参数不等式的求解策略刍议
高中数学含参数不等式问题的解题策略(一)
高中数学含参数不等式问题的解题策略 （一）周六晚8：00---10：00 周日下午3：30---5：30与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型：第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，求参数的范围. 其中的解题常见的策略有：反客为主法，利用函数图像的凹凸性，几何意义法，，分离参数法，以及纯一元二次函数的图像分析法（着重从开口方向、与y 的交点、对称轴、及“△”来分析）数形结合法等方法。
如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。
【问题1】求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx+a 2-1≤0的解集分别是：(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．【问题2】设()()2212log 210,0x x x y a ab b a b ⎡⎤=+-+>>⎣⎦，求使y 为负值的x 德取值范围.【问题3】解关于x 的不等式)10(12≠>->-a a a a a x x 且【问题4】． 解关于x 的不等式322---x x x a ＞0 2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 【问题5】．(2008广东卷,理)设a ∈R 若函数3ax y e x =+\x ∈R 有大于零的极值点，则a ∈____【问题6】．设{}31<<=x x A ,又设B 是关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤+-≤+-052,0222bx x a x x 的解集, 试确定b a ,的取值范围使B A ⊆【问题8】．(2009·湖北省八校高三第一次联考)设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是___【问题9】(2005江西卷，理，文)已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程 ()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x .(1）求函数f (x )的解析式（2）设1>k ，解关于x 的不等式x k x k x f --+<2)1()( 【问题10】己知三个不等式：①x x -<-542 ②12322≥+-+x x x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。
求解不等式恒成立中参数问题的五大策略
ｆ ａ ＜ ０ ，
【 △＝ ６ — ４ ∞＜ ０ ．
．
策 略一 ：利 用一 次 函数 的性 质
若 已 ） 一 ＋ ６ ＞ ０ 对 叵成 ’
例２ ． 已知关于 的二次不等式 （ Ｊ ｝ － ５ ） （ １ ） ｘ ＋ ３ ＞ ０的解集为 Ｒ． 则实数 ｋ的取值范围为 解 析 ：当 ． ＿ ５ ＝ ０时 ．要使原不等式 的解 集为
解析 ：如果将两边分别设成两个 函数 ｙ ｌ ＝ （ Ｘ 一 １ ） 和
因为 当 ≥ｅ时 ， （ — ｌ ｎ ｘ 一 １ ） ＝ １ 一 ＞ ０ ， 所 以 — ｌ 眦一
１ ≥ｅ — ｌ ｎ ｅ －ｌ ＝ ｅ 一 ２ ＞ ０ ．
所 以 （ ） ＞ ０ ， 所以＾ （ ） （ ｅ ） ＝ ＿， 所 以 ｎ≤一 旦 ＿ ＿ ．
ｅ－ｌ ｅ－Ｉ
若已
）
删
’
＞ 乱 一
Ｒ， 则必有一次项系数也为零 ，且常数项大于零．
ｆ － ５ ＝ Ｏ．
例１ ． 对 于满 足 Ｏ ≤ｐ ≤４的实数 Ｐ， 使
３恒成立 的 的取值范 围是 ．
即｛ ４ （ １ － ｋ ） ＝ ０ ， 解得ｋ ＝ １ ．
１ ３ ＞ ０ ，
） ＝ Ｉ
一 １ 厂
．
Ｄ ／ ２
然后观察两个 图像 （ 尤其要注意交点处和临界处 ）的 位 置关 系 ，进而列 出含参数 的不等式． 例５ ． 不 等式 （ 一 １ ） ＜ 】 ｏ 在 ∈（ １ ， ２ ） 上恒 成立 ，
则 ａ的取值 范围为 ．
ｘ ＞ ３ 或 １ ， 所以 的取值范围是（ 一 ， 一 １ ） Ｕ（ ３ ， ＋ ） ．
含参数不等式的解题方法与技巧
含参数不等式的解题方法与技巧含参数不等式的解题方法与技巧引言含参数的不等式是数学中常见的一种形式，它具有一定的复杂性，需要一些解题的方法和技巧来求解。
本文将详细介绍一些解题的技巧，帮助读者更好地理解和解决含参数的不等式问题。
技巧一：确定参数范围在解决含参数不等式的问题时，首先需要确定参数的取值范围。
通过分析不等式中的条件和限制，可以推导出参数的范围。
参数的取值范围决定了不等式的解集的性质，是解题的重要依据。
技巧二：代入法代入法是解决含参数不等式问题的一种常用方法。
通过选择合适的值代入参数，并观察不等式的变化情况，可以得到不等式解集的一些性质或范围。
多次尝试不同的取值，可以逐步缩小解集的范围。
技巧三：证明法证明法是解决含参数不等式问题的一种常见方法。
通过对不等式进行推导和变形，运用数学分析的知识，可以得到不等式解集的一些性质或范围。
使用证明法需要具备较强的数学推理能力和逻辑思维能力。
技巧四：图像法图像法是解决含参数不等式问题的一种直观方法。
通过将不等式表示为图形，并分析图形的特征和变化趋势，可以得到不等式解集的一些性质或范围。
图像法可以帮助读者更好地理解和直观地判断不等式的解集。
技巧五：数学归纳法数学归纳法是解决含参数不等式问题的一种有效方法。
通过对不等式进行递推和归纳，可以得到不等式解集的一些性质或范围。
数学归纳法需要具备较强的数学推理能力和逻辑思维能力。
技巧六：一般化方法一般化方法是解决含参数不等式问题的一种常用技巧。
通过对不等式进行变量替换和常数化简，可以将复杂的不等式问题转化为简化的形式，从而更好地进行求解。
一般化方法可以帮助读者更好地理解不等式的本质和规律。
总结解决含参数不等式问题需要综合运用多种技巧和方法。
通过确定参数范围、代入法、证明法、图像法、数学归纳法和一般化方法等，可以更好地解决含参数不等式问题，得到准确的解集和结论。
挖掘不同方法的优势，结合实际问题的特点，能够更高效地解决含参数不等式问题，提高数学解题的能力。
不等式中恒成立问题的参数范围求解策略
解 使。ｌ ｌ／ｍ， Ｘ［，】 析要 ｌ｝ ｏ￣＋ 当 Ｊ ｇ ≤ｇ－生 Ｅ０二 ｘ１ 一 Ｌ１ １
时恒成立， 只要、 ／
时 ｍ 必 须 大 于 ０ ．
Ｖ ｌ ～
例 ５ 设 函数
） ｎ ＋ ＝Ｉ ． 若 ∈ｆ ， ］ 厂 ）≤ １ ２ 时＿ （
．
只要 ＿ 一 ） 厂 ２ ＜０与 ｌ ２ ＜０同 时 成 立 即 可 ． 得 的 取 （ 厂 ） （ 可
的极 限值 就 可 以 了． 种 方 法 就 是 构 造 函 数 求 最 值 法 ． 谓 这 所
构 造 的 函数 可 以是 ｇ（ ） ｘ．
￣
（＋ｆＴ Ｔ． －Ｎ－＋ ） ｌ ，Ｖ ２一 ｆＩ
【 键 词 巨成 立 ； 数 范 围； 略 关 参 策
在含有两个变量 的不等式恒成立 的问题 中． 往会 出 往 现 已知 其 中一 个 变 量 的 范 围 ， 确 定 另 一 个 变 量 的 范 围 要 的问 题 ． 么如 何 考 虑 解 答此 类 问题 呢 ？ 那 一方 面解 答 要 看 题 目的特 点 ， 一 方 面 还 要 注 重 解 答 策 略． 面 就 数 学 中常 见 另 下 的恒 成 立 问 题 中 参数 范 围 的求 解 策 略 作 一 归 纳 ． １ 如 果 参 数 为 ｍ，能 把 ｍ 表 示 成 关 于 的 不 等 式 ． ． 即 形 如 ｍ￣ｇ ｘ （ ｍ≤ｇ ） （ ）或 （ ） 的形式 ， 么 只要 ｍ 不 小 于 ｇ ｘ 那 （） 的 最大 值 （ ｍ 不 大 于 ｇ ｘ 的 最 小 值 ） 可 求 得 参 数 的 范 或 （） 即 围． 时 如果 ｇ ｘ 在 特定 的范 围 内取 不 到 最 值 ， 有 （） 只要 考 虑 它
含参数的一元二次不等式的解题策略(论文)
含参数的一元二次不等式的解题策略湖南省祁东县第二中学 贺德元解含参数的一元二次不等式问题，是一个难点问题，通常情况下，均需分类讨论，学生在解题过程中往往不知道如何分类讨论。
本人在教学过程中发现，一般地，一元二次不等式的解集（以ax 2+bx+c>0为例）常与二次项系数a ﹑判别式Δ及两根x 1,x 2的大小等因素有关。
其中系数a 影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，两根x 1,x 2的大小关系到解集最后的次序；确定相关因素后再合理分类，确保不重不漏。
下面举例说明：一、 按方程02=++c bx ax 的两根21,x x 的大小来分类若二次项系数不含参数或所含参数的符号确定，并且能能分解因式，则对应方程有实根，其解法比较容易，只讨论两个实根的大小，分212121,,x x x x x x <=<例1 解不等式06522>+-a ax x分析 此不等式()2225240a a a ∆=--=≥，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a f ，即23a a p 时，原不等式解集为{}a x a x x 23|<>或； 当a=0，即2a=3a 时，原不等式解集为{|0}x x ≠当0<a 时，即23a a f ，原不等式解集为{}|23x x a x a ><或例2 解不等式2(1)0 x x a a ---f分析：此不等式可以分解为：( x+a-1)(x-a)﹥0，故对应的方程必有两解，则只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：( x+a-1)(x-a)﹥0， ∴当12a >，原不等式的解集为{}|1x x a x a <->或； 当12a =，即a=1-a 时，原不等式解集为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； 当12a p,即a ﹤１-a 时, 原不等式解集为{}|1x x a x a <>-或。
含参数不等式恒成立问题的求解策略
＋（ ａ ） ２ 一３ ≤０恒 成立
§
＜ ６在 ∈［一 ， ］ ２ ２ 时恒成立．
ｆ ０
【。 （ａ １ 一ａ２ 一 ） ０ Ａ ＝ ３ 一 ） ４（ａ １≤
ｆ ２ 显然 ｎ ） ａ＜ （ ≠２
由 ［ ２ ］ 一 ＋ ∈÷ ， ， ～ ＋ ＞ 于 ∈ 一， 时， １ ［ ７ 即 １ ２ ］
ｎ ≤Ｏ ）
对 于 二 次 函 数 ＿ ）＝ 厂 （ 似 ＋ ＋ｃ ａ ， （ ≠Ｏ ∈Ｒ） 有 ，
匣 成 立 甘
…
…
匣成 立 甘
ｌ ＞ 对 ∈ 厂 ）０ （ Ｒ恒成立舒｛
Ｌ ＜０ Ａ
ｒ ＜０ ０
（ ＜ 对 ∈Ｒ恒 ） ０
成立甘 ｛
．
Ｌ ＜０ Ａ
例 ３ 已知 二 次 函数 ＿ ） 足 Ｌ ２ ０ ： 厂 满 厂 （ （一 ）＝ ， 且 ３ ５ （ ≤２ ＋ ＋７对 一 切 实 数 都成 立． ＋ ≤厂 ） ７ （ ） － 一１ 的值 ；２ 求 ＿ ） １求 厂 （ ） （ ） 厂 的解 析式 ． （
Ｉ 羹
方 法点拨
ｌ
歉 攀
卿枉线
含参不等式 的求解是 高考 、 竞赛 中的热点 问题 ， 而这类 习题 中含参数不 等式恒 成立 的问题 ， 方法 灵活多 样 ， 不 少 令 同学望而生畏 ， 束手无策． 本文将结 合实例 ， 谈谈这 类习题 的
常 见求 解 策 略 ． １ 利 用 一 次 函数 的 性 质 ．
ｆ 成甘 ≥ 恒立 ＞， 一。。０ —Ｉ３＞，得÷＜ ＜ ㈩…噎立 ｆ 成骨 ０即１ｌ；＞且１３ｇ ｏ解 Ⅱ 沤 ｇ 。Ⅱ
ｍ）＜ ０
ｎ ）＜０
２ 利 用二 次 函 数 的 判 别 式 ．
含参数不等式的解题方法与技巧
含参数不等式的解题方法与技巧
解答含参数不等式问题，首先需要将含参数的不等式转换为等式，并求出参数使得等式成立的条件。
这一步骤叫做"消参数"，可以简化问题，使得我们能够运用一般的不等式解题技巧。
在消参数之后，我们需要对原式排列，进行一部分步骤的化简和转化，特别是通分、合并同类项这一类基础的代数技巧，目的是使原式得到简化。
例如：在某些情况下，含参不等式可以通过分子分母通分等方式化为标准形式，即化为形如ax
+ b(当含参数为a，而x是不等式中的未知数)的形式，这样便于接下来的求解。
接下来，寻找不等式的关键点。
关键点包括：不等式转化为等式时的解、函数的极值点、参数的取值范围等。
这些关键点分隔出了不等式解的可能区间，通过分析每一个区间的符号，可以确定最终的解集。
另外，对于含参的复杂不等式，可能需要运用一些数学理论与定理来进行求解，如中值定理、拉格朗日定理等。
这些理论定理虽然不是常常使用，但会在求解一
些更复杂问题时起到决定性的作用。
对于求解结果的检验也是解题的一部分，可以帮助我们验证所得结果是否正确，避免求解过程中的误解。
以上就是解题含参数不等式的常见步骤和方法，灵活运用这些方法和技巧，对于含参数不等式问题的解答有着实质性的帮助。
回答问题的同时，请你们也思考并问题含参数不等式问题的特性，分析它与其他等式、不等式问题的差别和联系，
以丰富对数学本质和方法的理解。
含参数的方程、不等式的问题解题策略
含参数的方程、不等式的问题解题策略含参数的方程、不等式的问题是历年高考常考的题型，由于含有参数对很多同学来说感到困难重重，一重困难是选择什么样的解题方法（如2012年山东卷第12题)，二重困难是含参数问题涉及到的分类讨论(如2017年全国卷1第21题)，根据我多年的研究发现，（1）这类题目解题方法有规可循，基本方法有：分离参数构建函数，不分离参数构建函数，半分离参数构建函数，总之，如何构建函数是解题的关键。
（2）很多求参数取值范围的问题，其实有时可以避开分类讨论这个陷阱。
本文就结合实例谈谈这类问题的求解策略。
一、分离参数构建函数：若方程或不等式中的参数容易分离出来，即参数分离 在方程或不等式的一边，另一边是关于自变量的函数，分离后的函数不复杂，容易求出导函数，容易研究函数的性质，就选择分离参数法构建函数。
例1（2017年全国高考卷1第21题）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+-- 若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.分析：2f(x)=ae (-2)e x x a x +-有两个零点，转化为方程2(2)0x x ae a e x +--=有两个根先分离参数22a x x x e x e e +=+，令222(1)(21)()g ()(1)x x x x x x x e x e x e g x x e e e e +-+-+'==++，设1x h x -+（x)=-e ，则()h x 递减，(0)0h =当(,0)x ∈-∞时()0h x > ()0g x '∴>()g x ∴递增，当(0,)x ∈+∞时，()0,()0,()h x g x g x '<∴<∴递减，所以当x →+∞时()0g x →,当x →-∞时，g(x)-→∞如图01a ∴<<评析：查阅高考评分标准，看出对参数a>0共分了三种情况讨论：（1）a=1（2）a>1（3）0<a<1，其中0<a<1时，要用函数零点的判定定理，找区间端点时非常困难，绝大多数同学完成不了。
【高考数学二轮复习-经典微专题】第15讲 含参数不等式的求解策略-解析版
第15讲 含参数不等式的求解策略知识与方法高中数学中解不等式包括解一元二次不等式、可分解因式的高次不等式与分式不等式、含绝对值符号的不等式,无理不等式、指数对数不等式等,每一类不等式的求解过程都有其本身特有的规律可循,关键是不等式的同解变形,如果上述不等式中还含有参数,则解题难度肯定会增大,技巧性也会加强.本讲我们探讨含参数不等式的求解策略,讲两种核心题型:(1)解含参数不等式的技巧以及应该注意的问题;(2)已知含有参数的不等式成立的条件,求参数的范围.典型例题【例1】解下列关于x 的不等式. (1)()()2110ax a x a -++<∈R .(2)()2540ax x a -+<∈R .【解析】(1)若0a =,则原不等式等价于10x -+<,解得1x >;若0a <,则原不等式等价于()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,解得1x a <或1x >; 若0a >,则原不等式等价于()110.x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭(1) (i)当1a =时,11.a=∴不等式(1)的解集为∅; (ii)当1a >时,1 1.a <∴不等式(1)的解为11x a<<; (iii)当01a <<时,1 1.a >∴不等式(1)的解为11x a<<.综上所述,当0a <时,解集为1x x a⎧<⎨⎩∣或}1x >;当0a =时,解集为{1}x x >∣;当01a <<时,解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣;当1a =时,解集为∅;当1a >时,解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ (2)若0a =,则原不等式等价于540x -+<,解得45x >;若0a >,则2516a ∆=-.(i)25160a ∆=->,即25016a <<时,x <<;(ii)25160a ∆=-=,即2516a =时,原不等式等价于25204x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,此时无解；若25160a ∆=-<,即2516a >时,不等式的解集为∅.若0a <,则25160a ∆=->,不等式的解为x <或x >.(ii)25160a ∆=-=,即2516a =时,原不等式等价于25204x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,此时无解；若25160a ∆=-<,即2516a >时,不等式的解集为∅.若0a <,则25160a ∆=->,不等式的解为52x a +<或52x a>.综上所述,当0a <时,解集为∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;当0a =时,解集为4,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 当25016a <<时,解集为⎝⎭当2516a ≥时,解集为∅. 【例2】解关于x 的不等式()222 2.a x a x a+--≤-【解析】()2222a x a x a+--≤-等价于20ax x a -≤-,等价于()()20,0.ax x a x a ⎧--≤⎨-≠⎩ (i)当0a =时,原不等式化为20x -≤且0x ≠,即0x >;(ii)当0a >时,原不等式化为()20,0x x a a x a ⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≠⎩若2a a =,即a =原不等式化为(20,x x ⎧≤⎪⎨⎪≠⎩此时无解;若2a a <,即a >解集为2xx a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭∣; 若2a a >,即0a <<解集为2xa x a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣. (iii)当0a <时,原不等式化为()20,0,x x a a x a ⎧⎛⎫--≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≠⎩若2a a =即a =原不等式化为(20,x x ⎧+≤⎪⎨⎪≠⎩此时无解. 若2a a <,即0a <<,解集为2xx a ⎧≤⎨⎩∣或}x a >; 若2a a>,即a <解集为{xx a <∣或2x a ⎫>⎬⎭.【例3】关于x 的不等式220x ax a -+<的解集中恰有两个整数,则实数a 的取值范围是________. 【解析】【解法1】设()22f x x ax a =-+.判别式280,0a a a ∆=->∴<或8a >.(i)当8a >时,对称轴为42ax =>,又()41620f a =-<. 故有()()50,60,f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩(ii)当0a <时,对称轴为02ax =<,又()020f a =<, 故有()()10,20,f f ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩综上,a 的取值范围是113aa ⎧-≤<-⎨⎩∣或2593a ⎫<≤⎬⎭. 【解法2】原不等式可化为()22x a x <-，令()2,2y x y a x ==-，并画出函数的图像.(1)当0a >时,直线与拋物线切于点()4,16,此时8a = 需考查点()()()3,9,6,36,5,25与点()2,0的连线的斜率.25259259,9523323a =<=∴<≤-- (ii)当0a <时,考查点()()()1,11,1,2,4--、与点()2,0连线的斜率.111411,112312223a =->==-∴-≤<------综上,a 的取值范围是113aa ⎧-≤<-⎨⎩∣或2593a ⎫<≤⎬⎭. 【解法3】原不等式可化为()22x a x <-，(i)当2x >时,()242422x a x x x >=-++--. 设()4242f x x x =-++-可得()f x 在区间()2,4内单调递淢,在区间()4,∞+内单调递增,因此()()()()4536f f f f <<=.于是()()53f a f <≤,得2593a <≤. (ii)当2x <时,4242a x x <-++-. 设()4242f x x x =-++-,则()f x 在区间()0,2内单调递减,在区间(),0∞-内单调递增.因此,()()()()2110f f f f -=<-<,于是()()11f a f ≤<-,得113a -≤<-综上,a 的取值范围是113aa ⎧-≤<-⎨⎩∣或2593a ⎫<≤⎬⎭. 【例4】设()()2212log 210,0xx x y a ab b a b ⎡⎤=+-+>>⎣⎦,求使y 为负值时x 的取值范围.【解析】本题等价于()2212log 210.xx x y a ab b ⎡⎤=+-+<⎣⎦(1)由不等式(1)得,()22211x x x a ab b +-+>,即()2220xx r a ab b +->,2210x xa ab b ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设()0xa t tb ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,不等式(2)化为()22100t t t +->>.解得1t >或1t <(舍去).下面解1xa b ⎛⎫> ⎪⎝⎭,需要对1,1,1a a a b b b >=<这3种情况进行讨论.(1)当0a b >>,即1ab >时,可解得)log 1ab x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣;(ii)当0b a >>,即01ab <<时,可解得)log 1a b x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣;(iii)当0a b =>,即1ab=时,可解得x ∈R . 强化训练1. 解关于x 的不等式()22240ax a x -++>【解析】(i)当.时,原不等式可化为不等式的解集为. (ii)当时,原不等式可化为. 当时,原不等式可化为不等式的解集为; 当时,原不等式可化为, 若,即时,不等式的解集为或; 若,即时,不等式可化为则不等式的解集为; 若,即时,不等式的解集为或. 综上,当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为; 0a =240.x -+>∴{2}xx <∣0a ≠()()220x ax -->0a <()220,x x a ⎛⎫--<∴ ⎪⎝⎭22x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣0a >()220x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭22a>01a <<{2x x <∣2x a ⎫>⎬⎭22a=1a =2(2)0.x ->{}2x x ≠∣22a <1a >2xx a ⎧<⎨⎩∣}2x >0a ={2}xx <∣0a <22x x a⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣当1时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为或. 2.解不等式()()112a x a x ->∈-R .【解析】将不等式移项,通分,得.①不等式(1)同解于不等式②(i)当时,不等式(2)可化为,则原不等式的解集为. (ii)当,即时,不等式(2)可化为. 下面比较与2的大小关系. ,又,即 当时,原不等式的解集为或.(iii)当时,不等式(2)可化为. 则原不等式的解集为.(iv)当时,原不等式的解集为.(v)当时,不等式(2)可化为.则原不等式的解集为. 综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为当时,原不等式的解集为;当1时,原不等式的解集为或.0a <<{2xx <∣2x a ⎫>⎬⎭1a ={}2xx ≠∣1a >2x x a⎧<⎨⎩∣}2x >202ax a x x --+>-()()()1220.a x a x ⎡⎤---->⎣⎦10a -=20x ->{|2}x x >10a ->1a >()2201a x x a -⎛⎫--> ⎪-⎝⎭21a a --2211a a a a --=--21,2011a a a a a ->∴-=>--22.1a a ->-∴1a >21a x x a -⎧<⎨-⎩∣}2x >01a <<()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭2220,2.111a a a a a a ---=<<∴---221a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭∣0a =∅0a <()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭2220,2.111a a a a a a ---=>>∴---221a xx a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭∣0a <221a xx a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭∣0a =∅01a <<22;1a xx a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭∣1a ={2}x x >∣a >21a x x a -⎧<⎨-⎩∣}2x >3.已知函数()1f x mx x =--,其中0m >,若关于x 的不等式()f x ≥0的解集中的整数恰有3个,则实数m 的取值范围为(). A.(]0,1B.23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【解法1】问题等价于,作出与的图像,如答图所示,要使得的整数解恰有3个,则与的交点的横坐标应在区间内,当时,,且当时. ,故选.【解法2】 原不等式要化为,当时,不满足,故 作出的图像,如答图所示.要使得的整数解恰有3个,只要与的交点横坐标在区间内. 故,解得,故选. ()0,f x ∴1mxx -1y x =-y mx =151-1mx x -1y x =-y mx =P [)3,4∴3x =32m 4x =43m <23,34m ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭B 1mx x -0x =11.m x-()11y g x x==-152-1mx x -y m =()y g x =[)3,4111134m -<-23,34m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭B【答案】.4.若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中的整数恰有3个,则实数a 的取值范围是________. 【解析】【解法1】将不等式化为.解集中的整数恰有3个,且,即. 不等式的解为,. 显然为使解集中的整数恰有3个,则必须且只需满足,即解得,即实数的取值范围是. 【解法2】不等式的解集中的整数解恰有3个，必有,如答图所示.作出函数和的图像，设两图像交于点,由图像知点的横坐标满足,为使不等式的解集中的整数恰有3个，则点的横坐标应满足 .把和分别代入方程，得和于是有因此，实数的取值范围是 B ()24410a x x --+<40a ∴->Δ40a =>04a <<2244x a a +<<--x <<0 1.<<34<61,81,a ⎧-⎪⎨-⎪⎩2549916a <a 2549,916⎛⎤⎥⎝⎦22(21)x ax -<∴0a >153-2(21)y x =-2ax =,A B A 01A x <<22(21)x ax -<B 34B x <≤3B x =4B x =22(21)x ax -=259a =49.16a =2549.916a <a 2549,.916⎛⎤⎥⎝⎦【解法3】依题知,且.由此，得. 设,如答图所示.当且仅当. 即,也即时的解集中有3个整数.关于的不等式的解集中有3个整数时,. 故实数的取值范围是5.若1是关于x 的不等式()211log log 24a a x x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的唯一整数解,求实数a 的取值范围.【解析】是不等式的解,.解得. 0a >0x ≠22222(21)2121(21)x x x x ax a x x x ---⎛⎫-⇔>=⇔ ⎪⎝<>⎭()2112x f x x x-==-154-()()34f a f <5734a <2549916a <21x x ->1,2,3∴x 22(21)x ax -<2549916a <a 2549,.916⎛⎤⎥⎝⎦1()1log log 14aa a ∴>-304a <<因此原不等式等价于,考虑到不等式有唯一整数解,由①得. 由②令,设方程的两个实根,则由题意可知或不可能是原不等式的解).故解得即实数的取值范围为 6.已知函数()23x xf x a b =⋅+⋅,其中常数,a b 满足0ab ≠. (1)若0ab >,判断函数()f x 的单调性.(2)若0ab <,求()()1f x f x +>时的x 的取值范围.【解析】(1)当都单调递增,函数单调递增; 当时,都单调递减.函数单调递减.(2).(i)当时，解得 (ii)当时,,解得. 2222110,12420,110112424x x x a x x a x x a ⎧->⎧⎪>⎪⎪⎪⇒->⎨⎨⎪⎪-+-<⎪⎪-<-⎩⎩，①，②1x=2x >()21124f x x x a =-+-211024x x a -+-=12,x x 121,12(0x x x <<2x ()()1020,30.4f f a ⎧<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，13,44a <a 13,.44⎡⎫⎪⎢⎣⎭0,0,2,3x x a b a b >>⋅⋅∴()f x 0,0a b <<2,3x x a b ⋅⋅∴()f x ()()11123232230x x x x x x f x f x a b a b a b +++-=⋅+⋅-⋅-⋅=⋅+⋅>0,0a b <>3,22x a b ⎛⎫>- ⎪⎝⎭32log ;2a x b ⎛⎫>- ⎪⎝⎭0,0a b ><322x a b ⎛⎫<- ⎪⎝⎭32log 2a x b ⎛⎫<- ⎪⎝⎭。
含参数不等式的恒成立的求解策略
对 ∈Ｒ恒 成立 ㈢
解： 若 一０ 则 不 论 ｎ取 何 值 ， （ ≥ ０显 然 成 ， ＿ ） 厂
立；
当 ＞０ 即 ∈（ ，］ ， （ ＝ ｎ 。 ｚ ≥Ｏ ， ｏ １ 时 厂 ）＝ 一３ 十１ ＝
可化 为 ｎ ≥ 一 ．
设 （一 一 ，ｇ ） ｇ）≥ 专则 一 （
中学 教 学 参 考
解 题 方 法 与 技 巧
含 参数 不 等 式 的恒 成 立 的 求解 策 略
浙 江 慈溪实验 高级 中学 （ １ ３ ０ 李 书庆 ３ ５Ｏ ）
个变 量 的范 围 已知 ， 一 个 变 量 为所 求 ， 先 确 定 某 另 则
一
变 量 （ 本 是 已 知 范 围 的 那 个 变 量 ） 自变 量 ， 一 基 为 另
≥可 为≤ 一 ｇｚ ０化 以≥ ，（一 ）
４ 从 而 ＆ ４ 综 上 ｎ＝ ４ ， ≤ ． ＝ ． ＝
＞．（ ０ ｇ）
在 区间［ ， ） 一１ ０ 上单 调递增 ， 因此 ｇ ） （ ） （ Ⅱ 一ｇ 一１ 一 Ⅲ
含参 数不 等式 的恒 成 立 问 题 主 要是 运 用 等 价 转
解 得 ￡ 一 ９或 ３ ≤ ≥ ． 五 、 类讨论 求最值 分
∈，ｃ 。 ∈ 成㈢ 厂＜ Ｒ ，对 Ｒ 立｛ ｃ 。 恒 有 ＞
Ｉ “＜ Ｏ，
【 ５ 设 函数 － ） 。 ３ 例 】 厂 （ 一ｎ 一 ＋ １ ∈Ｒ） 若 （ ，
对 于任 意 的 ∈［ ， ］ 一１ １ 都有 － ） 厂 ≥０成立 ， （ 求实数 口
变量 为应 变量 ， 然后 再利 用 函数 的最 值．
四 、 形 结 合 数
【 ４ 若 对 于 ｚ∈ （ 例 】 一１ ３ ， ｚ 一２ｚ ， ） ３ 。 ｆ 一 ≤ Ｏ
从一道高考题谈含参数不等式解题策略
从一道高考题谈含参数不等式解题策略
推荐含参数不等式解题策略
高考是考查学生功底和领悟能力的重要考试。
其中，高考中的数学题目对学生
来说，要求具备深刻的数学知识累积。
其中，含参数不等式解题是高考考题中的热门话题，也是考查学生的重要指标。
那么，接下来，我就简单向大家推荐一种含参数不等式解题的策略。
首先，要想学生能够正确的解决高考中的含参数不等式的考题，就必须具备深
刻的数学知识储备；其次，考生在处理含参数不等式的考题时，要学会正确的分析不等式问题，分析参数之间的关系，以及不等式在不同参数关系情况下所取得的不同结果；再次，要从多角度去思考，辨清不等式问题，并从多个角度去想同一问题，有时还要反推回去，以深入推导；最后，考生要注意争取时间，明确含参数不等式题目所给的条件，尽量有系统的思维逻辑把握解题的方向，努力在一定的时间内给出正确的答案。
总之，虽然含参数不等式的考题在高考中受到很大的重视，但做这道题也并非
一帆风顺，学生要想得到良好的结果，就必须加强数学组成部分的学习，积极思考参数之间的关系，抓住主要矛盾点，以及注意时间利用为解题提供便利，最终一定能够取得优异的成绩。
处理不等式组中参数的策略与步骤
处理不等式组中参数的策略与步骤处理不等式组中的参数是数学中一个常见的挑战，它要求你不仅要理解不等式的性质和解法，还要能够灵活地处理参数对不等式解集的影响。
以下是一些处理不等式组中参数的基本步骤和策略：1. 理解和分析参数首先，明确参数在不等式组中的作用和范围。
参数可能是常数、变量或其他表达式的表示，其取值范围可能有限制或无限制。
2. 分类讨论根据参数的不同取值范围，对不等式组进行分类讨论。
每个分类都代表了一组特定的不等式，其解集可能因参数取值的不同而有所不同。
3. 解每个分类下的不等式组对于每个分类，分别解决不等式组中的不等式。
这通常涉及移项、合并同类项、因式分解、使用求根公式或绝对值性质等技巧。
4. 找出解集的交集或并集对于每个分类下的不等式组，找出其解集，并根据题目要求确定是需要求交集还是并集。
如果要求交集，则找出所有不等式解集的共同部分；如果要求并集，则将所有不等式的解集合并起来。
5. 综合分析所有分类的结果将所有分类的结果综合起来，得到参数在不同取值范围内不等式组的解集。
这可能需要进一步的分析和推理，以确定解集随参数变化的规律。
6. 验证解的正确性选择几个在解集内或解集外的点代入原不等式组进行验证，以确保解的正确性。
特别是当解集包含参数时，验证尤为重要。
示例考虑以下含有参数a的不等式组：{ x−a>0x+2a<51.分类讨论：2.当a>0时3.当a=0时4.当a<0时5.解每个分类下的不等式组：6.当a>0时：7.第一个不等式解得x>a8.第二个不等式解得x<5−2a9.交集为a<x<5−2a10.当a=0时：11.第一个不等式解得x>012.第二个不等式解得x<513.交集为0<x<514.当a<0时：15.注意此时5−2a会变得更大，可能影响解集的范围16.同样地解出每个不等式的解集，并找出交集17.综合分析：18.综合以上三种情况，得出参数a在不同取值范围内不等式组的解集。
高一数学 不等式恒成立问题中的参数求解策略
不等式恒成立问题中的参数求解策略不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强，本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略 关键词：不等式；恒成立；求解策略在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
常常有以下两类情况： ㈠可化为二次函数在R 上恒成立问题 设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
例1 对于x ∈R ，不等式0m 3x 2x 2≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解：不妨设m 3x 2x )x (f 2-+-=，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使)R x (0)x (f ∈≥，只需0≤∆，即0)m 3(4)2(2≤---，解得]2(m 2m ，-∞∈⇒≤。
变形：若对于x ∈R ，不等式03mx 2mx 2>++恒成立，求实数m 的取值范围。
此题需要对m 的取值进行讨论，设3mx 2mx )x (f 2++=。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<03m 0<<⇒。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知)30[m ，∈。
关键点拨：对于有关二次不等式0c bx ax 2>++（或<0）的问题，可设函数c bx ax )x (f 2++=，由a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x 轴的交点问题，由判别式进行解决。
不等式恒成立求解参数范围问题的常用策略
不等式恒成立问题的求参策略山东省莱西一中北校 赵贞才 （266600）含有参数的不等式恒成立问题是同学们常见的一类题，这类题涵盖范围广。
不少同学面对此类题，不知从何下手 。
其实这类题，规律性较强，有法可循。
本文结合实例探讨一下解题策略。
1. 分离参数法如果能把不等式中的参数与主元分离开来，则可以通过求函数最值来简化问题。
如：max )()(x f t x f t >⇔>恒成立，min )()(x f t x f t <⇔<恒成立例1：已知 3421lg )(ax f x x ∙++= 若x ∈(-∞,1］时，f (x )有意义，求a的范围.分析：原题等价于不等式03421>∙++ax x 对x ∈(-∞,1］恒成立，分离参数，得()()xxa 2141-->，令 ()()xxx g 2141)(--= ，x ∈(-∞,1］，显然g(x)为增函数，故只须43)1()(max -==>g x g a 即可。
例2：已知函数x x x f 2cos 34sin 2)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx① 求)(x f 的最大值和最小值；② 若不等式 2|)(|<-m x f ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立，求实数m 的取值范围.分析：（1）2)(,3)(min max ==x f x f2)(2)(2|)(|)2(+<<-⇔<-x f m x f m x f41<<∴m2. 分类讨论法：按所给不等式中参数的本质属性划分不同种类进行讨论，特别应注意分类要“不重不漏”。
例3：已知3)(2++=ax x x f 当[]2,2-∈x 时a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围？2)(2)(min max +<<-∴x f m x f解：法一 原不等式恒成立，即]2,2[3)1(2-∈--≥-x x a x 在时恒成立，为了分离常数，必须对1-x 的符号进行分类讨论。
含参数不等式恒成立问题求解策略论文
含参数不等式恒成立问题的求解策略含参数不等式恒成立问题是历年高考、竞赛中的热点问题，由于这类问题灵活多变、综合性强，令不少学生望而生畏，束手无策。
但如果我们掌握解决恒成立问题的多种常见求解方法，通过化归的思想还是能解决此类问题的。
例题1已知不等式x2-2ax+1＞0对x∈1，2恒成立，其中a＞0．求实数a的取值范围．分析：思路1.通过化归最值，直接求函数f（x）=x2-2ax+1的最小值解决，即fmin（x）＞0；思路2.通过分离变量，转化到a＜■=■（x+■）解决，即a＜（■）min；思路3.通过数形结合，化归到x2+1＞2ax作图解决，即y=x2+1图像在y=2ax图像的上方．简解：思路1．按对称轴ｘ＝ａ与区间1，2的关系分类讨论：当０＜ａ＜１时，fmin（x）＝f（１）＝２－２ａ＞0，∴０＜ａ＜１；当１＜ａ＜２时，fmin（x）＝f（ａ）＝１－ａ２＞0，此时ａ不存在；当ａ＞２时，fmin（x）＝f（２）＝５－４ａ＞0，此时亦ａ不存在．综上所述，ａ的取值范围是０＜ａ＜１．思路2．由x2-2ax+1＞0得a＜■=■（x+■），x∈1，2，得０＜ａ＜１．思路3．图略．思考：x2-2ax+1＞0→x３-2ax+1＞0→ｌｎｘ-2ax+1＞0，该如何处理？小结：解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解．例题2已知函数f（ｘ）＝x2-2ax+1，ｇ（ｘ）＝■，其中ａ＞0，ｘ≠０．（1）对任意x∈1，2，都有f（ｘ）＞ｇ（ｘ）恒成立，求实数ａ的取值范围；（2）对任意x１∈1，2，ｘ２∈２，４，都有f（x１）＞ｇ（ｘ２）恒成立，求实数ａ的取值范围；分析：（1）思路、等价转化为函数f（ｘ）－ｇ（ｘ）＞０恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．（2）思路、对在不同区间内的两个函数f（ｘ）和ｇ（ｘ）分别求最值，即只需满足fｍｉｎ（ｘ）＞ｇｍａｘ（ｘ）即可．简解：（1）由x2-2ax+1－■＞０得ａ＜■成立，只需满足φ（ｘ）＝■的最小值大于ａ即可．对φ（ｘ）＝■求导，φ（ｘ）＝■＞０，故φ（ｘ）在x∈1，2是增函数，φmin（ｘ）＝φ（１）＝■，所以ａ的取值范围是０＜ａ＜■．（2）略.例题3设函数ｈ（ｘ）＝■＋ｘ＋ｂ，对任意x∈1，2，都有ｈ（ｘ）≤１０在x∈■，１恒成立，求实数ｂ的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，ｈ（ｘ）≤１０得ｈｍａｘ（ｘ）≤１０；方法2：变量分离，b≤１０-（■＋ｘ）或a≤-x2+（10-b）x；方法3：变更主元，φ（a）=■·a+x+b-10≤0，a∈■，2简解：方法1:对ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）+x+b=■＋ｘ+b求导，ｈ＇（ｘ）=1-■=■，得x=■（极小值点），x=-■（极大值点），故（-∞，-■）增，（-■，0）减，（0，■）减，（■，+∞）增．由此可知，ｈ（ｘ）在■，１上的最大值为ｈ（■）与ｈ（１）中的较大者．∴ｈ（■）≤１０ｈ（１）≤１０得４ａ＋■＋ｂ≤１０１＋ａ＋ｂ≤１０得ｂ≤■－４ａｂ≤９－ａ，对于任意a∈■，2 ，得ｂ的取值范围是ｂ≤■．方法2、3略.思考：（2010年绍兴市一模数学试卷理第17题改编）在区间ｔ，ｔ＋１上满足不等式ｘ３－３ｘ＋１≤１恒成立，求实数ｔ的取值范围．分析：利用数形结合思想，对函数f（ｘ）＝ｘ３－３ｘ＋１作图．图解：由图可知ｔ∈０，■－１通过这些例题的分析，我们再次领略了解决恒成立问题的多种常见求解四种方法，（1）化归最值（2）变量分离（3）变更主元（4）数形结合。
浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１４数学学习与研究㊀２０１９ ２２浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略Һ张智云㊀(广元市八二一中学ꎬ四川㊀广元㊀６２８０００)㊀㊀ʌ摘要ɔ不等式问题是高中数学中的重要内容之一ꎬ而含参数不等式恒成立问题又是历年高考中的一个热点ꎬ也是高中数学的一个难点ꎬ含参数不等式恒成立问题综合性强ꎬ在解决这类问题的过程中ꎬ学生较难找到解题的切入点和突破口ꎬ基于此ꎬ本文结合实例谈谈这类问题的解决策略.ʌ关键词ɔ参数分离ꎻ变量转换一㊁分离参变量策略在含参数不等式中参数与变量能分离且函数最值容易求出时ꎬ可以将参数不等式经过变形ꎬ将参数分离出来ꎬ将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题ꎬ从而求出参数范围.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋ａｘ＋３－ａꎬ若ｘɪ[－２ꎬ０]时ꎬｆ(ｘ)ȡ２恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.解㊀ｆ(ｘ)ȡ２在ｘɪ[－２ꎬ０]上恒成立等价于:ａɤ－ｘ２－１ｘ－１在ｘɪ[－２ꎬ０]上恒成立.令ｈ(ｘ)＝－ｘ２－１ｘ－１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｘ＋１(ｘ－１)２＝－(ｘ－１)２＋２(ｘ－１)２.当ｘɪ[－２ꎬ０]时ꎬｈ(ｘ)在[－２ꎬ１－２)上单调递减ꎬ在[１－２ꎬ０]上单调递增ꎬʑｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ(１－２)＝２２－２ꎬʑａɤ２２－２ꎬʑ实数ａ的取值范围为(－ɕꎬ２２－２].二㊁主参换位策略某些含参不等式恒成立问题ꎬ在分离参数会遇到讨论的麻烦㊁但函数的最值却难以求出时可以通过变量转换ꎬ构造以已知取值范围的参数为自变量的函数ꎬ利用函数求出另一参数的取值范围.例２㊀若不等式ａｘ２－２ｘ－ａ＋１<０对满足－２ɤａɤ２的所有ａ都恒成立ꎬ求实数ｘ的取值范围.解㊀原不等式可以转化为ａ(ｘ２－１)－２ｘ＋１<０.令ｆ(ａ)＝ａ(ｘ２－１)－２ｘ＋１(－２ɤａɤ２)ꎬ它的函数图像表示一条线段ꎬ且该线段在ｘ轴下方ꎬʑｆ(－２)<０ꎬｆ(２)<０ꎬ{即－２ｘ２－２ｘ＋３<０ꎬ２ｘ２－２ｘ－１<０ꎬ{解得－１＋７２<ｘ<１＋３２ꎬʑ实数ｘ的取值范围为－１＋７２ꎬ１＋３２æèçöø÷.以上介绍了两种含参数不等式恒成立问题的求解策略ꎬ只是从某一个方面突破去探讨了不等式参数的取值范围ꎬ在具体的解题过程中ꎬ往往需要综合考虑ꎬ灵活运用ꎬ才能更好地解决这类问题.ʌ参考文献ɔ[１]郭宏.浅谈高中数学恒成立问题的解题方法[Ｊ].中国基础教育研究ꎬ２００９(６):１６６－１６７.[２]叶海明.高中数学恒成立问题的解题策略浅探[Ｊ].读与写ꎬ２００９(８):１１３ꎬ１９２.。
含参不等式成立问题的求解策略
、
分 类 讨 论 法
例１ 、 若不等式 Ⅲ ＋ Ｍ； ＋１ ＞０ 对一切实数恒成立 ， 求 实数 ｍ的 取值范圈 。 分析 ： ０最特殊 。 应考虑 二次项 系数 等于 ０或不 等于 ０来解 决 问
题。
解： 由 于 ４ ＞ ０ ， 故 本 题 可 转 化 为口 ＞ 一 （ 寺） 一 （ ÷） 对 一 切
ｔ △＞ ｏ
例２ 、 若不等式 ［ （ １ — ４ ） ｎ— ａ ］ ｌ ｓ ａ＜０ 对 于任意 正整数 ， ； 恒成立 ， 求 实数 ｎ的取值 范围
解： 出题意 Ⅱ ＞０ Ｈ 口≠ １
（ １ ） 当０＜口＜１ 时， 即要使不等式 （ １ 一 口 ） 一口＞０ 对 一切ｊ Ｅ 整 数ｎ 恒成立。 令ｇ （ ｎ ）： （ １ 一 ａ ） ｎ一 Ⅱ， （ １一 ｑ＞０） 所 以当ｎ：１ 时， ｇ （ １ ）
＝ １ —２ ｔ １．
（ ２ ） 当ｘ ∈ｆ １ ， ＋ ） 时， ｆ （ ｘ ） ）ａ 恒成立 ， 求实数 ａ 的取值范围 ； 解： （ １ ） 因为当 ｘ ∈［ １ ， ＋ ＊） 时， ｆ （ ｘ ） ＞０恒成 崴， 即 ￡ 垒 ＞０ 恒成立 ， 可转化为 口＞ 一 一 缸 对 一切 ｘ Ｅ［ １ ， ＋∞） 恒成立 ， 令ｇ （ ）＝一 。 － ２ ｘ， 由于函数 （ ）＝一 － ２ ｘ 在 区间［ １ ， ＋ ∞） 足 减两数。 所以 ｇ （ ） ～ ｇ （ １ ）＝－ ３， 即实数 ａ 的取值 范围为［一 ３， ＋ ＊）
四、 变换主元法
系内作 出函数， （ ）＝（ ＊一 １ ） 与函数 ｇ （ ）＝ｌ ｏ ｇ ￣ ｘ 在（ １ ， ２ ） 上的图 象， 借助 图形可直观 、 简捷求解。 解： 在 同 一平 两直 角坐 标系 内作 出涵数 ， （ ）＝ （
含参数不等式问题的处理策略
ʏ杨家旺 杨子敬解含参数不等式问题,常常涉及对参数的分类讨论,这是解含参数不等式问题的一个难点㊂下面就含参数不等式问题的处理策略进行分析㊂题型一:能因式分解的一元二次不等式例1 解下列不等式㊂(1)x 2-a x -12a 2<0(a <0)㊂(2)(a -x )x -1a>0(0<a <1)㊂(1)由x 2-a x -12a 2<0(a <0),可得(x -4a )(x +3a )<0㊂由4a <0<-3a ,解得4a <x <-3a ,所以不等式x 2-a x -12a 2<0(a <0)的解集为{x |4a <x <-3a }㊂(2)由(a -x )x -1a>0(0<a <1),可得(x -a )x -1a <0㊂由a <1<1a ,解得a <x <1a,所以不等式(a -x )x -1a >0(0<a <1)的解集为x a <x <1a ㊂感悟:一元二次不等式能因式分解时,可借助两根的大小关系,结合二次函数图像, 以形助数 求出对应的解集㊂题型二:二次项含参数且能因式分解的一元二次不等式例2 已知关于x 的不等式a x 2+3x +2>0(a ɪR )㊂(1)若a x 2+3x +2>0的解集为{x |b <x <1},求实数a ,b 的值㊂(2)求关于x 的不等式a x 2-3x +2>a x -1的解集㊂(1)因为a x 2+3x +2>0的解集为{x |b <x <1},所以方程a x 2+3x +2=0的两个根为b ,1(b <1)㊂由根与系数的关系得b +1=-3a,b ㊃1=2a,解得a =-5,b =-25㊂(2)由a x 2-3x +2>a x -1,可得a x 2-(a +3)x +3>0,即(a x -3)(x -1)>0㊂当a =0时,不等式为x -1<0,可得解集为{x |x <1}㊂当a <0时,不等式为x -3a(x -1)<0,可得解集为x 3a <x <1 ㊂当a >0时,方程a x 2-3x +2=a x -1的两根分别为3a,1㊂当a =3时,两根相等,可得解集为{x |x ʂ1};当a >3时,3a<1,可得解集为x x <3a或x >1;当0<a <3时,3a >1,可得解集为x x <1或x >3a㊂综上可得,当a <0时,不等式的解集为x 3a <x <1 ;当a =0时,不等式的解集为x x <1 ;当0<a <3时,不等式的解集为x x <1或x >3a ;当a =3时,不等式的解集为{x |x ʂ1};当a >3时,不等式的解集为x x <3a或x >1㊂感悟:解二次项含参数且能因式分解的一元二次不等式,可对参数进行分类讨论,借助对应的二次函数图像, 以形助数 求出对应的解集㊂题型三:二次项含参数且不能因式分解的一元二次不等式例3 解关于x 的不等式a x 2+2x +1<0㊂二次项含参数且不能分解,因式需进行分类求解㊂(1)当a =0时,不等式为2x +1<0,解得x <-12,可得解集为-ɕ,-12㊂22 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(2)当a >0时,Δ=4-4a ,函数f (x )=a x 2+2x +1图像的开口向上㊂①当0<a <1时,由Δ=4-4a >0,f (x )=a x 2+2x +1=0的两根为x 1,2=-1ʃ1-aa,且-1-1-aa<-1+1-aa ,可得不等式f (x )<0的解集为-1-1-a a ,-1+1-a a;②当a ȡ1时,由Δɤ0,可得不等式f (x )<0的解集为⌀㊂(3)当a <0时,由Δ=4-4a >0,f (x )=0的两根为x 1,2=-1ʃ1-aa,且-1+1-a a <-1-1-aa ,函数f (x )=a x 2+2x +1图像的开口向下,可得解集为-ɕ,-1+1-a a ɣ-1-1-aa,+ɕ㊂综上可知,当a <0时,不等式的解集为-ɕ,-1+1-a a ɣ-1-1-aa,+ɕ;当a =0时,不等式的解集为-ɕ,-12;当0<a <1时,不等式的解集为-1-1-a a ,-1+1-a a;当a ȡ1时,不等式的解集为⌀㊂感悟:解二次项含参数且不能因式分解的二次不等式,可对参数进行分类讨论,借助对应的二次函数, 以形助数 求出对应的解集㊂题型四:含参数的根式不等式的求解问题例4 不等式a 2-x 2<2x +a (a >0)的解集是( )㊂A .{x |0ɤx <a }B .{x|0<x ɤa }C .{x |0ɤx ɤa }D .{x |0<x <a }不等式a 2-x 2<2x +a (a >0)可化为a 2-x 2<4x 2+4a x +a 2(a >0),即5x 2+4a x >0(a >0),解得x >0或x <-45a ㊂由2x +a >0,且a 2-x 2ȡ0,可得-12a <x ɤa ㊂综上可得,不等式的解集是{x |0<x ɤa }㊂应选B ㊂感悟:解含参数的根式不等式,在根式有意义的条件下,借助平方化归为含参数的二次不等式求解,要注意求得的解集应与根式有意义的解集求交集㊂题型五:含参数的分式不等式的求解问题例5 已知a ɪR ,解不等式xx -1>a +1㊂原不等式可化为-a x +(a +1)x -1>0㊂当a =0时,原不等式为1x -1>0,可得x >1㊂当a ʂ0时,原不等式可化为a x -a +1ax -1<0㊂当a >0时,不等式等价于x -a +1a x -1<0,由a +1a >1,解得1<x <a +1a ;当a <0时,不等式等价于x -a +1ax -1>0,由a +1a =1+1a <1,解得x <a +1a 或x >1㊂综上可得,当a =0时,不等式的解集为(1,+ɕ);当a >0时,不等式的解集为1,a +1a;当a <0时,不等式的解集为-ɕ,a +1aɣ(1,+ɕ)㊂感悟:含参数的分式不等式求解的关键是分类讨论与等价转化思想的应用㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)32知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
人教版数学高二-备课资料含参不等式的讨论策略
含参不等式的讨论策略求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为各类考试中的重点和难点。
解含参数的不等式离不开分类讨论,分类讨论的关键在于弄清为什么要分类，从什么角度进行分类。
本文以这两个方面为着眼点，谈谈分类的策略，供同学们参考。
一、含参数的一元二次不等式的讨论策略例1 解关于x的不等式。
分析：对含参数的一元二次不等式的讨论顺序一般为先讨论二次项系数，后对“△”进行讨论。
需要的话还要对根的大小进行比较。
含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。
解：（1）当a=0时，原不等式的解集为。
（2）当a>0时，方程，△=4－4a。
①若△>0，即0<a<1时，方程的两个解为，，。
所以原不等式的解集为。
②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为。
③若△<0，即a>1时，原不等式的解集为R。
④当a<0时，一定有△>0，方程两个解为，，且。
原不等式的解集为。
总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。
（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。
（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。
二、含参数的绝对值不等式的讨论方法例2 解关于x的不等式。
错解：。
当时，解得。
当时，解得。
剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a<4和a≥4两种情况。
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题 的解决 ． 如 ， 些 不 等式 含有 参 数 问题 的解 与 例 一 参数 的变化有 关 ， 时可 根据 参数 的不 同取 值情况 此
进 行 分类讨 论．
例３ 解关于 的不等式、 ２。 口 ， 一ｘ＞ ＋． ／ ａ
解 对参 数 ａ进 行讨 论．
令 ｆｐ （ ）＝（ ａ一１ Ｐ＋ａ ） 一２ ａ＋１ 它 是 关 于 Ｐ 的 一 ，
一
在
当面 临一 道 结 构 比较 复 杂 、 以 人 手 的 题 目 难
１ 上是 增 函数 ， 而 ） 从
／ （ ｍ ． ）＝ （一１ 厂 ）＝ 一ｌ ， ２
ａ—ａ ＞ 一１ ２，
时， 要设 法 把它 转 化 为 比较 简单 、 悉 的且 易 于解 熟
决的问题． 它遵循 的原则就是将超 越式化 为代数
式、 无理 式 化为 有理 式 、 分式化 为 整式 ， 同时高 次 向
低次 进行 转化 ， 而达 到 以简驭 繁 的 目的． 从
即
解得
３ 分 合并 用
一３＜ａ＜ ， ４
因此 实数 ａ的取 值 范 围是 （一 ， ） ３４ ．
例 １ 若 Ｐ∈Ｒ 且 Ｉ ２ 不 等 式 （ｏ２ ） ｐＩ＜ ， １ｇｘ ＋
此 时无解．
作函数Ｙ ＝
、
ａ ３
＿Ｙ ０ 和 ＝—
，
Ｊ
一
－＿，
２ 的 图 像 （如 图 １） 由 ｘ ． ＝ａ一２ ， 得 ＝ ｘ解
ｊ
因此原不等式的解为： 口 ０时， ÷口 ＜ 当 ＞ 一 ≤
０； 口＜ 当 ０时 ， ≤ ≤ 一 口 ． ４ 等价转 换
４， 因此 ２个 函数图像的交点
＼
图 １
为（， ） 由 ｌ Ｐ 一． 图可 挈 号又
知 当 挈时 函 ＝／＝ 图 位 数 ， ＞ ，数Ｙ ￣ 的 像 于函
Ｙ＝ａ 一 ２ 图 像 的 上 方 ，故 不 等 式 的 解 集 是 ｘ
＞
等价转换就是利用 不等式的同解变形进行解 题， 譬如利用命题 ｍ＜ （） 咐 ） ｍ］ ＾ ） 凡 ＜ （ ｎ 厂 ＜ 一 Ｄ（ 一 ］ ０ ｍ＜ ） 和 ｍ 厂 或 ＜ （） ） ｍ Ｉ 一 ］ Ｏ （） ， 车Ｌ 一 ］ （） ｎ ＞ ｆ
第 ４期
仲 济斋 ： 参数不等 式的求解策略 刍议
参 数 不 等 式 的 求 解 策 略 刍 议
●仲 济斋 （ 连云港高等师范专科学校数学系 江苏连云港 ２２２ ） ２０６
含参数的不等式是高 中数学 中比较重要 的内
容． 于它 的解 法 较多 ， 巧性 也 比较强 ， 此学 生 由 技 因 很难 掌握 ， 学 习 的难 点 之 一． 是 因此 掌 握 一 些解 题
解得
韧 垦
等 √ √ ≤ ≤一２． ２ ， ， 半口
・
１ ２・
中学教研 （ 学） 数
若 ＋ ≥０， ａ 则不 等式 同解 于 ｆ ｘ＋口 ： ≥０
、
＞ ０ —２ ．
Ｊ２ ２ ０ ａ — ｘＩ ； ＞ 【。 ２ ＋ ） ａ 一 ｘ ＞（ ａ ，
日
‘
解 得
ｆ（ — ） ０ 一 ａ １ ０ ２０ １ ＋ ２ ＋ ＞ ； ｌ ２口 １ ＋ ２ ＋ ＞ ， 一 （ 一 ） 口 一ａ ｌ ０
ａ＞ ３或 ａ＜ 一１ ，
【 一 ｘＩ ， ａ ２ ０ ＞
也无 解． 若 ＋ ＞０ 则不 等 式 同解 于 ａ ， １
分 与合 是一 种 辨 证 关 系 ， 解 题 中 以分 求 合 ， 在
一
ｐｏ２ １ ２ｏ２ Ｐ恒成立 ， ｌ ＋ ＞ ｌ ＋ ｇ ｇ 求实数 的取值 范
围．
以合制分 ， 分合并用． 分类是分合并用解题策略的 种具体体现， 就是把 问题转化为～系列彼此互斥
的 目标 ， 然后 逐 一地 解 决 这 些 问题 ， 而 实 现 原 问 从
次 函数． 因为ｆ ｐ ０恒成立 ， 以 （ ）＞ 所
（ ａ一１ Ｐ＋ａ ２ ） 一 ａ＋１ ０ ＞
（ ） ａ＝ １当 ０时， 不等式变为 、 一 ｘ ＞ 原不 ／ ２ ， ／
等式 无解．
等价 于
，
（ ） ａ＞ ２当 ０时 ， ＋ａ＜ 则 不等 式 同解 于 若 ０，
ｒ ＋ 口 ＜０；
分析
若 把不 等式 看成 是关 于 ｌ 的一 元二 ｏ ｇ
次 不 等式 ， 问题 很难 处 理． 则 如将 问题 转 化 为关 于 Ｐ的一 次不 等式 ， 问题反 而 容易解 决． 解 令 ｌｇｘ＝ａ 则 不 等式 可转化 为 ｏ２ ，
（ ａ一１ ｐ＋ａ ２ ） 一 口＋１＞ ． ０
若 把 ａ—ａ 看作 一个 整 体 ， 可 迅速 获解． 则
解 由 １ ＋（ ＋３ ａ—ａ ） ， ９ ＞０ 得
，
３ ＋ｌ
＞ 一 — ’
“ 一 口
策略 就显 得尤 其重 要 ， 面通过举 例 来说 明几 种解 下
题策 略．
１ 化 繁 为简
一
设
一
，ｌ （ ￣ｆ Ｊ
等来 处理 与之有关 的问题．
３删 ） ．
６ 正 难则 反
解 题一 般总是 从正 面人手 ， 但有 些数 学 问题 如 果 从正 面人 手求 解 繁琐 、 度 较 大 ， 么不 妨 打 破 难 那
，
＋ａＩ ０； ＞
从而
２ 整体 与 局部
＞ ８或 ０ ＜ ＜ ÷．
Ｊ ２ ０ 口 一 ｘＩ ； ＞
【 一 ｘ ＞（ ａ ２ ＋ａ ， ）
有些 问 题 从 局 部 分 析 难 以人 手 ， 跳 出 “ 若 局
解得
一专０＜ ＜ ． ０
部” 着眼“ 整体 ” 通过 寻找局部之 间的内在联 系， ，
则 常常可 使 问题 “ 暗花 明” 柳 ．
例 ２ 已知 １＋３ ＋ （ ， 若 ＋ ０ 则不等 式 同解 于 ａ＜ ，
ｒ ＋ ａ ＜０；
【 一 ｘ≥ ， ａ ２ ０
（一∞ ， ） 一１ 上恒 成立 ， 实数 ａ的取值 范 围． 求 分析 若 直 接 把 ａ分 离 出来 ， 有 点 棘 手． 则 但