2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义第八讲电路第一节电流电阻与欧姆定律含解析

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第八讲电路
第一节电流、电阻与欧姆定律
一、电流
1.电流的定义
导体中的自由电荷定向移动时,就形成了电流。

电流用符号I表示,电流的大小可以用单位时间
内通过导体某一横截面的电荷量来表示。

定义式为
q
I
t
=,注意q是通过导体横截面的所有的电荷电
量的总和。

在国际单位制中,电流的单位是安培,符号为“A”,1 A 1 C/s
=,电流有方向,规定导体中正电荷定向移动的方向为电流的方向,负电荷定向移动的方向与电流的方向相反。

电流的方向表示的是电流的流向。

2.电流的微观表达式
电流的定义式为
q
I
t
=,但并不能说电流随q的增大而增大、随通电时间t的增长而变小。

从微观
上说,电流大小和导体内部自由电荷的电荷量、定向移动速度、导体单位体积的自由电荷数以及导体横截面积都有关系。

例1已知某导体单位体积内的自由电荷数为n,自由电荷的定向移动速度为v,自由电荷的电荷量为q,导体的横截面积为S。

试证明电流的微观表达式:I nSqv
=。

分析与解求解电流的大小,可以利用电流的定义式
q
I
t
=,只要能求出通过导体横截面的电荷
量与时间的比值即可。

如图8.1所示,在导体上取两个横截面A和B,设自由电荷从截面A定向运动到截面B所用时间为t,则A,B截面的距离为l vt
=,A,B截面以内所
含的自由电荷数为N nSl nSvt
==,这些电荷的电荷量qN qnSvt
Q==。

显然,在时间t内,这些电荷恰好全部通过A截面,因此通过导体的电流

Q qnSvt
I nSqv
t t
===,得证。

当导体两端没有电压时,自由电荷处于无规则运动状态,无规则运动的速度约为5
10 m/s,而加
上电压后,自由电荷定向移动的速度仅约为3
10m/s
-,可见,自由电荷的定向移动速度是非常小的,远不及电流的传播速度(光速)。

二、电阻
1.电阻的定义
电阻是表示导体对电流阻碍作用的物理量,用R表示,电阻的定义式为
U
R
I
=,电阻的单位为欧
姆,符号为“Ω”,1 1 V/A
Ω=。

对同一导体,不论导体两端电压U和通过导体的电流I如何变化,
其比值
U
I
都相同,即电阻R 是一个只跟导体本身性质(导体的材料、横截面积和长度)有关的量,与所加的电压和通过的电流无关。

2.电阻定律
一段导体的电阻跟它的长度L 成正比,跟它的横截面积S 成反比,这就是电阻定律。

表达式为L
R S
ρ=
在公式L
R S
ρ=
中,ρ为导体材料的电阻率,是反映材料导电性能的物理量,电阻率在数值上等于
该材料制成的长为1 m 、横截面积为21 m 的导体的电阻值。

电阻率大,表示材料的导电性能差。

电阻率的单位符号为“m Ω⋅”。

电阻率只和导体的材料以及温度有关。

金属导体电阻率的数量级为710m -Ω⋅,且金属导体电阻率随温度的升高而增大。

某些合金的电阻率受温度影响很小,根据这一特点可制成标准电阻;某些材料的电阻率随温度升高而减小,如半导体和绝缘体。

当温度降低到绝对零度附近时,某些金属、合金等材料的电阻率会突然减小到零,这种现象叫做超导现象,处于这种状态的导体叫做超导体。

3.超导现象
例2 一粗细均匀的镍铬丝,截面直径为d ,电阻为R 。

把它拉制成直径为10
d
的均匀细丝后,它的电阻变为( )。

A .
1000
R
B .
100
R C .100R D .10000R
分析与解 将导体直径拉制成10d 后,导体的横截面积将变为原来的1100
,而导体体积不变,导体长度将变为原来的100倍,根据L
R S
ρ=
,导体电阻将变为原来的10000倍,选项D 正确。

例3 (上海第30届大同杯初赛)如图8.2所示,1R 和2R 是材料、厚度相同的正方形导体板,但1R 的尺寸比2R 的尺寸大,在导体两端加相同的电压,通过两导体的电流方向如图8.2所示,则下列说法中正确的是( )。

A .1R 中的电流小于2R 中的电流
B .1R 中的电流等于2R 中的电流
C .1R 比2R 中自由电荷定向移动的速率大
D .1R 比2R 中自由电荷定向移动的速率小
分析与解 设正方形导体板的边长为a ,厚度为d ,电阻率为ρ,则电阻l
a
R S
ad
ρρ=
=
d
ρ
=
,可见
12R R =,导体两端加相同电压时电流相等,选项B 正确。

再根据电流的微观表达式I nSqv =,由于导体
为相同材料,因此n ,q 相同,电流I 相同,导体横截面积S 越大,自由电荷定向移动的速度越小,选项D 正确。

本题正确选项为BD .
三、欧姆定律 1.欧姆定律的内容
导体中的电流I 跟导体两端的电压U 成正比,跟导体的电阻R 成反比,这就是部分电路的欧姆定律。

数学表达式为U I R
=。

欧姆定律适用于金属导电和电解液导电,对气体导电不适用。

2.导体的伏安特性图线
(1)在直角坐标系中,用横坐标表示导体两端的电压U ,用纵坐标表示通过导体的电流I ,则导体中的电流随电压变化的函数图线为导体的伏安特性图线。

(2)对于电阻一定的导体,它的伏安特性图线是过坐标原点的直线,如图8.3中的a ,b 直线,直线的斜率等于电阻的倒数,即I
k R
=,直线斜率大则电阻小。

(3)电阻随外界条件(如温度)变化而变化的导体,其伏安特性图线是曲线。

这里值得注意的是,导体的电阻等于电压与电流的比值:U R I =,并不等于U I
∆∆,所以在由伏安特性曲线求阻值时,不能由曲线的斜率或斜率的倒数求解。

例4 研究某导体的伏安特性曲线,通电后其电流I 与所加电压U 的变化图线如图8.4所示,P 为图线上一点,PQ 为U 轴的垂线,PM 为I 轴的垂线,则下列说法中正确的是( )。

A .随着所加电压的增大,该电阻的阻值增大
B .随着所加电压的增大,该电阻的阻值减小
C .对应P 点,电阻的阻值为1
2
U R I = D .对应P 点,电阻的阻值为1
12
U R I I =
- 分析与解 在利用导体的伏安特性曲线求解电阻问题时,要透彻理解欧姆定律的内涵及图线所表达的物理意义,充分挖掘图线中隐含的条件,并一定要将“物理量的比值(/U I )”与“物理量的变化量的比值(/)U I ∆∆”的含义区分开。

伏安特性为曲线时,P 点对应的阻值并不等于过P 点的切线的斜率,而是等于P 点的横坐标1U 与P 点纵坐标2I 的比值,即等于OP 连线斜率的倒数,所以选项C 正确。

当电压逐渐增加时,曲线上的点与O 点连线的斜率逐渐减小,所以电阻逐渐增大,选项A 正确。

本题选AC 。

练习题
1.下列关于电阻率的叙述,错误的是().
A.当温度极低时,超导材料的电阻率会突然减小到零
B.常用的导线是用电阻率较小的铝、铜材料做成的
C.材料的电阻率取决于导体的电阻、横截面积和长度
D.材料的电阻率随温度的变化而变化
2.一根阻值为R的均匀电阻丝,长为L,横截面积为S,设温度不变,在下列哪些情况下其电阻值仍为R?()
A.L不变,S增大一倍B.S不变,L增大一倍
C.L和S都缩为原来的1
2
D.L和横截面的半径都增大一倍
3.关于欧姆定律,下面说法中不正确的是()。

A.由关系式
U
R
I
=可知,导体的电阻跟导体两端的电压成正比,跟导体的电流强度成反比
B.关系式
U
R
I
=表明使导体通过一定的电流所需的电压越高,则导体的电阻越大
C.由公式
U
I
R
=可知,导体中的电流强度跟导体两端的电压成正比,跟导体的电阻成反比
D.由关系式U IR
=可知,对于一个确定的导体来说,如果通过的电流越大,那么导体两端的电压也越大
4.(上海第28届大同杯初赛)通过横截面积为S的铜导线的电流为I,设导线内单位体积的自由电子数为n,电子的电荷量为e,此时电子定向移动的速率为v,则在t∆时间内,通过导线横截面的电子数为()
A.nSv t∆B.nv t∆C.I t
Se

D.
I t
e

5.(上海第27届大同杯初赛)每种金属导体中单位体积的自由电子数都有确定的值。

两段长度之比为2:1、横截面积之比为1:3的镍铬合金丝并联在某电路中,则两根电阻丝内电子定向移动的平均速度之比为()。

A.1:2 B.3:1 C.2:3 D.1:1
6.某一探测器因射线照射,内部气体电离,在时间t内有n个二价正离子到达阴极,有2n个电子到达探测器的阳极,则探测器电路中的电流为()。

A.0 B.2ne
t
C.
3ne
t
D.
4ne
t
7.某导体的伏安特性曲线如图8.5所示,P为图线上一点,PN为图线的切线,P,N两点的坐标如图所示,则下列说法中正确的是()。

A.随着所加电压的增大,该电阻的阻值增大
B .随着所加电压的增大,该电阻的阻值减小
C .对应P 点,电阻的阻值为
1
2
U R I = D .对应P 点,电阻的阻值为1
21
U R I I =
- 8.如图8.6所示,一块长方体的均匀导电材料,其长、宽、高的比为3:2:1,那么分别沿其长的方向通电、沿其宽的方向通电和沿其高的方向通电时的电阻值之比为________。

9.两种材料不同的电阻丝,长度之比为1:5,截面积之比为2:3,电阻之比为2:5,则材料的电阻率之比为________。

10.如图8.7所示的图线所对应的是两个导体:(1)12:R R =________;(2)若两个导体中的电流相等(不为零),电压之比12:U U =________,(3)若两个导体中的电压相等(不为零),电流强度之比12:I I =________。

11.某导线的电阻为16 Ω,将它对折起来使用,它的电阻变为________Ω,如果将它均匀地拉长到原来的2倍,则它的电阻为________Ω。

12.已知电子的电量为e ,若氢原子的核外电子绕核做半径为r 的匀速圆周运动,线速度大小为v ,则电子的转动周期为________;电子绕核的运动可等效为环形电流,则电子运动的等效电流为________。

13.实验表明,某些材料当温度降到某一定值时,其电阻率突然降为零,这种现象叫做________,这种材料称为超导材料,材料电阻率降为零的温度称为临界温度,其值与材料有关,则在图8.8所示的电阻—温度曲线图中,临界温度最高的样品为________号(填“Ⅰ”“Ⅱ”或“Ⅲ”),在实
际应用中最有利用价值的样品为________号(填“Ⅰ”“Ⅱ”或“Ⅲ”)。

14.如图8.9所示,相距40 km 的A ,B 两地架两条输电线,电阻共为800 Ω,如果在A ,B 间的某处发生短路,这时接在A 处的电压表示数为10 V ,电流表的示数为40 mA ,求发生短路处距A 处有多远。

15.有一根导线长为 1 m L =,横截面积32110m S -=⨯,它是由电阻率不均匀的材料组成的,从一端到另一端,电阻率ρ随导
体长度l 的变化规律为0kl ρρ=+,试求这段导线的电阻(0 1 m ρ=Ω⋅,0.5 k =Ω)。

参考答案
1.C 。

电阻率是导体材料的一种特性,只与导体材料的种类、温度有关,与导体的长短、横截面积无关。

2.C 。

结合公式L
R S
ρ=
,可知选项C 正确。

3.A 。

导体电阻只和导体的材料、长短、粗细有关,与导体两端电压和通过的电流无关,所以选项A 的说法错误。

4.AD 。

t ∆时间内通过导体横截面的电荷量q I t =∆,则t ∆时间内通过的电子数e
N q I t
e =∆=
,结合电子的微观表达式I nSev =,亦可得N nSv t =∆。

5.A 。

由电阻公式L
R S
ρ=,可知两导体电阻之比
112
221
6R L S R L S =⋅=,两导体并联,通过它们的电流之比
122116I R I R ==,再由电流的微观表达式Sev I n =,可得I
v nSe
=
,因此1122v I v I =2112S S ⋅=。

6.D 。

正离子与负离子定向移动形成的电流方向相同:
12224q q n e n e ne
I t t t
+⋅+⋅=
==
7.AC 。

导体的电阻等于导体两端的电压U 与电流I 的比值,反映在U I -图线上,是图线上某点与坐标原点连线的斜率,由题给图线可知,随着电流的增大,导体电阻逐渐增大。

对应P 点,电阻的阻值为1
2
U R I =。

8.9:4:1。

在电阻公式L
R S
ρ=中,L 为沿着电流方向的长度,S 为垂直于电流方向的面积,则沿长方体长的方向通电时电阻13
21
R ρ⨯=⨯,沿长方体宽的方向通电时电阻22
31
R ρ=
⨯⨯,沿长方体高的方向
通电时电阻31
32
R ρ⨯=
⨯,则123::9:4:1R R R =。

9.4:3。

略。

10.(1)3:1;(2)3:1;(3)1:3,提示:I U -图像斜率的倒数表示电阻的阻值。

11.4,64。

提示:对折后,长度减半,横截面积加倍;均匀拉长一倍后,横截面积减半。

12.
2πr v ,2πev r。

电子转动周期等于轨道圆周长与线速度大小的比值,2πr
T v =,电子每经过一个
周期,就通过轨道上某点一次,因此在一个周期的时间内通过的电荷量为e ,则2πe ev
I T r
=
=。

13.超导现象,Ⅰ,Ⅰ。

提示:由于低温不易获得,实际应用中临界温度较高的样品最有利用价值。

14.设发生短路处与A 处的距离为x ,根据欧姆定律,可得短路后导线的电阻x U
R I
=
=250 Ω,又
2x x
R S
ρ⋅=
,短路前的总电阻2800 L
R S
ρ⋅=
=Ω总,解得12.5 km x =。

15.已知电阻定律公式L
R S
ρ=
,本题遇到的困难是电阻率ρ不是常量,无法直接代入公式计算。

考虑到ρ与l 是线性关系,因此可取平均电阻率进行计算,则()
002
kL ρρρ++=
,有
00[()]1250 2kL L
L
R S
S
ρρρ++=
=
=Ω。

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