【优质课件】北师大版必修4高中数学第一章三角函数优秀课件.ppt
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新版高中数学北师大版必修4课件：第一章三角函数 1.4.4
角
π 2
±
������的正弦(余弦) 函数值,分别等于角α的余弦(正弦)函数值,
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
口诀:函数名改变,符号看象限.
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12
【做一做 2-1】 sin
-
19π 3
的值等于(
)
A.−
1 2
B.
−
3 2
C.
1 2
D.
3 2
答案:B
【做一做 2-2】 cos 300°的值是( )
sin (2������π-������)cos [(2������-1)π-������] sin [(2������ +1)π+������]cos (2������π+������)
=
sin (-������)cos (π+������) sin (π+������)cos ������
=
(-s-isnin���������)���(c-ocos s������������ )=-1.
= sisnin���������(���-ccooss������������)=-1.
综上可得,原式=-1.
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知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
(方法二)由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得
sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α). 又sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α),
高中数学 第一章《三角函数》正弦函数的图象课件 北师大版必修4
1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图
. . 2
1 o -1
π 2
y=sinx+2, x∈[0， ]
y
.
.
.
3π 2
2
x
12
y sinx, x [0,2π]
2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0， ]的简图
2 y
1 o -1.
y sinx, x [0,2π]
5.1 从单位圆看正弦函数的性质
sin α= v y 1
函数y=sinx 正弦函数y=sinx有以下性 质： （1）定义域：R （2）值域：[-1，1] （3）是周期函数，最小z 正周期是 2
2 （4）在[ 0， ]上的单 调性是：
P(u,v)
o α M 1 x
-1
-1
3
5.2 正弦函数的图象
-
8
5.2 正弦函数的图象
4.五点作图法
y
1-
图象的最高点 ( 与x轴的交点
6
2
,1)
(0,0) ( ,0) (2 ,0)
-1
o
-1 -
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
2
x
-
-
-
-
7
5.2 正弦函数的图象
3.正弦曲线
y
1-
6
高中数学第一章三角函数本章整合课件北师大版必修4
故函数在
-
3π 4
,
π 4
上是增加的.
答案:B
专题一 专题二 专题三
(2)解析:因为
sin
������������
+
π 6
= 12,
所以 ωx1+π6 = π6+2k1π(k1∈Z)或 ωx2+π6 = 56π+2k2π(k2∈Z),
则 又相ω(邻x2交-x1点)=距23π离+2的(k最2-k小1)π值(k为1,kπ32∈, Z).
B.偶函数,且图像关于点(π,0)对称
C.奇函数,且当 x=π2时取得最小值
D.偶函数,且图像关于点
π 2
,0
对称
(2)函数y=Asin(ωx+φ)
������ > 0,������
π > 0,0 ≤ ������ ≤ 2
在x∈(0,7π)内只取
到一次最大值和一次最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3.
故函数的解析式为 f(x)=
2sin
2������
+
π 3
,
所以 f(0)= 2sinπ3 = 26.
答案:
6 2
专题一 专题二 专题三
解析:(1)由于T=π,则ω=2,
因此,f(x)=sin
2������
+
π 4
.
又因为 g(x)=cos 2x=sin
2������
+
π 2
,
而 f(x+φ)=sin 故 φ=π8,
专题一 专题二 专题三
【例1】 (1)已知角α终边上一点P(-4,3),
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.7.1-1.7.2正切函数的图像与性质课件
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做3-1】 已知直线y=a与函数y=tan x的两条渐近线的交点 分别为A,B,则|AB|的最小值是 . 答案:π
【做一做 3-2】 函数 y= tan������的递增区间是____
答案: ������π,������π +
π 2
(������∈Z)
-13-
7.1 7.2
如图:
-5-
7.1 7.2
1
正切函数的定义 正切函数的图像与性质
3
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知识梳理
典例透析
随堂演练
2
【做一做 1-1】 已知角 α 的终边在直线 y=2x 上, 则 tan α 的值 是( ) A. 2 B. ± 2 C.
2 2 D. ± 5 5
2������ tan α= ������
解析:在角 α 的终边上取一点(k ,2k )(k≠0),则
§7 正切函数
-1-
7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
-2-
7.1 7.2
正切函数的定义 正切函数的图像与性质
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知识梳理
典例透析
随堂演练
1.理解正切函数的定义,掌握正切函数的符号规律. 2.了解正切线的作法. 3.掌握正切函数的图像与性质,并能运用图像与性质求解一些简 单问题.
题型一
正切函数的定义 正切函数的图像与性质
题型二 题型三 题型四
名师点拨tan α只与角α的大小有关,与点P的位置无关;tan α是一 个整体,离开α的tan是没有意义的,它表示一个比值,而不是tan与α的 积.
π ������ ������
π 2
-4-
新版高中数学北师大版必修4课件：第一章三角函数 1.7.1-1.7.2
≠
������π
+
π 2
,������∈Z
.
(4)任意角的正切值的符号可用如下表格表示:
α 的终边 x 轴非 第一 y 轴非 第二 x 轴非 第三 y 轴非 第四 所在位置 负半轴 象限 负半轴 象限 正半轴 象限 正半轴 象限
tan α 0
+ 不存在 - 0
+ 不存在 -
如图:
随堂演练
123
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3.关于正切函数y=tan x,下列判断中不正确的是( ) A.是奇函数 B.在定义域内无最大值和最小值 C.在整个定义域上是增加的 D.平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等 答案:C
随堂演练
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知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
4 若 tan x− 3≥0,则 x 的取值范围是 .
解析:由题意,知 tan x≥
(b-a)max=kπ+
π 2
−
������π
=
π2.
答案:π2
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典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点 误用正切函数的单调性
【例 4】 求函数 y= 3tan������ + 3的定义域.
错解:由题意,得
tan
x≥−
3 3
,
解得
x≥−
π 6
+
������π,
������ ∈Z,故原函数的定
余弦函数是连续函数,反映在图像上是连续无间断点,而正切函数在
R
上不连续,它有无数条渐近线
x=kπ+
高中数学第1章三角函数7正切函数课件北师大版必修4
阶 段
§7 正切函数
阶 段
一
三
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
学
阶 段 二
7．3 正切函数的诱导 2．能画出y＝tan xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z的图像．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间－π2，π2 内的单调性．(重点) 4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
1．三点两线画图法 “三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1；“两线”是指 x＝－π2和 x＝π2.在三点、 两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在－π2，π2上的简图， 然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由 y＝f(x)的图像得到 y＝f(|x|)及 y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称 变换法完成；即只需作出 y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于 y 轴对称便可以得到 y＝ f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出 y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得 到 y＝|f(x)|的图像．
(2)若已知Q35，45，试求tan α.
图1－7－2
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α 的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过 程中，应注意分子、分母的位置． 3．tan α＝csoins αα知其中两个，可求另一个．
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．
1．正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠ π2＋kπ(k∈Z) ，且角α的终边与
§7 正切函数
阶 段
一
三
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
学
阶 段 二
7．3 正切函数的诱导 2．能画出y＝tan xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z的图像．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间－π2，π2 内的单调性．(重点) 4.正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
1．三点两线画图法 “三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1；“两线”是指 x＝－π2和 x＝π2.在三点、 两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在－π2，π2上的简图， 然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
2．如果由 y＝f(x)的图像得到 y＝f(|x|)及 y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称 变换法完成；即只需作出 y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于 y 轴对称便可以得到 y＝ f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出 y＝f(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得 到 y＝|f(x)|的图像．
(2)若已知Q35，45，试求tan α.
图1－7－2
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α 的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过 程中，应注意分子、分母的位置． 3．tan α＝csoins αα知其中两个，可求另一个．
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36～P38“动手实践”以上部分，完成下列问题．
1．正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠ π2＋kπ(k∈Z) ，且角α的终边与
北师大版必修4高中数学第一章《三角函数》ppt课件
(C)横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向 左平移 个单位长度
6
(D)横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向 左平移 个单位长度
2
【解析】选D.y=2sinx,x∈R的图像上所有的点横坐标伸长到
原来的3倍(纵坐标不变)，得 y 2si再n 1把x 所得各点向左平
2.弧长公式、扇形面积公式
记准弧度数计算公式 l 和扇形面积公式 s 1 lr ，
r
2
很容易推出弧长公式l=|α |r和扇形面积公式 s 1 r2 .
2
在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混
用.
【例1】(1)把 11 表示成2kπ +θ (k∈Z)的形式，使|θ |最
4
小的θ 值是( )
(A) 3
4
(B)
4
(C) (D) 3
4
4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中
绝对值最小的角α 是_______.
【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ 与 1终1边相同.
4
(2)若角α，β的终边关于原点对称则其终边互为反向延长
线，因此α+180°与角β终边相同.
)
tan(
1 17
)
1 tan(3
)
6
6
1 tan
1 3
3.
63
三角函数的图像 对三角函数的图像的几点认识
本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论， 主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等. (3)图像变换法，利用已知函数与未知函数解析式之间的关系， 用平移、伸缩、对称变换画图.
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
Office组件之word2007
思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
Office组件之word2007
1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
2020秋新版高中数学北师大版必修4课件：第一章三角函数 1.2 .pptx
2
������ 是第三象限角.
2
故角 ������ 的终边落在第一象限或第三象限.
2
-17-
§2 角的概念的推广
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知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
ห้องสมุดไป่ตู้题型三
题型四
反思已知角
α
所在的象限或它的终边的位置,判断角
������ 2
的终边所在的位置常用八卦图法:如图,作出各个象限的角平分线,它
们与坐标轴把周角等分成 8 个区域,从 x 轴的非负半轴起,按逆时针
3
解:∵α 是第一象限角,
∴k×360°<α<k×360°+90°(k∈Z).
∴ ������ × 360°< ������ < ������ × 360°+ 30°(������∈Z).
3
33
当 k=3n,n∈Z 时,n×360°< ������ < ������ × 360°+ 30°,
3
∴ ������ 是第一象限角;
3
当 k=3n+1,n∈Z时,n×360°+120°< ������ < ������ × 360°+ 150°,
3
∴ ������ 是第二象限角;
3
-19-
§2 角的概念的推广
目标导航
题型一
题型二
题型三
题型四
知识梳理
典例透析
随堂演练
当
k=3n+2,n∈Z
时,n×360°+240°<
������ 3
合:{α|k×360°+270°<α<k×360°+360°,k∈Z}.
数学北师大必修四课件：第一章 三角函数 1.4.3-1.4.4
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
3sin x+1 在
-
π 6
,
2π 3
上的最大值是-3×
-
1 2
+1=52;最小值是-3×1+1=-2.
反思感悟对于形如y=asin x+b的函数性质的研究可借助y=sin x
的性质.要清楚a,b对函数y=asin x+b的影响,若参数不确定还要注意
分类讨论.
探究一
探究二
探究三
首页 探究四
Z 自主预习 IZHUYUXI
1.定义域是R;
2.最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1];
3.它们是周期函数,其周期都是2kπ(k∈Z),最小正周期为2π;
4.正弦函数
y=sin
x
在每一个区间
2������π-
π 2
,2������π
+
π 2
(k∈Z)上是增
加的,在每一个区间
2������π
+
π 2
,2������π
+
3π 2
H 合作学习 EZUOXUEXI
变式训练1求函数y=2cos x-4的定义域、值域、最值、周期以及 单调区间.
解:由y=cos x的基本性质可知函数y=2cos x-4的性质如下: 定义域:R. 值域:[-6,-2]. 最值:当x=2kπ(k∈Z)时,取最大值为-2; 当x=2kπ+π(k∈Z)时,取最小值为-6. 周期:周期为2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π. 单调区间:由y=cos x的单调性可知,y=2cos x-4在区间[2kππ,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
数学北师大必修四课件：第一章 三角函数 1.8
+
π 5
,x∈R 的图像
像(向2)左要平得移到π5y个=单sin位2长������ 度+ π5即,可x∈得R到的. (图像,)只需将 y=sin 2x,x∈R 的图
(3)对于正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),x∈R来说一
定有ymax=A+B,ymin=-A+B. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)√
������-
π 5
(3)横 3 (4)y=4sin x-3
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
一二三四
二、A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响
1.在函数y=Asin x(A>0)中,A决定了函数的值域以及函数的最大
§8 函数y=Asin(ωx+φ )的图像与性质
-1-
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
课标阐释
思维脉络
1.掌握 y=sin x 与 y=Asin
x,y=sin ωx,y=sin(x+φ)(A>0 且 A≠1,ω>0 且 ω≠1,φ≠0)的 图像间的关系,会进行函 数图像的变换. 2.会用“五点法”作函数
y=Asin(ωx+φ)+b的图像.
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
首页
Z 自主预习 IZHUYUXI
H 合作学习 EZUOXUEXI
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
一二三四
【做一做 3】 把函数 y=sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平移π3 个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐 标不变),得到的图像所表示的函数是( )
高中数学 第一章 三角函数 1.7.1-1.7.2 正切函数的定义、正切函数的图像与性质课件 北师大版必修4
K12课件
7
做一做3 已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终 边( ) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上
解析:由题意可知tan α=±1,所以角α的终边在直线y=x或y=-x上.故
选D. 答案:D
K12课件
8
三、正切函数的图像
根据正切函数的定义域,我们可选择区间
+
3π 4
,������∈Z
解析:y=tan π -������ =-tan ������- π ,因此,应有 x-π≠kπ+π(k∈Z),即
4
4
4
2
x≠kπ+34π(k∈Z).
答案:D
K12课件
12
做一做 6
函数 f(x)=tan
������ + π
4
的单调增区间为
A. ������π- π ,������π + π ,k∈Z
22
θ=
.
答案: 3 做一做 2 若角 α 的终边上有一点 P(2,x),且 tan α=-3,则 x 的值等于
()
A.6
B.-2
3
答案:D
C.2
D.-6
3
K12课件
6
二、正切线 如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意 角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边 或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第 三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位 于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终 边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为 角α的正切线.
新版高中数学北师大版必修4课件：第一章三角函数 1.8.3
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知识梳理
典例透析
随堂演练
一二
(2)先伸缩后平移
①画函数 y=sin x(x∈[0,2π])的图像;
②将其横坐标变为原来的
1 ������
(纵坐标不变),
得到函数������
=
sin ������������的图像;
③将其纵坐标变为原来的 A 倍(横坐标不变),得到函数 y=Asin
ωx 的图像;
随堂演练
反思确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤:
(1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=
������-������ , ������ = ������+������ ;
2
2
(2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω= 2π ;
������
(3)求 φ,常用方法有:①代入法;②五点法.
第3课时 函数y=Asin(ωx+φ )的图像
与性质习题课
-1-
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知识梳理
典例透析
随堂演练
1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的作法. 2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的性质. 3.会利用y=Asin(ωx+φ)的图像、性质求解一些简单问题.
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知识梳理
典例透析
一二
一、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图像的画法
④将其图像沿 x 轴平移
������ ������
个单位长度得到函数������ = ������sin(������������ +
������)的图像;
高中数学第一章三角函数本章整合课件北师大必修4
D. (π, 0)
2π , ������ π +6
解析:∵T=2× 2 = π , ������ = ∴ω=2, ∴f (x)=12sin 2������
π 6
.
令 2x+ = ������π, ������∈Z, 则 x=− ∴f (x)图像的对称中心是
π
π ������ + π, ������∈Z, 12 2 π ������ - 12 + 2 π, 0 , ������∈Z,条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角 概念 正角:按逆时针方向旋转所成的角 零角:没有任何旋转的角 负角:按顺时针方向旋转所成的角 任意角 1 弧度的角:在以单位长为半径的圆中, 单位长度的弧所对的圆心角为 1 弧度的角 弧度制 1rad = 180 °,1° = π rad π 180 ������ 1 公式:| ������| = ,������ = ������������ ������ 2 终边相同的角的集合:{������|������ = 2������π + ������,������∈Z} ������ ������ ������ 三角函数的定义:sin ������ = ,cos������ = ,tan������ = ������ ������ ������ 三角函数 π 诱导公式:2������π + ������(������∈Z),- ������,π ± ������, ± ������,2π-������ 2
������π 2 π 2 π
, 0 (������∈Z), 但 y=tan x 的图
专题1
专题2
专题3
专题4
专题5
应用 1 求函数 y=sin 2������-
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.1-1.4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件
-5-
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
1
2
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典例透析
随堂演练
3
4
5
(2)定义 2. 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数. 如图 ②, 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), 它与原 点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 > 0), 那么: ①比值 ������ 叫作������的正弦函数, 记作 sin ������, 即 sin ������ = ������ ; ②比值 ������ 叫作������的余弦函数, 记作 cos ������ , 即 cos ������ = ������ .
典例透析
随堂演练
3
4
5
2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
图① (1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位 圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重 合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角 α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记 作u=cos α.
答案:C
1 1 3 3 D. − 2 2
11π 6
=(
)
-14-
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
1 2 3 4
5
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5.周期函数 (1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的 任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这 个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小 的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指 明,一般都是指它的最小正周期. 名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含 有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次. (3)正弦函数和余弦函数的周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
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(2)定义 2. 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数. 如图 ②, 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), 它与原 点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 > 0), 那么: ①比值 ������ 叫作������的正弦函数, 记作 sin ������, 即 sin ������ = ������ ; ②比值 ������ 叫作������的余弦函数, 记作 cos ������ , 即 cos ������ = ������ .
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2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
图① (1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位 圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重 合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角 α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记 作u=cos α.
答案:C
1 1 3 3 D. − 2 2
11π 6
=(
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4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
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5.周期函数 (1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的 任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这 个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小 的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指 明,一般都是指它的最小正周期. 名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含 有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次. (3)正弦函数和余弦函数的周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.
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4
小的θ 值是( )
(A) 3
4
(B)
4
(C) (D) 3
4
4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中
绝对值最小的角α 是_______.
【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与11 终边相同.
4
(2)若角α，β的终边关于原点对称则其终边互为反向延长
线，因此α+180°与角β终边相同.
cos sin( )
，
若 17 ，求f(α )的值；
6
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的
方法化简求值.
【规范解答】f
2sin
cos 2sin2
cos sin( )
1 17
)
1 tan(3
)
6
6
1 tan
1 3
3.
63
三角函数的图像 对三角函数的图像的几点认识
本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论， 主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等. (3)图像变换法，利用已知函数与未知函数解析式之间的关系， 用平移、伸缩、对称变换画图.
中小学精编教育课件
任意角和弧度制
1.对任意角概念的理解 (1)角的分类： 任意角可按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)象限角和终边相同的角 正确理解象限角、锐角、钝角、小于90°的角等概念，注意 各自特点，会根据其终边位置表示这些角. (3)理解弧度的概念，正确利用π rad=180°进行度与弧度的 互化.
2sin cos cos
2sin2 sin
2sin cos cos 2sin2 sin
2sin 2sin
1cos 1sin
1 tan
若 17 ，
6
则
f
(
17 6
)
tan(
6
度，得到 y sin(x ) 的图像，再把所得图像的横坐标伸长到
6
原来的2倍(纵坐标不变)，得到 y sin(1 x ) 的图像.
23
3
任意角的三角函数的概念
1.对任意角的三角函数概念的理解 (1)任意角的正弦、余弦、正切函数由角的终边位置唯一确定. (2)了解三角函数线，从几何角度理解三角函数的定义. (3)根据三角函数的定义推出并熟记以下知识 三角函数值在各象限内的符号；三角函数的定义域；特殊角 的三角函数值.
【例3】(2011·福建高考改编)设函数 f 3sin cos ,其
中，角θ 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合， 终边经过点P(x,y)且0≤θ ≤π ,若点P的坐标为( 1 , 3 ),求f(θ )
22
的值.
【审题指导】根据任意角的三角函数的定义,只要求出角θ终
边与单位圆交点的坐标,就可以求出sinθ,cosθ.
【规范解答】由点P的坐标和三角函数的定义可得
怎样平移和伸缩变换得到的．
【审题指导】(1)五点法画函数图像的关键是 1 x 整体取
26
0, ,π, 3 ,2π.
2
2
(2)平移变换要遵循“左加右减，上加下减”，伸缩变换要依
据周期变换和振幅变换确定.
【规范解答】(1)先列表，后描点并画图．
(2)方法一：把y=sinx的图像上所有的点向左平移 个单位长
2.弧长公式、扇形面积公式
记准弧度数计算公式 l 和扇形面积公式 s 1 lr ，
r
2
很容易推出弧长公式l=|α |r和扇形面积公式 s 1 r2 .
2
在同一个式子中，采用的度量制度必须)把 11 表示成2kπ +θ (k∈Z)的形式，使|θ |最
【例2】已知扇形的圆心角为 ，它所对的弦长等于2，求
3
扇形的弧长和扇形的面积.
【审题指导】解答本题的关键是根据平面图形的性质求出扇
形的半径长.
【规范解答】∵扇形的圆心角|θ|=
3
∴扇形半径和弦构成等边三角形
∴扇形的半径r=2∴扇形的弧长l= 2 2
3
3
∴扇形的面积 s 1 22 2 .
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.
诱导公式的应用过程中，往往会由于角终边位 置的确定错误而导致符号错误，要特别注意.
【例4】设
f
2sin
2sin2
cos
图像的平移变换极易出错，解答时一方面要注 意平移方向，另一方面要根据自变量本身的变化量确定平移 量.
【例5】已知函数 f x sin(1 x )
26
(1)利用“五点法”画出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区
间的简图；(要求列出表格)
(2)说明函数y=f(x)的图像可由函数y=sinx(x∈R)的图像经过
【规范解答】(1)选A.由已知得θ与 11 终边相同
4
所以 2k 11(k∈Z)
4
当k=0时θ= 11 ；当k=1时θ= 3
4
4
当k=2时θ= 5
4
∴使|θ|最小的θ值是 3
4
(2)∵角α的终边与角-330°的终边关于原点对称 且-330°+180°=-150° ∴角α的终边与角-150°的终边相同 ∴α=k×360°-150°,k∈Z 当k=0时α=-150°；当k=1时α=210° ∴绝对值最小的角α是-150° 答案：-150°
sin
3 2
cos
1 2
于是 f
3sin cos
3 3 1 2.
22
正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用 (1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
小的θ 值是( )
(A) 3
4
(B)
4
(C) (D) 3
4
4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中
绝对值最小的角α 是_______.
【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与11 终边相同.
4
(2)若角α，β的终边关于原点对称则其终边互为反向延长
线，因此α+180°与角β终边相同.
cos sin( )
，
若 17 ，求f(α )的值；
6
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的
方法化简求值.
【规范解答】f
2sin
cos 2sin2
cos sin( )
1 17
)
1 tan(3
)
6
6
1 tan
1 3
3.
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三角函数的图像 对三角函数的图像的几点认识
本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论， 主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等. (3)图像变换法，利用已知函数与未知函数解析式之间的关系， 用平移、伸缩、对称变换画图.
中小学精编教育课件
任意角和弧度制
1.对任意角概念的理解 (1)角的分类： 任意角可按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)象限角和终边相同的角 正确理解象限角、锐角、钝角、小于90°的角等概念，注意 各自特点，会根据其终边位置表示这些角. (3)理解弧度的概念，正确利用π rad=180°进行度与弧度的 互化.
2sin cos cos
2sin2 sin
2sin cos cos 2sin2 sin
2sin 2sin
1cos 1sin
1 tan
若 17 ，
6
则
f
(
17 6
)
tan(
6
度，得到 y sin(x ) 的图像，再把所得图像的横坐标伸长到
6
原来的2倍(纵坐标不变)，得到 y sin(1 x ) 的图像.
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任意角的三角函数的概念
1.对任意角的三角函数概念的理解 (1)任意角的正弦、余弦、正切函数由角的终边位置唯一确定. (2)了解三角函数线，从几何角度理解三角函数的定义. (3)根据三角函数的定义推出并熟记以下知识 三角函数值在各象限内的符号；三角函数的定义域；特殊角 的三角函数值.
【例3】(2011·福建高考改编)设函数 f 3sin cos ,其
中，角θ 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合， 终边经过点P(x,y)且0≤θ ≤π ,若点P的坐标为( 1 , 3 ),求f(θ )
22
的值.
【审题指导】根据任意角的三角函数的定义,只要求出角θ终
边与单位圆交点的坐标,就可以求出sinθ,cosθ.
【规范解答】由点P的坐标和三角函数的定义可得
怎样平移和伸缩变换得到的．
【审题指导】(1)五点法画函数图像的关键是 1 x 整体取
26
0, ,π, 3 ,2π.
2
2
(2)平移变换要遵循“左加右减，上加下减”，伸缩变换要依
据周期变换和振幅变换确定.
【规范解答】(1)先列表，后描点并画图．
(2)方法一：把y=sinx的图像上所有的点向左平移 个单位长
2.弧长公式、扇形面积公式
记准弧度数计算公式 l 和扇形面积公式 s 1 lr ，
r
2
很容易推出弧长公式l=|α |r和扇形面积公式 s 1 r2 .
2
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【例2】已知扇形的圆心角为 ，它所对的弦长等于2，求
3
扇形的弧长和扇形的面积.
【审题指导】解答本题的关键是根据平面图形的性质求出扇
形的半径长.
【规范解答】∵扇形的圆心角|θ|=
3
∴扇形半径和弦构成等边三角形
∴扇形的半径r=2∴扇形的弧长l= 2 2
3
3
∴扇形的面积 s 1 22 2 .
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.
诱导公式的应用过程中，往往会由于角终边位 置的确定错误而导致符号错误，要特别注意.
【例4】设
f
2sin
2sin2
cos
图像的平移变换极易出错，解答时一方面要注 意平移方向，另一方面要根据自变量本身的变化量确定平移 量.
【例5】已知函数 f x sin(1 x )
26
(1)利用“五点法”画出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区
间的简图；(要求列出表格)
(2)说明函数y=f(x)的图像可由函数y=sinx(x∈R)的图像经过
【规范解答】(1)选A.由已知得θ与 11 终边相同
4
所以 2k 11(k∈Z)
4
当k=0时θ= 11 ；当k=1时θ= 3
4
4
当k=2时θ= 5
4
∴使|θ|最小的θ值是 3
4
(2)∵角α的终边与角-330°的终边关于原点对称 且-330°+180°=-150° ∴角α的终边与角-150°的终边相同 ∴α=k×360°-150°,k∈Z 当k=0时α=-150°；当k=1时α=210° ∴绝对值最小的角α是-150° 答案：-150°
sin
3 2
cos
1 2
于是 f
3sin cos
3 3 1 2.
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正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用 (1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限