(精心整理)梯形辅助线的常见作法
梯形中常用辅助线作法优秀获奖科研论文
梯形中常用辅助线作法优秀获奖科研论文梯形是几何平面中一种常见的图形, 它是在三角形和平行四边形的基础上进行研究的.在解决有关梯形知识的问题中, 往往通过添加适当的辅助线, 把梯形转化为平行四边形或三角形.在学生已有的知识体系中利用图形的转换将复杂的问题简单化, 不同条件的梯形转换方式也不尽相同.因此辅助线添加方式也因其而异.下面就自己的教学经验浅谈一下梯形中常见的辅助线作法.１．平移一腰．即从梯形的一个顶点作一腰的平行线, 把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.然后利用平行四边形及三角形的性质解决问题.例１如图１, 在梯形ＡＢＣＤ中, ＡＤ∥ＢＣ, ∠Ｂ＝５０°, ∠Ｃ＝８０°, ＡＤ＝１０ｃｍ, ＢＣ＝１８ｃｍ.求ＣＤ的长.分析：过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交ＢＣ于点Ｅ, 则四边形ＡＥＣＤ为平行四边形.欲求ＣＤ的长, 只要求出ＡＥ即可.２．从上底的两个端点作下底的垂线, 把梯形分成一个矩形和两个直角三角形.如果是等腰梯形, 所得到的两个直角三角形是全等的.例２如图２, 在梯形ＡＢＣＤ中, ＡＤ∥ＢＣ, ＡＢ＝ＣＤ, ＡＤ＝４, ＡＢ＝６, ∠ＡＢＣ＝６０°, 求梯形ＡＢＣＤ的面积.分析：根据已知条件知, 欲求梯形面积需先求出下底和高, 故作高ＡＨ、ＤＧ, 易证ＢＨ＝ＧＣ, ＨＧ＝ＡＤ．进而求出ＢＣ．由勾股定理和直角三角形的性质可求出高ＡＨ.求等腰梯形的面积一般都要求高, 而求高通常同时作两条高, 把梯形分成一个矩形和两个全等的直角三角形, 结合矩形和直角三角形的有关性质解决问题．３．平移对角线．即从上底的一个端点作一条对角线的平行线, 通过平移对角线可将对角线、上底、下底集中到同一个三角形中.平移后的对角线与另一条对角线及两底之和组成的三角形与原梯形面积相等.例３如图３, 在梯形ＡＢＣＤ中, ＡＤ∥ＢＣ, ＡＤ＝１, ＢＣ＝４, ＡＣ＝３, ＢＤ＝４, 求梯形的面积.分析：欲求梯形ＡＢＣＤ的面积, 已知上下底的长, 只要求出梯形ＡＢＣＤ的高.过Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ交ＢＣ的延长线于Ｅ, 则四边形ＡＣＥＤ为平行四边形, 从而ＡＤ＝ＣＥ.即得梯形ＡＢＣＤ的面积等于△ＢＤＥ的面积, 故求出△ＢＤＥ的面积即可.４．延长梯形的两腰到一点, 得到两个三角形．如果是等腰梯形, 则得到两个分别以梯形的两底为底的等腰三角形.例４如图４, 在四边形ＡＢＣＤ中, ＡＢ＝ＣＤ, ∠Ｂ＝∠Ｃ, ＡＤ＜ＢＣ.求证：四边形ＡＢＣＤ为等腰梯形.分析：欲证四边形ＡＢＣＤ为等腰梯形, 已知∠Ｂ＝∠Ｃ, 故只要证明ＡＤ∥ＢＣ即可．延长ＢＡ、ＣＤ交于点Ｅ．证得△ＡＥＤ、△ＢＥＣ均为等腰三角形．从而易得ＡＤ∥ＢＣ．５．过梯形上底中点作两腰的平行线, 把梯形转化为两个平行四边形和一个三角形.如果是等腰梯形, 得到的三角形是等腰三角形, 再利用等腰三角形的性质解决问题.例５如图５, 已知等腰梯形ＡＢＣＤ, ＡＤ∥ＢＣ, 点Ｅ、Ｆ分别为ＡＤ、ＢＣ的中点, 求证：ＥＦ⊥ＢＣ.分析：欲证ＥＦ⊥ＢＣ, 可过Ｅ作ＥＭ∥ＡＢ, ＥＮ∥ＣＤ, 分别交ＢＣ于点Ｍ、Ｎ.即得ＢＭ＝ＡＥ, ＣＮ＝ＤＥ, ＭＦ＝ＮＦ, ＭＥ＝ＮＥ．利用等腰三角形三线合一的性质可得ＥＦ⊥ＢＣ.６．旋转上底.以一腰中点为旋转中心, 顺时旋转１８０°.使上底旋转到下底所在直线的位置.构造出全等三角形.在梯形中出现上底与下底之和等于一腰长时, 利用此种方法添加辅助线, 将分散的线段相对集中, 并构造出等腰三角形, 再运用等腰三角形三线合一的性质解决线段垂直、角相等等问题.例６如图６, 在梯形ＡＢＣＤ中, ＡＤ∥ＢＣ, 且ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ.Ｍ为ＣＤ的中点, 求证：（１）ＡＭ⊥ＢＭ.（２）ＡＭ平分∠ＢＡＤ, ＢＭ平分∠ＡＢＣ.分析：欲证ＡＭ⊥ＢＭ, 先延长ＡＭ交ＢＣ的延长线与点Ｅ（即以点Ｍ为中心△ＡＤＭ顺时旋转１８０°与△ＥＣＭ重合）, 易证△ＡＤＭ≌△ＥＣＭ, 得ＣＥ＝ＡＤ, ＡＭ＝ＥＭ．由ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＢ得ＡＢ＝ＢＥ．利用等腰三角形三线合一的性质得ＡＭ⊥ＢＭ, 所以ＢＭ平分∠ＡＢＣ．易证ＡＭ平分∠ＢＡＤ．总之, 在解决有关梯形的问题时, 可通过作辅助线——平移线段、延长线段、旋转线段等, 把梯形分割成平行四边形和三角形或构造出全等三角形、等腰三角形, 把有关的线段和角相对集中到一个三角形中, 利用三角形、平行四边形的知识解决梯形问题．“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。
在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。
以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。
1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。
2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。
3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。
4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。
6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。
7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。
这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。
通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。
请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。
例谈梯形中常见的辅助线的作法
数学篇梯形作为一种比较特殊的四边形，其特点就是只有一组对边是平行的.因此，解答梯形问题的基本思路是通过添加辅助线来“搭桥”，对梯形进行割补、拼接，将其转化为熟悉的基本图形来解答.合理、巧妙地添加辅助线，不仅可以极大地降低解题难度，而且可以提高同学们思维的灵活性和创造性.一、平移一（两）腰平移腰即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形；或利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中，进而为解题创造条件.例1如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B +∠C =90°，AD =10，BC =30，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长.图1图2解：过E 作EG //AB 交BC 于G ，过E 作EH //CD 交BC 于点H ，如图2所示.∵AD //BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形，∴AE =BG ，同理可得DE =CH ，∴BG +CH =AE +DE =AD =10，又∵BC =30，∴GH =BC -BG -CH =20，又∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴BF =CF ，且AE =DE ，又∵AE =BG ，DE =CH ，∴GF =FH ，即F 为GH 的中点，在Rt△EGH 中GH =20，F 是GH 的中点，由直角三角形中线与斜边关系可知，EF =12CH =10，即EF =10.评注：平移梯形的一腰或两腰，可把梯形转化成三角形和平行四边形，从而把相对分散的条件集中到一个图形中以方便解题.二、平移对角线平移对角线即过梯形上底的一个端点作梯形一条对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和几个三角形.当题目中有梯形的对角线相等或互相垂直时，可以平移对角线把两条对角线、上下底之和放在一个三角形中，就会出现等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，然后利用特殊三角形的性质来解答此类问题.例2如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =3，BC =7，BD =52，求证：AC ⊥BD.图3图4证明：过点C 作CE //BD 交AD 延长线于学思导引27数学篇学思导引E，如图4所示.∵AD//BC，∴四边形BCED为平行四边形，∴DE=BC且BD=CE，又∵AD=3，BC=7，∴AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10，∵ABCD为等腰梯形，∴AC=BD，又∵BD=CE且BD=52，∴AC=CE=BD=52，在△ACE中，AC2+CE2=(52)2+(52)2=100，AE2=102=100，即AC2+CE2=AE2，所以，△ACE是以∠C为直角的直角三角形，即AC⊥BD.评注：过梯形的一个顶点平移对角线，把两条对角线转移到同一个三角形中，若对角线相等，则这个三角形是等腰三角形；若对角线垂直，则这个三角形是直角三角形；若对角线相等又垂直，则这个三角形是等腰直角三角形.这些结论可以为解题创造有利条件.三、延长两腰延长两腰即延长梯形的两腰使其交于一点，化梯形为两个（相似的）三角形.如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形.延长两腰可以将梯形转化为多个三角形，从而借助三角形的性质定理等知识要点，为解题铺平道路.例3如图5所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.图5图6解：四边形ABCD为等腰梯形，证明如下.延长AD、BC交于E，如图6所示.在△ABD和△BAC中，有ìíîïïBD=AC，AD=BC，AB=AB，∴△ABD≌△BAC，∴∠BAD=∠ABC，在△EAB中，∵∠BAD=∠ABC，∴△EAB为等腰三角形，即AE=BE，又∵AD=BC，∴DE=CE，∴DE AE=CE BE，即AB//CD，又∵AD=BC，∴四边形ABCD为等腰梯形.评注：预测四边形形状后根据需要寻找条件即可.此题要灵活运用三角形全等、对应线段成比例、平行线的判定等知识点.四、作对角线作对角线即连接对角线将梯形转化为三角形，再利用三角形的一些性质与规律去解答四边形的问题.尤其在特殊梯形中，将没有画出的对角线作出来，再利用特殊梯形对角线的性质(如等腰梯形对角线相等)，将题目中的条件进行转化，可以实现有效解题.例4如图7，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE.图7图8解：连接BD，如图8所示.∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∵AD//BC，∴∠1=∠3，∵BC=CD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，在△DBE和△DBA中，28数学篇学思导引有ìíîïï∠1=∠2,∠BAD =∠BED BD =BD ,,∴△DBE ≌△DBA ,∴AD =DE .评注：在直角梯形中连接对角线往往可以构造直角三角形，然后利用直角三角形与全等三角形的知识来证明.五、连接顶点和一腰中点并延长连接梯形上底一端点和一腰的中点，并延长与下底延长线相交，从而将梯形割补成几个三角形.这样作辅助线可以充分利用梯形中的平行和等量关系，将上下底之和统一到一段线段上来，再结合三角形全等和其他特殊三角形的性质使问题得到解答.例5如图9，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是DC 的中点，连接AE 和BE ，求证：∠AEB =2∠CBE.1234图9图10证明：延长AE 、BC 交于F ，如图10所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，且AD //BC ，∴AB ⊥BC ，∴△ABF 为以∠ABF 为直角的直角三角形.∵AD //BC ，∴∠1=∠2，又∵E 是DC 的中点，∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，有ìíîïï∠1=∠2,∠3=∠4,DE =CE ,∴△ADE ≌△FCE ，∴AE =EF ，即E 是AF 的中点，又∵△ABF 是直角三角形，∴BE =12AF =EF ，∴△BEF 是等腰三角形，∴∠F =∠CBE ，∴∠AEB =∠F +∠CBE =2∠CBE ，即∠AEB =2∠CBE .评注：在梯形中，只要有腰上的中点，可过中点构造全等三角形，从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中，而这个三角形又是一个特殊三角形，问题就简单了.在解答有关梯形的证明题和计算题时，辅助线的作法并不是单一的，有时可同时作两种或两种以上的辅助线，但目的是一致的，就是在梯形中构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识来解题.同学们要结合已知条件添加合适的辅助线，以探求简捷的解题方法.《〈圆〉拓展精练》参考答案1.D ；2.A ；3.C ；4.A ；5.23-π；6.6cm ；7.相离；8.30°或150°；9.100或700;10.（1）证明略；（2）S 阴影部分＝S △OAC -S 扇形AOE ＝12×3×33-60π×32360=32π．11.（1）证明略；（2）解：由题意知方程x 2+（m -2）x +m +1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（m -2）2-4（m +1）＝0，∴m ＝0或8，当m ＝0时，方程为x 2-2x +1＝0，解得x 1＝x 2＝1，∴CE ＝1．当m ＝8时，方程为x 2+6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝-3（不符合题意舍去）．∴CE ＝1．综上所述，CE ＝1．29。
最新梯形常见辅助线作法(教师版)
梯形常见辅助线作法11、平移法2（1）梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)3［例1］如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，4BC＝49cm，求CD的长．5解：过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形．6∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE．7∴EC＝BC－BE＝BC－AD＝49－15＝34cm．8又∵AB＝CD，∴ DE＝CD．9又∵∠C＝60°，10∴△CDE是等边三角形，11即CD＝EC＝34cm．12（2）梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)13［例2］如图,在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求14证：EF=FB15证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G16∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG17∵ACED中，AD∥CE AD=CE18∴CE∥BG且CE=BG ∴∠CEF=∠GBF 19又∵∠CFE=∠GFB20∴△ECF≌△BGF( ASA)21∴EF=FB22 AD CEFB点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形23和三角形。
24（3）梯形内平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到25同一个三角形中。
26［例3］如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，27∠C+∠B=90°，M，N分别是AD，BC的中点．28求证：MN＝1() 2BC AD29证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H ,30则四边形ABGE,EDCH为平行四边形∴AE=BG，ED=HC31∵AB∥EG ∴∠B=∠EGF32又∵DC∥EH ∴∠C=∠EHF33则∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°，△EGH是直角三角形34∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=ED，BF=CF ∴GF=FH 35则有EF=12GH=12(BC-BG-HC)=12(BC-AD)36（4）平移对角线(过一顶点做对角线的平行线）37[例4］求证：对角线相等的梯形是等腰梯形38已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线39求证：AB=DC40证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E 41B B则四边形ACED 是平行四边形 ∴AC=DE42 ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E ∴∠DBC=∠ACB 43 又∵BD=CA BC=CB ∴△ABC ≌△DCB(SAS) 44 ∴AB=DC45 点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧浙江唐伟锋梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，将梯形进行割补、拼接转化为三角形、平行四边形问题进行解决。
一般而言，梯形中添加辅助线的常用技巧主要有以下几种——一、平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解。
例1、如图①，梯形ABCD中AD∥BC，AD=2cm ，BC=7cm，AB=4cm，求CD的取值范围。
解：过点D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，DE∥AB∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE=AB=4cm，BE=AD=2cm∴EC=BC－BE=7－2=5cm在△DEC中，EC－DE＜CD＜EC＋DE（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）∴1cm＜CD＜9cm。
二、延长两腰将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。
例2、如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：延长BA 、CD ，使它们交于E 点，∵AD ∥BC∴∠EAD=∠B ，∠EDA=∠C （两直线平行，同位角相等）又∵B=∠C∴∠EAD=∠EDA∴EA=ED ，EB=EC （等角对等边）∴AB=DC∴梯形ABCD 是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。
三、平移对角线从梯形上底的一个顶点向梯形外作一对角线的平行线，与下底延长线相交构成平行四边形和一特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）。
例3、如图③，已知梯形ABCD 中，AD =1.5cm ，B C=3.5cm ，对角线AC ⊥BD ，且BD=3cm ，AC=4cm ，求梯形ABCD 的面积。
解：过点D 作DE ∥AC 交BC 延长线于E∵AD ∥BC ，DE ∥AC∴四边形ACED 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴CE=AD=1.5cm ，DE=AC=4cm∵AC ⊥BD∴DE ⊥BD∴S 梯形ABCD =111()()222AD BC h CE BC h BE h +⨯=+⨯=⨯（h 为梯形的高） 211346cm 22BD DE =⨯=⨯⨯=。
梯形中常用添加辅助线的方法
梯形中常用添加辅助线的方法1.作高：过梯形的顶点作底边上的高线，把梯形问题转化为矩形或直角三角形来解决；例1、已知等腰梯形的上底长为5cm，腰长为7 cm，下底角为600，求这个梯形的周长和面积。
练习：在梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC。
求证：AC2=AB2+BC·AD。
2.平移腰：通过平移梯形的一腰或两腰，使梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例2、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=900，E、F分别是AD和BC边上的中点，求证：EF=（BC-AD）/2。
练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=800，∠C=500，求证：AB=BC-AD。
3.延长两腰：延长梯形的两腰相交于一点，使梯形问题转化为三角形来解决；例3、等腰梯形ABCD，AD∥BC，∠B=600，AD=15，AB=45，求BC的长。
练习：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C。
求证：AB=CD。
4.平移对角线：平移其中的一条对角线，使梯形问题转化为直角三角形来解决，此法适合于已知对角线互相垂直的问题；例4、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，且AC⊥BD，CH是高，求证：AB+CD=2CH。
练习：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD互相垂直，GD⊥BC于G，EF是中位线。
求证：EF=DG。
5.连对角线：连结对角线，将梯形问题转化为平行四边形或三角形来解决；例5、梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，求证：AC=CE。
6.取腰的中点：有一腰的中点时，往往取另一腰的中点构成梯形的中位线；例6、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M为CD的中点。
求证：AM、BM平∠分DAB、∠CBA。
7.连结上底与一腰中点并延长与下底的延长线相交，借助于得到的三角形解决梯形问题；例7、梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD的中点，且AB+CD=BC。
梯形的几种辅助线做法
龙文学校个性化辅导讲义梯形问题常见辅助线的作法梯形是在学习了三角形和平行四边形后学习的又一种特殊的四边形，因此，利用化归的思想方法，我们可利用平移、旋转等作出辅助线，通过割补、拼接，把梯形的问题转化为我们已经熟悉和解决了的三角形和平行四边形问题，从而用三角形和平行四边形的有关知识解决梯形问题。
下面通过例题具体说明梯形问题常见的辅助线的做法及其应用。
一、平移梯形一腰 ，将梯形转化成平行四边形。
即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线，将梯形分割成三角形和平行四边形，并出现上下底的差，利用这些条件解决所给的问题。
例1、如图1，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=DC ，BD ⊥DC ，且BD 平分∠ABC ，若梯形的周长为20cm ，求此梯形的中位线长。
二、平移梯形的一条对角线，将梯形转化成平行四边形的直角三角形。
即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线，将梯形割补成与之等积的三角形，并出现上下底的和，利用这些条件解决所给的问题。
例2、如图2，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形中位线的长等于 cm 。
思考：分别过A 、B 、C 三点作对角线的平行线，是否可以解出此题呢？（提示：可以，解法同上。
）三、过上底的两个端点作梯形的高线，将梯形分成两个直角梯形和一个矩形。
例3、如图3，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，BC=BD ，AD=AB=4cm ，∠A=1200，求梯形ABCD 的面积。
图3ADBCEF图1A DBCE 图2ADBC E四、延长梯形两腰交于一点，构成两个相似三角形。
例4、如图4，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A+∠B=900，AB=a ，CD=b ，E 、F 分别是AB 、CD 中点，求EF 的长。
(说明：此题也可以通过过点E 平移两腰来求得，请同学们自己练习。
)五、连结上底的一端点与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点，将梯形割补成与之等积的三角形。
梯形常用辅助线的做法(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作,交AB于 E.∵AB平行于CD,且,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若.AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵,∴∴是直角三角形,∵,,∴.∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴.变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。
在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中,,,梯形的面积与梯形的面积相等．求证：.分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵,∴∴.同理,∵故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
图5析解：延长BA 、CD 交于点E 。
初中数学梯形中常见的辅助线，记住这些图形，方便解题
初中数学梯形中常见的辅助线，记住这些图形，方便解题
1. 梯形中常见的辅助线
我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.
1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.
2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.
3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.
4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.
5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.
常见的辅助线添加方式如下：
梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三
角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线。
梯形中常见辅助线的作法
梯形中常见辅助线的作法岳雁翎甘肃省陇西县紫来学校 748100 在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1 平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1 如图1,在梯形AB CD 中,AB ∥CD ,∠A D C=2∠B ,A D =a ,CD =b,求AB 的长.解 过D 作D E ∥BC ,交AB 与点E ,则∠D EA =∠B ,四边形D EB C 是平行四边形,故B E=CD =b,∠ED C =∠B ,由∠A D C =2∠B ,得∠A D E =∠A ED ,因而A E =AD =a ,所以AB =A E+B E =a +b .2 平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2 如图2,在梯形AB CD 中,A D ∥BC ,M 、N 分别为上、下底的中点,且∠B +∠C =90°.求证:MN =12(BC -A D).证明 过点M 作M E ∥AB 交B C 于点E ,作M F ∥CD 交B C 于点F ,则∠M EC =∠B ,∠M FB =∠,∵∠B +∠=°,∴∠M +∠M FB =°,即∠M F =°,又∵AD ∥BC ,∴四边形AB EM 和四边形MD CF 都是平行四边形,∴A M =B E ,D M =FC,∵A M =D M ,B N =CN ,∴B E +FC =A D ,EN =N F ,B C -A D =E F ,∵M ,N 分别是上、下底的中点,在Rt △M E F 中,E N =F N ,∴E F 是直角三角形斜边上的中线,∴MN =12E F ,即MN =12(B C-A D ).3 平移对角线过底的一端作对角线的平行线,通过作对角线的平行线,可以将梯形的上底加下底转化到一条线段上,也常通过作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决.图3例3 如图3,已知梯形ABCD 的面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直,则另一条对角线的长为多少?解 S 梯形A B CD =12(A D +BC )BD =32,A D +BC +BD =16,得AD +B C =8,BD =8,过D 作DE ∥A C 交BC 的延长线于E.∴四边形A D E C 是平行四边形,∴D E =AC ,A D =CE.在Rt △DB E 中,∠D B E =90°,B E =CE +BC =AD +BC =8,BD =8,根据勾股定理得D E =B E 2+D B 2=82+82=8 2.因A C =D E ,故A C=8 2.4 作两条高过同一底的两个顶点作另一底的垂线,通过作高,将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,从而将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题,用直角三角形和矩形的知识来解决45数学教学研究 第27卷第1期专辑 2008年6月C C 90EC 90E 90.图4例4 如图4,在等腰梯形AB CD 中,∠B =60°,AD =2,BC =4.计算梯形A BCD 的面积.解 过点A ,D 分别作A E ⊥B C,D F ⊥BC,垂足分别为E ,F ,则∠A EB =∠D F C =90°,A E ∥D F ,而A D ∥B C,∴四边形A E FD 是矩形,∴E F =A D =2,易证得△AB E ≌△DC F ,∴B E =F C =12(B C-A D )=12(4-2)=1.在Rt △AB E 中,A E =B Eta n ∠B =B Etan60°=1×3=3,∴S =12(2+4)×3=3 3.5 延长两腰构成三角形延长两腰交于一点,构造出两个相似三角形,利用相似三角形以及三角形的有关性质来解题.图5例5 如图5,等腰梯形的对角线分它的中位线为8c m ,20cm 的两部分,腰长为24c m.则梯形的下底角的度数为多少?解 延长A D ,BC 交于点G ,易证得E P ,F P 分别是△A D C,△CA B 的中位线,则D C =2E P =16c m ,AB=2P F =40cm ,由D C ∥AB ,得∠GD C =∠D AB ,∠GCD =∠GB A ,故△GD C ∽△GA B ,所以DC ∶AB =D G ∶AG ,即16∶40=D G ∶(D G +24),解得D G =16,则A G =40,同理可得B G =40,△GAB 为等边三角形,所以梯形的下底角的度数为60°.6 连结顶点与腰的中点,把梯形割补成三角形通过连结顶点与腰的中点并延长与另一底边相交,把梯形中的边、角转化到一个三角形中进行解决.图6例6 如图6,在梯形AB CD 中,A D ∥BC ,E ,F 分别为AB ,CD 边上的中点.求证E F 12(A D +B C ).证明 连结A F 并延长交BC 的延长线于点P.∵A D ∥BC(已知),∴∠AD F =∠P CF (两直线平行,内错角相等),在△AD F 和△P CF 中∠D FA =∠CF P (对顶角相等)D F =FC(已知)∠A D F =∠PCF (已证),△A D F ≌△P CF ,∴C P =AD ,A F =P F ,又∵A E =B E ,∴E F 是三角形AB C 的中位线,∴E F ∥B P ,E F 12B P ,即E F 12(A D +BC ).通过添加辅助线,将梯形分成一个或几个特殊图形是解决梯形问题的基本思路,它把分散的条件得以集中,隐含条件加以显现,把复杂的问题转化为容易解答的简单问题,体现了解数学问题的一个基本而重要的方法———化归法.只要细心观察、认真体会,就会找到解题的捷径.55第27卷第1期专辑 2008年6月 数学教学研究。
梯形辅助线的常见作法
例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
图1析解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，则梯形ABCD 转化为△BCM 和平行四边形ABMD 。
在△BCM 中，BM=AD=4，CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
图2析解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点所以)CH BG BC (21GH 21EF --==3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。
图3析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BCE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3＋7=10。
等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而ACE ，于是AC ⊥BD 。
最新-八年级数学下册梯形辅助线的六种做法人教新课标版精品
B
C
AB=AD=2，∠ A=60°， BC=4，求 CD的长．
12、 已知：如图，在梯形 ABCD 中， ∠A+∠D=90°， M、 N 是 BC， AD 的中点。求证： MN=1 ( AD BC ) 。 2
B
N
三、从小底的两端向大底引垂线。
A
M
13、 如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB AC ， B 45 ，AD 求 DC 的长．
如图，在梯形 ABCD中， AD∥BC， AB CD ．若 AC⊥BD，
AD+B=C10 3 ， 且 ABC 60 ， 求 CD的长．
B
A
D
7、 已知在梯形 ABCD中， AD∥ BC，若两底 AD、BC的长分别为 2、8，两 B 条对角线 BD=6， AC=8， 求梯形的面积。
8、 已知：如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，AC=D。B 求证： AB=D。C
梯形辅助线的做法
一、平移一条对角线。
1、 如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC， AB＝CD， AC⊥ BD， AD＝ 6,
BC＝ 8, 则梯形的高为
。
A
D
2、 如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC， AC⊥BD， AC=8，
DB=6，则此梯形的高为
。
B
C
3、 如图，在梯形 ABCD中，AD∥ BC，AB＝ CD，对角线 AC⊥ BD，BD=6，则梯形的高为
2 ，BC 4 2 ，
A
C D
D
B
14、 如图，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B 45 ，∠ D 120 ，CD 4 3cm ，求 AB A
的长．
B
梯形辅助线的常见作法
梯形辅助线的常见作法梯形辅助线的常见作法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：(1)在梯形内部平移一腰。
例1(如图1)已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。
求证：B=C证明：过点D作DM//AB交BC于点M。
因为 AD//BC DM//AB 所以AB=DM因为 BA=DC 所以 DM=DCDMC=CDMC=BB=C(2)梯形外平移一腰例2 (如图2)在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延长DC交BE于F求证:EF=FB证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG∵□ACED中，AD∥CE AD=CE∴CE∥BG且CE=BG ∴∠1=∠2又∵∠3=∠4 ∴⊿ECF≌⊿BGF ∴:EF=FB(3)梯形内平移两腰例3 (如图3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C解：过E作EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M,N得□ABME ,□NCDE ∴AE=BM DE=CN, ∵AE=DE ∴BM=CN又∵BF=CF ∴FM=FN ∵EF⊥BC ∴EM=EN ∴∠1=∠2∵EM∥AB,EN∥CD, ∴∠1=∠B , ∠2=∠C∴∠B=∠C(4)延长两腰例4(如图4)在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC。
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：延长BA,CD交于点E∵∠B=∠C ∴BE=CE∵AD∥BC ∴∠EAD=∠B ∠EDA=∠C∵∠B=∠C ∴∠EAD=∠EDA∴AB=CD结论得证(5)过梯形上底的两端点向下底作高例5(如图5)在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面积。
解：过点D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.根据等腰梯形的轴对称性可知，AE=BF.∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB∴四边形CDEF是矩形∴DC=EF∴AE=(AB-EF)=(AB-CD)=3 ∴ DE===4 ∴=(2+8)x4=20(6)平移对角线例6求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。
为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。
下面介绍六种常用的技巧。
1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。
然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。
这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。
2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。
3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。
这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。
4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。
5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。
6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。
根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。
这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。
通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。
在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。
梯形中常见辅助线的作法
梯形中常见辅助线的作法梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综合”。
可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。
下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。
一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。
例1如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF为10，求梯形ABCD的面积。
分析：由于等腰梯形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。
二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。
例2如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是( )A.9O°B.6O°C.45°D.30°例3如图，在梯形ABCD中，AD∥BC．AD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC。
求证：∠B=∠C。
三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。
例4在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长。
四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。
例5已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是。
梯形中添加辅助线的方法有很多，同学们在学习的过程中还须活学活用，也可以以口诀的形式记忆下来：“移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线”。
梯形作辅助线做法及应用
F
G
B
E
C
H
2、当AC =BD时，∆BED又是什么三角形？ 、 时 又是什么三角形
A 构造旋转变换
D O
（ 五 ） 其 他 方
B
证明哪个定理是应用了这个方法
？？ 梯形ABCD面积与哪个图形面积相等 面积与哪个图形面积相等? 梯形 面积与哪个图形面积相等
构造中位线
C
E
返
回
梯形辅助线做法应用
应 用
例题：
1、如图,梯形ABCD 中, AB∥CD， ∠D=70 ° ， ∠ C=40 ° ∥
梯形中常用辅助线
作
法
一、梯形中常用辅助线
数学思想
梯形转化为三角形和平行四边形或 特殊平行四边形等
二 梯形中常用作辅助线
方 法
梯形中常用作辅助线
方法
(一) 平移腰 (二) 作 高 (三) 补为三角形 （四）平移对角线 （五）其他方法
梯形中常用作辅助线
平移腰
(一) 平移腰 一
A D A D
B
C
B
54º
36º
E
20
C
3、如图,梯形ABCD 中, AD∥BC, ∠B=60 °, ∠ C=45 ° ∥
AB= 2 3 , AD=2,则梯形周长=
A 2 D
2 3
B 60°
3
3 2
45 °
C
3
E` E
3
布置作业：
１、求证：对角线垂直的等腰梯形的高等于它的中位线 ２、课本：196页17题、199页5题
例2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，
DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。 A 证明：（一）延长DE交CB延长线于F D ∵在梯形ABCD中AD//B ,∠A= ∠ ABF E ∴ AE=BE,∠A= ∠ ABF,∠ AED= ∠ BEF ∴ ∆ADE≌∆BFE F B C ∴ DE=FE，AD=BF
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例谈梯形中的常用辅助线
在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移
1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。
图1
析解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，则梯形ABCD
转化为△BCM 和平行四边形ABMD 。
在△BCM 中，BM=AD=4，CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是：
5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。
图2
析解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得
∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形
因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点 所以)CH BG BC (2
1
GH 21EF --==
1)13(21
)AD BC (21)]DE AE (BC [21
)DE AE BC (21=-=-=+-=--=
3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。
图3
析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于点E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BC ，CE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中，
22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而AC ⊥
CE ，于是AC ⊥BD 。
［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。
图4
析解：过点D 作DE//AC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形ACED 是平行四边形，即DCE ACD ABD S S S ∆∆∆==。
所以DBE ABCD S S ∆=梯形
由勾股定理得2222DH AC DH DE EH -=-=
9121522=-=（cm ）
161220DH BD BH 2222=-=
-=
（cm ）
所以)cm (15012)169(2
1
DH BE 21S 2DBE =⨯+⨯=⋅=∆，即梯形ABCD 的面积是150cm 2。
二、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
图5
析解：延长BA 、CD 交于点E 。
在△BCE 中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC －ED=5－2=3 三、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
［例6］如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。
图6
析解：连结BD ，由AD//BC ，得∠ADB=∠DBE ；由BC=CD ，得∠DBC=∠BDC 。
所以∠ADB=∠BDE 。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD ，所以Rt △BAD ≌Rt △BED ，得AD=DE 。
四、作梯形的高
1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
［例7］如图7，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为F ，过点F 作EF//AB ，交AD 于点E ，求证：四边形ABFE 是等腰梯形。
图7
析证：过点D 作DG ⊥AB 于点G ，则易知四边形DGBC 是矩形，所以DC=BG 。
因为AB=2DC ，所以AG=GB 。
从而DA=DB ，于是∠DAB=∠DBA 。
又EF//AB ，所以四边形ABFE 是等腰梯形。
2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。
［例8］如图8，在梯形ABCD 中，AD 为上底，AB>CD ，求证：BD>AC 。
图8
析证：作AE ⊥BC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，则易知AE=DF 。
在Rt △ABE 和Rt △DCF 中，因为AB>CD ，AE=DF 。
所以由勾股定理得BE>CF 。
即BF>CE 。
在Rt △BDF 和Rt △CAE 中 由勾股定理得BD>AC 五、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
［例9］如图9，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。
图9
析证：取AD 的中点E ，连接OE ，则易知OE 是梯形ABCD 的中位线，从而OE=
2
1
（AB ＋CD ）① 在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE 所以AD 2
1
OE =
②
由①、②得AB ＋CD=AD 。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
［例10］如图10，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF//AD ；（2）
)AD BC (2
1
EF -=。
图10
析证：连接DF ，并延长交BC 于点G ，易证△AFD ≌△CFG
则AD=CG ，DF=GF
由于DE=BE ，所以EF 是△BDG 的中位线 从而EF//BG ，且BG 2
1
EF =
因为AD//BG ，AD BC CG BC BG -=-= 所以EF//AD ，EF )AD BC (2
1
-=
三、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例4、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE ，求∠AEB=2∠CBE 。
解、分析：分别延长AE 与BC ，并交于F 点，从而等到△ADE 与△FCE 是全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”。
解：分别延长AE 与BC ，并交于F 点 ∵∠BAD=900且AD ∥BC ∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD ∥BC
∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC （对顶角相等）
DE=EC （E 点是CD 的中点） ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴ AE=FE
在△ABF 中∠FBA=900 且AE=FE ∴ BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ 在△FEB 中 ∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE。