第一章数的整除概念整理

一、整数

1、整数的分类（2个）：正整数、负整数和零；自然数和零

自然数的分类：正整数和零

正整数的分类（2个）：奇数和偶数；素数、合数和1

2、正整数、负整数、自然数、整数的最大最小：

最小的正整数：1；最大的负整数：-1；最小的自然数：0

3、零的意义；表示没有，基准线（零上30°C，零下30°C）

4、负整数、正整数、零的大小关系：

负整数＜零＜正整数

二、整除

1、整除概念：

整数a除以整数b，除得的商是整数而余数为零，那么就说a能被b整除，b能整除a

2、整除条件：三整一余；

①被除数、除数、商都是整数②余数为零

3、除尽条件：

①商是整数或有限小数②余数为零

4、整除与除尽的关系：

能整除的一定能除尽，能除尽的不一定能整除

5、（被除数）能被（除数）整除，（除数）能整除（被除数）

三、因数与倍数

1、因数与倍数的概念：

a÷b=c，若a能被b整除，就说a是b的倍数，b是a的因数

2、因数与倍数的相互依存关系

3、因数与倍数的求法：注意一定要写答句

4、因数、倍数的最大最小，有限无限：

一个数的最小因数：1；一个数的最大因数：它本身；一个数的最小倍数：它本身

5、一个数的最大因数=最小倍数=它本身

6、一个数的倍数一定能整除这个数的所有因数

7、能被2整除的数的特征（即2的倍数）：末位是0,2,4,6，

能被5整除的数的特征（即5的倍数）：末位是0,5

能被3整除的数的特征（即3的倍数）：各个数位上的数字之和能被3整除

能被9整除的数的特征（即9的倍数）：各个数位上的数字之和能被9整除

能被4整除的数的特征（即4的倍数）：末两位能被4整除

能被8整除的数的特征（即8的倍数）：末三位能被8整除

四、奇数偶数

1、奇数偶数的概念：

能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数

2、奇数偶数最大最小：

正整数中最小的奇数：1；最小的偶数：2

自然数中最小的奇数：1；最小的偶数：0

负整数中最大的奇数：-1；最大的偶数：-2

整数中最小的奇数：无；最小的偶数：无

3、奇数与偶数相邻：相邻两整数一定是一奇一偶

4、奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数

奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数

五、素数合数

1、素数合数的概念：

素数：因数只有1和它本身（2个因数）

合数：除了1和它本身以外还有其他因数（3个或3个以上因数）

1：因数只有1（1个因数）

2、20以内的素数：

2,3,5,7,11,13,17,19

3、哥德巴赫猜想

4、素数合数的最大最小：

最小的素数：2；最小的合数：4

5、素数合数与奇数偶数的关系：

最小的奇素数：3；唯一的偶素数：2；最小的奇合数：9；最小的偶合数：4

六、素因数

1、素因数的概念：

既是素数又是这个数的因数

2、分解素因数的方法：

树枝分解法、短除法、机算法、口算法

3、分解素因数短除法的注意点：

短除法左边只能放素数（特别要注意不能放1）；

分解到素数为止；

写成合数=素数×素数的形式

4、素因数重复的都要写，因数重复的不要写

5、xx的素因数有a，b，c

6、把xx分解素因数：xx=a×b×c

七、公因数和公倍数

1、公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数的概念：

公因数：两个数公有的因数

最大公因数：两个数公因数中最大的

公倍数：两个数共有的倍数

最小公倍数：两个数公倍数中最小的

注意区分最大公因数和最小公倍数

2、求两个数最大公因数和最小公倍数的方法：

①枚举法；②分解素因数法；③短除法☆

3、区分用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数

最大公因数只要把左边的数相乘；最小公倍数要把左边和下面的数相乘

4、区分用短除法求三个数的最大公因数与最小公倍数

三个数最大公因数除到三个数没有共同的素因数为止

三个数最小公倍数除到两两互素为止

5、两个数有倍数关系或互素时，最大公因数与最小公倍数的求法

两个数互素，最大公因数是1，最小公倍数是他们的乘积

两个数有倍数关系，最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数

6、两个数的最大公因数与公因数的关系，两个数的最小公倍数与公倍数的关系

两个数的公因数是它们最大公因数的所有因数；

两个数的公倍数是它们最小公倍数的所有倍数

八、互素

1、互素概念：两个数的公因数只有1

2、四种特殊互素情况

①两个数素数互素

②1和任何数互素

③相邻两个数互素

④一个素数和一个合数没有倍数关系的时候互素