数的整除(倍数特征)

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。

整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。

1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。

其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。

2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。

换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。

3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。

换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。

4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。

换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。

5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。

这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。

6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。

两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。

于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。

7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。

这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。

8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。

对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。

9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。

在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。

10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。

整除的特征

整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。

（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。

例如：10、72、34、56、98都能被2整除。

（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。

例如：180、315都能被5整除。

（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。

例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。

4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。

能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。

一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。

（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。

例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712能被4整除。

975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。

如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。

如700、2800都能同时被4 和25整除。

（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。

例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。

9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。

如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。

如1000、3000、78000等。

（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。

例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。

数的整除的特征

一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。

因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。

偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。

2．末位数字为零的整数必被10整除。

这种数总可表为10k （其中k为整数）。

3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。

4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。

如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。

由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。

能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。

5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。

由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

如判断765432是否能被8整除。

因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。

由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。

能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。

由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。

6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。

整除

整除整除的两个基本性质：（1）如果甲、乙两个数都能被整数丙整除，那么甲、乙两数的和或差也能被丙整除；（2）几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某个整数整除，那么它们的积能被这个数整除。

11的倍数特征：奇数位数字之和与偶数之和的差能被11整除，同样这个数被11除的余数也即差的余数。

7、13的倍数特征：这个末三位与末三位以前的数字组成的数的差能否被7、13整除。

例1、（1）判断47382能否被3或9整除？（2）判断42559,7295871能否被11整除？例2、求一个首位数字为5的最小六位数，使这和数能被9整除，且各位数字不相同。

例3、老师买了相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下用掉的总钱数，回小后发现有两个数字已看不清，你能帮助补上这两个数字吗？（例499整除，这个六位数是多少？例5、有一个六位数，前四位数是2857，即11和13整除，请你算出后两位数。

例6、若四位数b a 89能被15整除，则a 代表的数字是多少？例7、已知四位数abcd 是11的倍数，且有a c b =+，bc 为完全平均数，求此四位数。

例8、在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差是1803.6，则原来的四位数是多少？例9、三个连续的自然数介于100到200之间，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除。

是求出所有的这样的三个自然数。

练习：1、已知45|y x 1993，求满足条件的六位数y x 1993。

2、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9 字相同，请问每支钢笔多少元？3、已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

4、六位数99整除，它的最后两位数是多少？5、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是多少？6、如果一个九位数B A 1999311能被72整除，试求A 、B 两位数的差（大减小）。

数的整除特征

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有，是不是很难算呢？那么今天就让我们来揭开他
数的整除特征
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有，是不是很难算呢？那么今天就让我们来揭开他们的秘密吧！
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除）如：14 14÷13=1. 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
665÷13=15(整除）
2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征
小测试 07692308(不能整除）
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征
665÷13=15(整除）
同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有，是不是很难算呢？那么今天就让我们来揭开他
46÷9 67÷11 123÷13 们的秘密吧！
同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有，是不是很难算呢？那么今天就让我们来揭开他
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

一个数的倍数的特征

一个数的倍数的特征
1.整除性：倍数是基数的整数倍，因此一个数的倍数一定可以整除基数。

例如，12是5的倍数，即12可以整除5
2.除法关系：倍数和基数之间有除法关系，通过除法可以判断一个数
是否为另一个数的倍数。

如果一个数能够整除另一个数，那么它就是另一
个数的倍数。

例如，4能够整除12，所以4是12的倍数。

3.余数为零：一个数a是另一个数b的倍数，当且仅当a除以b的余
数为零。

如果一个数a除以另一个数b的余数为零，那么a就是b的倍数。

例如，18除以3的余数为零，所以18是3的倍数。

4.排列规律：一个数的倍数按照递增的规律排列。

比如，3的倍数可
以是3、6、9、12、15等等。

5.正负关系：一个数的倍数可以是正数、负数和零。

正数的倍数是正数，负数的倍数是负数，零的倍数是零。

例如，-3的倍数可以是-3、-6、-9等等。

6.提示在序列的特点：如果一个数a是另一个数b的倍数，那么a的
倍数也是b的倍数。

例如，如果3是6的倍数，那么6的倍数也是3的倍数。

7.可能的倍数个数：对于正整数n，一个数的倍数总共有n个。

例如，对于3而言，一个数的倍数总共有三个：即正的倍数、负的倍数和零。

总结起来，一个数的倍数具有整除性、除法关系、余数为零、排列规律、正负关系、提示在序列的特点和可能的倍数个数等特征。

通过这些特征，我们可以对倍数进行判断和计算。

数的整除知识点

数的整除知识点数的整除问题，容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

整除的特征

整除的特征数的乘除特征：1．个位数是偶数的数能被2整除； 2．个位数是0或5的数能被5整除；3．末两位数能被4(或25)整除的数能被4(或25)整除； 4．末三位数能被8(或125)整除的数能被8(或125)整除； 5．能被6整除的数只需满足能被2，3整除。

6．各位数字之和能被3(或9)整除的数能被3(或9)整除；7．奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除的数能被11整除；8．末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(大数减小数) 能被7(或11或13)整除的数能被7(或11或13)整例题1、有72名学生，共捐款b a 7.52，平均每人捐了多少元？2、一个数，它是15的倍数，且各位数字只有8和5两种，当这个数最小它是15的几倍？3、已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

4、超市里有6箱货物，分别重16、19、20、15、18、31千克，两顾客买了其中5箱货物，其中一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，超市里剩下的那箱货物是多少千克？练习：1、有一个四位数24aa ，它能被9整除，请问a 代表什么数字？2、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差是3的倍数，那么这个数最小是多少？3、012005 (200520052005)个n 能被11整除，那么n 最小值是多少？4、七箱油分别是汽油、柴油、机油，它们容量分别是12升、13升、16升、17升、22升、27升和32升。

现在知道汽油有一桶，而柴油的总量分别是机油的3倍，但是不哪箱是什么油。

请你判断每只油桶里装的各是什么油？5、在六位数3□2□1□的三个方框里分别填入数字，是得到的数能被15整除，这样的六位数中最小的是多少？。

整除的数有哪些特征

整除的数有哪些特征？整除的性质：（1）如果a能被c整除，b也能被c整除，那么a+b和a-b也都能被c整除。

（2）如果a能被b整除，那么ac也能被bc所整除。

（3）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c所整除。

（4）如果a能被b，c所整除，且（b,c）=1，那么a也能被b×c整除。

（5）如果a、b、c两两互质，且a、b、c都能整除m，那么abc能整除m。

能被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13、14、15、16、17、18、19整除的数有哪些特征？1：所有整数2：所有偶数3：各个数位和为3的倍数4：偶数中4的倍数，后两位能被4整除5：个位为0或5的6：是3的倍数的偶数7：后三位与前几位的差能被7整除8：偶数中8的倍数，后三位能被8整除9：各个数位和为9的倍数10：末位为011：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数13：末三位与前几位的差能被13整除14：7的倍数中的偶数15：3的倍数中末位为0或5的16：偶数中16的倍数，后四位能被16整除的17：末三位与前几位的差能被17整除18：9的倍数中的偶数19：19的倍数（7和13的可能不对，这都是小学的知识，现在都快忘了，除了那几个常用的，绝大部分应该都是正确的）11整除的特征：奇位数字的和与偶位数字的和之差可以被11整除。

举例132。

（1+2）-3=0=0*1113整除的特征：去掉个位数后的数加上个位数的4倍，能被13整除。

举例143。

14+3*4=26=13*2最佳答案能被7、11、13整除的特征是：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字相减（注意：大数减小数），能被7、11、13整除，这个数就是7、11、13的倍数。

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数是17的倍数。

4的规律是：末两位的两位数能被4整除，则原数是4的倍数.125的规律：末三位的三位数能被125整除，则原数是125的倍数.整除的性质及应用整除有几个性质。

能被23456789等数整除的数的特征讲解学习

能被23456789等数整除的数的特征讲解学习被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数具有以下特征：1.能被2整除：一个数能被2整除，意味着它是偶数。

偶数的特点是个位数字可以是0、2、4、6或82.能被3整除：一个数能被3整除，意味着它的各位数字之和能被3整除。

例如，27是3的倍数，因为2+7=9，而9能被3整除。

3.能被4整除：一个数能被4整除，意味着它的末两位能被4整除。

例如，236可以被4整除，因为36能够整除44.能被5整除：一个数能被5整除，意味着它的个位数字是0或5、例如，75能够被5整除。

5.能被6整除：一个数能被6整除，意味着它能被2和3同时整除。

因此，它必须是一个偶数且各位数字之和能被3整除。

6.能被7整除：一个数能被7整除的特征比较复杂，但是以下特征可以帮助判断：将这个数的个位数字翻倍，然后从原数中减去翻倍后的个位数字。

如果所得的差能被7整除，则原数能被7整除。

例如，196是7的倍数，因为19-2×6=19-12=77.能被8整除：一个数能被8整除，意味着它的末三位能被8整除。

例如，520可以被8整除，因为520是8的65倍。

8.能被9整除：一个数能被9整除，意味着它的各位数字之和能被9整除。

例如，81是9的倍数，因为8+1=9综上所述，一个数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除的特征可以通过前述规则判断。

这些规则不仅在数学学科中有应用，还在解决实际问题、判断数字的性质和特征等方面起着重要的作用。

为了提高对这些规则的熟悉程度，可以进行练习和应用这些规则解决具体问题的实践。

数的整除1 能被N整除数的特征!

数的整除：能被一个数N整除的数的特征能被2、5整除数的特征：个位上的数能被2、5整除能被3、9整除数的特征：各位上的数字和是3和9的倍数能被4、25整除数的特征：一个数的末两位是4、25的倍数。

能被8、125整除数的特征：一个数的末三位是8、125的倍数。

能被6整除数的特征：一个数既是2的倍数，又是3的倍数。

能被12整除数的特征：一个数既是3的倍数，又是4的倍数。

能被11整除的数的特征：一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。

能同时被7、11、13整除数的特征：一个三位数连续写两遍，一定是7、11、13的倍数。

（末三位以前的数字所表示的数与末三位数字所表示的数的差）练习一：一、判断下面的数，哪些数是4和25、8和125的倍数500、120、36400、12000、5800、1136、88652、52000、4375二、判断下面的数，哪些数是3的倍数，哪些是9的倍数258、666、357、878、342、895、12000、3630、1503、三、判断下面的数，哪些是11的倍数。

121、1357、1826、64746、363、1325、888、13211、四、根据数的整除特点，完成下面的填空。

1、一个数如果能被45整除，它就一定能被（）和（）整除。

2、一个数如果能被15整除，它就一定能被（）和（）整除。

3、一个数如果能被12整除，它就一定能被（）和（）整除。

4、一个数如果能被22整除，它就一定能被（）和（）整除。

5、一个数如果能被24整除，它就一定能被（）和（）整除。

6、一个数如果能被36整除，它就一定能被（）和（）整除。

7、四位数4A5B能被12整除，那么这个四位数最大是（）。

8、三位数58A是6的倍数，那么这个三位数最大是（）。

9、四位数236A能同时被2、3整除，这个四位数是（）。

10、五位数4H97H能被3整除，它的最末两位数字所组成的数7H能被6整除，这个五位数是（）。

数的性质整除性数的整除特征

因为3|（ × 999 + × 99 + × 9），
根据整除的Байду номын сангаас差性，
3能整除（ × 1000 + × 100 + × 10 + ）与（ × 999 + × 99 + × 9）的差
（ + + + ）。
一、数的整除特征
5、能被11整除的数的特征：奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差（大减小）
如果11能够整除，由和差性，11|( + + − − )。
一、数的整除特征
6、能被7(11或13) 整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组
成的数之差（大减小）能被7(11或13) 整除。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = × 1000 + = 1001 + −
数的整除特征
主要学习内容
01
数的整除特征
02
典型例题分析
一、数的整除特征
1、能被2(或5)整除的数的特征：末位数字能被2(或5)整除。
为了便于小学生理解，我们通常说成：如果一个整数的个位数字是0，2，4，6，8，
那么它能被2整除；如果一个整数的个位数字是0或5，那么它能被5整除。
2、能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。
是11的倍数。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = 10000 + 000 + 100 + 10 +
= 9999 + + 1001 − + 99 + + 11 − +

常用数倍数的特征

2的倍数：若一个整数的个位数字是0、2、4、6或8，则这个数就能被2整除。

3的倍数：若一个整数的各位数字的和能被3整除，则这个整数就能被3整除。

4的倍数：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数就能被4整除。

5的倍数：若一个整数的末位是0或5，则这个数就能被5整除。

6的倍数：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

7的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

8的倍数：若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

9的倍数：若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

11的倍数：两种方法：①若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

②若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。

如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断165是否11的倍数的过程如下：16－5=11，所以165是11的倍数；又例如判断2112是否11的倍数的过程如下：211－2＝209 ， 20－9＝11，所以2112是11的倍数，余类推。

13的倍数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断247是否13的倍数的过程如下：24+7×4=52，所以247是13的倍数；又例如判断2496是否13的倍数的过程如下：249+6×4＝273 ，27+3×4＝39，所以2496是13的倍数，余类推。

常见整除数的特征

常见整除数的特征能被2整除的数：个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数：各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数：个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数: 个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数: 个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数: 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被8整除的数：百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

能被17整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

3.整除的特征和性质

§3.整除的特征和性质☆黄冈杨俊涛◆知识引领●整数a除以整数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

如12÷3=4，就说12能被3整除，或者说3能整除12，12是3的倍数，3是12的因数。

●一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。

●能被2，3，5等整除的数的特征：2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数；5的倍数特征：个位上是0，5的数；3或9的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3或9整除；4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除；8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除；11的倍数特征：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（或反过来）是11的倍数；7、11或13的倍数特征：末三位前的数与末三位数的差（或反过来）能被7、11或13整除。

●奇数与偶数：能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。

◆典型例题例1.下列哪些式子是整除式？（1）8.8÷1.1=8 （2）130÷10=13 （3）29÷7=4……1 （4）14÷5=2.4【解析】根据整除的定义，被除数和除数必须是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。

疯狂操练1下列式子哪些是除尽，哪些是整除？（1）7.5÷1.5=5 （2）32÷5=6.4 （3）8÷3=2……2 （4）15÷5=3例2.写出24的因数和倍数。

【解析】因为1×24=242×12=243×8=24 4×6=24所以24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24因为24×1=24，24×2=48，24×3=72，24×4=96……所以24的倍数有24，48，72，96……疯狂操练2写出36的因数和倍数。

小学五年级奥数--数的整除特征(1)

9□.2□元＝9□2□分
• 解：∵28＝4×7，根据整除的性质③，
•
可知4︱9□2□ 且7︱9□2□
• ∴ 根据4的整除特征可知□可以填0、4、8 ，
•
∵ 7 9020， 7 9424；7 ∣9828。
•
∴ □处应当填 8 。
• 9828÷28＝ 351（分）＝ 3.51（元）
• 答：每支钢笔的价格是 3.51 元。
小学五年级奥数--数的整除特征(1)
（一）整除——约数、倍数
• 像15÷3＝5，63÷7＝9这样， • 一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且
a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好等于c且没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），记作：b︱a， • 否则，称a不能被b整除（或b不能整除a），记作：b a
数的整除性质1
• 性质1：
•
如果a、b都能被c整除，那么他们的
和或差也能被c整除。
• 即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b ）
• 你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
• 2、我们再来看一组例子： • ① 15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除
45吗？ • ② 3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除
整除，所以33333333468375能被125整除。
• ③1234567891011121314能不能被3和9整除。
• 回忆：能被3（或9）整除的数的特征：
• 各个数位数字的和能被3（或9）整除。
• 解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1 ＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60
•
因为 3 60 9 60
• 所以这个数∣ 能被3整除而不能被9整除。

整除的性质和特征

整除的特征

数的整除的特征

整除的性质和特征

整除

数的整除特征

一个数的倍数的特征

数的整除知识点

整除的特征

整除的数有哪些特征

能被23456789等数整除的数的特征讲解学习

数的整除1 能被N整除数的特征!

数的性质 整除性 数的整除特征

常用数倍数的特征

常见整除数的特征

3.整除的特征和性质

小学五年级奥数--数的整除特征(1)

数的性质整除性数的整除特征