北京四中初二实数

实数

编稿：白真审稿：范兴亚责编:邵剑英

一、本章主要内容及地位、作用：

本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题．虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．

二、本章知识结构框图：

1．本章知识的内在结构如下图所示：

2．本章知识的展开顺序如下图所示：

3．二次根式的内在联系及展开顺序如下图所示：

“本章知识结构图”展示了本章知识的内在结构：由于乘方与开方互为逆运算，所以开平方和开立方运算是以平方和立方运算为基础的，因此平方根和立方根的概念离不开平方和立方的概念。无理数的引入使得数的范围由有理数扩大到了实数．

三、本章课程学习目标

1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；

3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；

了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；

4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．

四、本章中考要求：

1．基本要求：了解无理数和实数概念，了解平方根、立方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根及一个数的立方根，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，会求实数的相反数和绝对值．

2．略高要求：会用有理数估计一个无理数的大致范围，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根，会进行简单的实数运算．

五、知识点精讲：

1、实数的分类：

(1)分类1： (2)分类2：

(2)要注意的知识点：

任何一个有理数都可以化成有限小数或无限循环小数；

而任何一个有限小数或无限循环小数也都可以化成分数；

无理数是无限不循环小数．

2、实数的有关概念：

(1)数轴：

定义：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴。

三要素：原点、正方向和单位长度

(2)相反数：

定义：数a与-a互为相反数。零的相反数是零。

几何意义：数轴上表示互为相反数的点到原点距离相等。

互为相反数

(3)倒数：

定义：数和互为倒数，零没有倒数。

(4)绝对值

定义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。

绝对值的性质：

(5)平方根、算术平方根、立方根的定义及性质：

算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，那么这个数叫做的算术平方根，记作：。 0的算术平方根是0。

算术平方根的性质：；

平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根。

平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；

0的平方根是0；

负数没有平方根。

开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。

与的对比：

①意义不同表示的算术平方根的平方，而表示的平方的算术平方根；

②的取值不同：中的取值是，而中的取值是任意实数；

③运算顺序不同：是先开算术平方根再平方，是先平方再开算术平方根；

④运算结果不同：；

联系：当时，。

立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。

立方根的性质：正数有一个正的立方根；

负数有一个负的立方根；

0的立方根是0。

开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。

，那么这个数的平方根或二次方根。即若

，则叫做如果一个正数的平方等于

正数叫做

，则的算术

(6)非负数

定义：正数和零统称为非负数。

非负数的性质：

①

②

③，则；

④若，则

⑤完全平方数：如果一个数恰好是另一个整数的平方，那么这个数叫做完全平方数，零也是完全平方

数。

(7)二次根式的乘法和除法

讲二次根式的乘法运算时，先明确运算结果应使被开方数不含能开得尽方的因数或因式。讲到二次根式的除法后，再进一步明确运算结果应使被开方数不含分母和分母中不含根号的要求，这时可引出最简二次根式的概念和分母有理化的概念。

最后结合例子引导学生总结运算结果应满足以下两个要求

①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号．

如：求的近似值。若将其化简到时就带入的近似值，则比较难算；而若结果化简为，再代入的近似值，则运算简单了，而且结果的精确度更高了。

为了达到以上两个要求，要用到以下性质和方法进行化简：

①积的算术平方根的性质：；

②商的算术平方根的性质：；

二次根式的乘法法则，

(8)实数的运算：

(1)实数的加、减、乘、除、乘方、开方。

(2)实数的运算律：

(3)实数大小的比较

常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。

(4)近似数与有效数字

(1)科学记数法

(2)有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到这个数末位止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字。

六、精典例题解析：

1、填空：

(1)的算术平方根是________________

(2)的算术平方根是________________

(3)的算术平方根是________________

(4)的平方根是________________