《标准差》课件
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相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。 对于有限总体而言，σ的计算公式为：
（7）
(x ) / N 在统计学中，常用样本标准差 S估计
2
总体标准差σ。
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标准差的计算方法
对于样本资料 ，可直接利用（5）或（6）式来计算标准差。
【例】 计算10只辽宁绒山羊产绒量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的标准差。
由于
2 2 ( x x ) ( x 2 x x x ) 2
x 2 2 x x nx 2
所以（5）式可改写为：
x 2
2
（6）
( x) 2 n
x 2 n( ) n
x2
( x) 2 n
S
x)2 x n 2 (
n 1
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性 质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之 和 为零，即Σ（ x ） x = 0 ，因 而 不 能 用离均 x）来 x 表 示 资料中所有观测值的 差之和Σ（ 总偏离程度。
上一张 下一张 退 出
为了解决离均差有正 、有负，离均差之和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的 绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差， 即Σ| |/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度 ，但由于平均绝 对离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在统计学中未被采用。
此例n=10，经计算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（6）式得：
(g) 即10只辽宁绒山羊产绒量的 标准差 为65.828g。
S
2 2 x ( x ) /n
n 1
2955000 5400 2 / 10 65.828 10 1
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标准差的特性 （一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影 响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之 则小。 （二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去 一个常数，其数值不变。 （三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则 所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。
全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了
资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很 多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。
上一张 下一张 退 出
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异 程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出 各个观测值与平均数的离差，（ x ） ，称为离 x 均差。
（μ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数μ
的无偏估计量。
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标准差
标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用 平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大 小的统计量。
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即
(x x)
2
，求出离均差平方和的平均数 /n
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为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计
量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分
母不用样本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我们 采
用统计量
பைடு நூலகம்
(x x )2 / n 1 表示资料的变异程度。
称 为均方（ mean
i
n
i 1
< (xi- a)2
2 < ( x x )
i 1
n
（常数a≠
x）
或简写为：
2 ( x )
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平 均数为：
xi N
i 1
N
（2）
式中，N表示总体所包含的个体数。
上一张 下一张
退 出
当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数 时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。 统计学中常用样本平均数（ x）作为总体平均数
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设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
则样本平均数可通过下式计算：
x1 x 2 x n x n
n
x
i 1
n
i
（1）
n
其中，Σ为总和符号； i 1 x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明确时，可简 写为Σx，（1）式可改写为：
x表示从第一个观测值 i
x x n
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平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。 或简写成
( xi x ) 0
i 1
n
(x
x) 0
上一张 下一张
退 出
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均
差平方和为最小。
(x - x)2
2
统计量
( x ） x ) ,又称样本方差，记为 / n 1 square缩写为MS S2，即
S2=
2 ( x x ) / n 1
（3）
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相应的总体参数叫 总体方差 ，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式 为：
（4）
( x x ) / N
2 2
xx
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我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均
差有正、有负，离均差之和为零的问题。
先将各个离均差平方，即 (x x)2 ，再求离均差
平方和 ，即
2 (x x) ，简称平方和，记为SS； 由 于
离差平方和常随样本大小而改变 ，为了消除样本大
小的影响 ，用平方和 除 以 样 本 大 小，
由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度 而不作其它分析时 ， 常需要与平均数配合使用 ，这 时应将平方单位还原，即应求出样本方
差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准差，记为S，即：
（5）
S
(x x)
n 1
2
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•
THANK YOU !
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（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约
有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差
x±S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数 左右两倍标准差（ ±x 2S）范围内；约有99.73%
（ 的观测值在平均数左右三倍标准差（ （全距/6）来粗略估计标准差。 ±3S） 范
x
围内。 x 也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用
上一张 下一张
退 出
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测
值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：
算术平均数（arithmetic mean）
中位数（median）
众数（mode）
几何平均数（geometric mean）
调和平均数（harmonic mean） 算术平均数（arithmetic mean）是指资料中各观测值的 总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数。
相应的总体参数叫总体标准差，记为σ。 对于有限总体而言，σ的计算公式为：
（7）
(x ) / N 在统计学中，常用样本标准差 S估计
2
总体标准差σ。
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标准差的计算方法
对于样本资料 ，可直接利用（5）或（6）式来计算标准差。
【例】 计算10只辽宁绒山羊产绒量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的标准差。
由于
2 2 ( x x ) ( x 2 x x x ) 2
x 2 2 x x nx 2
所以（5）式可改写为：
x 2
2
（6）
( x) 2 n
x 2 n( ) n
x2
( x) 2 n
S
x)2 x n 2 (
n 1
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性 质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之 和 为零，即Σ（ x ） x = 0 ，因 而 不 能 用离均 x）来 x 表 示 资料中所有观测值的 差之和Σ（ 总偏离程度。
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为了解决离均差有正 、有负，离均差之和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的 绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差， 即Σ| |/n。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度 ，但由于平均绝 对离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，在统计学中未被采用。
此例n=10，经计算得：Σx=5400，Σx2=2955000，代入（6）式得：
(g) 即10只辽宁绒山羊产绒量的 标准差 为65.828g。
S
2 2 x ( x ) /n
n 1
2955000 5400 2 / 10 65.828 10 1
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标准差的特性 （一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影 响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之 则小。 （二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去 一个常数，其数值不变。 （三）当每个观测值乘以或除以一个常数a，则 所得的标准差是原来标准差的a倍或1/a倍。
全距（极差）是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了
资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很 多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。
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为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异 程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出 各个观测值与平均数的离差，（ x ） ，称为离 x 均差。
（μ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数μ
的无偏估计量。
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标准差
标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用 平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大 小的统计量。
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即
(x x)
2
，求出离均差平方和的平均数 /n
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为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计
量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分
母不用样本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我们 采
用统计量
பைடு நூலகம்
(x x )2 / n 1 表示资料的变异程度。
称 为均方（ mean
i
n
i 1
< (xi- a)2
2 < ( x x )
i 1
n
（常数a≠
x）
或简写为：
2 ( x )
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平 均数为：
xi N
i 1
N
（2）
式中，N表示总体所包含的个体数。
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当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数 时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。 统计学中常用样本平均数（ x）作为总体平均数
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设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
则样本平均数可通过下式计算：
x1 x 2 x n x n
n
x
i 1
n
i
（1）
n
其中，Σ为总和符号； i 1 x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明确时，可简 写为Σx，（1）式可改写为：
x表示从第一个观测值 i
x x n
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平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。 或简写成
( xi x ) 0
i 1
n
(x
x) 0
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2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均
差平方和为最小。
(x - x)2
2
统计量
( x ） x ) ,又称样本方差，记为 / n 1 square缩写为MS S2，即
S2=
2 ( x x ) / n 1
（3）
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相应的总体参数叫 总体方差 ，记为σ2。对于有限总体而言，σ2的计算公式 为：
（4）
( x x ) / N
2 2
xx
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我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均
差有正、有负，离均差之和为零的问题。
先将各个离均差平方，即 (x x)2 ，再求离均差
平方和 ，即
2 (x x) ，简称平方和，记为SS； 由 于
离差平方和常随样本大小而改变 ，为了消除样本大
小的影响 ，用平方和 除 以 样 本 大 小，
由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度 而不作其它分析时 ， 常需要与平均数配合使用 ，这 时应将平方单位还原，即应求出样本方
差的平方根。统计学上把样本方差 S2 的平方根叫做样本标准差，记为S，即：
（5）
S
(x x)
n 1
2
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（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约
有68.26%的观测值在平均数左右一倍标准差
x±S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数 左右两倍标准差（ ±x 2S）范围内；约有99.73%
（ 的观测值在平均数左右三倍标准差（ （全距/6）来粗略估计标准差。 ±3S） 范
x
围内。 x 也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用
上一张 下一张
退 出
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测
值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：
算术平均数（arithmetic mean）
中位数（median）
众数（mode）
几何平均数（geometric mean）
调和平均数（harmonic mean） 算术平均数（arithmetic mean）是指资料中各观测值的 总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数。