高中数学同步讲义必修一——第一章 1.3 1.3.1 第1课时 函数的单调性

§1.3函数的基本性质

1.3.1单调性与最大(小)值

第1课时函数的单调性

学习目标

1.了解函数的单调区间、单调性等概念.

2.会划分函数的单调区间，判断单调性.

3.会用定义证明函数的单调性．

知识点一增函数与减函数的定义

思考图中所给出的三个函数图象，有什么共同特征？

答案它们的图象由左到右是上升的．

梳理设函数f(x)的定义域为I：

(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

知识点二函数的单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

(2)单调区间D⊆定义域I.

(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(×) 2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．(×)

3．用定义证明函数单调性时，可设x1x2.(√)

4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．(×)

类型一求单调区间并判断单调性

例1如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每

一单调区间上，它是增函数还是减函数？

考点求函数的单调区间

题点求函数的单调区间

解y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．

反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．

跟踪训练1函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．

考点求函数的单调区间

题点求函数的单调区间

解 y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．

类型二 证明单调性

例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数． 考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．

设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1

(x 1－x 2)(x 1＋x 2)

x 1＋x 2

＝

x 1－x 2x 1＋x 2

.

∵0≤x 10， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

∴f (x )＝x 在它的定义域[0，＋∞)上是增函数．

反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1

跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1

x 在[1，＋∞)上是增函数．

考点 函数的单调性的判定与证明 题点 定义法证明具体函数的单调性

证明 设x 1，x 2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x 1

x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2

＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1

x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2<0，

即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

∴f (x )＝x ＋1

x 在区间[1，＋∞)上是增函数．

类型三 单调性的应用

命题角度1 利用单调性求参数范围

例3 若函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

(3a －1)x ＋4a ，x <1，

－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( )

A.⎣⎡⎭⎫

18，13 B.⎝⎛⎭

⎫0，1

3 C.⎣⎡⎭

⎫1

8，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，18∪⎣⎡⎭

⎫1

3，＋∞ 考点 函数单调性的应用

题点 已知分段函数单调性求参数范围 答案 A

解析 要使f (x )在R 上是减函数，需满足： ⎩⎪⎨⎪

⎧

3a －1<0，

－a <0，(3a －1)·1＋4a ≥－a ·1.

解得18≤a ＜13

.

反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．

跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________． 考点 函数单调性的应用

题点 已知二次函数单调性求参数范围 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)

解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式

例4 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )

题点 利用单调性解抽象函数不等式