数的整除特征基础篇
数的整除特征
如：22，33
22÷11=2(整除）
33÷11=3(整除）
如：23，34
23÷11=2.090909(不能整除）
34÷11=3.090909(不能整除）
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1.07692308(不能整除）
除）
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
2的整除特征
被2整除的数是偶数。 如：2，4，6，8 2÷2=1(整除） 4÷2=2(整除） 6÷2=3(整除） 8÷2=4(整除） 如：3，5 3÷2=1.5(不能整除） 5÷2=2.5(不能整
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
除）
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）
整除的特征
整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。
（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。
例如：10、72、34、56、98都能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。
例如：180、315都能被5整除。
（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。
例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。
4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。
能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。
一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。
（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。
例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712能被4整除。
975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。
如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。
如700、2800都能同时被4 和25整除。
（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。
例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。
9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。
如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。
如1000、3000、78000等。
（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。
例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数论入门之神奇的整除
【例3】(★★★) 某个七位数 1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除， 那么它的最后三位数字依次是多少？
【例5】(★★★) 四个学生各任意写一个六位数且个位不为0。把个位数字移到首位， 其它位数字依次向后移一位。把得到的新的六位数与原六位数做和， 得到以下结果：172536、568741、620708、845267。哪个结果有可 能是正确的？
【因数倍数】 一、基本概念： 3．最小公倍数的定义： 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数， 那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。 在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若 干个自然数的最小公倍数。
8 ,12 24， 6, 9,15 90 例如：
【因数倍数】 二、最大公因数与最小公倍数的求法 1．分解质因数法： ⑴最大公因数： 先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如：① 231 3 7 11, 252 2 2 3 3 7 , 所以 (231, 252 ) 3 7 21 ② 24 2 2 2 3, 36 2 2 3 3 , 所以 (24 , 36 ) 2 2 3 12
【数的整除】 3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作 差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数 能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和 的差(大减小)是否为11的倍数 这个差除以 余几就代表这个数除以11余几 (注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位 的数字和) 4．拆分系： 72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……
39 6 3 2 所以 18 , 12 2 3 3 2 36
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
数的整除的特征2
整除的特征1、能被2整除的数：个位数能被2整除，则这个数就能被2整除。
如个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
3、最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5、一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
6、把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
7、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
8、每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
9、若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
10、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差值能被11整除，则这个数能被11整除。
另外1，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
另外2，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除.12、若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
13、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是13的倍数，则原数能被13整除.14、若一个整数能被2和7整除，则这个数能被14整除。
15、若一个整数能被3和5整除，则这个数能被15整除。
16、若一个整数的末位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
17、若一个整数能被2和9整除，则这个数能被18整除。
18、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，。
小学数学竞赛七、数的整除特征(一)
七、数的整除特征（一）小学数学课本中曾介绍过数的整除特征，即若一个自然数的个位数字是0、2、4、6、8时，那么这个数一定能被2整除；若一个自然数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除；若一个自然数的各个数位上的数字和是3的倍数，这个数一定能被3整除.由上面提到的整除特征我们知道，92和56都能被2整除，92与56的和、差（分别为148和36）也能被2整除.另外56=7×8，2能整除8，所以2也能整除56.还有2、3和4都能整除12，那么2和3的积6也能整除12，但是2和4的积8不能整除12.把上面这些具体的事例一般化，就可得到数的整除的几个重要的性质（严格来讲，下面的性质只有经过严密的数学逻辑证明才能予以承认）.性质1 如果数a、b都能被数c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除.性质2 如果数a能被数b整除，c是整数，那么积ac也能被b整除.性质3 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.性质4 如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除.下面通过几个例子向同学们再介绍几个数的整除特征.例1 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.分析与解43217□的个位数字现在不知是几，先假设它为x，那么43217=4321×100，100=4×25，所以4和25都能整除100，根据整除的性质，432100能被4、25整除.如果43217x能被4（或25）除，那么43217x也一定能被4（或25）整除.因为72和76都是4的倍数，所以六位数43217和43217能被4整除.因为75是25的倍数，所以43217能被25整除.通过这个例题，我们得到一个数能被4（或25）整除的特征是：如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除.例2 在□中填上合适的数字，使七位数4786□7□能被125（或8）整除. 分析与解设七位数的百位数字和个位数字分别为x、y，那么4786□375，500，625，850，975这八种情况，只有375、975满足要求.…，104，112，…，176，184，…，272，…，376，…，472，…，576，…，672，…，776，…，872，…，976，984，992这125种情况.只有072，176，272，376，472，576，672，776，872，976这十个数满足要求.因为375、975是125的倍数，所以七位数47867和47867能被125整除.因为072，176，272，376，472，576，672，776，872，976是8的倍数，所以47867，47867，47867，4787，47867，47867，47867，47867，47867，47867能被8整除.通过这个实例，我们得到一个数能被8（或125）整除的特征是：如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除.例3 在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.分析与解同例1、例2，先设五位数4□32□的千位上、个位上□内的数字分别为x、y，那么4□32□=40000+x×1000+300+20+y=4×（9999+1）+x×（999+1）+3×（99+1）+2×（9+1）+y=4×9999+999x+3×99+2×9+4×x+3+2+y=9×（1111×4+111x+11×3+2×1）+（4+x+3+2+y）不论x是什么数字，9一定能整除9×（1111×4+111x+11×3+1×2）.4+x+3+2+y能被9整除，这个和只能是9、18、27三种情况.当4+x+3+2+y=9时，x=y=0；当4+x+3+2+y=18时，x+y=9，这时有x=0，1，2，3，…，9，对应的y=9，8，7，…，2，1，0；当4+x+3+2+y=27时，x+y=18，这时x=y=9.因为9是9的倍数，所以432能被9整除.因为18是9的倍数，所以432，432，432，432，432，432，432，432，432，432能被9整除.因为27是9的倍数，所以432能被9整除.通过这个实例，我们得到一个数能被9整除的特征是：如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除.例4 在□里填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除.分析与解要求七位数□1992□□能同时被9、25、8整除，先考虑能被25整除这个条件.当七位数□1992□□能被25整除时，它的十位和个位数字组成的数只能是00，25，50，75.再考虑第二个条件，□1992□□能被8整除，当□1992□□能被8整除时，它的末三位上数字组成的数必须是8的倍数，但200，225，250，275这四个数中，只有200这个数是8的倍数，所以七位数的十位与个位□内只能填0.最后考虑第三个条件，被9整除.□1992要被9整除，其各个数位上的数字和必须是9的倍数，而1+9+9+2+0+0=21，所以七位数百万位□内只能填6，这样便找到了问题的解答.首先因为200既是25的倍数，又是8的倍数，所以□1992□□的十位与个位□内只能填0.因为1+9+9+2+0+0=21，而21+6=27，27是9的倍数，所以□1992□□的百万位□内只能填6.1992能同时被9、25、8整除.解答这类问题时，要一个一个条件分别来考虑，然后通过枚举和筛选找出符合要求的解答来.例5 把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112…199519961997，试求这个多位数除以9的余数.分析与解从例4最后得到的一个数能被9整除的特征可以知道：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数.这一来上面求多位数除以9的余数问题，便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题.这个问题的求法有很多，下面分别加以介绍.因为1至9这9个数字之和为45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99这些十个数各数位上数字和分别为：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90.这一来，1至99这99个自然数各数位数字和为：45+55+65+…+125+135=900因为1至99这99个自然数各数位上数字和为900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999这些100个数各数位上数字和分别为900+100，900+200，…，900+800，900+900·这一来，1至999这999个自然数各数位上数字和为：900+1000+…+1700+1800=13500因为1至999这999个自然数各数上数字和为13500，所以1000至1999这1000个自然数各数位数字和为：13500+1000=14500，这一来1至1999这1999个自然数各数位数字和为：13500+14500=28000.1998、1999这两个数各数位上数字和为：27、28.28000-27-28=27945，9能整除27945，故多位数除以9余0.另外还有一个较为省事的求和方法，将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配分成如下的1000组：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996）（4，1995），（5，1994），（6，1993），（7，1992）……（996，1003），（997，1002），（998，1001），（999，1000）以上每一组两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1+9+9+9）×1000=28000其余的与上面提到的相同，故从略.本题还有另外一种解法.因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，一定能被9整除.而从1至1997一共有1997个数，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=360，360能被9整除，所以多位数除以9余0，与前面的结果相同.为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2，…，7，8这九个数，而这九个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数也一定能被9整除.。
数字的整除特性(实用好用)
数字的整除特性1．我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k（其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即432能被8整除，所以765432能8被整除。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750， 875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征
数的整除特征1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。
问：这样的三位数有几个？【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了 问：每本词典多少钱？【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？数的整除专项练习：1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？2、在内填上合适的数使七位数能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一是99的倍数，求这个数除以33的商。
7、在15整除？填上什么数字就能被45整除？填上什么数字就能被21整除？8、四年级有72名学生，共交5内的数字模糊不清）。
数的整除特征
数的整除特征数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除（14）末位数字为零的整数必能被10整除（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。
（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
数的整除特征
数的整除特征数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为11｜5，所以11｜123456789不能。
再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
数字的整除性初步了解数字的整除性质
数字的整除性初步了解数字的整除性质数字的整除性是数学中一个基本的概念，它描述了一个数能否被另一个数整除的性质。
在我们日常生活和数学学科中，整数的整除性质被广泛应用，帮助我们解决各种问题和计算。
本文将初步探讨数字的整除性质，并介绍一些相关概念和规则。
一、整除性的定义与性质在数学中，我们说整数a能够被整数b整除，当且仅当存在另一个整数c，使得a = b ×c。
这里，我们可以把a称为被除数，b称为除数，c称为商。
例如，当a = 10，b = 2时，c = 5，因为10可以被2整除。
在整除性中，我们可以得到以下几点性质：1. 若一个整数a能够被整数b整除，那么a一定是b的倍数。
即a =b × c，c为整数。
例如，10能被2整除，因此10是2的倍数。
2. 若一个整数能够被其他整数整除，那它一定能被这个数的所有因数整除。
例如，30能被2整除，因为2是30的因数。
3. 若一个整数能够被某个整数整除，那它一定能被这个整数的倍数整除。
例如，10能被2整除，那它也能被2的倍数4整除。
二、整数的整除规则在我们的日常生活和数学学科中，数字的整除性质被广泛应用于各种计算和问题解决中。
掌握一些整除规则可以帮助我们更好地理解和应用整除性质。
1. 偶数的整除性：偶数能够被2整除，即偶数的因数中一定包含2。
例如，4能被2整除，所以4是一个偶数。
2. 十的整除性：一个数能够被10整除，当且仅当它的个位上是0。
例如，30能被10整除，因为个位上是0。
3. 末位数字的整除性：如果一个数的末位数字是偶数，那么它一定能被2整除。
如果一个数的末位数字是5或0，那么它一定能被5整除。
例如，25的末位是5，所以25能够被5整除。
4. 数字和的整除性：如果一个数各位上的数字之和能够被3整除，那么该数能够被3整除。
例如，15的各位数字之和是1+5=6，6能被3整除，所以15能够被3整除。
总结起来，数字的整除性是一个广泛应用的数学概念，在日常生活和学习中具有重要意义。
常见数的整除特征
常见数的整除特征1.偶数的特征：偶数是可以被2整除的数。
任何一个偶数都可以表示为2n（n为整数），所以偶数除以2的余数必为0。
2.能被5整除的特征：一个数能被5整除的条件是它的个位数字为0或5、例如，10、25、45等。
3.能被10整除的特征：一个数能被10整除的条件是它的个位数字为0。
例如，30、80、120等。
4.能被2和5同时整除的特征：一个数能同时被2和5整除的条件是它的个位数字为0、2、4、6或8、例如，40、60、100等。
5.能被3整除的特征：一个数能被3整除的条件是它的各位数字之和能被3整除。
例如，36（3+6=9，9能被3整除），258（2+5+8=15，15能被3整除）等。
6.能被9整除的特征：一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。
例如，99（9+9=18，18能被9整除），891（8+9+1=18，18能被9整除）等。
7.能被4整除的特征：一个数能被4整除的条件是它的末尾两位数能被4整除。
例如，116（16能被4整除），528（28能被4整除）等。
8.能被8整除的特征：一个数能被8整除的条件是它的末尾三位数能被8整除。
例如，216（216能被8整除），1152（152能被8整除）等。
9.能被6整除的特征：一个数能被6整除的条件是它能同时被2和3整除。
根据特征1和特征5，一个数能被6整除的条件是它是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
10.质数的特征：质数是只能被1和自身整除的数。
特征1中提到的偶数和特征2中提到的能被5整除的数不是质数。
11.完全平方数的特征：完全平方数是能被一个自然数的平方整除的数。
例如，1、4、9、16等。
一个数是否是完全平方数可以通过求平方根并判断是否是整数来确定。
总结起来，常见数的整除特征包括偶数、能被2和5同时整除的数、能被3和9整除的数、特定位数（个位、末尾两位、末尾三位）能被4和8整除的数、能被6整除的数、质数和完全平方数。
通过了解这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能被其他数整除。
数的整除特征总结
数的整除特征总结数的整除特征是指一个数能够被另外一个数整除时所具有的特征和规律。
在数学中，整除是一种基本的整数关系，研究整除特征可以帮助我们深入理解数学的基本概念和性质。
本文将总结数的整除特征，以便读者更好地理解和掌握整除的规律和应用。
1.一个数除以1等于它本身，这是整除的最基本特征。
任何一个数都能被1整除。
2.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a被b整除的余数为0。
3.如果a能够被b整除，即a/b是一个整数，那么a能够被b的因数整除。
换句话说，如果a能够被b整除，那么b的所有因数也能够整除a。
4.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c整除。
整除具有传递性。
5.如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a能够被c的所有因数整除。
6.如果一个数能够被2整除，那么这个数一定是偶数。
偶数的特征是最后一位数字为0、2、4、6或87.如果一个数能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也能被3整除。
8.如果一个数能够被4整除，那么这个数的末尾两位组成的数能被4整除。
9.如果一个数能够被5整除，那么这个数的最后一位数字一定是0或510.如果一个数能够被6整除，那么这个数一定能被2和3同时整除。
11.如果一个数能够被8整除，那么这个数的末尾三位组成的数能被8整除。
12.如果一个数能够被9整除，那么这个数的各位数字之和也能被9整除。
13.如果一个数能够被10整除，那么这个数的末尾一定是0。
14.如果一个数能够被11整除，那么这个数的各位数字之差也能被11整除。
15.如果一个数能够被12整除，那么这个数一定能被3和4同时整除。
这些整除特征是数学中的常见规律和性质，通过了解和应用这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能够被另外一个数整除。
同时，这些特征也有助于我们解决问题和证明数学定理。
总结：数的整除特征是数学中的基本规律和性质，包括整除的基本定义、整除的性质、整除特征与数字的关系等。
掌握和应用整除特征可以帮助我们更好地理解数学的基本概念和性质，同时也有助于我们解决问题和证明定理。
数的性质 整除性 数的整除特征
因为3|（ × 999 + × 99 + × 9），
根据整除的Байду номын сангаас差性，
3能整除（ × 1000 + × 100 + × 10 + ）与（ × 999 + × 99 + × 9）的差
（ + + + ）。
一、数的整除特征
5、能被11整除的数的特征：奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差（大减小）
如果11能够整除，由和差性，11|( + + − − )。
一、数的整除特征
6、能被7(11或13) 整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组
成的数之差（大减小）能被7(11或13) 整除。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = × 1000 + = 1001 + −
数的整除特征
主要学习内容
01
数的整除特征
02
典型例题分析
一、数的整除特征
1、能被2(或5)整除的数的特征：末位数字能被2(或5)整除。
为了便于小学生理解，我们通常说成：如果一个整数的个位数字是0，2，4，6，8，
那么它能被2整除；如果一个整数的个位数字是0或5，那么它能被5整除。
2、能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。
是11的倍数。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = 10000 + 000 + 100 + 10 +
= 9999 + + 1001 − + 99 + + 11 − +
小学数学知识点数的整除
小学数学知识点数的整除小学数学知识点汇总数的整除在我们上学期间，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺帮大家整理的小学数学知识点数的整除，希望能够帮助到大家。
小学数学知识点数的整除篇1整除的意义整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
因数和倍数1、如果整数a乘整数b整除等于整数C，a和 b就是C的因数，C就是a和b的倍数。
（a.b.c都为非0整数）2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
奇数和偶数1、能被2整除的数叫偶数。
例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数2、不能被2整除的数叫奇数。
例如：1、3、5、7、9……整除的特征1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。
2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3 整除。
质数和合数1、一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。
2、一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。
3、1和0既不是质数，也不是合数。
4、自然数按约数的个数可分为：质数、合数0和15、自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数分解质因数1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
2、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法来分解质因数。
数的整除特性 讲义
【例1】(★) 自然数：14， 35， 80， 152， 650， 434， 4375， 9064， 24125中，请 问： (1) 能被2整除的有__________，能被4整除的有________，能被8整除 的有_______. (2) 能被5整除的有__________，能被25整除的有________，能被125整 除的有_____.
【例6】(★★★)
4. 因数分拆： 72＝8×9，18＝2×9
在所有各位数字互不相等的四位数中，能被45整除的数的最小是多少？ 【今日讲题】
例2，例3，例5
【讲题心得】
_____________________________________________________________
【家长评价】
_____________________________________________________________
2
【例2】(★★) 有如下9个三位数：452、387、228、975、525、882、715、775、837.这 些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？
【拓展】(★★) 在□里填上适当的数，使得七位数 □7358□□能同时被8、9、25整除， 那么这个七位数是多少？
1
知识要点屋 3. 差系，7、11、13
【例5】(★★★)
知识大总结
两个四位数 A275和 275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B. 1. 尾数系， (2, 5) 、(4, 25)、 (8, 125)
2. 和系，3、9
⑴ 数字和能否被3、9整除.
⑵ 划数法，划掉3、9的倍数.
数的整除特征特点
数的整除特征特点
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。
(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。
二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。
整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。
）13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
数的整除的特征
数的整除的特征（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
数的整除特征(基础篇)
数的整除特点(上)什么是整除？若整数a 除以大于0的整数b,商为整数,且余数为零.我们就说a能被b整除(或说b能整除a),记作b|a,读作b整除a或a能被b整除.罕有数的整除特点：末位系：2,5：看末一位4,25：看末两位8,125：看末三位数字和系：3,9：看数字和数字差系：11：看奇位和与偶位和的差7,11,13系列：⑴看多位数的末三位和前面部分之差可否被7,11,13整除;⑵把数从末三位开端,三位为一段断开,只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7,11,13的倍数.罕有整除性质：⑴假如甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除.⑵假如两个数都能被一个天然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个天然数整除.⑶假如一个数能分离被几个两两互质的天然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的天然数的乘积整除.(★★★)两个四位数275A 和275B 相乘,要使它们的乘积能被72整除,求A 和B .(★★)在□里填上恰当的数字,使得七位数□7358□□能分离被9,25和8整除.例1例2例3(★★★)四位偶数64能被11整除,求出所有知足请求的四位数.例4(★★★)在所有五位数中,列位数字之和等于43且可以或许被11整除的数有哪些？例5【先睹为快】将三位数3ab 持续反复地写下去,共写2005个3ab ,所得的数20053333abab abab 个正好是91的倍数,试求ab ＝___________. (★★★)能不克不及将从1到10的各数排成一行,使得随意率性相邻的两个数之和都能被3整除？(★★★★)请用1,2,5,7,8,9这六个数字(每个数字至多用一次)来构成一个五位数,使得它能被75整除,并求出如许的五位数有几个？例6。
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什么是整除
若整数a 除以大于0的整数b ，商为整数，且余数为零。
我们就说a 能被b 整除(或说b 能整除a )，记作b |a ，读作b 整除a 或a 能被b 整除。
常见数的整除特征：
末位系：2，5：看末一位
4，25：看末两位
8，125：看末三位
数字和系：3，9：看数字和
数字差系：11：看奇位和与偶位和的差
7，11，13系列：
⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除；
⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。
常见整除性质：
⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
(★★)
在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例1
数的整除特征(上)
例2
(★★★)
四位偶数64WW
能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
(★★★)
两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
例3
例4
(★★★)
在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些
例5
(★★★★)
请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个
例6
(★★★)
能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除【先睹为快】。