北京四中初二分式及其性质周末练习)
2023~2024学年北京市八年级上期末数学分类——分式(原卷版)
2023~2024学年北京市八年级上期末数学分类——分式一．科学记数法—表示较小的数（共5小题）1．（2023秋•朝阳区期末）2023年5月20日是第24个世界计量日，在湖北省武汉市举办了世界计量日中国主场活动，会上发布了四个国际单位制新词头的中文名称：容、柔、昆、亏．容表示的数值为1027，柔表示的数值为10﹣27，昆表示的数值为1030，亏表示的数值为10﹣30．一个电子的质量约为9.1×10﹣28克，可以表示为（）A．91柔克B．0.91柔克C．91亏克D．0.091亏克2．（2023秋•东城区期末）在2023年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SoC芯片“龙鹰一号”的量产和供货.7纳米＝0.000000007米，0.000000007用科学记数法表示应为（）A．7×10﹣9B．7×109C．7×10﹣8D．7×1083．（2023秋•海淀区期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（）A．79×10﹣4B．7.9×10﹣4C．79×10﹣5D．0.79×10﹣34．（2023秋•丰台区期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为（）A．0.1×10﹣7B．1×10﹣8C．1×10﹣7D．0.1×10﹣85．（2023秋•大兴区期末）将0.00008用科学记数法表示应为（）A．0.8×10﹣4B．8×10﹣4C．80×10﹣4D．8×10﹣5二．分式有意义的条件（共5小题）6．（2023秋•丰台区期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≠0C．x＝0D．x＝27．（2023秋•西城区期末）若分式有意义，则x的取值范围是．8．（2023秋•东城区期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是．9．（2023秋•海淀区期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2023秋•大兴区期末）若分式有意义，则x的取值范围是．三．分式的值为零的条件（共3小题）11．（2023秋•大兴区期末）若分式的值为0，则x的值为（）A．1B．﹣1C．0D．±112．（2023秋•朝阳区期末）当x＝时，分式的值为0．13．（2023秋•丰台区期末）若分式的值为0，则x的值为．四．分式的值（共2小题）14．（2023秋•朝阳区期末）若分式的值为整数，则x的整数值为．15．（2023秋•丰台区期末）已知x﹣2y﹣3＝0．求代数式的值．五．分式的基本性质（共2小题）16．（2023秋•西城区期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（）A．B．C．D．17．（2023秋•海淀区期末）下列各式从左到右变形正确的是（）A．B．C．D．六．分式的乘除法（共2小题）18．（2023秋•大兴区期末）计算：＝．19．（2023秋•大兴区期末）计算：＝．七．分式的混合运算（共2小题）20．（2023秋•丰台区期末）计算：．21．（2023秋•大兴区期末）计算：（a+1+）•．八．分式的化简求值（共2小题）22．（2023秋•朝阳区期末）化简，并选择一个适当的t的值代入求值．23．（2023秋•东城区期末）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．九．解分式方程（共6小题）24．（2023秋•朝阳区期末）解分式方程：﹣＝125．（2023秋•朝阳区期末）下面是一些方程和它们的解．的解为x1＝2，；的解为x1＝3，；的解为x1＝4，；……根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：（1）的解为；（2）关于x的方程的解为；（3）关于x的方程的解为．26．（2023秋•西城区期末）解方程：．27．（2023秋•东城区期末）解分式方程：．28．（2023秋•丰台区期末）解分式方程：．29．（2023秋•大兴区期末）解方程：．一十．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）30．（2023秋•丰台区期末）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程．若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是（）A．n+（n+5）＝6B．C．D．一十一．分式方程的应用（共2小题）31．（2023秋•朝阳区期末）某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快2.5分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词．32．（2023秋•大兴区期末）小月是学校图书馆A书库的志愿者，小杰是学校图书馆B书库的志愿者，他们各自负责本书库的整理工作．6月5日，图书馆A书库有120册图书需整理，而B书库有80册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前15分钟完成工作．求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书．。
北京四中初二数学第一学期期末几何总复习周末练习
初二数学第一学期期末几何总复习周末练习编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟几何总复习基础达标填空题1．在△ABC中，∠ACB=90°，D、E为AB上的二点，且AE=AC，BD=BC，如图1，则∠DCE的度数是_____．2．在△ABC中，AB=AC，D在BC上，∠BAD=30°，在AC上取AE=AD，则∠EDC的度数是________．3．已知直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积是________．4．在等腰直角△ABC中，P为斜边上的一点，四边形EPFC是矩形，D为AB的中点，如图２，则DE 和DF的大小关系是________．证明题5．如图３，P是等边△ABC外的一点，∠APB=∠APC=60°，求证：PA=PB+PC．6．如图４，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC内，OB=OC，求证：AO⊥BC．能力提升填空题7．等腰三角形的各边均为正整数，周长为15，则满足条件的三角形有________个．8．三角形三边的长满足，则这个三角形的形状是________．9．等边三角形的外接圆的面积与内切圆的面积的比值为________．解答题10．如图５，AC=BC，∠C=20°，又M在AC边上，N在BC边上且满足∠BAN=50°，∠ABM=60°，求∠NMB的度数．11．如图6所示，已知在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC=120°，∠BAC的平分线交BC于D，求AD 之长．证明题12．如图７，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：．13．如图８，已知：△ABC中，AD平分∠BAC，交对边CB于D，且∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD．14．如图９，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CＥ⊥AB于点E，，求证：∠ADC+∠ABC=15．如图10，AC=BC，∠ACB=90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E，求证：参考答案基础达标填空题1．解析：由AE=AC，得，同理由，得，又因为，所以得，所以．2．解析：由题设条件，设，所以．又因为，由此可得，所以．3．解析：设它的三边长为，且为斜边，由题设条件得，所以由得，则4．解析：连结CD，则由题设条件得，，，所以△FCD≌△EAD，故DE=DF．证明题5．解析：在PA上截取PD=PB，连结BD，可证出∠ABD=60°-∠DBC=∠CBP，BP=BD，AB=BC，所以得△ABD≌△BPC，则AD=PC，所以BP+PC=PD+DA=PA．6．解析：延长AO交BC于点D，如图１∵ AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，∴ AD⊥BC，即AO⊥BC．能力提升填空题7．解析：由题意，设三边为，则有解得，∴．当时，；当时，；当，，当，；故符合条件的三角形共有4个．8．解析：或所以这个三角形是等腰三角形．9．解析：依题意画一个图，如图２，△ABC为等边三角形，点O为该三角形的中心，由等边三角形的重心、垂心、内心、外心重合可知，OD 即内切圆半径，OA即外接圆半径，．故其外接圆与内接圆的面积之比为．解答题10．解析：易证AB=BN，∠AMB=40°，如图３，作等腰△BAD，使BD=BA=BN，又∠ABD=180-2∠CAB=20°，∴∠DBN=80°-20°=60°，∴△BDN是等边三角形，BD=DN，又在△BDM中，∠DBM=∠DMB=40°，故△DMB为等腰三角形，由∠MDN=180°-∠ADB-∠BDN=40°知，DN=DM=DB．∴∠NMB=∠NMA-∠BMA=70°-40°=30°.11．解析：由于AD平分∠BAC，因此这就提供了以AD为轴进行对称变换的可能性．如图４，即AB的中点，连接，交AD于O，易知与关于AD对称，且．由于，，所以延长AC至，使，连接交AD的延长线于点E．显然△ABE和关于AE对称，且．由于OC是的中位线，所以，．因为，所以．所以，．于是证明题12．解析：过点A作BC的垂线，垂足为E，如图５，则由∠BAC=90°，AB=AC可知AE=BE=CE．由勾股定理可知，．故．13．解析：在AB上取一点E，使AE=AC，连接ED，如图６显然，△ACD≌△AED，∴∠C=∠AED，AE=AC，CD=ED，又∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∴∠EDB=∠B，∴ EB=ED=CD，∴ AB=AE+EB=AC+CD．14．解析：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图７∵∠CAF=∠CAE，AC=AC，∴ Rt△ACF≌Rt△ACE，∴ CF=CE，AF=AE，又∵ AD+AB=2AE，AB=AE+EB，∴ EB=AE-AD，又∵ FD=AF-AD，∴ EB=FD，∴ Rt△CEB≌Rt△CFD，∴∠CBE=∠CDF，∴∠ADC+∠ABC=∠ADC+∠CDF=180°．15．解析：延长BE、AC交于点F，如图８∵∠EAF=∠EAB，AE=AE，∠AEB=∠AEF=90°，∴△AEB≌△AEF，∴，∵∠CBF=90°-∠F=∠EAC，BC=AC，∴ Rt△BCF≌Rt△ACD，∴，。
练习-初二数学周末练习13(分式的概念和性质)
分式的概念和性质1．使分式有意义的的取值范围是（）．A．B．C．D．2．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（）．A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟3．如果把分式中的x、y都扩大10倍，那么分式的值一定（）．A．扩大10倍B．扩大100倍C．缩小10倍D．不变4．下列各式中，正确的是（）．A．B．C．D．5．下列各式从左到右的变形正确的是（）．A．B．C．D．6．下列分式中的最简分式是（）．A．B．C．D．7．分式，，的最简公分母是（）．A．B．C．D．8．化简的结果是（）．A．B．C．D．9．若三角形的三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是（）．A．不等边三角形B．腰与底边不等的等腰三角形C．等边三角形D．直角三角形10．当___________时，分式无意义．11．若分式的值为零，则的值等于___________．12．当x___________时，分式的值为正数；当x___________时，分式的值为负数．13．若不论x取何值，分式总有意义，则m___________．14．将分式化简得，则x就需满足___________．15．当x___________时，分式的值等于．16．已知当时，分式无意义，当时，此分式的值为零，求的值．17．已知，求的值．参考答案：1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 6．A 7．A 8．A 9．B10．11．12．；13．14．15．16．，，．17．可得，代入原式=．。
北京第四中学数学分式填空选择章末练习卷(Word版 含解析)
北京第四中学数学分式填空选择章末练习卷（Word 版 含解析）一、八年级数学分式填空题（难）1．如果关于x 的分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜－2，那么符合条件的所有整数a 的积是_________． 【答案】9【解析】()243412a x x x x ⎧-≥--⎪⎨+<+⎪⎩①②， 由①得：x≤2a+4，由②得：x<-2，由不等式组的解集为x<-2，得到2a+4≥-2，即a≥-3，分式方程去分母得：a-3x-3=1-x ， x=42a -， 由分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，则有a-4<0，所以a<4， 所以-3≤a<4，把a=-3代入整式方程得：-3x-6=1-x ，即x=-72，符合题意； 把a=-2代入整式方程得：-3x-5=1-x ，即x=-3，不合题意； 把a=-1代入整式方程得：-3x-4=1-x ，即x=-52，符合题意； 把a=0代入整式方程得：-3x-3=1-x ，即x=-2，不合题意；把a=1代入整式方程得：-3x-2=1-x ，即x=-32，符合题意； 把a=2代入整式方程得：-3x-1=1-x ，即x=-1，不合题意；把a=3代入整式方程得：-3x=1-x ，即x=-12，符合题意， ∴符合条件的整数a 取值为-3，-1，1，3，之积为9，故选D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若关于x 的分式方程321x m x -=-的解是正数，则m 的取值范围为_______. 【答案】m ＞2且m ≠3【解析】 解关于x 的方程321x m x -=-得：2x m =-， ∵原方程的解是正数， ∴20210m m ->⎧⎨--≠⎩，解得：2m >且3m ≠. 故答案为：2m >且3m ≠.点睛：关于x 的方程321x m x -=-的解是正数，则字母“m ”的取值需同时满足两个条件：（1）2x m =-不能是增根，即210m --≠；（2）20x m =->.3．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y +． 【答案】1【解析】 解：原式=222()xy x y x y x y ++⋅++=xy +2x +2y ，方程组：30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：31x y =⎧⎨=-⎩，当x =3，y =﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为1．点睛：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．计算：()()()()()()()11111122320182019x x x x x x x x ++++=+++++++________________. 【答案】()20192019x x + 【解析】【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可.【详解】∵111(1)1x x x x =-++， 111(1)(2)12x x x x =-++++111(2)(3)23x x x x =-++++ ……111(2018)(2019)20182019x x x x =-++++ ∴原式=11111111()()()()1122320182019x x x x x x x x -+-+-+⋅⋅⋅+-+++++++ =112019x x -+ =()20192019x x +. 【点睛】此题考察分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.5．若关于x 的分式方程12x -﹣3a x -=2256x x -+无解，求a=______． 【答案】-1或2【解析】 ∵12x -﹣3a x -=2256x x -+, ∴12x -+3a x -=()223x x --（）∵方程无解，∴(x -2)(x -3)=0, ∴x =2由x =3.6．关于x 的分式方程12122a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围是_____． 【答案】5a <且3a ≠【解析】【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．【详解】去分母得：122a x -+=-，解得：5x a =-，50a ->，解得：5a <，当52x a =-=时，3a =不合题意，故5a <且3a ≠．故答案为：5a <且3a ≠．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．7．化简：224a a -﹣12a -=_____． 【答案】12a + 【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】原式=()()()()222222a a a a a a +-+-+-=()()222a a a -+- =12a +， 故答案为：12a +. 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解本题的关键．8．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：①若c≠0，则＝1；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a ，b ，c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8.其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)【答案】①③④【解析】试题分析：在a+b=ab 的两边同时除以ab （ab=c≠0）即可得，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c ，可得b=，c=，所以b+c=6，故②错误；把 a=b=c 代入得，所以可得c=0，故③正确；当a=b 时，由a+b=ab 可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；当a=c 时，由c=a+b 可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a 、b 、c 中只有两个数相等相矛盾，故a=c 这种情况不存在；当b=c 时，情况同a=c ，故b=c 这种情况也不存在，所以④正确．所以本题正确的是①③④．考点：分式的基本性质；分类讨论．9．当x 取_____时，分式1111x x x+--有意义． 【答案】x≠0且x≠±1【解析】分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x 的不等式组，解不等式组即可求得x 的取值范围． 详解：由题意可知，只有当：0101101x x x x x x ⎧⎪⎪≠⎪⎪-≠⎨⎪+⎪-≠⎪-⎪⎩时，原分式才有意义，解得：011x x x ≠⎧⎪≠±⎨⎪≠-⎩，即当x ≠0且x ≠±1时，原分式有意义．故答案为：x ≠0且x ≠±1．点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可． 本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x 是1x的分母，所以x ≠0； x ﹣1x 是11x x x +-的分母，所以x ﹣1x ≠0；1﹣11x x x+-又是整个分式的分母，因此1﹣11xx x+-≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．10．满足222210105,4b a a b a b a b+=+=++的整数对(),a b 的组数为 _________________ ； 【答案】2【解析】【分析】将两式联立组成方程组，先将两式相减，再根据题意a 、b 均为整数，得出新的方程组求出满足条件的解，再数出满足条件的个数即可．【详解】 解：2222105104b a a b a b a b ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩①②由①－②得()22101b a a b a b--+=+ ()221010a b a b a b----=+ 去分母，并整理得()()()()()()()()222222110011011011010a b a b a b a b a b a b a b a b --+--=--+---=--+-=因为,a b 为整数，所以有22111010a b a b --=⎧⎨+-=⎩①②221-110-10a b a b --=⎧⎨+-=⎩③22110101a b a b --=⎧⎨+-=⎩④221-1010-1a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑤2212105a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑥221-210-5a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑦221-510-2a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑧2215102a b a b --=⎧⎨+-=⎩解方程组①得，42a b =⎧⎨=⎩或24a b =-⎧⎨=-⎩； 解方程组②得，0a b ；解方程组③得，此方程组无解；解方程组④得，此方程组无解；解方程组⑤得，无整数解；解方程组⑥得，12a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩解方程组⑦得，22a b =-⎧⎨=⎩ 解方程组⑧得，无整数解；将求出的解代入原方程，42a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=⎩是原方程的解 所以满足题意的数对有(1,2)或(4,2)故答案为：2.【点睛】本题考查了分式方程的整数解的特殊解法，认真审题，弄清题意是解决本题的关键．二、八年级数学分式解答题压轴题（难）11．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则：解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．12．阅读后解决问题：在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？ 经过交流后，形成下面两种不同的答案：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3．（1）小明与小强谁说的对，为什么？（2）关于x 的方程11222mx x x-+=--有整数解，求整数m 的值． 【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0．【解析】【分析】 (1)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x =a ﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:x ＞0且x ≠1, 即a ﹣2＞0, a ﹣2≠1,即可求解,(2) 先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m ﹣2）x =﹣2, 当m ≠2时,解得:x =﹣22m -,根据分式方程有整数解可得: m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,继而求m 的值. 【详解】解:（1）小强的说法对,理由如下:解这个关于x 的分式方程,得到方程的解为x =a ﹣2,因为解是正数,可得a ﹣2＞0,即a ＞2,同时a ﹣2≠1,即a ≠3,则a 的范围是a ＞2且a≠3,（2）去分母得：mx ﹣1﹣1=2x ﹣4,整理得:（m ﹣2）x =﹣2,当m ≠2时,解得: x =﹣22m -,由方程有整数解,得到m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,解得:m =3,4,0.【点睛】本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.13．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；x=，原分式方程无解”，请（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【答案】（1）0【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】x-得（1）方程两边同时乘以()2()5321+-=-xx=解得0x=是原分式方程的解.经检验，0（2）设？为m，x-得方程两边同时乘以()2()m x+-=-321x=是原分式方程的增根，由于2x=代入上面的等式得所以把2()m+-=-3221m=-1所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．【解析】【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【详解】解：（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得 8000080000(110%)200x x -=-， 解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由题意，得y=a+（60﹣a ），y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a ，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y 随a 的增大而减小．∴a=20时，y 最大=30000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．15．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【解析】【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x 天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定日期为x 天．由题意得66611212x x x x -++=++， ∴6112x x x +=+， ∴2267212x x x x ++=+，∴12x =；经检验：x=12是原方程的根．方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．∵28.8＞26.4，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．。
北京市第四中学八年级数学上册 15.3 分式方程练习题1 (新版)新人教版
分式方程【巩固练习】一.选择题1．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ）A ．11=+x xB ．4132=+x xC ．52433=+x xD ．6516-=x x 2．解分式方程12112-=-x x ，可得结果( )． A.1x = B.1x =- C.3x = D.无解3．要使54--x x 的值和xx --424的值互为倒数，则x 的值为( )． A.0 B.－1 C.21 D.1 4．已知4321--=+-y y x x ，若用含x 的代数式表示y ，则以下结果正确的是( )． A.310+=x y B.2y x =+ C.310x y -= D.72y x =--5．若关于x 的方程xk x --=-1113有增根，则k 的值为( )． A.3 B.1 C.0 D.－16．完成某项工作，甲独做需a 小时，乙独做需b 小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．A.)(54b a +小时 B.)11(54b a +小时 C.)(54b a ab +小时 D.b a ab +小时 二.填空题7. 当x ＝______时，分式3x 与26x-的值互为相反数． 8．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．9．x ＝______时，两分式44-x 与13-x 的值相等． 10．当a ＝______时，关于x 的方程4532=-+x a ax 的根是1． 11．若方程114112=---+x x x 有增根，则增根是______． 12．关于x 的方程11=+x a 的解是负数，则a 的取值范围为____________．三.解答题13. 解下列分式方程：（1）11322x x x -=---；（2）257233212x x x x x -=+-+--；（3）2210121x x x x -+=-+-．14. 甲、乙两地相距50km ，A 骑自行车，B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B 中途休息了0.5小时还比A 早到2小时，求自行车和汽车的速度．15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】C 选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2. 【答案】D ；【解析】1x =是原方程的增根.3. 【答案】B ；【解析】由题意442154x x x x --⨯=--，化简得：2415x x -=-解得1x =-. 4. 【答案】C ；【解析】由题意()()()()1423x y x y --=+-，化简得：310y x =-，所以选C.5. 【答案】A ；【解析】将1x =代入31x k =-+，得3k =.6. 【答案】C ；【解析】由题意4114()55ab a b a b÷+=⨯+，所以选C.二.填空题7. 【答案】18； 【解析】3206x x+=-，解得18x =. 8. 【答案】222a m m+； 【解析】原计划能供应a m 天，现在能供应2a m +天，则少供应222a m m +天. 9. 【答案】－8；【解析】4341x x =--，解得8x =-. 10.【答案】173-；【解析】将1x =代入原方程，得85512a a +=-，解得173a =-. 11.【答案】1x =；【解析】原方程化为：()22141x x +-=-，解得1x =，经检验1x =是增根.12.【答案】1a <且a ≠0；【解析】原方程化为110a x x a =+=-<，，解得1a <.x ≠-1，解得a ≠0.三.解答题13.【解析】解：(1)方程的两边都乘2x -，得113(2)x x =---．解这个整式方程，得x ＝2．检验：当x ＝2时，x －2＝0，所以2是增根，所以原方程无解．(2)方程两边同乘(2)(1)x x --约去分母，得572(2)3(1)x x x -=-+-． 整理，得5757x x -=-．这个式子为恒等式.检验：当1x =，2x =时，(2)(1)0x x --=，所以1x =和2x =是增根．因此，原方程的解是1x ≠且2x ≠的任何实数．(3)方程两边同乘(2)(1)(1)x x x ++-，得(2)2(1)(1)(2)(1)0x x x x x x +-+-+++=．解此方程，得45x =-．检验：把45x =-代入(2)(1)(1)x x x ++-得4442110555⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-+⨯--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原方程的解是45x =-．14.【解析】解：设自行车的速度为/xkm h ，汽车的速度为2.5/xkm h ，由题意，50500.522.5x x =++，解方程得：12550 6.25x =+12x =经检验，12x =是原方程的根，2.530x =.所以自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h . 答：自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h .15.【解析】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为1x +，则：10(1)281x xx++-=+．解方程得：3x=．经检验：3x=是原方程的根．所以个位上的数字为：1x+＝3＋1＝4．所以这个两位数是：3×10＋4＝34．答：这个两位数是34．。
练习-初二数学周末练习1(分式方程)
初二数学周末练习1(分式方程)
周末练习
1.方程的根是( )
A．x=0B．x=1C．x=-1D．x=2
2.某工厂计划天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，则可
列方程为( ).
A．B．
C．D．
3.若分式方程有增根，则增根是___________．
4.若关于x的方程无解，则k=________．
5.解下列分式方程
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6)．
6.在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.
参考答案：
1.A
2.D
3.
4.4
5.(1)；(2)无解；(3)；(4)；(5)；(6)无解.
6.抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.。
北京四中初二数学周末练习q
初二数学周末练习习题部分一、填空题1. 如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形的对数为___________．（第1题）（第2题）（第3题）2. 如图，，要使，请你增加一个条件是___________．（只需要填一个你认为合适的条件）3. 如图所示，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，AC=DF，若使△ABC≌△DEF，则需补充一个条件是___________.4. 如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠A与∠DEC互补，若BC=11cm，则△DEC周长为___________．二、选择题5. 如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．6. 如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且BE=CF，求证：AD平分∠BAC．7. （思考题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CB-CD的大小关系，并证明你的结论．参考答案：一、1、 6 ；2、∠B=∠C ；3、BC=EF；4、11cm二、5．证明：∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴AP=AQ，∠QAC=∠P．∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．6、证明：∵D是BC的中点，∴BD=DC．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴DE=DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．7、解：AB-AD＞CB-CD，证明如下：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CB-CE，即AB-AE＞CB-CE，∴AB-AD＞CB-CD．提示：也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．。
北京四中初二周末练习
周末练习
编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟1．若函数的图像经过点(-3，-2)和(1，6)，求、及函数关系式．
2．已知一次函数图像如图1所示，那么这个一次函数的解析式是()
A．
B．
C．
D．
3．直线沿着轴平移后通过点(-1，
3)，求平移后的直线解析式．
4．已知一次函数在时，，且它的图象与轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式．
5．己知一个一次函数的图像经过(1，-1)和(-2，5)两点，求这个一次函数的解析式．
6．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积为36．(1)求的值；(2)当
取什么值时，？
7．如图2，、分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s和分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快多少?
8．已知一次函数的图象过两点(-6，4)，(3，0)，求此函数的解析式和其图象与坐标轴两交点的坐标．
9．已知一次函数的图象经过点(3，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式．
10．函数的图像上是否存在点，使得点到轴的距离为3？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．，，．2．．
3．．4．．
5．．
6．(1)；(2)当m=6时，；当，．
7．每秒快1.5．
8．，，．
9．或．
10．所求点坐标为和．。
北京市北京四中八年级数学上册第十五章《分式》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253x x x -是最简分式C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等2．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x = B ．3x =- C ．3x =± D ．以上均不对 3．如果分式2121x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．±1 4．化简分式2xy x x +的结果是（ ） A ．y x B ．1y x + C ．1y + D ．y x x+ 5．若关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，且关于x 的不等式组5x x a ≥⎧⎨>⎩的解集是5x ≥，则符合条件的整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 6．如图，若x 为正整数，则表示3211327121(1)(1)543x x x x x x x x x--++--÷++++的值的点落在（ ）．A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④ 7．下列变形不正确．．．的是（ ） A ．1a b a b a b-=-- B ．1a b a b a b +=++ C ．221a b a b a b+=++ D ．221-=-+a b a b a b 8．计算23211x x x x +-++的结果为（ ） A ．1 B ．3 C ．31x + D ．31x x ++9．下列计算正确的个数为（ ）①555•2a a a =；②5510b b b +=；③1644n n ÷=；④247••y y y y =；⑤()()23•x x x --=-；⑥()7214a a --=；⑦()()234214•a a a -=；⑧()242a a a ÷-=-；⑨()03.141π-=．A ．2B ．3C ．4D ．510．下列分式中，最简分式是（ ）A ．211x x +-B ．2211x x -+C ．2222x xy y x xy -+-D ．21628x x -+ 11．2a ab b a++-的结果是( )． A ．2a- B ．4a C ．2b a b -- D ．b a - 12．若分式2132x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．±1 13．使分式2221x x x ---的值为0的所有x 的值为（ ） A ．2或1-B ．2-或1C ．2D ．1 14．若220.3,3a b --=-=-，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c d <<<B ．b a c d <<<C ．b a d c <<<D ．a b d c <<< 15．化简214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+ C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．科学家使用冷冻显微术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为__________．17．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人．18．计算22a b a b a b-=-- _________． 19．某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元． 设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__．20．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg ，甲型机器人搬运800kg 所用时间与乙型机器人搬运600kg 所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg 产品？根据以上信息，解答下列问题．（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为______小惠同学设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为____________．（2）乙型机器人每小时搬运产品_______________kg ．21．2112111a a a a +-+--＝___________. 22．若关于x 的方程2144416m x x x +=-+-无解，则m 的值为__________． 23．已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是负数，则a 的取值范围_____________． 24．若分式2221x x --的值为正整数，则x =_____________．25．计算：201(1)2|2π-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭_____． 26．计算35232()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦＝__． 三、解答题27．（1）解方程．22510111x x x -+=+--． （2）先化简分式（2241442a a a a ---+-）÷212a a a +-，然后在0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．28．先化简，再求值：22121124x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =．29．计算：)03-30．计算（1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭； （3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦；（4）()()()3323231333x x x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭．。
北京四中初二数学周末练习
北京四中初二数学周末练习习题部分一、选择题：1．下面四个图形中，不是轴对称图形的是( )2．若等腰三角形的一个内角等于80°，则它的底角可能等于( )A．70°B．80°C．50°D．80°或50°3．一个等腰三角形的一边长为6，一个外角为120°，则它的周长为( )A．12B．15C．16D．184．如果多项式可因式分解为，则、的值为( )A．B．C．D．5．如果是一个完全平方式，则的值应为( )A．3 B．C．D．6．下列说法中正确的是( )①△ABC和△DEF中，若，，，则；②全等三角形的高相等；③顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等A．①②B．③C．①③D．①②③7．在直角坐标系中，O为坐标原点，P点坐标为(-2，2)，在轴上找一点，使△POQ为等腰三角形，则符合条件的点Q共有( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：8．分解因式：____________。
9．分解因式：____________。
10．分解因式：____________。
11．分解因式：____________。
12．如图1，AB、CD相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是____________(只需写一种)。
13．如图2，有两个长度相同的滑梯，即，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平方向的长度相等，则____________。
14．如图3，中，，平分交于，垂直平分，若，则______15．如图4，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD 上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时____________。
16．如图5，在△ABC中，，、分别在、上，，，则______。
17．已知：如图，在△ABC中，轴，，点A坐标是(-4，4)，点B坐标是(-3，1)，请画出△ABC关于轴对称的，并写出、、三点的坐标。
参考答案：1．C 2．D 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C8．9．10．11．12．(不唯一)13．90°14．315．216．45°17．画图略。
2021年北京四中初二数学周末考前练习(PDF版无答案)
15. 如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（1，2），则 CE 的长是
．
16. 在 Rt△ABC 中，a,b 均为直角边且其长度为相邻的两个整数，若 a 5 1 b ，
则该直角三角形斜边上的高为
．
17. 实 数 a 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 化 简 ： a 52 a 132
姓名：
班级：
学习是一件很有意思的事
一、选择题
初二数学周末练习 2—期中综合
1. 式子 x 1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）．
A． x 1
B． x 1
C． x 1
D． x 1
2. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（
A．9、12、15 B．41、40、9 C．25、7、24
；
②若点 P(4,3) 为正方形 ABCD 的和睦点，求正方形边长的取值范围。
D．4 个
二、填空题
11. 计算： 3 27
．
12. 比较大小： 2 3
13 ．
13. 等腰三角形的腰长 13cm，底长 10cm，则底边上的高为
cm．
14. 如图，已知某菱形花坛 ABCD 的周长是 24m，∠BAD=120°，则花坛对角线
AC 的长是
m．
（第 14 题图）
（第 15 题图）
（第 17 题图）
3. 下列计算正确的是（ ）．
）． D．6、5、4
A． 5 3 3 5
B． 8 2=2
C． 4 1 =2 1 93
D．
2
3 2 5 6
4. 若 1 x 2 y 0 ，则 xy 的值为（ ）．
A．1
B． 1
北京市北京四中八年级数学上册第五单元《分式》检测(有答案解析)
一、选择题1．使分式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数2．关于x 的分式方程5222mx x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m = B ．2m =- C ．5m = D ．5m =-3．若使分式2xx -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．0x =C ．1x ≠-D ．2x =4．如图，若x 为正整数，则表示3211327121(1)(1)543x x x x x x x x x--++--÷++++的值的点落在（ ）．A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④5．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．下列变形不正确的是（ ） A ．1122x xx x+-=--- B ．b a a bc c--+=- C ．a b a bm m -+-=- D ．22112323x x x x--=--- 7．已知2,1x y xy +==，则y xx y+的值是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．28．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －19．如图，若a 为负整数，则表示2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④10．下列变形不正确．．．的是（ ） A ．1a ba b a b -=-- B ．1a b a b a b+=++ C ．221a b a b a b+=++D ．221-=-+a b a b a b11．分式242x x -+的值为0，则x 的值为（ ）A ．2-B ．2-或2C ．2D ．1或2 12．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<二、填空题13．已知3m n +=．则分式222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭的值是_________． 14．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a ，b 中的较小的值，如{}min 2,42=．（1）{}min 2,3--=__________________． （2）方程{}3min 2,322x x x--=---的解为_________________． （3）方程131min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_________________． 15．某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元． 设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__． 16．2112111a a a a +-+--＝___________. 17．计算：222213699211-+-+⋅⋅=--++x x x x x x x x ___________．18．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．19．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5400元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数多100盒，且每盒花的进价比第一批的进价少3元．设第一批盒装花的进价是x 元，则根据题意可列方程为________．20．方程2111x x x =--的解是___________． 三、解答题21．先化简，再求值：（1－22a -）÷228164a a a -+-，其中a ＝0(2021)π- 22．（1）计算：（－14）-2-2）0+（－5）9×（－0.28）； （2）因式分解：（1-a ）2+4（a-1）； （3）计算：（x+3）2－(x+2)(x-1)．23．在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A 、B 两种不同型号的口罩，已知A 型口罩的单价比B 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同．（1）求A 、B 两种型号口罩的单价各是多少元？（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A 型口罩的数量最多是多少个？ 24．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由） 25．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b c ac a b a c-⋅÷-÷（3）解分式方程：11222x x x++=-- 26．今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元． （1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？（2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了%a ，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价325a元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求a 的值．（利润=售价-进价）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围． 【详解】由题意，得x 2−1≠0， 解得：x ≠±1， 故选：C ． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．2．D解析：D 【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解． 【详解】5222mx x+=-- 去分母得：52(2)x m +-=-，∵关于x 的分式方程5222m x x+=--有增根，且增根x=2，∴把x=2代入52(2)x m +-=-得，5m =-，即：m=-5， 故选D ． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．3．A解析：A 【分析】根据分式有意义分母不为零即可得答案． 【详解】∵分式2xx -有意义， ∴x-2≠0， 解得：x≠2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．4．B解析：B 【分析】将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分式的取值范围，即可选择． 【详解】原式221(1)71211543(1)x x x x x x x-++=-++++ 1(3)(4)11(1)(4)3xx x x xx x x x-++=-++++ 1111x x x-=-++ 1x x =+ 又因为x 为正整数，所以1121x x ≤<+， 故选B ． 【点睛】本题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答本题关键．5．B解析：B 【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程4102x -=+的根为x=2，故②正确； 方程11224=-x x 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 1111x x x +=+-是分式方程，故④正确； 故选：B ． 【点睛】 此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．6．A解析：A 【分析】答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断． 【详解】 解：A 、1122x xx x+--=---，故A 不正确； B 、b a a b c c--+=-，故B 正确； C 、a b a bm m-+-=-，故C 正确； D 、22112323x x x x--=---，故D 正确． 故答案为：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．7．D解析：D 【分析】 将y xx y+进行通分化简，整理出含已知条件形式的分式，即可得出答案．【详解】解：2222()2221=21y x y x x y xy x y xy xy ++--⨯+=== 故选D ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．8．A解析：A 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】原式＝211m m m m ---＝21m m m--=(1)1m m m --＝m ， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．C解析：C 【分析】将所给式子化简，根据a 为负整数，确定化简结果的范围，再从所给图中可得正确答案． 【详解】解：2a 111a a 1⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()aa 111a 1a a 1a 1+⎛⎫÷- ⎪+-++⎝⎭=()()aa1a 1a a 1÷+-+ =()()aa 11a 1a a+⋅+- =11a-； ∵a 为负整数，且a 1≠-， ∴1a -是大于1的正整数， 则1101a 2<<-． 故选C ． 【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．10．C解析：C 【分析】A 、B 两项利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可得到结果；C 、D 通过能否继续进行因式分解，继续化简，即可得到答案． 【详解】 A. =1a b a b a b a b a b--=---，故此项正确； B. =1a b a b a b a b a b++=+++，故此项正确； C.22a ba b ++为最简分式，不能继续化简，故此项错误；D. ()()221a b a b a b a b a b a b--==-+-+，故此项正确；故选C ． 【点睛】此题考查了分式的加减法、约分，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．C解析：C 【分析】分式的值为零时，分子等于零，分母不等于零． 【详解】 解：依题意，得 x 2-4=0，且x+2≠0， 所以x 2=4，且x≠-2， 解得，x=2． 故选：C ． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．D解析：D 【分析】根据负整数指数幂的运算法则可得110xx-=<，根据非零数的零次幂可得0x 1=，根据平方的结果可得20x 1<<，从而可得结果． 【详解】解：∵1x 0-<<，∴20x 1<<，0x 1=，11x 0x-=<， ∴120x x x -<<． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解．二、填空题13．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型解析：13【分析】根据分式运算法则即可求出答案． 【详解】解：222m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭=22(2)m n m mn n m m +-++÷ =2()m n mm m n +⋅-+ =1m n -+， 当m+n=-3时， 原式=13故答案为：13【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．14．-3【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程求解即可；（3）根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】解：（1）根据题意；（2）原方程为：去分母得解得：经检验是该解析：-3 34x = 0x = 【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程，求解即可；（3）根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可． 【详解】解：（1）根据题意，{}min 2,33--=-；（2）原方程为：3322x x x-=---， 去分母得33(2)x x +=--，解得：34x =，经检验34x =是该方程的根， 故{}3min 2,322xx x--=---的解为：34x =；（3）当1322x x <--时，x ＞2，方程变形得：11222x x x -=---， 去分母得：1=x-1-2x+4， 解得：x=2，不符合题意；当1322x x >--时，即x ＜2，方程变形得：31222x x x -=---， 解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解， 综上，所求方程的解为x=0．故答案为：-3，34x =，0x =． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，解分式方程．能将题目新定义的运算化为一般运算是解题关键．15．【分析】本题的等量关系是：224000元购买A 型计算机的数量=240000元购买B 型计算机数量依此列出方程即可【详解】解：设B 型计算机每台需x 元则A 型计算机每台需（x-400）元依题意有故填【点睛】解析：240000224000400x x =- 【分析】 本题的等量关系是：224 000元购买A 型计算机的数量=240 000元购买B 型计算机数量，依此列出方程即可． 【详解】解：设B 型计算机每台需x 元，则A 型计算机每台需（x-400）元，依题意有240000224000400x x =-故填，240000224000400x x =-． 【点睛】 考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系．16．0【分析】先通分再分母不变分子相减即可求解【详解】故答案为：0【点睛】本题考查了分式加减运算的法则熟记法则是解题的关键解析：0【分析】先通分，再分母不变，分子相减即可求解．【详解】2211211201111a a a a a a a a -++-+-==+---． 故答案为：0．【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．17．【分析】先将分子和分母分解因式再计算乘法并将结果化为最简分式【详解】【点睛】此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子分母相乘作积的分母 解析：31x x -- 【分析】先将分子和分母分解因式，再计算乘法，并将结果化为最简分式．【详解】2222221369(1)(1)3(3)39211(3)(3)(1)11-+-++-+--⋅=⋅⋅=--+++--+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x ． 【点睛】此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母． 18．4038【分析】先根据已知图形得出代入方程中再将左边利用裂项化简解分式方程可得答案【详解】由图形知：∴∵∴故填：30；【点睛】本题考查图形的变化规律解题的关键是根据已知图形得到以及裂项的规律解析：4038【分析】先根据已知图形得出()1n a n n =+，代入方程中，再将左边利用()11111n n n n =-++裂项化简，解分式方程可得答案．【详解】由图形知：112a =⨯，223a =⨯，334a =⨯，∴ ()1n a n n =+，556=30a =⨯，∵ 123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=， ∴2222122334201920202020n +++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯， 1111121223201920202020n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭， 4038n =，故填：30；4038．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得到()1n a n n =+，以及裂项的规律()11111n n n n =-++． 19．【分析】设第一批盒装花的进价是x 元/盒则第一批进的数量是：第二批进的数量是：再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量+100可得方程【详解】解：设第一批盒装花的进价是元/盒则故答案是：【点睛】 解析：54003000100x 3x=+- 【分析】 设第一批盒装花的进价是x 元/盒，则第一批进的数量是：3000x ，第二批进的数量是：5400x 3-，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量+100可得方程． 【详解】解：设第一批盒装花的进价是x 元/盒，则54003000100x 3x=+-， 故答案是：54003000100x 3x=+-． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 20．【分析】根据分式方程的性质求解即可得到答案【详解】∵∴∴∵时即分母为0故舍去∴故答案为：【点睛】本题考查了分式方程一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质从而完成求解解析：1x =-【分析】根据分式方程的性质求解，即可得到答案．【详解】 ∵2111x x x =-- ∴21x =∴1x =±∵1x =时，10x -=，即分母为0，故舍去∴1x =-故答案为：1x =-．【点睛】本题考查了分式方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解．三、解答题21．24a a +-；-1 【分析】 先进行括号内的分式减法，再计算分式除法，代入求值即可．【详解】 解：原式＝222a a ---÷2(4)(2)(2)a a a -+- ＝42a a --×2(2)(2)(4)a a a +-- ＝24a a +-； 当a ＝（π－2021）0＝1时， 原式＝1214+=-－1． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值和0指数，解题关键是熟练按照分式化简的顺序与法则进行计算．22．①20；②（a-1）(a+3)；③5x+11．【分析】（1）根据负指数幂，零指数幂及乘方法则计算即可；（2）提取公因式（a-1），进而分解因式即可；（3）先运用完全平方公式与多项式的乘法去括号，然后合并同类项．【详解】解原式=16-1+5×（-5×0.2）8=20（2）原式=（a-1）2+4(a-1)=（a-1）(a-1+4）=（a-1）(a+3)（3）原式=x 2+6x+9-(x 2+x-2)=x 2+6x+9-x 2-x+2=5x+11．【点睛】本题考查了负指数幂，零指数幂及乘方法则，提取公因式法分解因式及整式的混合运算，熟练运用运算性质是解题的关键．23．（1）4元；2.5元 （2）800个【分析】（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为( 1.5)x 元，根据“用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同”列出方程并解答；（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，根据“增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元”列出不等式并解答即可．【详解】解：（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为()1.5x -元， 根据题意，得800050001.5x x =-． 解方程，得：4x =．经检验：4x =是原方程的根，且符合题意．所以 1.5 2.5x -=．答：A 型口罩的单价为4元，则B 型口罩的单价为2.5元．（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，根据题意，得：2.5247200m m ⨯+≤．解不等式，得：800m ≤．答：增加购买A 型口罩的数量最多是800个．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．24．（1）70米/分；（2）能，见解析【分析】（1）设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分．由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可； （2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论．【详解】（1）解：设小红步行的平均速度是x 米/分，则骑自行车的平均速度是3x 米/分． 根据题意，得21002100203x x-=， 方程两边同乘最简公分母3x ，得6300210060x -=，解得70x =．检验：把70x =代入最简公分母3x ，得33700x =⨯≠，因此，70x =是原方程的根．答：小红步行的平均速度是70米/分．（2）由（1），得70x =，3210x =，所以小红骑自行车的速度是210米/分，于是，小红回家取道具共花时间：2100210030104070210+=+=（分）， 由于4045<，因此，小红能在联欢会开始前赶到学校．【点睛】本题是一道行程问题的应用题，考查了列分式方程解实际问题，分式方程的解法，解答时小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程是关键． 25．（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】（1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a ba c -⋅÷-÷ =()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．26．（1）第一批紫水豆干每千克进价是25元；（2）a 的值是50．【分析】（1）设第一批紫水豆干每千克进价是x 元，则第二批每件进价是（x-3）元，再根据等量关系：第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可；（2）根据第一阶段的利润+第二阶段的利润=1520列方程求解即可．【详解】解：（1）设第一批紫水豆干每千克进价x 元， 根据题意，得：2500440023x x ⨯=-， 解得：x=25，经检验，x=25是原方程的解且符合题意；答：第一批紫水豆干每千克进价是25元．（2）第二次进价：25-3=22（元），第二次紫水豆干的实际进货量：4400÷22=200千克，第二次进货的第一阶段出售每千克的利润为：22×a %元， 第二次紫水豆干第二阶段销售利润为每千克325a -元， 由题意得：322%20080%200(180%)152025a a ⨯⨯⨯-⨯-=， 解得：a =50，即a 的值是50．【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．。
北京第四中学八年级数学上册第十五章《分式》测试卷(培优专题)
一、选择题1．关于x 的一元一次不等式组31,224x m x x x⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程13122my y y y--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9 B ．10 C ．13 D ．142．下列命题中，属于真命题的是（ ）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253x x x -是最简分式C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等3．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．3x =±D ．以上均不对 4．关于x 的分式方程5222m x x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m = B ．2m =- C ．5m = D ．5m =- 5．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x-= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x-=+ 6．若使分式2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．0x = C ．1x ≠- D ．2x = 7．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为140万元．若设乙型机器人每台x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．4605801x 140x -=- B ．4605801140x x =-- C ．4605801x 140x =+- D ．4605801140x x -=- 8．下列说法正确的是（ ） A ．分式242x x --的值为零，则x 的值为2±B ．根据分式的基本性质，m n 可以变形为22mx nxC ．分式32xy x y -中的,x y 都扩大3倍，分式的值不变 D ．分式211x x ++是最简分式 9．若整数a 使得关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨-+>+⎩的解集为2x >，且关于x 的分式方程21111ax x x+=---的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．210．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若121111011111n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．20 D ．2111．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x+=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组213202y y y a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩的解集为2y <-，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．从7-、5-、3-、1-、3、6这六个数中，随机抽取一个数，记为k ，若数k 使关于x 的分式方程3211k x x +=--的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的k 的值之和是（ ）A ．4-B ．0C ．3D ．613．下列各式计算正确的是（ ） A ．33x x y y= B ．632m m m = C ．22a b a b a b +=++ D ．32()()a b a b b a -=-- 14．在代数式2π，15x +，221x x --，33x -中，分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个15．已知有理数a ，b 满足：1ab =，1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的关系为（ ）A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M ，N 的大小不能确定 二、填空题16．计算22a b a b a b-=-- _________． 17．计算22111m m m ---，的正确结果为_____________． 18．A B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米时，则可列方程为__________．19．观察给定的分式，探索规律：（1）1x ，22x ，33x ，44x ，…其中第6个分式是__________； （2）2x y ，43x y -，65x y ，87x y-，…其中第6个分式是__________； （3）2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…其中第n 个分式是__________（n 为正整数）． 20．计算：20120192-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 21．2112111a a a a +-+--＝___________. 22．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（0.0000000025千米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米用科学记数法表示为________千米．23．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．24．计算：11|1|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 25．某工人现在平均每天比原计划多做20个零件，现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同，问现在平均每天做______个零件． 26．计算：22a 1a 1a 2a a--÷+=____． 三、解答题27．某高速公路有300km 的路段需要维修，拟安排甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队每天维修公路的长度是乙队每天维修公路长度的2倍，并且在各自独立完成长度为48km 公路的维修时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲乙两工程队每天能完成维修公路的长度分别是多少km ？（2）两个工程队合作15天后乙队另有任务，余下工程由甲队完成，请你用所学过的知识判断能否在规定的30天工期完成并写出求解过程．28．小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）29．先化简，再求值：2213242x x xx x x-+÷--+，其中x与2，4构成等腰三角形的三边．30．分式计算与解方程：（1）21211a aa a----；（2）121221xx x+=-+．。
北京第四中学八年级数学上册第十五章《分式》测试卷(培优专题)
一、选择题1．分式293x x --等于0的条件是（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．3x =±D ．以上均不对B解析：B【分析】根据分式等于0的条件：分子为0，分母不为0解答．【详解】由题意得：290,30x x -=-≠，解得x=-3，故选：B ．【点睛】此题考查分式的值等于0的条件，熟记计算方法是解题的关键． 2．若关于x 的一元一次不等式组()()1112232321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥-⎩恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程3133y ay y y ++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．3A解析：A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，求出之和即可．【详解】 关于x 的一元一次不等式组整理得：325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩， ∵325x a x ≤⎧⎪+⎨≥⎪⎩恰有3个整数解， ∴2015a +<≤，即：23a -<≤， 关于y 的分式方程3133y ay y y ++=--，整理得：6y a =， ∵3133y ay y y ++=--有正整数解且63a≠，∴满足条件的整数a 的值为：1，3∴所有满足条件的整数a 的值之和是4，故选A ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键．3．关于x 的分式方程5222m x x +=--有增根，则m 的值为（ ） A ．2m =B ．2m =-C ．5m =D ．5m =- D解析：D【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程，即可求解．【详解】 5222m x x+=-- 去分母得：52(2)x m +-=-，∵关于x 的分式方程5222m x x+=--有增根，且增根x=2， ∴把x=2代入52(2)x m +-=-得，5m =-，即：m=-5， 故选D ．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义：使分式方程的分母为零的根，叫做分式方程的增根，是解题的关键．4．化简分式2xy x x +的结果是（ ） A ．y x B ．1y x + C ．1y + D ．y x x+ B 解析：B【分析】先把分子因式分解，再约分即可．【详解】 解：22(1)1xy x x y y x x x+++==． 故选：B ．【点睛】 本题考查了分式的约分，解题关键是先把分子因式分解，再和分母约分．5．要使分式()()221x x x ++-有意义，x 的取值应满足（ ）A ．1x ≠B ．2x ≠-C ．1x ≠或2x ≠-D ．1x ≠且2x ≠- D解析：D【分析】 根据分式有意义的条件得出x +2≠0且x ﹣1≠0，计算即可．【详解】解：要使分式()()221x x x ++-有意义，必须满足x +2≠0且x ﹣1≠0，解得：x ≠﹣2且x ≠1，故选：D ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出x +2≠0且x ﹣1≠0是解此题的关键．6．若分式293x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．4B ．4-C ．3或－3D ．3D 解析：D【分析】先根据分式的值为0可得290x ，再利用平方根解方程可得3x =±，然后根据分式的分母不能为0即可得．【详解】 由题意得：2903x x -=+， 则290x ，即29x =，由平方根解方程得：3x =±，分式的分母不能为0，30x ∴+≠，解得3x ≠-，则x 的值为3，故选：D ．【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、利用平方根解方程，掌握理解分式的值是解题关键．7．已知1x =是分式方程2334ax a x +=-的解，则a 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．3- D解析：D【分析】先将分式方程化为整式方程，再将1x =代入求解即可．【详解】解：原式化简为81233ax a x +=-，将1x =代入得81233a a +=-解得-3a =.当a =-3时a -x=-3-1=-4≠0∴a =-3故选则：D ．【点睛】本题考查分式方程的解．会将分式方程化为整式方程，解题关键将方程的解代入转化为a 的方程．8．若实数a 使关于x 的不等式组313212x x a xx +⎧+≥⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩有解且最多有4个整数解，且使关于y 的方程3233y a y y --++ 1=的解是整数，则符合条件的所有整数a 的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1D 解析：D【分析】解不等式组得到a+2≤x ≤﹣3，利用不等式组有解且最多有4个整数解得到﹣7＜a+2≤﹣3，解关于a 的不等式组得到整数a 为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，再解分式方程得到y ＝12a +且y ≠﹣3，利用分式方程的解为整数且12a +≠﹣3即可确定符合条件的所有整数a 的值． 【详解】 解：313212x x a x x +⎧+≥⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩①②， 由①得：x ≤﹣3，由②得：x ≥a+2，∴a+2≤x ≤﹣3，因为不等式组有解且最多有4个整数解，所以﹣7＜a+2≤﹣3，解得﹣9＜a ≤﹣5，整数a 为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5， 方程3233y a y y --++ 1=去分母得3y ﹣a +2＝y +3，解得y ＝12a +且y ≠﹣3， ∴12a +≠﹣3， 解得a ≠﹣7，当a ＝﹣8时，y ＝﹣3.5（不是整数，舍去），当a ＝﹣6时，y ＝﹣2.5（不是整数，舍去），当a ＝﹣5时，y ＝﹣2（是整数，符合题意），所以符合条件的所有整数a 为﹣5．故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了解一元一次不等式组的整数解．9．已知a 、b 为实数且满足a ≠﹣1，b ≠﹣1，设M =11a b a b +++，N =1111a b +++，则下列两个结论（ ）①ab =1时，M =N ；ab ＞1时，M ＜N ．②若a +b =0，则M •N ≤0．A ．①②都对B ．①对②错C ．①错②对D ．①②都错C 解析：C【分析】对于①，计算M-N 的值可以判断M>N 还是M<N ；对于②，计算M N 的值，然后根据a 、b 满足的条件判断其大于0还是小于0．【详解】∵M =11a b a b +++，N = 1111a b +++， ∴M ﹣ N =11a b a b +++﹣（ 1111a b +++） =22(1)(1)ab a b -++， ①当ab =1时，M ﹣N =0，∴M =N ，当ab ＞1时，2ab ＞2，∴2ab ﹣2＞0，当a ＜0时，b ＜0，（a +1）（b +1）＞0或（a +1）（b +1）＜0，∴M ﹣N ＞0或M ﹣N ＜0，∴M ＞N 或M ＜N ；故①错误；②M •N =（11a b a b +++）•（ 1111a b +++）=()()()()221111a a b b a b a b +++++++．∵a +b =0，∴原式=()()2211ab a b +++ =224(1)(1)ab a b ++． ∵a ≠﹣1，b ≠﹣1，∴（a +1）2（b +1）2＞0．∵a +b =0，∴ab ≤0，M •N ≤0，故②对．故选：C ．【点睛】本题考查分式运算的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．10．已知有理数a ，b 满足：1ab =，1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M ，N 的关系为（ ） A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．M ，N 的大小不能确定C解析：C【分析】先通分，再利用作差法可比较出M 、N 的大小即可. 【详解】解：∵1111M a b=+++ ()()1111b a a b +++=++()()211b aa b ++=++，()()()()()()1121111a b b a a ab b N a b a b +++++==++++， ∴()()()()221111b a a ab b M N a b a b ++++-=-++++()()2211a b a ab ba b ++---=++()()2211aba b -=++，∵1ab =，∴220ab -=，∴0M N -=，即M N .故选：C.【点睛】本题考查的是分式的加减法及分式比较大小的法则，分式比较大小可以利用作差法、作商法等. 二、填空题11．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}min ,a b 表示a ，b 中的较小的值，如{}min 2,42=．（1）{}min 2,3--=__________________．（2）方程{}3min 2,322x x x --=---的解为_________________． （3）方程131min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_________________．-3【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程求解即可；（3）根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】解：（1）根据题意；（2）原方程为：去分母得解得：经检验是该解析：-3 34x =0x = 【分析】（1）模仿题干可直接给出答案；（2）先将原式转化为分式方程，求解即可；（3）根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可．【详解】解：（1）根据题意，{}min 2,33--=-； （2）原方程为：3322x x x-=---， 去分母得33(2)x x +=--， 解得：34x =，经检验34x =是该方程的根， 故{}3min 2,322x x x --=---的解为：34x =； （3）当1322x x <--时，x ＞2，方程变形得：11222x x x -=---，去分母得：1=x-1-2x+4，解得：x=2，不符合题意； 当1322x x >--时，即x ＜2，方程变形得：31222x x x -=---， 解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，综上，所求方程的解为x=0． 故答案为：-3，34x =，0x =． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，解分式方程．能将题目新定义的运算化为一般运算是解题关键．12．已知234a b c ==（0abc ≠，a b c +≠），则=+a b c a b c -+-_____．3【分析】设=k 用k 表示出abc 的值代入代数式计算化简即可【详解】设=k 则a=2kb=3kc=4k ∴故答案为：3【点睛】此题考查分式的化简求值设设=k 用k 表示出abc 的值是解题的关键解析：3【分析】 设234a b c ===k ，用k 表示出a 、b 、c 的值，代入代数式计算化简即可． 【详解】 设234a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， ∴2343=3+234a b c k k k k a b c k k k k-+-+==-+-， 故答案为：3．【点睛】 此题考查分式的化简求值，设设234a b c ===k ，用k 表示出a 、b 、c 的值是解题的关键． 13．如图，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为1a ，第2幅图中“□”的个数为2a ，第3幅图中“□”的个数为3a ，……，以此类推，若123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=（n 为正整数），则（1）5a =________；（2）n 的值为________．4038【分析】先根据已知图形得出代入方程中再将左边利用裂项化简解分式方程可得答案【详解】由图形知：∴∵∴故填：30；【点睛】本题考查图形的变化规律解题的关键是根据已知图形得到以及裂项的规律解析：4038【分析】先根据已知图形得出()1n a n n =+，代入方程中，再将左边利用()11111n n n n =-++裂项化简，解分式方程可得答案．【详解】由图形知：112a =⨯，223a =⨯，334a =⨯，∴ ()1n a n n =+，556=30a =⨯，∵ 123201922222020n a a a a +++⋅⋅⋅+=， ∴2222122334201920202020n +++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯， 1111121223201920202020n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭， 4038n =，故填：30；4038．【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得到()1n a n n =+，以及裂项的规律()11111n n n n =-++． 14．若分式2221x x --的值为正整数，则x =_____________．0【分析】先把分式进行因式分解然后约分再根据分式的值是正整数得出的取值从而得出的值【详解】要使的值是正整数则分母必须是2的约数即或则或1(舍去)故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简分式的值；掌握分解析：0【分析】 先把分式2221x x --进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出1x +的取值，从而得出x 的值．【详解】 2222(1)21(1)(1)1x x x x x x --==-+-+， 要使21x +的值是正整数，则分母1x +必须是2的约数， 即11x +=或12x +=，则0x =或1(舍去)，故答案为：0．【点睛】本题考查了分式的化简、分式的值；掌握分式的化简，根据分式的值为正整数．利用约数的方法进行分析是解决问题的关键．15．已知114y x-=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为______．【分析】先根据题意得出x-y=4xy 然后代入所求的式子进行约分就可求出结果【详解】∵∴x-y=4xy ∴原式=故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质正确对已知式子进行化简约分正确进行变形是关键 解析：112【分析】先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．【详解】 ∵114y x-=， ∴x-y=4xy ，∴原式=2()383112422x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---， 故答案为：112 ． 【点睛】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．16．约分：22618m n mn=-________________【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简【详解】故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变解析：3m n-【分析】 根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简．【详解】22618m n mn =-3m n -， 故答案为：3m n -． 【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．17．计算：11|13-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【分析】根据实数的性质即可化简求解【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了实数的运算解题的关键是掌握负指数幂的运算解析：4【分析】根据实数的性质即可化简求解．【详解】解：1|131(14)3--==-故答案为：4【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是掌握负指数幂的运算．18．方程11212x x =+-的解是x =_____．【分析】先将分式方程化成整式方程求解然后再检验即可【详解】解：方程的两边同乘得：解这个方程得：经检验是原方程的解∴原方程的解是故答案为：【点睛】本题主要考查了解分式方程将分式方程化成整式方程求解是解解析：3-【分析】先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．【详解】解：方程的两边同乘()()212x x +⨯-，得：221x x -=+，解这个方程，得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，∴原方程的解是3x =-．故答案为：3-．【点睛】本题主要考查了解分式方程，将分式方程化成整式方程求解是解答本题的关键，对方程的解进行检验是解答本类题的易错点．19．已知1112a b -=，则ab a b-的值是________．－2【分析】先把所给等式的左边通分再相减可得再利用比例性质可得再利用等式性质易求的值【详解】解：∵∴∴即∴故答案为：-2【点睛】本题考查了分式的加减法代数式求值解题的关键是通分得出是解题关键解析：－2【分析】 先把所给等式的左边通分，再相减，可得12b a ab -=，再利用比例性质可得()2ab a b =--，再利用等式性质易求ab a b -的值. 【详解】解：∵1112a b -=， ∴12b a ab -=， ∴()2ab b a =-，即()2ab a b =--， ∴2ab a b=--. 故答案为：-2.【点睛】 本题考查了分式的加减法，代数式求值，解题的关键是通分，得出12b a ab -=是解题关键. 20．计算：22824x x-=+-__________．【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可【详解】解：原式=故答案为：【点睛】本题考查了分式的加减属于基础题目熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键 解析：22x - 【分析】根据异分母分式的加减法则解答即可．【详解】解：原式=()()()()()()()()()()22242222222282222x x x x x x x x x x x x +++-+-+=--==++--． 故答案为：22x -． 【点睛】本题考查了分式的加减，属于基础题目，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 三、解答题21．先化简：2214(1)221x x x x •-+--+，再选一个合适的数作为x 的值代入求值． 解析：21x x +-，-2 【分析】 先把括号内通分，再把分子与分母因式分解和除法运算化为乘法运算，约分后得到原式＝21x x +-，由于x 不能取1，2，所以把可把x ＝0代入计算． 【详解】解：原式=221(2)(2)2(1)x x x x x -++-⋅-- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +-， 当x=0时，原式=-2.【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值． 22．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？解析：（1）这项工程的规定时间是30天；（2）该工程的费用为225000元【分析】（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【详解】（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据题意得：1110()1513x x x+⨯+=， 解得：x =30．经检验x =30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天；（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：111()22.530303÷+=⨯（天）， 则该工程施工费用是：()22.565003500225000⨯+=（元）．答：该工程的费用为225000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．23．先化简，再求值：（1－22a -）÷228164a a a -+-，其中a ＝0(2021)π- 解析：24a a +-；-1 【分析】 先进行括号内的分式减法，再计算分式除法，代入求值即可．【详解】 解：原式＝222a a ---÷2(4)(2)(2)a a a -+- ＝42a a --×2(2)(2)(4)a a a +-- ＝24a a +-； 当a ＝（π－2021）0＝1时， 原式＝1214+=-－1． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值和0指数，解题关键是熟练按照分式化简的顺序与法则进行计算．24．计算：（1）()()22x y x x y -++； （2）22362369m m m m m -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭．解析：（1）222x y +；（2）36m m -+ 【分析】 （1）先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可； （2）把括号内通分，并把除法转化为除法，然后约分化简即可．【详解】（1）原式22222x xy y x xy =-+++222x y =+；（2）原式=2226693336m m m m m m m --+⎛⎫-⨯ ⎪---⎝⎭ ()()()236366m m m m m --=⋅--+ 36m m -=+． 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．25．解分式方程：（1）1171.572x x += （2）21533x x x-+=-- 解析：（1）1207x =；（2）无解 【分析】 （1）先去分母，解整式方程，求解后检验是否为原分式方程的解即可；（2）先去分母，解整式方程，求解后检验是否为原分式方程的解即可．【详解】（1）解：1171.572x x +=方程两边都乘72x ， 得：72+48=7x ， 解得：1207x =， 经检验：1207x =是原方程的解； （2）21533x x x-+=--方程两边都乘（3x -）， 得：x-2-1=5（x-3），解得：3x =，检验：当3x =时，x-3=3-3=0，是增根，故原方程无解．【点睛】此题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤：去分母化为整式方程，解整式方程，检验解的情况．26．某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价6元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1680元所购该书的数量比第一次多50本，当按定价售出300本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．（1）第一次购书的进价是多少元?（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少?解析：（1）第一次购书的进价是4元；（2）该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元【分析】(1)设第一次购书的进价为x 元，列分式方程1200168050(120%)x x+=+解答； (2)根据利润=销售数量乘以每本书的利润分别求出两次购书所赚钱数，相加确定赔赚即可．【详解】解：(1)设第一次购书的进价为x 元，根据题意得：1200168050(120%)x x+=+ 解得： 4x =．经检验，4x =原方程的解，答：第一次购书的进价是4元；(2)第一次购书为12004300÷= (本)，第二次购书300+50=350(本)．第一次嫌钱()30064600⨯-= (元)，第二次嫌钱()()30064 1.25060.44 1.2240⨯-⨯+⨯⨯-⨯= (元)所以两次共赚钱600+240=840(元)，答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． 27．“圣诞节”前期，某水果店用1000元购进一批苹果进行销售，由于销售良好，该店又以2500元购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍．求该水果店第一次购进苹果的单价．解析：4元【分析】利用第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，第二次进货价格（x+1）元，利用等量关系：第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程．解之即可．【详解】解：设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，则1000250021x x ⨯=+， 解得：4x =，经检验，4x =是分式方程的根，答：该水果店第一次购买苹果的单价是4元．【点睛】本题考查可化为一元一次方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法和进价、花费钱数与水果数量之间关系，抓住第二次进货价格比第一次每千克贵了1元设未知数，抓住第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程是解题关键．28．先化简，再求值：213(1)211x x x x x +--÷-+-，其中x ＝12． 解析：1x x -，-1． 【分析】 先计算括号内，再将除法化为乘法，分别因式分解后约分，将x ＝12代入计算即可． 【详解】 解：原式=222113211x x x x x x x -+---÷-+- =2233211x x x x x x --÷-+- =2(3)1(1)3x x x x x ---- =1x x -， 当x ＝12时， 原式=121112=--． 【点睛】本题考查分式的化简求值．属于常考题型，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．。
北京第四中学八年级数学上册第五单元《分式》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．若整数a 使得关于x 的方程3222ax x-=--的解为非负数，且使得关于y 的一元一次不等式组322222010y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ）A ．23B ．25C ．27D ．282．关于分式2634m nm n--，下列说法正确的是（ ）A ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值也扩大2倍B ．分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值扩大2倍C ．分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值不变D ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变3．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m =4．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．50.2510-⨯B ．60.2510-⨯C ．72.510-⨯D ．62.510-⨯5．张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书（ ） A ．20本B ．25本C ．30本D ．35本6．计算2m m 1m m-1+-的结果是（ ） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －17．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费．设原来参加游览的学生共x 人．则所列方程是（ ） A ．18018032x x -=- B ．18018032x x -=+ C ．18018032x x -=- D ．18018032x x -=+ 8．若实数a 使关于x 的不等式组313212xx a x x +⎧+≥⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩有解且最多有4个整数解，且使关于y 的方程3233y a y y --++ 1=的解是整数，则符合条件的所有整数a 的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．19．22()-n b a （n为正整数）的值是（ ）A ．222+n n b aB ．42n n b aC ．212+-n n b aD ．42-nn b a10．若分式2-3xx 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x >32 B ．x <32 C ．x =32D ．x ≠3211．若220.3,3a b --=-=-，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c d <<< B ．b a c d <<< C ．b a d c <<< D ．a b d c <<< 12．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<二、填空题13．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人． 14．计算：()0322--⋅=________．15．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______． 16．2112111aa a a +-+--＝___________. 17．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米（0.0000000025千米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米用科学记数法表示为________千米． 18．若关于x 的方程2144416m x x x +=-+-无解，则m 的值为__________． 19．分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0，则m =______________． 20．方程2111x x x =--的解是___________． 三、解答题21．①先化简，再求值：12(1)y x y x y ⋅--+÷221y x -，其中x=y+2020．②解方程：239x --112626x x =-+．22．计算：2212yx y x y ---． 23．解答下面两题： （1）解方程：35322x x x-+=-- （2）化简：232121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭ 24．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队单独施工a 天，再由甲、乙两工程队合作______天（用含有a 的代数式表示）可完成此项工程．（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？ 25．先化简，再求值：22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中5x =． 26．解方程：312(2)x x x x -=--【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有3个整数解确定出a 的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而求出之和． 【详解】解：322222010y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，不等式组整理得：2y y a -⎧⎨≤⎩＞，由不等式组至少有3个整数解，得到-2＜y≤a ， 解得：a≥1，即整数a=1，2，3，4，5，6，…，3222ax x-=--， 去分母得：2（x-2）-3=-a ， 解得：x=72a-， ∵72a -≥0，且72a-≠2， ∴a≤7，且a≠3，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a 为1，2，4，5，6，7， 之和为1+2+4+5+6+7=25． 故选：B ． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．D解析：D 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】 解：A 、22262(26)26=23242(34)34m n m n m nm n m n m n⨯-⨯⨯--=⨯-⨯⨯--，故分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；B 、22623=23432m n m nm n m n ⨯--⨯--，故分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；C 、226212=32438m n m nm n m n -⨯--⨯-，故分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意；D 、22262(26)26=23242(34)34m n m n m nm n m n m n⨯-⨯⨯--=⨯-⨯⨯--，故分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意； 故选：D ．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．3．B解析：B【分析】先根据分式为零的条件列出关于m的不等式组并求解即可．【详解】解：∵11 mm-+=0∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．故选B．【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．4．D解析：D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】0.0000025=62.510-⨯，故选：D．【点睛】此题考查了科学记数法，注意n的值的确定方法：当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．5．A解析：A【分析】设张明平均每分钟清点图书的数量为x，则李强平均每分钟清点图书的数量为x＋10，由张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可．【详解】设张明平均每分钟清点图书x本，则李强平均每分钟清点(10)x+本，依题意，得：20030010x x=+，解得：20x，经检验，20x是原方程的解，所以张明平均每分钟清点图书20本．【点睛】本题考查了分式方程的应用．找到题中的等量关系，列出分式方程，注意分式方程一定要验根．6．A解析：A 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】原式＝211m m m m ---＝21m m m--=(1)1m m m --＝m ， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．D解析：D 【分析】设原来参加游览的学生共x 人，增加2人后的人数为（x+2）人，用租价180元除以人数，根据后来每名同学比原来少分摊3元车费列方程． 【详解】设原来参加游览的学生共x 人，由题意得18018032x x -=+， 故选：D ． 【点睛】此题考查分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．8．D解析：D 【分析】解不等式组得到a+2≤x ≤﹣3，利用不等式组有解且最多有4个整数解得到﹣7＜a+2≤﹣3，解关于a 的不等式组得到整数a 为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，再解分式方程得到y ＝12a +且y ≠﹣3，利用分式方程的解为整数且12a +≠﹣3即可确定符合条件的所有整数a 的值． 【详解】解：313212x x a x x +⎧+≥⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩①②，由①得：x ≤﹣3， 由②得：x ≥a+2， ∴a+2≤x ≤﹣3，因为不等式组有解且最多有4个整数解， 所以﹣7＜a+2≤﹣3， 解得﹣9＜a ≤﹣5，整数a 为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，方程3233y a y y --++ 1=去分母得3y ﹣a +2＝y +3， 解得y ＝12a +且y ≠﹣3， ∴12a +≠﹣3， 解得a ≠﹣7，当a ＝﹣8时，y ＝﹣3.5（不是整数，舍去）， 当a ＝﹣6时，y ＝﹣2.5（不是整数，舍去）， 当a ＝﹣5时，y ＝﹣2（是整数，符合题意）， 所以符合条件的所有整数a 为﹣5． 故选：D ． 【点睛】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了解一元一次不等式组的整数解．9．B解析：B 【分析】根据分式的乘方计算法则解答． 【详解】2422()-=nn n b b a a ． 故选：B ． 【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．10．D解析：D 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，2x-3≠0，解得，x ≠32， 故答案为：D ． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．11．D解析：D 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：21000.39a -=-=-，2193b -==--，2913c -⎛⎫=- ⎪⎭=⎝，0113d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∵10011999-<-<<， ∴a b d c <<<，故选D ． 【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．12．D解析：D 【分析】根据负整数指数幂的运算法则可得110xx-=<，根据非零数的零次幂可得0x 1=，根据平方的结果可得20x 1<<，从而可得结果． 【详解】解：∵1x 0-<<， ∴20x 1<<，0x 1=，11x 0x-=<， ∴120x x x -<<． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解．二、填空题13．6【分析】先设第一组有x 人则第二组人数是15x 人根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数-第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1根据等量关系列出方程即可【详解】解：设第一组有解析：6先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数-第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设第一组有x人．根据题意，得242711.5x x-=,解得x=6．经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．答：第一组有6人，故答案为6．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验．14．【分析】根据零指数幂定义及负整数指数幂定义解答【详解】故答案为：【点睛】此题考查实数的计算掌握零指数幂定义及负整数指数幂定义是解题的关键解析：1 8【分析】根据零指数幂定义及负整数指数幂定义解答．【详解】()03 22--⋅=118⨯=18，故答案为：18．【点睛】此题考查实数的计算，掌握零指数幂定义及负整数指数幂定义是解题的关键．15．【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可【详解】；【点睛】本解析：6627ab42ab【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次【详解】()632266627327a a b a b b--==；422422()a a b a b b----==.【点睛】本题考查了负整数指数幂，利用了积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．16．0【分析】先通分再分母不变分子相减即可求解【详解】故答案为：0【点睛】本题考查了分式加减运算的法则熟记法则是解题的关键解析：0 【分析】先通分，再分母不变，分子相减即可求解． 【详解】2211211201111a a a a a a a a -++-+-==+---． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．17．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式其中1≤|a|＜10n 为整数确定n 的值时要看把原数变成a 时小数点移动了多少位n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞1时n 是正数；当原数的绝对值＜ 解析：92.510-⨯【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】2.5微米=92.510-⨯千米， 故答案为：92.510-⨯． 【点睛】此题考查科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 等于原数左数第一个非零数字前零的个数，按此方法即可正确求解．18．-1或-【分析】直接解分式方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案【详解】解：去分母得：（x+4）+m(x-4)=4可得：（m+1）x=4m 当m+1=0时分式方程无解此时m=-1当m解析：-1或-12【分析】 直接解分式方程，再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．【详解】 解：2144416m x x x +=-+-， 去分母得：（x+4）+m(x-4)=4，可得：（m+1）x=4m ，当m+1=0时，分式方程无解，此时m=-1， 当m+1≠0时，则x=41m m +=±4， 当41m m +=4时，此时方程无解； 当41m m +=-4时，解得：m=-12， 经检验，m=-12是方程41m m +=-4的解， 综上所述：m=-1或-12． 故答案为：-1或-12． 【点睛】 此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．19．3【分析】要使分式的值为0必须分式分子的值为0并且分母的值不为0【详解】解：要使分式由分子解得：或3；而时分母；当时分母分式没有意义所以的值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件要 解析：3【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【详解】解：要使分式由分子(1)(3)0m m --=．解得：1m =或3；而3m =时，分母23220m m -+=≠；当1m =时分母2321320m m -+=-+=，分式没有意义．所以m 的值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．20．【分析】根据分式方程的性质求解即可得到答案【详解】∵∴∴∵时即分母为0故舍去∴故答案为：【点睛】本题考查了分式方程一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质从而完成求解解析：1x =-【分析】根据分式方程的性质求解，即可得到答案．【详解】 ∵2111x x x =-- ∴21x =∴1x =±∵1x =时，10x -=，即分母为0，故舍去∴1x =-故答案为：1x =-．【点睛】本题考查了分式方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解．三、解答题21．①x -y ；2020；②原方程无解．【分析】（1）根据分式的运算法则，先化简分式，再代入求值．（2）先变形，再把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：①12(1)y x y x y ⋅--+÷221y x - =1()()1y x y x y x x y x y -+-⋅⋅-+ =x-y由x=y+2020得x-y=2020；②原方程可化为：3(3)(3)x x +-—112(3)2(3)x x =-+ 方程两边同乘以2（x+3）(x-3)得：6-（x+3）=x-3解得，x=3检验：把x=3代入2（x+3）(x-3）=0所以x=3不是原方程的解，即原方程无解【点睛】本题考查了分式的化简和解分式方程，，掌握运算法则是解决本题的关键．22．1x y+ 【分析】首先把两分式通分化为同分母分式后，再按照分母不变，分子相加减的法则计算．【详解】 解：原式2()()()()x y yx y x y x y x y +=-+-+-2()()x y yx y x y +-=+-.()()x yx y x y -=+-.1x y =+.【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题关键．23．（1）1x =-是该方程的解；（2）(1)x x +．【分析】（1）去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，最后验证根即可；（2）先计算括号内的，再将除法化为乘法分别因式分解后，约分即可．【详解】解：（1）去分母得：353(2)x x --=-，去括号得3536x x --=-，移项后合并得：1x =-，经检验，1x =-是该方程的解；（2）原式=22321121x xx x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪++++⎝⎭ =2232121x x x x x x x +--÷+++ =2222112x x x x x x -+++-=2(2)(1)12x x x x x -++-=(1)x x +．【点睛】本题考查解分式方程和分式的混合运算．（1）中注意分式方程一定要验根；（2）注意运算顺序，其次除法化为乘法后才能约分．24．（1）甲工程队单独施工需30天完成，乙工程队单独施工需45天完成；（2）3185a -；（3）15天 【分析】 （1）根据“甲乙两工程队合干10天的工程量+乙工程队单独做的工作量=总工作量1”列方程求解即可；（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；（3）根据关系式：甲需要的工作费+乙需要的工作费≤61.5列出不等式求解即可．【详解】（1）设甲工程队单独施工需x 天完成，则乙工程队需(15)x +天完成，依题意得：10115x x x +=+ 去分母得：221015015x x x x ++=+∴30x =经检验，30x =是原方程的解．∴1545x +=答：甲工程队单独施工需30天完成，乙工程队单独施工需45天完成．（2）11(1)()303045a -÷+ =3185a - 故答案为：3185a - （3）设甲工程队先单独施工m 天，依题意得：32 3.51861.55m m ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭ 解不等式得：15m ≥∴甲工程队至少要先单独施工15天．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意应用前面得到的结论求解．25．21(2)x -，19【分析】先计算括号内的运算，然后进行化简，得到最简分式，再把5x =代入计算，即可得到答案．【详解】 解：22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭=221[](2)(2)4x x x x x x x +--⨯--- =22224[](2)(2)4x x x x x x x x x ---⨯--- =24(2)4x x x x x -⨯-- =21(2)x -； 当5x =时，原式=211(52)9=-． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．26．32x =【分析】 按照解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程，最后检验即可．【详解】解：方程两边乘()2x x -，得()223x x x --=． 解得32x =， 检验：当32x =时，()20x x -≠． ∴原分式方程的解为32x =． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程解题步骤是解题关键，注意：解分式方程一定要检验．。
北京市第四中学八年级数学上册第十五章《分式》经典习题(培优)
一、选择题1．使分式21x x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数C 解析：C【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围．【详解】由题意，得x 2−1≠0，解得：x≠±1，故选：C ．【点睛】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 2．若关于x 的方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >-B ．1m ≠C ．1mD ．1m >-且1m ≠ D 解析：D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出解，由解为正数确定出m 的范围即可．【详解】去分母得：m-1=2x-2，解得：x=12+m ， 由方程的解为正数，得到12+m ＞0，且12+m ≠1， 解得：1m >-且1m ≠，故答案为：1m >-且1m ≠【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．若a ＝1，则2933a a a -++的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12- B 解析：B【分析】根据同分母分式减法法则计算，再将a=1代入即可求值．【详解】2933a a a -++=293a a -+=a-3， 当a=1时，原式=1-3=-2，故选：B ．【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握因式分解及同分母分式的减法计算法则是解题的关键． 4．已知2340x x --=，则代数式24x x x --的值是（ ） A ．3B ．2C ．13D ．12D 解析：D【分析】利用等式的性质对2340x x --=变形可得43x x-=，利用分式的性质对24x x x --变形可得141x x--，从而代入求值即可． 【详解】由条件2340x x --=可知，0x ≠， ∴430x x --=，即：43x x-=， 根据分式的性质得：21144411x x x x x x x==------， 将43x x-=代入上式得：原式11312==-， 故选：D ．【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．5．若方程21224k x x -=--有增根，则k =（ ） A ．4-B ．14-C ．4D ．14B 解析：B【分析】先根据题意对原分式方程去分母，化为整式方程，然后根据增根的情况代入整式方程求解即可．去分母得：()()22421x k x --+=， 整理得：22290x kx k ---=，∵原分式方程有增根，∴240x -=，解得增根即为：2x =±，当2x =时，代入整式方程得：82290k k ---=，解得： 14k =-， 当2x =-时，代入整式方程无意义， ∴14k =-故选：B【点睛】本题考查分式方程的增根，熟记增根是使最简公分母为零的数同时是对应整式方程的解，两者缺一不可．6．下列计算正确的个数为（ ）①555•2a a a =；②5510b b b +=；③1644n n ÷=；④247••y y y y =；⑤()()23•x x x --=-；⑥()7214a a --=；⑦()()234214•a a a -=；⑧()242a a a ÷-=-；⑨()03.141π-=．A ．2B ．3C ．4D ．5C 解析：C【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，零指数幂及积的乘方可得答案．【详解】解：①5510•a a a =，故①错误；②5552b b b +=，故②错误；③2164444n n n n n ÷=÷=，故③错误；④247••y y y y =，故④正确；⑤()()23•x x x --=-，故⑤正确；⑥()7214a a --=，故⑥正确； ⑦()()23428614•a a a a a -=-⋅=-，故⑦错误； ⑧()242a a a ÷-=，故⑧错误；⑨()03.141π-=，故⑨正确，正确的有4个．故选：C ．本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，零指数幂及积的乘方，解题的关键是灵活运用运算法则．7．3333x a a y x y y x+--+++等于（ ） A ．33x y x y-+ B ．x y - C ．22x xy y -+ D ．22x y + A解析：A【分析】按同分母分式相减的法则计算即可.【详解】 333333x a a y x y x y y x x y+---+=+++ 故选：A【点睛】本题考查同分母分式相加减法则：分母不变，分子相加减.8．22()-n b a（n 为正整数）的值是（ ） A ．222+nn b aB ．42n n b aC ．212+-n n b aD ．42-n n b aB 解析：B【分析】根据分式的乘方计算法则解答．【详解】 2422()-=nn n b b a a． 故选：B ．【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．9．020*******)(0.125)8+⨯的结果是（ ）A B 2 C ．2 D ．0C解析：C【分析】根据零次幂定义，积的乘方的逆运算进行计算．【详解】020122012201211)(0.125)81(8)1128+⨯=+⨯=+=． 故选：C此题考查实数的混合运算，掌握零次幂定义，积的乘方的逆运算是解题的关键．10．若220.3,3a b --=-=-，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c d <<<B ．b a c d <<<C ．b a d c <<<D ．a b d c <<< D解析：D【分析】 直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】 解：21000.39a -=-=-，2193b -==--，2913c -⎛⎫=- ⎪⎭=⎝，0113d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵10011999-<-<<， ∴a b d c <<<， 故选D ．【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．二、填空题11．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m解析：1或4【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可．【详解】解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，整理得：（m-1）x=9，∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，把x=3代入（m-1）x=9，解得：m=4，综上，m 的值为1或4．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．12．若x ＝2是关于x 的分式方程31k x x x -+-＝1的解，则实数k 的值等于_____．4【分析】将x=2代入求解即可【详解】将x=2代入=1得解得k=4故答案为：4【点睛】此题考查分式方程的解解一元一次方程正确理解方程的解是解题的关键 解析：4【分析】将x=2代入求解即可．【详解】将x=2代入31k x x x -+-=1，得112k -=， 解得k=4，故答案为：4．【点睛】此题考查分式方程的解，解一元一次方程，正确理解方程的解是解题的关键．13．已知234a b c ==（0abc ≠，a b c +≠），则=+a b c a b c -+-_____．3【分析】设=k 用k 表示出abc 的值代入代数式计算化简即可【详解】设=k 则a=2kb=3kc=4k ∴故答案为：3【点睛】此题考查分式的化简求值设设=k 用k 表示出abc 的值是解题的关键解析：3【分析】 设234a b c ===k ，用k 表示出a 、b 、c 的值，代入代数式计算化简即可． 【详解】 设234a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， ∴2343=3+234a b c k k k k a b c k k k k-+-+==-+-， 故答案为：3．【点睛】 此题考查分式的化简求值，设设234a b c ===k ，用k 表示出a 、b 、c 的值是解题的关键． 14．若分式方程13322a x x x--=--有增根，则a 的值是________．【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程有增根求出x 的值代入整式方程计算即可求出a 的值【详解】去分母得：1-3x+6＝-3a+x 由分式方程有增根得到x−2＝0即x ＝2把x ＝2代入得：1-6+6解析：13【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值．【详解】去分母得：1-3x+6＝-3a+x ，由分式方程有增根，得到x−2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入得：1-6+6＝-3a+2，解得：a ＝13， 故答案为：13． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．15．若关于x 的方程1322m x x x-+=--的解是正数，则m =____________．m ＜5且m≠1【分析】将分式方程去分母转化为整式方程表示出x 根据x 为正数列出关于m 的不等式求出不等式的解集即可确定出m 的范围【详解】解：关于的方程的解是正数且解得m ＜5且m≠1故答案为：m ＜5且m≠解析：m ＜5且m≠1【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，表示出x ，根据x 为正数列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可确定出m 的范围．【详解】 解：1322m x x x-+=-- ()m+32=-1-x x5-m x=2关于x 的方程1322m x x x -+=--的解是正数， 5-m 02>且5-m 22≠ 解得m ＜5且m≠1，故答案为：m ＜5且m≠1【点睛】此题考查了分式方程的解，得出关于m 的不等式是解题的关键，注意任何时候考虑分母不为0．16．计算：22311x x x -=+-____________．【分析】根据通分可化成同分母分式根据同分母分式的加减可得答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式加减运算的法则熟记法则是解题的关键 解析：323x x x-- 【分析】根据通分，可化成同分母分式，根据同分母分式的加减，可得答案．【详解】()()()()()()()3313323111111x x x x x x x x x x x x x x x x-----==+-+-+--． 故答案为：323x x x--． 【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．17．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．【分析】根据题中的新定义化简求出分式方程的解检验即可【详解】当＜时＞2方程变形得：＝−2去分母得：1＝解得：（不符合题意舍去）；当＞即＜2方程变形得：＝−2去分母得：3＝解得：经检验是分式方程的解综 解析：4x =-【分析】根据题中的新定义化简，求出分式方程的解，检验即可．【详解】 当12x -＜32x -时，x ＞2，方程变形得：12x -＝52x x --−2， 去分母得：1＝()522x x ---，解得：=2x -（不符合题意，舍去）； 当12x -＞32x -，即x ＜2，方程变形得：32x -＝52x x --−2， 去分母得：3＝()522x x ---，解得：4x =-，经检验4x =-是分式方程的解，综上，所求方程的解为4x =-．故填：4x =-．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．18．约分：22618m n mn=-________________【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简【详解】故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变 解析：3m n-【分析】根据分式的基本性质:分子和分母同时除以6mn 化简．【详解】 22618m n mn=-3m n -， 故答案为：3m n -． 【点睛】此题考查分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．19．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．【分析】先算乘方再算乘除即可得到答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查分式的化简求值属于基础题 解析：26y x- 【分析】先算乘方，再算乘除即可得到答案．【详解】 解：3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭ 6234483y x x y=-⋅ 26y x=-． 故答案为：26y x-． 【点睛】本题考查分式的化简求值，属于基础题．20．方程2111x x x =--的解是___________．【分析】根据分式方程的性质求解即可得到答案【详解】∵∴∴∵时即分母为0故舍去∴故答案为：【点睛】本题考查了分式方程一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质从而完成求解解析：1x =-【分析】根据分式方程的性质求解，即可得到答案．【详解】 ∵2111x x x =-- ∴21x =∴1x =±∵1x =时，10x -=，即分母为0，故舍去∴1x =-故答案为：1x =-．【点睛】本题考查了分式方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解．三、解答题21．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？解析：（1）这项工程的规定时间是30天；（2）该工程的费用为225000元【分析】（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【详解】（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据题意得：1110()1513x x x+⨯+=， 解得：x =30．经检验x =30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天；（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：111()22.530303÷+=⨯（天）， 则该工程施工费用是：()22.565003500225000⨯+=（元）．答：该工程的费用为225000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．22．先化简，再求值：213(1)211x x x x x +--÷-+-，其中4x =-． 解析：1x x -；45【分析】 分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．【详解】 解：213(1)211x x x x x +--÷-+- =2221(1)1(1)3x x x x x x -+-+-⨯-- =222111(1)3x x x x x x -+---⨯-- 2231(1)3x x x x x --=⨯-- 2(3)1(1)3x x x x x --=⨯-- 1x x =- 当4x =-时，原式441415x x -===---． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．23．列方程解应用题：为了响应绿色环保的倡议，我县教体局提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”的口号．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为800克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为320克，已知每页A4薄型纸比A4厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量（墨的质量忽略不计）．解析：2克．【分析】设A4薄型纸每页的质量为x 克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．【详解】解：设A4薄型纸每页的质量为x 克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克， 根据题意，得：80032020.8x x =⨯+， 解得 3.2x =经检验 3.2x =是原分式方程的解，且符合题意．答：例子中的A4薄型纸每页的质量为3.2克．【点睛】本题考查分式方程的应用，掌握题目中等量关系是关键，注意分式方程结果要检验． 24．在某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要时间比规定时间早25天，乙单独完成这项工程需要时间比规定时间多20天．若由甲乙两队先合作10天，剩下的工程由乙队单独做，正好在规定时间内完成（既没提前，也没延后）．（1）求规定时间是多少天？（2）乙队单独施工2天后，甲队开始加入合作，合作时，甲队的人数增加了10%，每个人的效率提高了3a %，同时乙队的人数增加了a %，每个人的效率提高了40%，结果合作20天完成了任务，求a 的值（假设每队每人的效率相等）．解析：（1）70天；（2）a=10 ．【分析】（1）设规定时间为x 天,根据题意可以得到关于x 的分式方程，解方程并检验即可得到解答；（2）由（1）可以得到甲乙两队每天的效率分别为114590，，因为效率与人数成正比，所以人数增加了多少，效率也增加了多少，根据这个可由已知列出关于a 的一元一次方程，解方程即可得到a 的值．【详解】解：（1）设规定时间为x 天,则由题意可得：()11110101202520x x x x ⎛⎫+⨯+-⨯= ⎪+-+⎝⎭， 解之得：x=70，经检验，x=70是原方程的解且符合题意，∴规定时间是70天 ．答：规定时间是70天 ．（2）由（1）可知甲乙两队每天的效率分别为114590，，∴由题意可得：()()()()111220110%13%1%140%1904590a a ⎡⎤⨯+⨯⨯+++⨯++=⎢⎥⎣⎦， 解之可得：a=10．【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的综合运用，熟练掌握分式方程与一元一次方程的解法及工程问题中的数量关系是解题关键．25．先化简，再求值：22141244x x x x x ，其中3x =-解析：32x +，3-． 【分析】 先算括号里面的，再算除法，最后将x 的值代入进行计算即可．【详解】 解：22141244x x x x x 22212=222x x x x x x x23=22x x x 23=22x x x 3=2x当3x =-时，原式3=332． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．26．计算：0212|( 3.14)()2π---+-解析：5【分析】先计算绝对值、0指数、负指数，再加减．【详解】解： 0212|( 3.14)()2π---+-214=+5=【点睛】本题考查了包含绝对值、0指数和负指数的实数计算，准确应用各种法则，熟练计算是解题关键．27．“圣诞节”前期，某水果店用1000元购进一批苹果进行销售，由于销售良好，该店又以2500元购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍．求该水果店第一次购进苹果的单价．解析：4元【分析】利用第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，第二次进货价格（x+1）元，利用等量关系：第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程．解之即可．【详解】解：设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，则1000250021x x ⨯=+， 解得：4x =，经检验，4x =是分式方程的根，答：该水果店第一次购买苹果的单价是4元．【点睛】本题考查可化为一元一次方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法和进价、花费钱数与水果数量之间关系，抓住第二次进货价格比第一次每千克贵了1元设未知数，抓住第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程是解题关键．28．计算（1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭； （3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333x x x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭． 解析：（1）5；（2）-42；（3）222xy x y +；（4）67x ．【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）根据负指数整数幂、零指数幂、绝对值的意义及乘方，计算即可；（3）去括号，然后合并同类项即可；（4）根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：（1）2152224-⨯+÷=115522-+=； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭=271161-⨯-+ =2716142--+=-；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦ =22223242xy x y x y xy +-- =222xy x y +； （4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭ =6633192727x x x x -+-⋅ =67x ．【点睛】 本题主要考查有理数的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则．。
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分式及其性质周末练习
编稿：龚剑钧审稿：李岩责编:高伟
分式及其性质
填空题
1．分数的基本性质为：________________________.
2．把下列分数化为最简分数：(1)________；(2)________；(3)________.
3．分式的基本性质为：________________，用字母表示为：________________.
4．若，则的值等于________.
5．计算________________.
6．，则？处应填上________，其中条件是________.
选择题
7．不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以().
A．10B．9 C．45D．90
8．下列等式：①；②③；
④中，成立的是().
A．①②B．③④C．①③D．②④
9．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的的系数为正数，正确的
是().
A．B．C．
D．
10．分式，，，中是最简分式的有().
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．根据分式的基本性质，分式可变形为().
A．B．C．D．
12．下列各式中，正确的是().
A．；B．
C．D．
13．下列各式中，正确的是().
A．B．C．
D．
14．分式，，的最简公式分母为().
A．B．C．D．
解答题
15．把下列各组分数化为同分母分数：
(1)，，；(2)，，.
16．约分：
(1)；(2).
17．通分：
(1)，；(2)，.
18．已知，求的值.
19．已知，求的值.
20. 已知，求的值.
参考答案
填空题
1．分数的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.
2．(1)(2)(3)2
3．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
，
4．
5．
6．,
选择题
7．D8．A 9．D10．C 11．C12．A13．D 14．B 解答题
15．(1)，，(2)，，
16．(1)(2)
17．(1)，(2)，
18．
19．7
20．。