角平分线的性质

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直角三角形角平分线的性质

直角三角形角平分线的性质直角三角形是指一个三角形中存在一个内角为90度的角。

直角三角形角平分线，顾名思义，就是将直角三角形的直角角平分为两个相等的角的线段。

下面将介绍直角三角形角平分线的性质。

1. 角平分线相等性：直角三角形的角平分线将直角角等分为两个相等的角。

这意味着，当一条直角三角形的角平分线与另一条角平分线相交时，它们所形成的两个角必然相等。

2. 角平分线与斜边的关系：直角三角形的角平分线与斜边的关系很特殊，它们具有以下性质：(a) 角平分线与斜边垂直：直角三角形的角平分线与斜边垂直相交。

这意味着，角平分线与斜边所形成的两个角互为互补角，它们的和为90度。

也就是说，两个角的度数加起来等于90度。

(b) 角平分线与斜边的比例关系：在直角三角形中，角平分线与斜边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对斜边的比值。

这一比例关系被称为角平分线定理，它表达为：AC / AB = BC / AB = AC / BC其中，AC和BC分别为直角角边，AB为斜边。

3. 角平分线与底边的比例关系：直角三角形的角平分线与底边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对底边的比值。

这一比例关系也被称为角平分线定理。

4. 角平分线的交点：直角三角形的角平分线两两相交于直角的外心，也就是直角的顶点所在的点。

这个点被称为直角三角形的外心。

5. 角平分线与直角角边的关系：直角三角形的角平分线与直角角边的交点，将直角角边分割成两个部分，其长度比等于斜边与整个直角角边的比值。

这一比例关系也被称为角平分线定理。

通过研究直角三角形角平分线的性质，我们可以应用这些性质去解决一些几何问题。

例如，可以利用角平分线与斜边的垂直关系来证明直角三角形的三个内角之和为180度；也可以利用角平分线与底边的比例关系来计算直角三角形的边长等等。

总之，直角三角形角平分线具有多种性质，包括相等性、垂直性、比例关系以及与直角的外心等特点。

这些性质为解决几何问题提供了有力的工具和方法。

角的平分线的性质

角的平分线的性质一. 根底知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如下列图，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如下列图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据某点到角两边的距离相等，那么常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质〞和“判定〞恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上〞的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如以下列图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现方案修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，那么∠AOC的度数为.2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，那么BC=_____cm.第4题第5题第6题第7题6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，那么CF______FG，CE________CF.7．如图，AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，那么直线MN与PQ的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，那么∠BOC的度数为_____________．10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，假设BC=32且BD∶CD=9∶7，那么D到AB的距离为.二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是〔〕A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，以下结论错误的选项是〔〕A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互穿插的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，那么可供选择的地址有〔〕A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，那么△DEB 的周长为〔〕 A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题第13题第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，那么对于以下结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的选项是〔〕A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，那么点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为〔〕A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是〔〕A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明21．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.22．如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，假设BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .DCBAO 第18题23．如图，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .DF CBAE24．如图，AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)假设DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)假设没有第〔1〕中的条件，是否有这样的结论"试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．在△ABC 中，∠A 、∠B 的角平分线交于点O ，过O 作OP ⊥BC 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．〔1〕求BP、CQ、AR的长．〔2〕假设BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，假设∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．〔1〕求证：BC=2AD；〔2〕求证：AB=AE+CE；〔3〕求证：DE平分∠MDB3.如图，点M〔2，2〕，将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：〔1〕求证：OM平分∠AOB；〔2〕求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．〔1〕求证：△ACD≌△BCE；〔2〕求证：CH平分∠AHE；〔3〕求∠CHE的度数．〔用含α的式子表示〕家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，那么M到OB的距离为_________.3、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，那么BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

角平分线的性质

推理的理由有三个，必须写完全，不能
少了任何一个.
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）C .
∴ BD = CD ,
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
SPDB

1 2
·AB·PD=28.
B
（3）求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质：存在角平分线条件涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积利用角平分线的性
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． B E
(
A
34 P
12 DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，
ห้องสมุดไป่ตู้E G
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
C
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
知识要点
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.

角平分线的性质

角平分线的性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。

在几何学中，角平分线有着许多重要的性质和应用。

本文将详细介绍角平分线的性质，并通过实例来说明其应用。

一、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。

角平分线有以下几个重要的性质：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。

这是因为角平分线将角分成两个相等的角，所以从角平分线上的任意一点到角两边的距离都是相等的。

2. 角平分线与角的两边相交，将角分成两个相等的角。

这是角平分线的定义。

3. 一个角的两条平分线相交于角的顶点，并且将角分成四个相等的角。

这是因为一个角的两条平分线相交于角的顶点，将角分成两个相等的角，而每个相等的角又被另一条平分线分成两个相等的角，所以整个角被平分线分成四个相等的角。

4. 角平分线与角的另一条边垂直相交。

这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而相等的角的边垂直相交，所以角平分线与角的另一条边垂直相交。

二、角平分线的应用角平分线在几何学中有着广泛的应用，下面将通过实例来说明角平分线的应用。

例1：已知角ABC的角平分线AD，角ACD=60°，求角ABC的度数。

解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=60°，所以角ABC=180°-60°-60°=60°。

例2：已知角ABC的角平分线AD，角ACD=40°，角BAD=30°，求角ABC的度数。

解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=40°，所以角ABC=角ACD+角BAD=40°+30°=70°。

例3：已知角ABC的角平分线AD，角BAD=40°，角BCD=60°，求角ABC的度数。

解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=60°，所以角ABC=角ACD+角BAD=60°+40°=100°。

《角的平分线性质》

《角的平分线性质》汇报人：日期:•复习导入•探索角平分线的性质•深化理解与运用目录•综合练习•小结与反思复习导入01回顾角的概念直角等于90度的角。

锐角大于0度小于90度的角。

钝角大于90度但小于180度的角。

周角等于360度的角。

平角等于180度的角。

角平分线：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

角平分线的定义定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理2一个角的两边的距离相等的点一定在这个角的平分线上。

角平分线的性质定理探索角平分线的性质02这个性质可以用于证明两个角是否相等，或者用于找到一个点到一条直线的最短距离。

角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等。

描述了角平分线的一个基本性质，即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。

这个性质在几何学中非常重要，因为它提供了测量角度大小的一种方法。

角平分线的性质三角形内心到三角形三边的距离相等。

这个性质是角平分线性质在三角形中的推广，它表明三角形内心到三角形三边的距离相等。

这个性质在解决与三角形内切圆有关的问题时非常有用。

例如，可以利用这个性质来证明一个三角形内切圆的半径等于该三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离之和。

角平分线的性质在同一平面内，如果两条角平分线相等，那么它们所夹的角也相等。

这个性质可以用于证明两个角是否相等，或者用于找到两个相等的角所对应的两条角平分线之间的距离。

例如，可以利用这个性质来证明一个等腰三角形的底边上的高与两条腰上的高相等。

深化理解与运用03总结：角平分线性质是几何学中的重要概念，通过运用角平分线的性质进行证明，可以解决许多几何问题。

角平分线性质定理表明，一个角的平分线将这个角分为两个相等的部分。

这个性质可以用于证明两个角相等、两条线段相等等。

在证明过程中，通常需要借助三角形全等或平行线的性质等其他基本定理。

运用角平分线的性质进行证明总结：角平分线的性质不仅在几何学中有广泛应用，在日常生活中也有很多实际应用。

角平分线性质定理

角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。

它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。

根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。

角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。

以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。

性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。

我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。

性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。

性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。

性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。

应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。

通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。

同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。

结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。

通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。

对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。

角平分线的定义及性质应用

角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。

角平分线具有一些重要的性质和应用。

首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。

这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。

这是角平分线最基本的性质之一。

其次，角平分线具有对称性。

如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。

同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。

这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。

此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。

以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。

这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。

2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。

也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。

这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。

3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。

换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。

这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。

4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。

这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。

5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。

内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。

内心的存在和性质可以用角平分线来证明。

综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。

角平分线的性质

角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。

在几何学中，角平分线具有一些重要的性质和应用。

本文将探讨角平分线的性质以及相关的几何问题。

一、角平分线的定义和性质在平面几何中，给定一个角，如果存在一条直线将这个角分成两个相等的部分，那么这条直线被称为这个角的平分线。

1. 角平分线等分角角平分线的主要性质是将一个角等分为两个相等的角。

设角AOB 为被平分的角，AC为其平分线，那么∠CAB = ∠CBO，∠CBA =∠CAO。

2. 角平分线垂直角当角的两边与平分线相交时，所形成的四个小角中，相邻的两个小角互为补角，即它们的和为90度。

这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而补角的度数总是相等的。

3. 角平分线等分周角在一个凸多边形中，如果有一个角的两边分别与相邻两边的平分线相交，那么该角被平分成两个相等的角。

这个性质可以用来证明角平分线的存在和角平分线的长度。

二、角平分线的应用角平分线的性质在几何学中有许多重要的应用。

下面介绍两个常见的应用场景：1. 证明角平分线的存在在一些几何问题中，需要证明角的平分线是否存在，以及如何构造这条平分线。

通常可以利用角平分线等分角的性质进行证明。

通过使用尺规作图或其他几何方法，可以找到这条平分线并证明其存在。

2. 角平分线的长度在一些几何问题中，需要求解角平分线的长度。

根据角平分线性质，可以设计出一些方法来计算角平分线的长度。

比如，可以利用三角函数或相似三角形的性质，通过已知条件求解平分线的长度。

三、小结角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。

它具有等分角和垂直角的性质，在几何学中具有重要的应用。

通过证明角平分线的存在和求解角平分线的长度，可以解决一些与角平分线相关的几何问题。

在解题过程中，我们可以利用角平分线等分角、角平分线垂直角以及角平分线等分周角的性质来推导和计算。

熟练掌握角平分线的性质和应用，能够更好地解决几何学中与角平分线相关的问题。

角的平分线的性质(基础)知识讲解

角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,PP P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．2、如下图, △ABC 中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对举一反三：AB AC ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．。

角平分线的性质

明过程．
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×
B
）
A
D
求证：PD =PE．
O
A
D C
P
E
B
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上
，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
D
∠ PDO= ∠ PEO
能少了任何一个。
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边 O
2
的距离相等)
P
E
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证
C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
)
（×
A B
）
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）

数学上册角的平分线的性质

计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积关系
04 角的平分线与三角形面积关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如，在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中性质
05 角的平分线在几何变换中性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下保持其性质不变，即平移后的角平分线仍然是原角的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角平分线的性质知识点

角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。

其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。

本节有配套免费学习视频。

二、知识要点1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

如下图：0C平分/ AOB•••0C平分/ AOB•••/ AOC M BOC2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

【重点】如第一个图：•••OC平分/ AOB（或/ 仁/ 2）, PEL OA,PDLOB••• PD=PE此时我们知道△ OPE^A OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边）3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

如第一个图：••• PE L OA,PDL OB,PD=PE•••OC T 分/ AOB（或/ 仁/ 2）4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。

如下图：I ---------------1 ---------------- 1A C BVC是AB的中点••• AC=BC5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。

如图：【重点】V AB丄CD•••/ AOC M AOD M BOC =/ BOD=90或VZ AOC=90••• AB丄CD注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的一个角是直角就可以了。

反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。

6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

•••△ABC^A A'B'C'••• AB=A'B',BC=BC,AC=AC;Z A=Z A', Z B=Z B', Z C=Z C'三、经验之谈：本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到题目中出现角平分线，我们要会利用它的性质。

角的平分线的性质

角的平分线的性质一. 基础知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如图所示，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF .7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 .第4题第5题第6题第7题二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是（）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题第13题第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（）A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明21．如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.DCAO 第18题22．如图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .23．如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .F CAE24．如图，已知AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)若DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．（1）求证：BC=2AD；（2）求证：AB=AE+CE；（3）求证：DE平分∠MDB3.如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1）求证：OM平分∠AOB；（2）求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

角的平分线的性质

∴
Байду номын сангаас
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（在角的平分线上的点到这个）
角的两边的距离相等。
B
A D
不必再证全等
C
例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE A （在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. D M ∴ PD=PE=PF. N P F 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
B E C
◆这节课我们学习了哪些知识？ 1、“作已知角的平分线”的尺规作图法及画已知直线的垂线。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言:
∵ OC是∠AOB的平分线, O 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等).
D P E
B
O
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE 证明：
D A
C
P
O E B
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
A D P
PD ⊥OA ，PE ⊥OB

角平分线的性质及应用

利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交，那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个点之间的距离。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求解两个相等的线段之间的距离。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这两个相等的线段之间的距离就是所求的距离。因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。

角的平分线的性质

角的平分线的性质
角平分线只有四个性质：角平分线可以得到两个相等的角；角平分线上的点到角两边的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

资料拓展：
角平分线定义：
1.从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisector of angle)。

2.角平分线就是在角的型内及建构主义，至角两边距离成正比的点的轨迹。

性质：
1.角平分线分给的两个角成正比，都等同于该角的一半。

（定义）
2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。

认定：
角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。

因此根据直线公理。

证明：已知pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，且pd=pe，求证：oc平分∠aob
证明：在rt△opd和rt△ope中：
op=op，pd=pe
∴rt△opd≌rt△ope（hl）
∴∠1=∠2
∴ oc平分∠aob。

12.3 角的平分线的性质

距离与点 O 到 CD 的距离之和是．
第 3页（共 15页）
15．如图， ABC 中， DF 平分 BDE ， EF 平分 DEC ，求证： AF 平分 BAC ．
二、作图—尺规作图的定义
16．下列作图语句的叙述正确的是 ( )
A．以点 O 为圆心画弧 C．延长线段 BC 到点 D ，使 CD BC
第 1页（共 15页）
12.3 角的平分线的性质
一、角平分线的性质 1．（2020 春•扶风县期末）如图，在 ABC 中，AD 是角平分线，DE AB 于点 E ，ABC 的面积为 15，AB 6 ， DE 3 ，则 AC 的长是 ( )
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
A．8
B．6
C．5
D．4
2．（2019 秋•长清区期末）如图，RtABC 中，C 90 ，AD 平分 BAC ，交 BC 于点 D ，AB 10 ，SABD 15 ，
则 CD 的长为 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2019 秋•博兴县期中）如图所示，在 ABC 中，AC BC ，AE 为 BAC 的平分线，DE AB ，AB 7cm ，
DC 2 ，则 ABD 的面积为．
11．（2019 秋•广丰区期末）平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点
的个数是．
12．（2018 秋•黔南州期末）如图，已知 ABC 的周长是 21，OB ，OC 分别平分 ABC 和 ACB ，OD BC
于 D ，且 OD 4 ， ABC 的面积是
ABC 内角平分线的交点满足条件；
如图：点 P 是 ABC 两条外角平分线的交点，

角的平分线的性质

角的平分线的性质角的平分线是指将一个角分为相等的两个角的直线。

在几何学中，角的平分线具有以下性质：1. 两个角的平分线相交于角的顶点，并且相交点与角的两边形成的四个角是相等的。

也就是说，如果有一个角ABC，其中CD是角ABC的平分线，那么角ACD与角BCD将是相等的。

2. 平分线将一个角分为两个相等的角度，这意味着平分线将角的总度数分成相等的两部分。

例如，对于一个直角（90度）来说，它的平分线将把它分成两个45度的角。

3. 如果两个角的平分线相等，那么这两个角也是相等的。

也就是说，如果AD和BD是角ABC的两个平分线，并且AD=BD，那么角ACD与角BCD将是相等的。

4. 在一个三角形中，如果一个边上的角被其对边的平分线分成两个相等的角，那么这个边一定是这个三角形的底边。

换句话说，如果在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，并且角DAB=角DAC，那么线段BC是三角形ABC的底边。

这些是角的平分线的一些主要性质。

角的平分线在几何学中具有重要的应用。

它们帮助我们研究和理解角度的关系，以及解决与角度相关的问题。

在证明几何定理和推导几何公式时，角的平分线也经常被使用。

除了以上性质外，角的平分线还有其他一些重要的应用和性质，例如，垂直平分线、角平分线与三角形的外接圆和内切圆的关联等。

这些性质和应用使得角的平分线成为几何学中一个重要的概念。

总结起来，角的平分线是将一个角分为相等的两个角的直线。

角的平分线具有多种性质，包括：相交于角的顶点，相交点与角的两边形成的四个角是相等的，平分线将角的总度数分成相等的两部分等等。

这些性质和应用使角的平分线在几何学中具有重要的地位。

角平分线的性质

C
D
A
E 整理课件
B
27
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.
整理课件
28
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
A
F N
B
整理课件
P E
G M
C
21
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。
B
整理课件
22
合作交流
［教学内容9］例题讲解
变题1 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.
9
证一证
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
D
P
O
B
E
整理课件
10
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E
求证: PD=PE
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
变题2 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.
A
A
F
E
E
CD
B 整理课件C