAD CAB ∠=∠=︒，∴EAD EAC CAB EAC ∠+∠=∠+∠，∴CAD BAE ∠=∠，在CAD 和BAE 中，AD AE CAD BAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD BAE ≅△△（SAS ），∴ADC AEB ∠=∠，CD BE =，∵12∠=∠，190ADC ∠+∠=︒，∴290AEB ∠+∠=︒，∴90EFD ∠=︒，∴90CFE ∠=︒，∴90DCE BEC ∠+∠=︒，∵DE BE =，∴DE CD BE ==，∴DCE DEC ∠=∠，∴90DEC BEC ∠+∠=︒，∵45DEC DEA AEC AEC ∠=∠+∠=︒+∠，∴4590AEC BEC ︒+∠+∠=︒，∴45AEC BEC ∠+∠=︒．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明EGF BCF ≅和CAD BAE ≅△△是解题的关键．第二部分25.【答案】（1）()23213x +− （2）1−（3）代数式的最小值为2017，此时2x =−，=3y −【解析】【分析】（1）仿照例子配方求解即可；（2）给a 、b 分别配方后，利用非负性求出a 、b 即可求解；（3）根据代数式结构进行配方，再利用非负性求解最值即可．【小问1详解】解：23121x x +−()234413x x =++−()23213x =+−，故答案为：()23213x +−；【小问2详解】解：∵2244()5a a b b +−++=2244144a b a b +−+++ ()()22212a b =++−，∴()()222120a b ++−=，又()2210a +≥，()220b −≥， ∴210a +=，20b −=， 解得：12a =−，2b =， ∴1212ab ⎛⎫=−⨯=− ⎪⎝⎭， 故答案为：1−；【小问3详解】解：2222222022x xy y x y −++++ 2222222022y y xy x x =+−+++()()()22222111222022y x y x x x x =+−+−−−+++ ()221412022y x x x =+−++−+()()22122017y x x =+−+++，∵()210y x +−≥，()220x +≥，∴当10y x +−=且20x +=时，()()22122017y x x +−+++有最小值，最小值为2017，此时2x =−，=3y −，即代数式2222222022x xy y x y −++++的最小值为2017，此时2x =−，=3y −． 【点睛】本题考查配方法的应用，灵活运用完全平方公式，会利用平方式的非负性求解是解答的关键．26.【答案】（1）32；AD BD CD =+； （2）13． 【解析】 【分析】（1）问题1：过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，再证AMD AND ∆∆≌，得DM DN =，然后通过计算ABD ∆与ACD ∆的面积比即可得出答案；问题2：在DA 上截取DE DC =，构造等边三角形CDE ，再证明BCD ACE ∆∆≌，从而得出答案； （2）先证明(SAS)BCD ACE ∆∆≌，得60AFB ∠=︒，然后直接利用问题1与问题2的结论即可求解．【小问1详解】问题1：解：如图1，过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，过点A 作AH BC ⊥于H ，90AMD AND ∴∠=∠=︒，,BAD CAD AD AD ∠=∠=，()ΔΔAMD AND AAS ∴≌，DM DN ∴=， 又Δ1122ABD S BD AH AB DM =⋅=⋅， Δ1122ACD S CD AH AC DN =⋅=⋅， BD CD AB AC∴=， 3,2AB AC ==，3:3:22BD CD ∴==；问题2：解：AD CD BD =+；理由如下：如图2所示，在DA 上截取DE DC =，60ADC ∠=︒，DCE ∴∆为等边三角形，,60CD CE DCE ∴=∠=︒，DCE ACB ∴∠=∠，∴∠=∠DCB ECA ，又,AC BC CD CE ==，(SAS)BCD ACE ∴∆∆≌，BD AE ∴=，120BDC AEC ∠=∠=︒，60BDA ∴=︒，AD AE DE BD CD ∴=+=+，即AD BD CD =+；【小问2详解】 解：ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B ，C ，E 三点共线，∴,,AC BC CE CD ACB DCE ==∠=∠，BCD ACE ∴∠=∠，(SAS)BCD ACE ∴∆∆≌，DBC EAC ∴∠=∠，又APF BPC ∠=∠，60AFB ACB ∴∠=∠=︒，由问题2的结论可知：BF AF CF =+即BF a c =+，同理，可得EF CF FD =+即EF b c =+，由问题2中证明过程可知：60AFB BFC ∠=∠=︒，60BFC CFE ∴∠=∠=︒，由问题1的结论可知：2BF BC EF CE==，2a c b c+∴=+， 2a b c ∴−=， 21333a b c c c −∴==． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的探究与应用，通过全等三角形的研究得到两个两个新的结论，然后运用这两个新的结论去解决问题是解答此题的难点和关键.。

北京四中数学中考总复习：实数--知识讲解(提高)

北京四中数学中考总复习：实数--知识讲解(提高)

中考总复习：实数—知识讲解 （提高）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类 1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如nm（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0. 2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=. 4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ．5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 要点诠释：若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔；或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数011(0)(0).ppa a aa a -==≠，≠ 要点诠释：（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． （2）实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考点六、有效数字和科学记数法 1.近似数一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 2.有效数字一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字． 3.科学记数法把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.考点七、数形结合、分类讨论、建模思想 1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口； 2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；3. 从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．在实数－23，03，－3.14，2π4，－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ；【解析】在上面所给的实数中，只有3，2π，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是有理数，故选C.【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如4=2是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，•但它是无限不循环小数，是无理数．2π是无理数，而不是分数． 举一反三：【变式】倒数等于它本身的数是______，相反数等于它本身的数是______，绝对值等于它本身的数是______． 【答案】±1；0；非负数.类型二、实数有关的计算2．(1)有一列数174,103,52,21--，…，那么依此规律，第7个数是______； （2）已知123112113114,,,1232323438345415a a a =+==+==+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=4a 6541⨯⨯,,24551Λ=+ 依据上述规律，则99a = ． 【答案】(1) 750－； （2）1009999.【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是750－. （2）99a =.99991001001101100991=+⨯⨯【点评】(1) 规律：21)1n nn •+(－（n 为正整数）； （2）规律：111(1)(2)1(2)n n n n n n n ++=++++（n 为正整数）.举一反三：【变式】a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2009a = ．【答案】因为113a =-，,43.)31(112=--=a ,4.43113=-=a ,31.4114-=-=a ,43.)31(115=--=a ,4.43116=-=a ……..三个一循环，因此2009a =.43)31(112=--=a类型三、实数大小的比较3．若20072008a =，20082009b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a 、b 的大小． 【答案与解析】a=2007200920082009⨯⨯(20081)(20081)20082009-⨯+=⨯222008120082009-=⨯，b 2200820082009=⨯，222200812008-<，∴ a<b．【点评】通过通分进行比较. 举一反三：【变式】当0b ≠时，比较1＋b 与1的大小. 【答案】（1）∵b≠0时，∴b＞0或b ＜0．当b ＞0时，1＋b ＞1， 当b ＜0时，1＋b ＜1.类型四、平方根的应用4．已知0)2(12312=-++++c b a ，求bc a 的值. 【答案与解析】∵13a +≥021b +≥0，2(2)c -≥0，0)2(12312=-++++c b a .∴13 21020 abc⎧+=⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩解得13122abc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则11()33bca-=-=-.【点评】利用a≥0，a≥0，na2≥0（n为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得a、b、c的值，代入后本题得以解决。

2023-2024学年北京四中八年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京四中八年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）下列博物院的标识中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（ ）A．（4ab）2＝4a2b2B．a2⋅a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣3a3b）2＝9a6b24．（2分）如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝6，则AC+BC的值不可能是（ ）A．11B．9C．7D．55．（2分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A．B．C．D．6．（2分）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 7．（2分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小8．（2分）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号（4，8，8），（3，6，3，6），（3，3，4，3，4）表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ）A．（3，12，12）B．（3，4，6，4）C．（3，3，4，12）D．（3，4，3，3，6）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣3.14）0＝ ；＝ ．10．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．11．（2分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于 ．13．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t ＝ ．14．（2分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 ．15．（2分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用“尺规作图”作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，请你回答下列问题：所以，Rt△ABC为所求作的三角形．（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D；②画直线BF；③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F；④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，连接AC；⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．（2）∠ABC＝90°的理由是 ．16．（2分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是 ．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．（24分）（1）计算：；（2）计算：20222﹣2020×2024 （需简便运算）；（3）计算：（15x2y﹣10xy2）÷5xy；（4）计算：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；（5）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；（6）因式分解：3ax2+6axy+3ay2．18．（6分）如图，A，C，D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AB∥CE，BC＝DE，∠B＝∠D，求证：（1）△ABC≌△CDE；（2）AB+CE＝AD．19．（6分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，﹣1），点B坐标为（﹣1，﹣1），点C坐标为（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ；（3）点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 ．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG ，∠GBF ，∠FBE 的大小关系．22．（7分）如图（1），等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE ∥BC 的理由；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想．23．（6分）阅读下列材料：对于多项式x 2+x ﹣2，如果我们把x ＝1代入此多项式，发现x 2+x ﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2 有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1．于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x＝ 时，多项式6x2﹣x﹣5的值为0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式 ，从而因式分解6x2﹣x﹣5＝ ；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x3﹣7x+6．24．（7分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上，且∠ACE＝2α，在射线CE上取点D使得CD＝CA，连接AD并延长交射线CB于点F．（1）当0°＜2α＜60°时，①∠DAB＝ ；（请用含α的代数式表示）②求证：CE+BE＝CF；（2）当60°＜2α＜120°时，请根据题意补全图2，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系 ．第二部分附加题（共10分）25．（5分）找规律．第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；……（1）请写出第4组等式 ， ；（2）请写出第n组等式 ， ；（3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝ ．26．（5分）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A＞B，只需要证明A﹣B＞0；同样的，要证明A ＜B，只需要证明A﹣B＜0．例如：小明对于命题：任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立．（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：若a，b，x，y≥0，且a≥x，则（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）若a1≥a2≥……≥a n≥0，b1≥b2≥……≥b n≥0，且a1+a2+……+a n＝b1+b2+……+b n＝1，求（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值．2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：△ABC的边AB上的高是经过点C与AB垂直，故选：A．3．【解答】解：A．（4ab）2＝16a2b2，故A错误，不符合题意；B．a2⋅a3＝a5，故B错误，不符合题意；C．a2+a2＝2a2，故C错误，不符合题意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D正确，符合题意．故选：D．4．【解答】解：在△ABC中，AC+BC＞AB，∵AB＝6，∴AC+BC＞6，∴AC+BC的值不可能是5，故选：D．5．【解答】解：原式＝﹣＝，故选：D．6．【解答】解：添加的条件是AD＝CB，理由是：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），故选：C．7．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．8．【解答】解：A、∵正三角形一个内角为60°，正十二边形一个内角为150°，60°+2×150°＝360°，∴（3，12，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；B、∵正三角形一个内角为60°，正方形一个内角为90°，正六边形一个内角为120°，60°+2×90°+120°＝360°，∴（3，4，6，4）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；C、∵2×60°+90°+150°＝360°，∴（3，3，4，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；D、3×60°+90°+120°＝390°≠360°，∴（3，4，3，3，6）不可以得到“半正密铺”图案，故符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．【解答】解：（π﹣3.14）0＝1；＝．故答案为：0；﹣．10．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．11．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．12．【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．故答案为：70°或110°．13．【解答】解：分两种情况：①当∠APB＝90°时，过A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP＝，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝；②当∠BAP＝90°时，过A作P'A⊥AB交BC于点P'，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝6，综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝或6，故答案为：或6．14．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．15．【解答】解：（1）⑤①③②④，故答案为：⑤①③②④；（2）∠ABC＝90°的理由是：等腰三角形的三线合一；故答案为：等腰三角形的三线合一．16．【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．故答案为①②③．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2；（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4；（3）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy＝3x﹣2y；（4）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2；（5）（x+m）2﹣（x+n）2＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）＝（2x+m+n）（m﹣n）；（6）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．18．【解答】证明：（1）∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；（2）∵△ABC≌△CDE；∴AC＝CE，AB＝CD，∴AB+CE＝CD+AC＝AD．19．【解答】解：＝＝．∵x≠±2且x≠0，∴x＝﹣1时，．20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）B（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）；（3）设P（0，m），由题意×3×|m+1|＝×3×4，∴m＝3或﹣5，∴P（0，3）或（0，﹣5）．故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．21．【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．22．【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD ∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）结论：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC．23．【解答】解：（1）当x＝1时，6x2﹣x﹣5＝6×12﹣1﹣5＝0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式x﹣1，即6x2﹣x﹣5＝（x﹣1）（6x+5）．故答案为：1，x﹣1，（x﹣1）（6x+5）；（2）当x＝1时，x3﹣7x+6＝13﹣7×1+6＝0，所以x3﹣7x+6＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．24．【解答】（1）①解：∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACE＝2α，∴∠CAD＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，故答案为：30°﹣α；②证明：在CF上截取CM＝CE，连接DM，BD，∵∠ABC＝60°，∠DAB＝30°﹣α，∴∠F＝60°﹣（30°﹣α）＝30°+α，∵CD＝CB，∠DCM＝∠BCE，CM＝CE，∴△CMD≌△CEB（SAS），∴∠CMD＝∠CEB，DM＝BE，∴∠DEB＝∠DMF，∵∠DEB＝∠DAB+∠CDA＝120°﹣2α，∴∠DMF＝120°﹣2α，∴∠MDF＝180°﹣30°﹣α﹣120°+2α＝30°+α，∴∠F＝∠MDF，∴DM＝MF，∴BE＝MF，∴CF＝CM+MF＝CE+BE；（2）解：补全图形如下：在CE上截取CN＝CF，连接BN，BD，则CA＝CB＝CD，同（1）可知△BCN≌△DCF（SAS），∴∠CNB＝∠CFD，∴∠BNE＝∠BFD，∵∠BCE＝2α﹣60°，CD＝CB＝CA，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∴∠DAB＝60°﹣（90°﹣α）＝α﹣30°，∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝120°﹣2α，∵∠CFD＝90°﹣α+60°＝150°﹣α，∴∠CNB＝150°﹣α，∴∠BNE＝30°+α，∴∠NBE＝180°﹣∠BNE﹣∠E＝30°+α，∴∠BNE＝∠NBE，∴BE＝NE，∴CE＝NC+NE＝CF+BE．故答案为：CE＝CF+BE．第二部分附加题（共10分）25．【解答】解：∵第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652；故答案为：，（2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；（3）∵k2+96032＝96052（k＞0），设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603，解得x＝97，k＝196，故答案为：196．26．【解答】（1）证明：由题意得，（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2＝（a﹣x）2﹣（a+b﹣x）2+（b﹣y）2﹣y2＝（a﹣x+a+b﹣x）（a﹣x﹣a﹣b+x）+（b﹣y+y）（b﹣y﹣y）＝﹣b（2a+b﹣2x）+b（b﹣2y）＝b（﹣2a﹣b+2x+b﹣2y）＝2b（x﹣a﹣y）．∵a，b，x，y≥0，且a≥x，∴x﹣a≤0，﹣y≤0．∴x﹣a﹣y≤0．∴2b（x﹣a﹣y）≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）解：设a1≥b1，∵b1≥b2≥……≥b n≥0，b1+b2+……+b n＝1，∴b1≥．又++……+≤+b1b2+……+b1b n＝b1（b1+b2+……+b n）＝b1，∴b1（a1+a2+……+a n）＝a1b1+b1（a2+……+a n）≤a1b1+a1（a2+……+a n）≤a1b1+a2b2+…+a n b n+a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n．∴a1b1+a2b2+…+a n b n≥b1（a2+……+a n）﹣（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2＝（++……+）﹣2（a1b1+a2b2+…+a n b n）+（++……+）≤（++……+）﹣2b1（a1+a2+……+a n）+2（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）+b1＝（a1+a2+……+a n）2﹣2b1+b1＝1﹣2b1+b1＝1﹣b1≤1﹣＝．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值为．。

北京四中-初中数学全套目

北京四中-初中数学全套目

北京四中-初中数学全套目一、整数和小数整数是指正整数、负整数和零。

对于两个整数，可以进行加法、减法、乘法、除法和乘方等运算。

小数是指带有小数点的数，可以表示小于1的数。

小数可以通过有限位数和无限循环小数两种方式表示。

二、分数和百分数分数是指由分子和分母组成的数，分子表示分数的份数，分母表示每份的份数。

分数可以通过约分、通分、比较大小和四则运算等方式进行计算。

百分数是指以百分数符号%表示的分数，百分数可以通过转化为分数或小数进行计算。

三、代数式和方程式代数式是指由数字、字母和运算符号组成的式子，可以进行加减乘除和化简等运算。

方程式是指含有未知数的等式，可以通过变形和解方程的方法求解未知数的值。

四、图形的性质和计算图形是指平面上的形状，包括点、直线、线段、射线、角、三角形、四边形、多边形、圆等。

图形的性质包括边长、面积、周长、角度等概念，可以通过计算公式进行求解。

五、比例和相似比例是指两个数或者两个量之间的比值关系，可以通过等比例、逆比例和比例的性质进行计算。

相似是指具有相同形状但大小不同的图形，可以通过比较边长和角度等性质进行判断和计算。

六、几何变换和坐标几何变换是指平移、旋转、翻折和对称等操作，可以改变图形的位置和形状。

坐标是指用有序数对表示平面上的点，可以通过坐标系和坐标变换进行计算和描述。

七、统计和概率统计是指通过收集数据、整理数据和分析数据等方法来研究数据的分布和规律。

概率是指事件发生的可能性，可以通过计算概率和进行概率统计来进行分析和预测。

八、函数和方程组函数是指输入和输出之间的对应关系，可以通过函数的图象、函数的性质和函数的运算等方式进行研究和计算。

方程组是指含有多个未知数的方程的集合，可以通过消元和代入等方法求解未知数的值。

九、平面向量和解析几何平面向量是指具有大小和方向的量，可以进行向量的加法、减法、数乘和向量的分解等运算。

解析几何是指通过坐标系和向量等方法研究几何问题，可以进行直线的方程、圆的方程和曲线的方程等计算。

实数.实数

实数.实数

实数单元复习与检测一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解平方根、立方根的概念，会用符号表示一个数的平方根或立方根；● 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小； ● 了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算。

重点难点：● 重点：算术平方根和平方根的概念及其求法； ● 难点：平方根和实数的概念.学习策略：● 通过实际背景理解平方根、立方根及实数的概念，并借助一定量的练习加深理解，掌握解题技巧，提高计算能力和 解题能力。

二、学习与应用（一）正数有个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ； 没有平方根。

（二）平方根等于本身的数是 ；算术平方根等于本身的数是 或 。

（三） 7=，则_____x =，x 的平方根是_____;7=，则_____x =，x 的立方根是_____。

（四）正数有 个立方根，0的立方根是 ；负数有 个立方根；任何数都有 个立方根。

（五）实数的分类：(1)按属性分类：“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？(2)按符号分类：（六）有理数包括和，如果把整数看作分母是1的分数，那么有理数实质就是。

从这个意义上说，判断一个数是不是有理数，就是看它能不能写成的形式，能写成的就是，不能写成的就是。

注：（1）正数的平方根有个，它们互为，其中正的那个叫它的；零的平方根和算术平方根都是；负数没有平方根。

（2）求一个数的平方根，就是把所有之后等于这个数的数都求出来，而判断一个数是不是另一个数的平方根，是检查把这个数_ _ __ _ _之后等不等于另一个数；二者的含意不同，要求不同，切勿混淆。

例如“2是4的平方根”这种说法是_ _ __ _ _，但反过来，如果说“4的平方根是2”就是_ _ __ _ _ 。

北京四中2019～2019学度初二上年中考试数学试题及解析

北京四中2019～2019学度初二上年中考试数学试题及解析

北京四中2019～2019学度初二上年中考试数学试题及解析（考试时间：100分钟 满分：120分）姓名： 班级： 成绩: ____________一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 2．下列各式不能．．分解因式的是（ ）． A ．224x x -B ．214x x ++ C ．229x y + D ．21m -3．点P （－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（ ）． A ．（3，5） B ．（3，－5） C ．（5，－3） D ．（－3，－5）4. 如图，Rt ABC △中，90C ∠=°，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若3c mCD =，则点D 到AB 的距离是（ ）． A ．5cm B ．4cm C ．3cm D ．2cm 5．下列各式中，正确的是（ ）．A ．3355x xy y--=- B ．a b a b c c +-+-= C ． a b a b c c ---=- D ． a ab a a b-=-- 6．下列命题是真命题的是（ ）． A ．等底等高的两个三角形全等B ．周长相等的直角三角形都全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，则∠ADD ′ 的度数（ ）． A ．25︒ B ．30︒ C ．35︒ D ．45︒8．在等腰ABC ∆中，已知AB=2BC ，AB=20，则ABC ∆的周长为（ ）． A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范围是（ ）． A ．2 < x < 12 B ．5 < x < 7 C ．1 < x < 6 D ．无法确定 10．如图，在RtΔABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足．则结论：（1）AD=BF ；（2）CF=CD ；（3）AC+CD=AB ；（4）BE=CF ；（5）BF=2BE ，其中正确的结论个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A B D D'C（第7题图）B （第4题图）AC二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子42-x x 有意义，则x 的取值范围是________.12．计算212293m m+--= ． 13．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°,线段AB 的垂直平分 线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 为 度．14．若关于x 的二次三项式2x +kx b +因式分解为(1)(3)x x --，则k +b 的值为___．15．若 a + b = 7, ab = 5, 则 a 2 - ab + b 2 = _______________． 16．当x 取 值时，2610x x ++有最小值，最小值是 ． 17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是________________． 18．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，在BC 上截取BD ＝BA ，作∠ABC 的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若BD=2CD ，△ABC 的面积为22cm ，则△D PC 的面积为_____________．（第18题图） （第19题图） 19．如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则∠2的度数为_______． 20．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k >0）”的△ABC 是唯一的，那么k 的取值范围是 ．三、解答题21. 把多项式分解因式（每题4分，共8分）.(1)33312a b ab - (2)4)(4)(222+---x x x x 解： 解：ABCB'C'EF12ABC DE（第13题图）22.（每题4分，共8分） (1)计算：11112---÷-a aa a a . (2)解方程：542332x x x +=--. 解： 解：23.（本题5分）已知：如图， A 、B 、C 、D 四点在同一直线上， AB =CD ， AE ∥BF 且AE =BF ． 求证： EC =FD ．24．（每题4分，共8分） (1)先化简，再求值：2112()3369mm m m m +÷-+-+，其中9m =． 解：(2)已知113x y -=，求代数式21422x xy yx xy y----的值.解：C D25． 列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多95小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26. （本题4分）某地区要在区域．．S ．内． (即 COD 内部．．) 建一个超市M , 如图所示, 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A , B 的距离相等, 到两条公路OC , OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处？ (要求：尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)27. （本题5分）阅读下列材料：如图，在四边形ABCD 中，已知 105=∠=∠BAD ACB ， 45=∠=∠ADC ABC .求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得， 60=∠DCA ， 75=∠DAC ， 30=∠CAB ，180=∠+∠DAC ACB ，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB=AE ，∠E=∠D.∵在ADC ∆与CEA ∆中，75D E DAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩ADC CEA ∆∆∴≌，得CD AE AB ==.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，若 180=∠+∠CAD ACB ，D B ∠=∠， 请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．BB28. （本题7分）在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE＝60°，EF⊥BC于F．（1）如图1，若点D在线段BC上．求证：①AD＝DE；②BC＝DC＋2CF；（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．AB CD EFAB C DEF图1 图2附加题（满分20分）：1.（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+= ．2.（本题4分）右图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD 的面积为 ．3.（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m≠n ，求 332m mn n -+的值．4.（本题6分）已知：△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CD 相交于点D ，且CD ＝AB ，求证：∠A ＝60°．一、选择题1、D2、C3、A4、C5、D6、D7、D8、B9、C 10、D 二、填空题AB C D11.4≠x ； 12.32+-m ； 13.60； 14.-1； 15.34； 16.x =-3，1； 17.420480480=+-x x ； 18.31；19.25°； 20.2k =或0<k ≤1. 21.(1)解：原式=).2)(2(3)4(322b a b a ab b a ab -+=-（2）解：原式=[].)1()2()1)(2()2(22222+-=+-=--x x x x x x 22. （1）()11a a -- ；（2）1x =.23.解：∵AE ∥BF ， ∴∠A =∠FBD ． 又∵AB = CD ，∴AB ＋BC = CD ＋BC ． 即AC =BD ．在△AEC 和△BFD 中，,,,A E B F A F B D A C B D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ∴EC =FD ．24.(1)解： 2112()3369mm m m m +÷-+-+＝22(3)(3)(3)2m m m m m-⋅-+＝33m m -+． 当9m =时，原式＝931932-=+． （2）解：∵xy y x yx 3,311-=-∴=- ∴上式=.423146214)(2=----=----xyxy xyxy xy y x xy y x25.解：设自行车速度为x 千米/小时 依题意得：9522020=-x x 解方程得x=18.经检验x=18是原方程的解且符合实际意义 2x=36答：自行车的速度是18千米/小时，自驾车的速度是36千米/小时.26.略27.解：CD=AB证明：延长BC 至E 使AE=AB 则∠B=∠E ∵∠B=∠D ∴∠D=∠E∵ 180=∠+∠CAD ACB ∠ACB+∠ACE=180° ∴∠CAD=∠ACE在ΔCAD 与ΔACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=E D CAAC ACE ∠=CAD ∠ ∴ΔCAD ≅ΔACE ∴CD=AE ∴CD=AB.28.（1）①过D 作DG ∥AC 交AB 于G∵△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠ACB ＝60°∴∠BDG ＝∠ACB ＝60°，∴∠BGD ＝60° ∴△BDG 是等边三角形，∴BG ＝BD ∴AG ＝DC∵CE 是∠ACB 外角的平分线，∴∠DCE ＝120°＝∠AGD ∵∠ADE ＝60°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝120°＝∠ADB ＋∠DAG ∴∠EDC ＝∠DAG ，∴△AGD ≌△DCE∴AD ＝DE②∵△AGD ≌△DCE ，∴GD ＝CE ，∴BD ＝CE∴BC ＝CE ＋DC ＝DC ＋2CF（2）①成立；②不成立，此时BC ＝2CF －CD证明：过D 作DG ∥AC 交AB 延长线于G 以下略附加题：1、1309； 2、2； 3. -24.证明：过点A 作AE ∥BC 交BD 延长线于E ，连接CE ，设AC 、BE 相交于点OA B C D EFGAB C DEF G则∠1＝∠ACB，∠2＝∠3∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠3＝∠ACB∴OB＝OC，∠1＝∠2∴OA＝OE又∠AOB＝∠EOC，∴△AOB≌△EOC∴∠BAC＝∠CED，∠5＝∠4＝∠3，AB＝CE ∵CD＝AB，∴CD＝CE∴∠CED＝∠CDE＝∠3＋∠6又∠DCE＝∠5＋∠7，∠6＝∠7∴∠CED＝∠CDE＝∠DCE＝60°∴∠BAC＝∠CED＝60°AB CDE1 234O67 5。

北京四中2022届中考数学专练总复习 实数全章复习与巩固（基础）知识讲解

北京四中2022届中考数学专练总复习 实数全章复习与巩固（基础）知识讲解

实数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根3了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化 4能用有理数估计一个无理数的大致范围 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318 实数复习，知识要点】 类型 项目平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数 1实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式（4）实数和数轴上点是一一对应的2实数与数轴上的点一 一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应3实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （30≥非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 4实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里 5实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立法则 1 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法 【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） 个 个 个 个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键 举一反三：【变式】下列运算正确的是（ ）A 2=±B =2=- D ．|2|2--=【答案】C ；210.1=＝若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673= 【答案】±；；【解析】向左移动2位变成，它的平方根向左移动1位，变成，注意符号；向右移动3位变成367，它的立方根向右移动1位，变成【总结升华】一个数向左移动2位，它的平方根向左移动1位；一个数向右移动3位，它的立方根向右移动1位类型二、与实数有关的问题 3、把下列各数填入相应的集合： －1、、π、－、、26-、22-、． （1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝．【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里 【答案与解析】（1）有理数集合｛－1、－、、 ｝； （2）无理数集合｛ 、π、26-、22-｝； （3）正实数集合｛ 、π、、26-、 ｝； （4）负实数集合｛ －1、－、22-｝． 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数总结常见的无理数形式 举一反三： 【变式】在实数，，，227，，其中无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：无理数有，4、计算（1）233)32(1000216-++（2）23)451(12726-+- （3）32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算【答案与解析】解：（1）233)32(1000216-++＝226101633++=（2）23)451(12726-+-1113412=-+=-（3）32)131)(951()31(--+＝1112133333++=-=-【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根 举一反三： 【变式】计算1 333000216.0008.012726---- 2 ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-【答案】 解：1 333000216.0008.012726----()0.20.06=-- 29150=-2 ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-()184434=-⨯+-⨯- 321336=---=-5、若0,0<<ab a ，化简334+----a b b a【思路点拨】由0,0<<ab a 判断＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值【答案与解析】解：∵0,0<<ab a ，∴＞0，∴430,30a b b a --<-+>∴433a b b a ----+(43)(3)a b b a =-----+43333a b b a =-++-+-=【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识 举一反三：【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简＋∣－∣＝【答案】 解：∵＜0＜,∴－＜0∴＋∣－∣＝－－－＝－2【高清课堂：389318 实数复习，例5】 【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是： ； -1a【答案】21a a a a<<<-； 类型三、实数综合应用6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，15012.247≈ （米）．由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（＋6）米， 所以扩建后鱼池的面积为218.247≈（平方米）．答：扩建后的鱼池的面积约为（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为，由题意得2 1.5486x⨯=2324x=x=18答：这个水池的底边长为18。

北京四中20202020学年度第二学期期中测验初二年级数学学科doc初中数学

北京四中20202020学年度第二学期期中测验初二年级数学学科doc初中数学

北京四中20202020学年度第二学期期中测验初二年级数学学科 doc 初中数学〔考试时刻为100分钟，试卷总分值为100分〕2.以下线段不能构成直角三角形的是〔 B.2，3， 53 •某种品牌电脑的显示器的寿命大约为〔天〕平均每天工作的时刻为t 〔小时〕，那么能正确表示d 与t 之间的函数关系的图象是〔 丨；班级 学号 姓名 分数一•精心选一选：〔此题共30分，每题 1•以下根式中，属于最简二次根式的是〔 3分〕丨； A. . a 2bB..2C.x 2 y 2 D. 8aA.5, 12, 13 C. 4, 7, 5D. 1 , .2 ,3104小时，这种显示器工作的天数为dL1kJLxlO 4■k1>1lxlQ 4i1x10*■kUlO*■-------------------------------- ii_______ •1* 0? 02~BP"1/i•1）4.以下运算正确的选项是〔 A. ■- a b ■- a bB. ■- a bC. a 2b 2D.1 ab（a 0，b5. x 、y 是实数, 3x 46y0，假设axy-3x=y,那么实数a 的值是〔〕〕A.-4C.-4D.-4〕A .第一、二象限B .第一、三象限C .第二、四角限D .第三、四象限二.细心填一填： 〔此题共18分，每题3分〕11.函数y 于中'自变量的取值范畴是12. 如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的两点，请你 A 添上一个适当的条件： ________ ，使四边形AECF 为平行四边形. 13. 以下讲法：—C①顺次连结菱形四边的中点所得的四边形是正方形；②平行四边形两条对角线的交 点是平行四边形的对称中心；③矩形是轴对称图形，它有4条对称轴；④菱形的对角线相等；⑤对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.其中正确的讲法是 ___________ k ,14. 反比例函数y -的图象与直线y=2x 和y=x+1过同一点，那么当x<0时，那个 x反比例函数的函数值y 随x 的增大而 __________ :〔填"增大〃或"减小〃〕15. 如图，梯形 ABCD 中，AD // BC ，/ C 90，且 AB AD .连6 •在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点坐标分不为〔0, 0〕，〔 0, -5〕，〔 -2,-2〕, 以这三点为平行四边形的三个顶点，那么第四个顶点不可能在〔 丨; A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.如图，一根木棍斜靠在与地面〔OM 丨垂直的墙〔ON 〕上， 设木棍中点为P,假设木棍A 端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行 在此滑动过程中，点P 到点O 的距离〔 〕；A.变大B.变小C.不变D.无法判定8.函数y的图象位于〔〕；9.假设a 0，那么 2a.；等于〕；10.如图, ABC D , C. — J aa边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30到正方形图中阴影部分的面积为〔〕• a B.2 aD. 2a 2. aB .匕3CCADDD结BD ，过A 点作BD 的垂线，交BC 于E .假如EC 3cm , CD 4cm ，那么，梯 形ABCD 的面积是 _______________ cm 2.16.:如图，在平面直角坐标系中， 0为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分不为A : 10，0〕、C 〔 0,4〕， 点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ ODP 是腰长 cyFa 1—为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 .01A A三.用心算一算:（此题共16分，17题每题3分，18题4分）17.运算：四、解答题〔此题共18分，19、20题每题5分，21题8分〕 19. :如图，在四边形 ABCD 中，AB=DC,AD=BC ，点E 、 分不在边BC 、AD 上, AF=CE ，EF 与对角线BD 交于 O.⑴24 2心⑹ ⑵3'16a⑷ （3.2 2、3）2 7218.先化简，再求值:x 2 2xx 2 1x 1汩，其中x 21求证：0是BD的中点.,, k,20. 如图，一次函数y ax b的图象与反比例函数y -的图象交于第一象限C,xD两点，与坐标轴交于A、B两点，连结OC, OD〔0是坐标原点〕。

北京市北京四中八年级数学上册第五单元《分式》检测(有答案解析)

北京市北京四中八年级数学上册第五单元《分式》检测(有答案解析)

一、选择题1．使分式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数2．关于x 的分式方程5222mx x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m = B ．2m =- C ．5m = D ．5m =-3．若使分式2xx -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．0x =C ．1x ≠-D ．2x =4．如图，若x 为正整数，则表示3211327121(1)(1)543x x x x x x x x x--++--÷++++的值的点落在（ ）．A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④5．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．下列变形不正确的是（ ） A ．1122x xx x+-=--- B ．b a a bc c--+=- C ．a b a bm m -+-=- D ．22112323x x x x--=--- 7．已知2,1x y xy +==，则y xx y+的值是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．28．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －19．如图，若a 为负整数，则表示2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④10．下列变形不正确．．．的是（ ） A ．1a ba b a b -=-- B ．1a b a b a b+=++ C ．221a b a b a b+=++D ．221-=-+a b a b a b11．分式242x x -+的值为0，则x 的值为（ ）A ．2-B ．2-或2C ．2D ．1或2 12．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<二、填空题13．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________． 14．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a ，b 中的较小的值，如{}min 2,42=．（1）{}min 2,3--=__________________． （2）方程{}3min 2,322x x x--=---的解为_________________． （3）方程131min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_________________． 15．某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元． 设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__． 16．2112111a a a a +-+--＝___________. 17．计算：222213699211-+-+⋅⋅=--++x x x x x x x x ___________．18．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．19．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5400元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数多100盒，且每盒花的进价比第一批的进价少3元．设第一批盒装花的进价是x 元，则根据题意可列方程为________．20．方程2111x x x =--的解是___________． 三、解答题21．先化简，再求值：（1－22a -）÷228164a a a -+-，其中a ＝0(2021)π- 22．（1）计算：（－14）-2-2）0+（－5）9×（－0.28）； （2）因式分解：（1-a ）2+4（a-1）； （3）计算：（x+3）2－(x+2)(x-1)．23．在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A 、B 两种不同型号的口罩，已知A 型口罩的单价比B 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同．（1）求A 、B 两种型号口罩的单价各是多少元？（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A 型口罩的数量最多是多少个？ 24．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由） 25．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b c ac a b a c-⋅÷-÷（3）解分式方程：11222x x x++=-- 26．今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元． （1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？（2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了%a ，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价325a元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求a 的值．（利润=售价-进价）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围． 【详解】由题意，得x 2−1≠0， 解得：x ≠±1， 故选：C ． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．2．D解析：D 【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解． 【详解】5222mx x+=-- 去分母得：52(2)x m +-=-，∵关于x 的分式方程5222m x x+=--有增根，且增根x=2，∴把x=2代入52(2)x m +-=-得，5m =-，即：m=-5， 故选D ． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．3．A解析：A 【分析】根据分式有意义分母不为零即可得答案． 【详解】∵分式2xx -有意义， ∴x-2≠0， 解得：x≠2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．4．B解析：B 【分析】将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分式的取值范围，即可选择． 【详解】原式221(1)71211543(1)x x x x x x x-++=-++++ 1(3)(4)11(1)(4)3xx x x xx x x x-++=-++++ 1111x x x-=-++ 1x x =+ 又因为x 为正整数，所以1121x x ≤<+， 故选B ． 【点睛】本题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答本题关键．5．B解析：B 【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程4102x -=+的根为x=2，故②正确； 方程11224=-x x 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 1111x x x +=+-是分式方程，故④正确； 故选：B ． 【点睛】 此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．6．A解析：A 【分析】答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断． 【详解】 解：A 、1122x xx x+--=---，故A 不正确； B 、b a a b c c--+=-，故B 正确； C 、a b a bm m-+-=-，故C 正确； D 、22112323x x x x--=---，故D 正确． 故答案为：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．7．D解析：D 【分析】 将y xx y+进行通分化简，整理出含已知条件形式的分式，即可得出答案．【详解】解：2222()2221=21y x y x x y xy x y xy xy ++--⨯+=== 故选D ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．8．A解析：A 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】原式＝211m m m m ---＝21m m m--=(1)1m m m --＝m ， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．C解析：C 【分析】将所给式子化简，根据a 为负整数，确定化简结果的范围，再从所给图中可得正确答案． 【详解】解：2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()aa 111a 1a a 1a 1+⎛⎫÷- ⎪+-++⎝⎭=()()aa1a 1a a 1÷+-+ =()()aa 11a 1a a+⋅+- =11a-； ∵a 为负整数，且a 1≠-， ∴1a -是大于1的正整数， 则1101a 2<<-． 故选C ． 【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．10．C解析：C 【分析】A 、B 两项利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可得到结果；C 、D 通过能否继续进行因式分解，继续化简，即可得到答案． 【详解】 A. =1a b a b a b a b a b--=---，故此项正确； B. =1a b a b a b a b a b++=+++，故此项正确； C.22a ba b ++为最简分式，不能继续化简，故此项错误；D. ()()221a b a b a b a b a b a b--==-+-+，故此项正确；故选C ． 【点睛】此题考查了分式的加减法、约分，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．C解析：C 【分析】分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零． 【详解】 解：依题意，得 x 2-4=0，且x+2≠0， 所以x 2=4，且x≠-2， 解得，x=2． 故选：C ． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．D解析：D 【分析】根据负整数指数幂的运算法则可得110xx-=<，根据非零数的零次幂可得0x 1=，根据平方的结果可得20x 1<<，从而可得结果． 【详解】解：∵1x 0-<<，∴20x 1<<，0x 1=，11x 0x-=<， ∴120x x x -<<． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解．二、填空题13．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型解析：13【分析】根据分式运算法则即可求出答案． 【详解】解：222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭=22(2)m n m mn n m m +-++÷ =2()m n mm m n +⋅-+ =1m n -+， 当m+n=-3时， 原式=13故答案为：13【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．14．-3【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程求解即可；（3）根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】解：（1）根据题意；（2）原方程为：去分母得解得：经检验是该解析：-3 34x = 0x = 【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程，求解即可；（3）根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可． 【详解】解：（1）根据题意，{}min 2,33--=-；（2）原方程为：3322x x x-=---， 去分母得33(2)x x +=--，解得：34x =，经检验34x =是该方程的根， 故{}3min 2,322xx x--=---的解为：34x =；（3）当1322x x <--时，x ＞2，方程变形得：11222x x x -=---， 去分母得：1=x-1-2x+4， 解得：x=2，不符合题意；当1322x x >--时，即x ＜2，方程变形得：31222x x x -=---， 解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解， 综上，所求方程的解为x=0．故答案为：-3，34x =，0x =． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，解分式方程．能将题目新定义的运算化为一般运算是解题关键．15．【分析】本题的等量关系是：224000元购买A 型计算机的数量=240000元购买B 型计算机数量依此列出方程即可【详解】解：设B 型计算机每台需x 元则A 型计算机每台需（x-400）元依题意有故填【点睛】解析：240000224000400x x =- 【分析】 本题的等量关系是：224 000元购买A 型计算机的数量=240 000元购买B 型计算机数量，依此列出方程即可． 【详解】解：设B 型计算机每台需x 元，则A 型计算机每台需（x-400）元，依题意有240000224000400x x =-故填，240000224000400x x =-． 【点睛】 考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系．16．0【分析】先通分再分母不变分子相减即可求解【详解】故答案为：0【点睛】本题考查了分式加减运算的法则熟记法则是解题的关键解析：0【分析】先通分，再分母不变，分子相减即可求解．【详解】2211211201111a a a a a a a a -++-+-==+---． 故答案为：0．【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．17．【分析】先将分子和分母分解因式再计算乘法并将结果化为最简分式【详解】【点睛】此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子分母相乘作积的分母 解析：31x x -- 【分析】先将分子和分母分解因式，再计算乘法，并将结果化为最简分式．【详解】2222221369(1)(1)3(3)39211(3)(3)(1)11-+-++-+--⋅=⋅⋅=--+++--+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x ． 【点睛】此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母． 18．4038【分析】先根据已知图形得出代入方程中再将左边利用裂项化简解分式方程可得答案【详解】由图形知：∴∵∴故填：30；【点睛】本题考查图形的变化规律解题的关键是根据已知图形得到以及裂项的规律解析：4038【分析】先根据已知图形得出()1n a n n =+，代入方程中，再将左边利用()11111n n n n =-++裂项化简，解分式方程可得答案．【详解】由图形知：112a =⨯，223a =⨯，334a =⨯，∴ ()1n a n n =+，556=30a =⨯，∵ 123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=， ∴2222122334201920202020n +++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯， 1111121223201920202020n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭， 4038n =，故填：30；4038．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得到()1n a n n =+，以及裂项的规律()11111n n n n =-++． 19．【分析】设第一批盒装花的进价是x 元/盒则第一批进的数量是：第二批进的数量是：再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量+100可得方程【详解】解：设第一批盒装花的进价是元/盒则故答案是：【点睛】 解析：54003000100x 3x=+- 【分析】 设第一批盒装花的进价是x 元/盒，则第一批进的数量是：3000x ，第二批进的数量是：5400x 3-，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量+100可得方程． 【详解】解：设第一批盒装花的进价是x 元/盒，则54003000100x 3x=+-， 故答案是：54003000100x 3x=+-． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 20．【分析】根据分式方程的性质求解即可得到答案【详解】∵∴∴∵时即分母为0故舍去∴故答案为：【点睛】本题考查了分式方程一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质从而完成求解解析：1x =-【分析】根据分式方程的性质求解，即可得到答案．【详解】 ∵2111x x x =-- ∴21x =∴1x =±∵1x =时，10x -=，即分母为0，故舍去∴1x =-故答案为：1x =-．【点睛】本题考查了分式方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解．三、解答题21．24a a +-；-1 【分析】 先进行括号内的分式减法，再计算分式除法，代入求值即可．【详解】 解：原式＝222a a ---÷2(4)(2)(2)a a a -+- ＝42a a --×2(2)(2)(4)a a a +-- ＝24a a +-； 当a ＝（π－2021）0＝1时， 原式＝1214+=-－1． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值和0指数，解题关键是熟练按照分式化简的顺序与法则进行计算．22．①20；②（a-1）(a+3)；③5x+11．【分析】（1）根据负指数幂，零指数幂及乘方法则计算即可；（2）提取公因式（a-1），进而分解因式即可；（3）先运用完全平方公式与多项式的乘法去括号，然后合并同类项．【详解】解原式=16-1+5×（-5×0.2）8=20（2）原式=（a-1）2+4(a-1)=（a-1）(a-1+4）=（a-1）(a+3)（3）原式=x 2+6x+9-(x 2+x-2)=x 2+6x+9-x 2-x+2=5x+11．【点睛】本题考查了负指数幂，零指数幂及乘方法则，提取公因式法分解因式及整式的混合运算，熟练运用运算性质是解题的关键．23．（1）4元；2.5元 （2）800个【分析】（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为( 1.5)x 元，根据“用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同”列出方程并解答；（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，根据“增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元”列出不等式并解答即可．【详解】解：（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为()1.5x -元， 根据题意，得800050001.5x x =-． 解方程，得：4x =．经检验：4x =是原方程的根，且符合题意．所以 1.5 2.5x -=．答：A 型口罩的单价为4元，则B 型口罩的单价为2.5元．（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，根据题意，得：2.5247200m m ⨯+≤．解不等式，得：800m ≤．答：增加购买A 型口罩的数量最多是800个．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．24．（1）70米/分；（2）能，见解析【分析】（1）设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分．由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可； （2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论．【详解】（1）解：设小红步行的平均速度是x 米/分，则骑自行车的平均速度是3x 米/分． 根据题意，得21002100203x x-=， 方程两边同乘最简公分母3x ，得6300210060x -=，解得70x =．检验：把70x =代入最简公分母3x ，得33700x =⨯≠，因此，70x =是原方程的根．答：小红步行的平均速度是70米/分．（2）由（1），得70x =，3210x =，所以小红骑自行车的速度是210米/分，于是，小红回家取道具共花时间：2100210030104070210+=+=（分）， 由于4045<，因此，小红能在联欢会开始前赶到学校．【点睛】本题是一道行程问题的应用题，考查了列分式方程解实际问题，分式方程的解法，解答时小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程是关键． 25．（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】（1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a ba c -⋅÷-÷ =()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．26．（1）第一批紫水豆干每千克进价是25元；（2）a 的值是50．【分析】（1）设第一批紫水豆干每千克进价是x 元，则第二批每件进价是（x-3）元，再根据等量关系：第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可；（2）根据第一阶段的利润+第二阶段的利润=1520列方程求解即可．【详解】解：（1）设第一批紫水豆干每千克进价x 元， 根据题意，得：2500440023x x ⨯=-， 解得：x=25，经检验，x=25是原方程的解且符合题意；答：第一批紫水豆干每千克进价是25元．（2）第二次进价：25-3=22（元），第二次紫水豆干的实际进货量：4400÷22=200千克，第二次进货的第一阶段出售每千克的利润为：22×a %元， 第二次紫水豆干第二阶段销售利润为每千克325a -元， 由题意得：322%20080%200(180%)152025a a ⨯⨯⨯-⨯-=， 解得：a =50，即a 的值是50．【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．。

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实数编稿：白真审稿：范兴亚责编:邵剑英一、本章主要内容及地位、作用：本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题．虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．二、本章知识结构框图：1．本章知识的内在结构如下图所示：2．本章知识的展开顺序如下图所示：3．二次根式的内在联系及展开顺序如下图所示：“本章知识结构图”展示了本章知识的内在结构：由于乘方与开方互为逆运算，所以开平方和开立方运算是以平方和立方运算为基础的，因此平方根和立方根的概念离不开平方和立方的概念。

无理数的引入使得数的范围由有理数扩大到了实数．三、本章课程学习目标1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．四、本章中考要求：1．基本要求：了解无理数和实数概念，了解平方根、立方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根及一个数的立方根，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，会求实数的相反数和绝对值．2．略高要求：会用有理数估计一个无理数的大致范围，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根，会进行简单的实数运算．五、知识点精讲：1、实数的分类：(1)分类1： (2)分类2：(2)要注意的知识点：任何一个有理数都可以化成有限小数或无限循环小数；而任何一个有限小数或无限循环小数也都可以化成分数；无理数是无限不循环小数．2、实数的有关概念：(1)数轴：定义：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴。

三要素：原点、正方向和单位长度(2)相反数：定义：数a与-a互为相反数。

零的相反数是零。

几何意义：数轴上表示互为相反数的点到原点距离相等。

互为相反数(3)倒数：定义：数和互为倒数，零没有倒数。

(4)绝对值定义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。

绝对值的性质：(5)平方根、算术平方根、立方根的定义及性质：算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，那么这个数叫做的算术平方根，记作：。

0的算术平方根是0。

算术平方根的性质：；平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根。

平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。

与的对比：①意义不同表示的算术平方根的平方，而表示的平方的算术平方根；②的取值不同：中的取值是，而中的取值是任意实数；③运算顺序不同：是先开算术平方根再平方，是先平方再开算术平方根；④运算结果不同：；联系：当时，。

立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。

立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0。

开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。

，那么这个数的平方根或二次方根。

即若，则叫做如果一个正数的平方等于正数叫做，则的算术(6)非负数定义：正数和零统称为非负数。

非负数的性质：①②③，则；④若，则⑤完全平方数：如果一个数恰好是另一个整数的平方，那么这个数叫做完全平方数，零也是完全平方数。

(7)二次根式的乘法和除法讲二次根式的乘法运算时，先明确运算结果应使被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

讲到二次根式的除法后，再进一步明确运算结果应使被开方数不含分母和分母中不含根号的要求，这时可引出最简二次根式的概念和分母有理化的概念。

最后结合例子引导学生总结运算结果应满足以下两个要求①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号．如：求的近似值。

若将其化简到时就带入的近似值，则比较难算；而若结果化简为，再代入的近似值，则运算简单了，而且结果的精确度更高了。

为了达到以上两个要求，要用到以下性质和方法进行化简：①积的算术平方根的性质：；②商的算术平方根的性质：；二次根式的乘法法则，(8)实数的运算：(1)实数的加、减、乘、除、乘方、开方。

(2)实数的运算律：(3)实数大小的比较常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。

(4)近似数与有效数字(1)科学记数法(2)有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到这个数末位止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字。

六、精典例题解析：1、填空：(1)的算术平方根是________________(2)的算术平方根是________________(3)的算术平方根是________________(4)的平方根是________________解：(1)2；(2)；(3)；(4)；小结：(1)关注“平方根”与“算术平方根”的区别(2)关注“”与“”的区别；(3)题目条件本身可化简的一般要先化简，如找的算术平方根，即找4的算术平方根。

(4)有些题目不须化简条件，如，2、判断下列各式中字母的取值范围：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦。

分析：考虑两方面，一是二次根式中，被开方数必须为非负数；二是分式中，分母不能为零。

解：①∵∴②∵∴③∵∴为任意实数④∵∴∴⑤∵∴由(1)：由(2)：∴且⑥∵由(1)，由(2)，∴且⑦∵∴由(1)由(2)∴3、(1)当满足什么条件时，成立？解：∵有意义∴∴当时，左右∴当时，成立。

(2)下列各式中哪些有意义？①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。

解：①②③④⑧4、若为实数，且，化简。

解：∵∴由(1)由(2)∴∴∴∴2．立方根一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根，即若，则叫做的立方根。

如：∵，∴ 3是27的立方根，-3是-27的立方根。

性质：一个数的立方根只有一个正数的立方根为正数负数的立方根为负数0的立方根是0表示：常用公式：5、(1)求值解：(2)一个数的算术平方根等于它的立方根，它是几？解：0或1(3)若，求的值解：∵∴ a=60∴ =-3436、对于二次根式的除法运算和二次根式的化简，应让学生一题多解，一方面是熟悉二次根式性质、运算法则和方法，另一方面，通过一题多解，总结做题经验，使运算更灵活、更简洁。

如；。

；。

;.又如；；二次根式的混合运算(1)明确运算顺序、运算律与整式的相同，整式的运算法则及乘法公式也同样适用；(2)在讲述实例时与整式的相关运算类比；(3)控制运算的难度。

新教材去掉了类似于单除多的运算，避免了繁琐的分母有理化。

如；这样的题目：，对于程度较好的学生可适当地、适量地补充。

在求近似运算中使用较为方便。

7、某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往，修筑一条笔直的公路(如图：AB)，经测量，在A处的北偏东60°方向，B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的公路会不会穿过公园？请说明理由。

(注：)解：过C作CD⊥AB于D由题意得：△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC=45°，AB=2km设CD=，则，∵∠BAC=30°，∠ADC=90°∴ CD:AD=∴∵∴∵即∴修筑的公路会穿过公园。

准备知识：熟记1～20的整数的平方熟记1～5的整数的立方熟记、、保留三位小数的值。

1．会求一个数的平方根，算术平方根，立方根8、计算下式中的(1)(2)解：(1)(2)2．由估算会比较两个数的大小。

9、比较大小(1)与；(2)4与；(3)3与； *(4)与解：(1)(2)∵又∵∴(3)要比较3与，只须比较4与∵∴即(4)∵又∵∴要点：化“同”10、已知的整数部分为，小数部分为，求代数式的值。

解：∵∴∴，∴3．通过移动小数点，根据已知条件求小于1或大于100的数的算术平方根，立方根。

11、填空：(1)若求，，，(2)若，求解：(1)由，得，由得，规律：被开方数小数点每移动2位，其算术平方根小数点随之移动1位。

(2)规律：“三位对应一位”4．计算12、(1)化简解：(1)原式(2)已知数M的平方根为及，求M解：∴，∴13、已知小数部分为，小数部分为，求解：∵∴∴整数部分为7，小数部分为又∵∴∵整数部分为2，小数部分为∴。

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