【精品】高中数学 必修2_平面的基本性质__讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

平面的基本性质

【学习目标】

1.利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．

2．重点掌握平面的基本性质．

3.能利用平面的性质解决有关问题．

【要点梳理】

【高清课堂：空间点线面之间的位置关系知识讲解】

要点一、平面的基本概念

1.平面的概念：

“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．要点诠释：

(1)“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；

(2) “平面”无厚薄之分；

(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．

2.平面的画法：

通常画平行四边形表示平面．

要点诠释：

(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成45o，横边长是其邻边的两倍；

(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；

3.平面的表示法：

(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面α、平面β、平面γ等；

(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD ；

(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面AC 或者平面BD ；

4.点、直线、平面的位置关系：

(1)点A 在直线a 上，记作A a ∈；点A 在直线a 外，记作A a ∉；

(2)点A 在平面α上，记作A α∈；点A 在平面α外，记作A α∉；

(3)直线l 在平面α内，记作l α⊂；直线l 不在平面α内，记作l α⊄．

要点二、平面的基本性质

平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.

1.公理1：

(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；

(2)符号语言表述：A l ∈，B l ∈，A α∈，B l αα∈⇒⊂；

(3)图形语言表述：

要点诠释：

公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．

2.公理2：

(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

(2)符号语言表述：A 、B 、

C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使得A α∈，B α∈，C α∈； (3)图形语言表述：

要点诠释：

公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．

“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．

(4)公理2的推论：

①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；

②过两条相交直线，有且只有一个平面；

③过两条平行直线，有且只有一个平面.

(5)作用：确定一个平面的依据.

3.公理3：

(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

(2)符号语言表述：P l αβαβ∈⇒=I I 且P l ∈；

(3)图形语言表述：

要点诠释：

公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.

要点三、点线共面的证明

所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．

1．证明点线共面的主要依据：

（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．

2．证明点线共面的常用方法：

（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先

证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面a 、β重合；（3）反证法．

3．具体操作方法：

（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；

（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．

要点四、证明三点共线问题

所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．

1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．

对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．

2．证明三点共线的常用方法

方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．

方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．

要点五、证明三线共点问题

所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．

1．证明三线共点的依据是公理3．

2．证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

【经典例题】

类型一、平面的概念及其表示

例1．平面α内的直线a 、b 相交于点P ，用符号语寄语言概述为“a b P =I ，且P ∈α ”，是否正确？

【答案】不正确