几种常见的分布知识讲解

一、常见数据类型

在正式的解释分布之前，我们先来看一看平时遇到的数据。数据可大致分为离散型数据和连续型数据。

离散型数据

离散型数据顾名思义就是只取几个特定的值。例如：当你掷骰子的时候，结果只有1,2,3,4,5,6，不会出现类似1.5,2.5。

连续型数据

在一个给定的范围内，连续型数据可以取任意值。这个范围可以是有限的或者是无穷的。例如：一个人的体重或者身高，可以取值54kg,54.4kg,54.33333kg等等都没有问题。

下面就开始介绍分布的类型。

二、分布类型

伯努利分布（Bernoulli Distribution）

首先从最简单的分布开始，伯努利分布实际上是一个听起来最容易理解的分布。伯努利分布一次实验有两个可能的结果，比如1代表success及0代表failure。随机变量X X一个取值为1并代表成功，成功概率为p p，一个取值为0表示失败，失败概率为q q或者说1−p1−p。

这里，概率分布函数为p x(1−p)1−x px(1−p)1−x，其中x∈(0,1)x∈(0,1)，我们也可以写成如下形式：

P(x)={1−p，p，x=0x=1P(x)={1−p，x=0p，x=1

成功和失败的概率没必要相同，也就是没必要都是0.5，但是这俩概率加和应该为1，比如可以是下面的图：

这个图就是p(success)=0.15，p(failure)=0.85p(success)=0.15，p(failure) =0.85。

下面说一下随机变量的期望，一个分布的期望就是这个分布的均值。服从伯努利分布的随机变量X X的期望值就是：

E(X)=1∗p+0∗(1−p)=p E(X)=1∗p+0∗(1−p)=p

服从伯努利分布的随机变量的方差是：

V(X)=E(X2)−[E(X)]2=p−p2=p(1−p)V(X)=E(X2)−[E(X)]2=p−p2=p(1−p)

还有许多伯努利分布的例子，比如说明天是否会下雨，今天会不会去健身，明天乒乓球比赛是不是会赢。

均匀分布（Uniform Distribution）

当你掷骰子的时候，结果出现1到6中的任何一个，而任何一个结果出现的概率都是相同的，这就是均匀分布最原始的雏形。你可能看出来了，与伯努利分布不同的是，这n n个出现的结果的概率都是相同的。

一个随机变量X X为均匀分布是指密度函数如下：

f(x)=1b−a−∞

下图为均匀分布的密度图的样子：

咱们可以看出来均匀分布的密度图是个矩形，这也就是为啥均匀分布的昵称是矩形分布。

对于均匀分布来说a a和b b都是参数，分布的参数。

例子：假如花店每日销售的花束数量均匀分布，最多40只，最少10只。

我们来尝试计算每日卖花数量在15到30之间的概率。由于随机变量所有可能发生的事件的概率和为1，并且卖花数量是均匀分布，所有在15到30之间的概率为(30−15)∗1(40−10)=0.5(30−15)∗1(40−10)=0.5。类似的对于每日卖花数量大于20发生的概率就是1−(20−10)∗1(40−10)=231−(20−10)∗1(40−10)=23。若随机变量X X服从均匀分布，那么它的均值和方差分别为：

Mean->E(X)=(a+b)2E(X)=(a+b)2

Variance->V(X)=(b−a)212V(X)=(b−a)212

标准的均匀分布的密度参数为a=0a=0和b=0b=0，所以对于标准的均匀分布的密度函数为：

f(x)={1，0，0≤x≤1otherwise f(x)={1，0≤x≤10，otherwise

二项分布（Binomial Distribution）

我们假定一个随机变量，比如X X，表示你赢得比赛的次数。X X可能的值是什么？它可以是任何数字，赢得比赛的次数。

如果就两个可能的结果。成功，失败。因此，成功概率= 0.5，失败的概率可以容易地计算为：q=p−1=0.5q=p−1=0.5。

只有两种结果是可能的分布，如成功或失败，以及所有试验的成功和失败概率相同的情况称为二项分布。

发生结果的可能性不同时，前面的例子如果实验成功的概率是0.2，那么失败的概率可以很容易地计算出来，q=1−0.2=0.8q=1−0.2=0.8。

每次试验都是独立的，因为之前的结果并不决定或影响当前的结果。只有两次重复n次的可能结果的实验称为二项式。二项分布的参数是n n和p p，其中n n是试验的总数，p p是每个试验中成功的概率。

基于上述解释，二项分布的性质是：

1. 每次实验独立

2. 试验中只有两种可能的结果- 成功或失败。

3. 共进行了n n次相同的试验。

4. 所有试验的成功和失败的概率是相同的。（试验是相同的。）

二项分布的数学表达式由下式给出：

P(x)=n!(n−x)!x!p x q n−x P(x)=n!(n−x)!x!pxqn−x

一个二项分布图，其中成功的概率不等于失败的概率长这样：

成功概率与失败概率相等，长这样：

二项分布均值和方差：

Mean -> μ=n∗pμ=n∗p

Variance -> Var(X)=n∗p∗q Var(X)=n∗p∗q

正态分布（Normal Distribution）

正态分布可以表示宇宙中大多数的事件发生情况。如果任何分布具有以下特征，则称为正态分布：

1. 均值、中位数、众数在一个分布中取相同的值；

2. 分布曲线关于x=μx=μ对称；

3. 曲线下面的面积总和为；

4. 中心位置的左半边和右半边对应位置的概率取值相同。

正态分布与二项分布有很大的不同。但是，如果试验次数接近无穷大，则形状将非常相似。

服从正态分布的随机变量X X的密度函数为：

f(x)=12πσ−−−√e{−12(x−μσ)2}−∞

服从均匀分布的随机变量X X的均值和方差，如下：

Mean -> E(X)=μE(X)=μ

Variance -> Var(X)=σ2Var(X)=σ2

这里μμ(mean)和σσ(standard deviation)是两个参数，随机变量X∼N(μ,σ)X ∼N(μ,σ)的不同取值的变化图如下：

标准正态分布的均值为0，方差为1，密度图如下：

f(x)=12π−−√e−x22∞