一道经典的立体几何求角问题

一道经典的立体几何求角问题

边长为2的正ABC ∆，O 是重心，沿OB 把ABC ∆翻折使60.AOC ∠=o

（1）求OC 与AB 所成角的余弦值；

（2）求OC 与平面OAB 所成角的正弦值； （3）求二面角C OA B --的正弦值. 解：（1）如图，过点O 作OD ∥AB 交AM 于D ， 则COD ∠或其补角即为OC 与

AB 所成的角。

易知，90AMB ∠=o

，OC =，1233OD AB ==，

1AM CM ==，,60,OA OC AOC AOC =∠=∴∆o Q 为正三角形。

222

1cos .23

AM CM AC CMA AM CM +-∴∠=

=⋅

2228

2cos 9

CD CM MD CM MD CMA ∴

=+-⋅⋅∠=

， 222cos 2OC OD CD COD OC OD +-∴∠==⋅

（2）用等体积法求。设OC 与平面OAB 所成角为θ，易知

BM ⊥平面ACM ，

221211113333323O ABC B ACM O ACM B ACM ACM V V V V S BM ----∆=-==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=

设点C 到平面OAB 的距离为d ，则由C

OAB O ABC V V -

-=得121

1332

d ⨯⨯⨯=

， 解得

d

=

s i n

.d OC θ=== （3）为了作图看得清，特将图形作了一定的转动。 由（1）知AOC ∆为正三角形，

∴取OA 的中点E ，连结CE ，则有CE OA ⊥。 在AOB ∆内作EF OA ⊥于E ，连接CF ， 则CEF ∠为二面角C OA B --的平面角。

易知1CE =，30BAO ∠=o

，12tan 30,.3cos303

AE EF AE AF ∴=⋅==

=o o 在ACF ∆中，由余弦定理，222

42cos 3

CF AC AF AC AF FAC =+-⋅⋅∠=，

2221cos 23CE FE CF CEF CE FE +-∴∠==-

⋅，∴二面角C OA B --