第五章：量化与量化误差 第二节
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c
如e(n) 为截尾噪声，则输出噪声中还有一直流分量
m f E[e f (n)] E h(m)e(n m) me h(m) me H (e j 0 ) m 0 m 0
例3：一个8位A/D变换器（ 7），其输出 x(n) b ˆ 作为IIR滤波器的输入， 求滤波器输出端的量化噪声功率，已知IIR滤波器的系统函数为：
i b 1
i
q eT (n) 0,
舍入量化误差：
q2
b
上两式给出了量化误差的范围，要精确知道误 差的大小很困难。一般，我们总是通过分析量化噪 声的统计特性来描述量化误差。可以用一统计模型
q q eR (n) 2 2
来表示A/D的量化过程。
图 A/D变换器模型
其中e(n)就是量化误差，对其统计特性作如下假定:： ① e(n)是平稳随机序列； ② e(n)与信号x(n)不相关；
• 补码又称“2的补码”。补码中负数是采用2的补数来表示的，即先把 负数加上2，以便将正数与负数的相加转化为正数与正数的相加，从 而克服原码表示法做加减法的困难。 • X=-0.625在原码中表示为1.101，在补码中为2-0.625=1.375，因此补 码的表示为1.011.
பைடு நூலகம்
（2）浮点表示
1 x M 2 M 1 2 尾数 指数 阶数
b i 1
例：
x 0.75
正数表示：0.110 取反：1.001
x的补码：1.010
原码加减法运算要考虑符号位； 补码加法运算规律： 正负数可直接加减，符号位同样 参加运算，结果仍是补码。 若结果没有超出字长范围，则符号位 丢弃不影响结果的正确性。 若超出字长范围，如符号位发生双进 位，可以自然丢弃，若是单进位，丢 掉则发生溢出；
5.2.3 A/D变换的量化效应
A/D变换器分为两部分： 采样：时间离散，幅度连续； 量化：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理 ，得有限字长数字信号 x(n) 。 ˆ 本节讨论这一过程中的量化效应。
以补码为例
对一个采样数据 x(n)作截尾和舍入处理，则 截尾量化误差： T ( n) e
i 2
定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）： 设有一个（b+1）位码定点数： β0β1β2┄βb，则
①原码所代表的十进制表示为
x (1)
0
i 2 i
i 1
b
例：1.111→-0.875 , 0.010→0.25
②反码表示：（反码和补码的正数表示和原码 没有区别，负数的反码表示就是将该数正数表示形 式中的所有位取反）
b1
“量化宽度”或“量化阶” q=2-b ：代表b位字长可表示的最小 数。
i b 1
2 i (2 b 2 b1 )
一般 2-b1<<2-b, 因此正数的截尾误差为
2）负数
负数的三种码表示方式不同，所以误差也不同。 原码（β0=1）：
b1 i x 2 i i 1
③ e(n)任意两个值之间不相关，即为白噪声；
④ e(n)具有均匀等概率分布。
由上述假定知，量化误差是一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，
称为量化噪声（是一个加性白噪声）。
误差 e(n) 的均值和方差： 截尾量化噪声： 1 m ep(e)de ede q 2 q
0 e q
• 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变， 称为定点制； • 定点制总是把数限制在±1之间；
• 最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在 符号位后； • 数的本身只有小数部分，称为“尾数”；
•定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为
“溢出”； •乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。 为保证字长不变，乘法后，一般要对增加 的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。另外一 种定点数的表示是总把数看成整数。 缺点：动态范围小，有溢出。
§5.2 量化与量化误差
有限字长的二进制数表示数字系统的误差源：
①对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器的字长 影响） ②对输入模拟信号的量化误差（受A/D的精度或位数的影 响） ③运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受计算机 的精度影响）
5．2．1 二进制数的表示
（1）定点表示
0 12 b
2 2
h(m)h(l ) E e(n m)e(n l )
m 0 l 0
由于 e(n) 是白色的，各变量之间互不相关，即 代入上式，得
2 f l 0 m 0
Ee(n m)e(n l ) (m l ) e2
2 e 2 e
h(m)h(l ) (m l )
b i [x] 2 T i i 1
ET xT x
0≤ET<q
i b 1
2
i
b1
i
反码（ 0 1 ）
x 1 i 2 2
i i 1
b1
b1
x T
1 i 2 2
i i 1 b1
b
b
ET x T x i 2 i ( 2 b 2 b1 )
m 0
h
2
(m)
由Parseval定理,
e2 2 2 1 dz e h (m) cH ( z) H ( z ) z 2j m 0
H(z)全部极点在单位圆内， 表示沿单位圆逆时针方
向的圆周积分。由留数定理：
H ( z ) H ( z 1 ) 2 2 f e Res , zk z k
i b 1
0 ET q
补码（ 0 1）
x 1 i 2
i 1
b1
i
xT
1 i 2
i 1 b i b1
b
i
ET i 2 i 2
i 1 i 1
i
因 b1 b, 所以 q ET 0
补码的截尾误差全是负值，原码和反码的截尾误差与数的正负 有关，正数时为负，负数时为正，并且都以正负q为界
1）正数（三种码形式相同）
b1
一个b1位的正数
x 为： x
i 2 i
i 1
用[·T表示截尾处理，则 [ x]T ]
i 1
b
i 2 i
截尾误差
可见，ET≤0，βi全为1时，ET有最大值，
ET
b1 ET [ x]T x i 2 i i b 1
5.2.2 定点制的量化误差
定点制中的乘法，运算完毕后会使字长增加，例如原来是 b位字长，运算后增长到b1位，需对尾数作量化处理使b1位字 长降低到b位。 量化处理方式： 截尾：保留b位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取b位码。 两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，误差 也不同。
1、截尾处理Truncated ：
码，2为阶码的底，P、S都用二进制数表示，S表示N的全部有效数字，P 指明小数点的位置。当阶码为固定值时，数的这种表示法称为定点表示， 这样的数称为“定点数”；当阶码为可变时，数的这种表示法称为浮点 表示，这样的数称为“浮点数”。 通常定点数有两种表示法，均设P=0，小数点是隐含的，若数值部分 为n位： 当S为纯整数时，此时定点数只能表示整数，所能表示的N范围是（2n-1） ≥N≥-（2n-1）；当S为纯小数时，此时定点数只能表示小数，所能表示的 N范围是（1-2-n）≥N≥-（1-2-n）。 实际数值不一定都是纯整数或纯小数，运算前可选择比例因子，使 所有原始数据化成纯小数或纯整数，运算后再用比例因子恢复成实际值。
x 0 (1 2b ) i 2i
i 1 b
例： x 0.625 正数表示：0.101 其反码为：1.010
原码和反码的总和1- 2 末尾加1进位成最大值1
b
③补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾
数求反加1，即 2 b）
x 0 i 2 i
c
浮点制运算:
相加 对阶 相加 归一化,并作尾数处理 相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入
。优点: 动态范围大,一般不溢出.
缺点: 相乘、相加，都要对尾数作量化处理。 一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所 以我们讨论误差影响主要针对定点制。
对于任意一个二进制数n，可用N=S×2P表示，其中S为尾数，P为阶
z H ( z) z 0.999
解：由于A/D的量化效应，滤波器输入端的噪声功率为：
214 216 12 12 3
2 e
q2
滤波器的输出噪声功率为：
其积分值等于单位圆内所有极点留数的和。单位圆内有一个极点 z=0.999，所以
e2 1 dz 2j ( z 0.999)(z 1 0.999) z c
例：已知x(n)在-1至1之间均匀分布，求b=8、b=12位
时A/D的SNR。 因均匀分布，所以有： 均值：
Ex(n) 0
方差：
2 x
1 1 2
1
1 x dx 3
2
当 b=8 位，则SNR=54dB，当 b=12 位，则 SNR=78dB.
5.2.4 量化噪声通过线性系统
为了单独分析量化噪声通过系统后的影响，将系统近似看 作是完全理想的（即具有无限精度的线性系统）。在输入端 线性相加的噪声，在系统的输出端也是线性相加的。系统的 输出
2b
2 x
用对数表示：
x2 2 SNR 10 lg( 2 ) 10 lg(12 2 2b ) x e
6.02(b 1) 10 lg(3 )
2 x
• 字长每增加 1 位，量化信噪比增加6个分贝； • 信号能量越大，量化信噪比越高。 注：因信号本身有一定的信噪比，单纯提高量化信噪 比无意义。
2.舍入处理Rounding 通过b+1位上加1后作截尾处理实现。就是通常 的四舍五入法，按最接近的数取量化，所以不论正 q 数、负数，还是原码、补码、反码，误差总是在 2 之间，以xR表示对x作舍入处理。舍入处理的误差 比截尾处理的误差小，所以对信号进行量化时多用 舍入处理。
也就是超过0.5进位，小于则舍去
ˆ ˆ y (n) x(n) h(n) ( x(n) e(n)) h(n) x ( n ) h ( n ) e( n ) h ( n )
输出噪声为 e f (n) e(n) h(n)
如 e(n) 为舍入噪声，则输出噪声的方差为：
h(m)e(n m) h(l )e(n l ) f E e f (n) E m 0 l 0
2 f
1 1 1 0.999 0.999 0.999 2 16 1 2.5444 10 3 3 1 0.999 2
2 f 2 e
q2 e (e me ) p(e)de
2 2
有直流分量，会影响信号的频谱结构。 舍入量化噪声：
me 0
12
e
2
q2
12
可见，量化噪声的方差与A/D变换的字长直接有关， 字长越长，量化噪声越小。
定义量化信噪比：
2 x 2 e
q
2
2 x 12
(12 2 )
如e(n) 为截尾噪声，则输出噪声中还有一直流分量
m f E[e f (n)] E h(m)e(n m) me h(m) me H (e j 0 ) m 0 m 0
例3：一个8位A/D变换器（ 7），其输出 x(n) b ˆ 作为IIR滤波器的输入， 求滤波器输出端的量化噪声功率，已知IIR滤波器的系统函数为：
i b 1
i
q eT (n) 0,
舍入量化误差：
q2
b
上两式给出了量化误差的范围，要精确知道误 差的大小很困难。一般，我们总是通过分析量化噪 声的统计特性来描述量化误差。可以用一统计模型
q q eR (n) 2 2
来表示A/D的量化过程。
图 A/D变换器模型
其中e(n)就是量化误差，对其统计特性作如下假定:： ① e(n)是平稳随机序列； ② e(n)与信号x(n)不相关；
• 补码又称“2的补码”。补码中负数是采用2的补数来表示的，即先把 负数加上2，以便将正数与负数的相加转化为正数与正数的相加，从 而克服原码表示法做加减法的困难。 • X=-0.625在原码中表示为1.101，在补码中为2-0.625=1.375，因此补 码的表示为1.011.
பைடு நூலகம்
（2）浮点表示
1 x M 2 M 1 2 尾数 指数 阶数
b i 1
例：
x 0.75
正数表示：0.110 取反：1.001
x的补码：1.010
原码加减法运算要考虑符号位； 补码加法运算规律： 正负数可直接加减，符号位同样 参加运算，结果仍是补码。 若结果没有超出字长范围，则符号位 丢弃不影响结果的正确性。 若超出字长范围，如符号位发生双进 位，可以自然丢弃，若是单进位，丢 掉则发生溢出；
5.2.3 A/D变换的量化效应
A/D变换器分为两部分： 采样：时间离散，幅度连续； 量化：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理 ，得有限字长数字信号 x(n) 。 ˆ 本节讨论这一过程中的量化效应。
以补码为例
对一个采样数据 x(n)作截尾和舍入处理，则 截尾量化误差： T ( n) e
i 2
定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）： 设有一个（b+1）位码定点数： β0β1β2┄βb，则
①原码所代表的十进制表示为
x (1)
0
i 2 i
i 1
b
例：1.111→-0.875 , 0.010→0.25
②反码表示：（反码和补码的正数表示和原码 没有区别，负数的反码表示就是将该数正数表示形 式中的所有位取反）
b1
“量化宽度”或“量化阶” q=2-b ：代表b位字长可表示的最小 数。
i b 1
2 i (2 b 2 b1 )
一般 2-b1<<2-b, 因此正数的截尾误差为
2）负数
负数的三种码表示方式不同，所以误差也不同。 原码（β0=1）：
b1 i x 2 i i 1
③ e(n)任意两个值之间不相关，即为白噪声；
④ e(n)具有均匀等概率分布。
由上述假定知，量化误差是一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，
称为量化噪声（是一个加性白噪声）。
误差 e(n) 的均值和方差： 截尾量化噪声： 1 m ep(e)de ede q 2 q
0 e q
• 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变， 称为定点制； • 定点制总是把数限制在±1之间；
• 最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在 符号位后； • 数的本身只有小数部分，称为“尾数”；
•定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为
“溢出”； •乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。 为保证字长不变，乘法后，一般要对增加 的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。另外一 种定点数的表示是总把数看成整数。 缺点：动态范围小，有溢出。
§5.2 量化与量化误差
有限字长的二进制数表示数字系统的误差源：
①对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器的字长 影响） ②对输入模拟信号的量化误差（受A/D的精度或位数的影 响） ③运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受计算机 的精度影响）
5．2．1 二进制数的表示
（1）定点表示
0 12 b
2 2
h(m)h(l ) E e(n m)e(n l )
m 0 l 0
由于 e(n) 是白色的，各变量之间互不相关，即 代入上式，得
2 f l 0 m 0
Ee(n m)e(n l ) (m l ) e2
2 e 2 e
h(m)h(l ) (m l )
b i [x] 2 T i i 1
ET xT x
0≤ET<q
i b 1
2
i
b1
i
反码（ 0 1 ）
x 1 i 2 2
i i 1
b1
b1
x T
1 i 2 2
i i 1 b1
b
b
ET x T x i 2 i ( 2 b 2 b1 )
m 0
h
2
(m)
由Parseval定理,
e2 2 2 1 dz e h (m) cH ( z) H ( z ) z 2j m 0
H(z)全部极点在单位圆内， 表示沿单位圆逆时针方
向的圆周积分。由留数定理：
H ( z ) H ( z 1 ) 2 2 f e Res , zk z k
i b 1
0 ET q
补码（ 0 1）
x 1 i 2
i 1
b1
i
xT
1 i 2
i 1 b i b1
b
i
ET i 2 i 2
i 1 i 1
i
因 b1 b, 所以 q ET 0
补码的截尾误差全是负值，原码和反码的截尾误差与数的正负 有关，正数时为负，负数时为正，并且都以正负q为界
1）正数（三种码形式相同）
b1
一个b1位的正数
x 为： x
i 2 i
i 1
用[·T表示截尾处理，则 [ x]T ]
i 1
b
i 2 i
截尾误差
可见，ET≤0，βi全为1时，ET有最大值，
ET
b1 ET [ x]T x i 2 i i b 1
5.2.2 定点制的量化误差
定点制中的乘法，运算完毕后会使字长增加，例如原来是 b位字长，运算后增长到b1位，需对尾数作量化处理使b1位字 长降低到b位。 量化处理方式： 截尾：保留b位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取b位码。 两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，误差 也不同。
1、截尾处理Truncated ：
码，2为阶码的底，P、S都用二进制数表示，S表示N的全部有效数字，P 指明小数点的位置。当阶码为固定值时，数的这种表示法称为定点表示， 这样的数称为“定点数”；当阶码为可变时，数的这种表示法称为浮点 表示，这样的数称为“浮点数”。 通常定点数有两种表示法，均设P=0，小数点是隐含的，若数值部分 为n位： 当S为纯整数时，此时定点数只能表示整数，所能表示的N范围是（2n-1） ≥N≥-（2n-1）；当S为纯小数时，此时定点数只能表示小数，所能表示的 N范围是（1-2-n）≥N≥-（1-2-n）。 实际数值不一定都是纯整数或纯小数，运算前可选择比例因子，使 所有原始数据化成纯小数或纯整数，运算后再用比例因子恢复成实际值。
x 0 (1 2b ) i 2i
i 1 b
例： x 0.625 正数表示：0.101 其反码为：1.010
原码和反码的总和1- 2 末尾加1进位成最大值1
b
③补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾
数求反加1，即 2 b）
x 0 i 2 i
c
浮点制运算:
相加 对阶 相加 归一化,并作尾数处理 相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入
。优点: 动态范围大,一般不溢出.
缺点: 相乘、相加，都要对尾数作量化处理。 一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所 以我们讨论误差影响主要针对定点制。
对于任意一个二进制数n，可用N=S×2P表示，其中S为尾数，P为阶
z H ( z) z 0.999
解：由于A/D的量化效应，滤波器输入端的噪声功率为：
214 216 12 12 3
2 e
q2
滤波器的输出噪声功率为：
其积分值等于单位圆内所有极点留数的和。单位圆内有一个极点 z=0.999，所以
e2 1 dz 2j ( z 0.999)(z 1 0.999) z c
例：已知x(n)在-1至1之间均匀分布，求b=8、b=12位
时A/D的SNR。 因均匀分布，所以有： 均值：
Ex(n) 0
方差：
2 x
1 1 2
1
1 x dx 3
2
当 b=8 位，则SNR=54dB，当 b=12 位，则 SNR=78dB.
5.2.4 量化噪声通过线性系统
为了单独分析量化噪声通过系统后的影响，将系统近似看 作是完全理想的（即具有无限精度的线性系统）。在输入端 线性相加的噪声，在系统的输出端也是线性相加的。系统的 输出
2b
2 x
用对数表示：
x2 2 SNR 10 lg( 2 ) 10 lg(12 2 2b ) x e
6.02(b 1) 10 lg(3 )
2 x
• 字长每增加 1 位，量化信噪比增加6个分贝； • 信号能量越大，量化信噪比越高。 注：因信号本身有一定的信噪比，单纯提高量化信噪 比无意义。
2.舍入处理Rounding 通过b+1位上加1后作截尾处理实现。就是通常 的四舍五入法，按最接近的数取量化，所以不论正 q 数、负数，还是原码、补码、反码，误差总是在 2 之间，以xR表示对x作舍入处理。舍入处理的误差 比截尾处理的误差小，所以对信号进行量化时多用 舍入处理。
也就是超过0.5进位，小于则舍去
ˆ ˆ y (n) x(n) h(n) ( x(n) e(n)) h(n) x ( n ) h ( n ) e( n ) h ( n )
输出噪声为 e f (n) e(n) h(n)
如 e(n) 为舍入噪声，则输出噪声的方差为：
h(m)e(n m) h(l )e(n l ) f E e f (n) E m 0 l 0
2 f
1 1 1 0.999 0.999 0.999 2 16 1 2.5444 10 3 3 1 0.999 2
2 f 2 e
q2 e (e me ) p(e)de
2 2
有直流分量，会影响信号的频谱结构。 舍入量化噪声：
me 0
12
e
2
q2
12
可见，量化噪声的方差与A/D变换的字长直接有关， 字长越长，量化噪声越小。
定义量化信噪比：
2 x 2 e
q
2
2 x 12
(12 2 )