抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
1、函数的轴对称：
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。

2、 函数的点对称：
推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。

特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。

二、函数的周期性：
对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

1、函数)(x f y =满足如下关系系，则)(x f 为周期函数。

A 、)()(x f T x f -=+；
B 、)
(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或； C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)
(1)(1)2(x f x f T x f +-=+ 2、定理1：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中
b a ≠）
，则函数()x f y =以()b a -2为周期。

定理2：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中
b a ≠）
，则函数()x f y =以()b a -2为周期。

定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中
b a ≠）
，则函数()x f y =以()b a -4为周期。

总规律：1、若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

2、定义在R 上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。

灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。

1.求函数值：
例 1.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）
（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.23)1989(-=f 。

2、比较函数值大小：
例 3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981
x x f =试比较
)1998(f 、)17101(f 、)15
104(f 的大小. 解：))((R x x f ∈ 是以2为周期的偶函数，又19981
)(x x f = 在[]1,0上是增函数，且
1151419161710<<<<，).15
104()1998()17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即 3、求函数解析式：
例4.（1989年高考题）设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.
解：设1211212),12,12(<-<-⇒+<<-∴+-∈k x k x k k k x
0I x ∈ 时，有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由
)(x f 是以2 为周期的函数，2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.
例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2
+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，
4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f
又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时， []).21(4)1(243)4(2)()
4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有
).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f
4、判断函数奇偶性：
例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性。

解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得
)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.
5、确定函数图象与x 轴交点的个数：
例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f
,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点. 解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得 )(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，
,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==
故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.
而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点。

1、在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( B )
A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
分析：由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即
推论1的应用.又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得
到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上
是减函数，可得如右()f x 草图.故选B
2、定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ D ）
A.0
B.1
C.3
D.5
分析：()()0f T f T =-=，()()()()2222T T T T f f f T f -
=-=-+=， ∴()()022
T T f f -==，则n 可能为5，选D. 3、已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f 的值。

分析：由推论1可知，()x f 的图象关于直线2=x 对称，即()()x f x f -=+22， 同样，()x f 满足()()x f x f -=+44，现由上述的定理3知()x f 是以4为周期的函数. ()()5.3445.19+⨯=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ，同时还知()x f 是偶函数，所以()()5.05.05.0==-f f .
4、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为 .
解：()()()()11g x f x g x f x -=--=-=--，()()11f x f x --=--，令1y x =+，则()()2f y f y -=--，即有()()20f x f x +-=，令()n a f x =，则20n n a a -+=，其中02005a =，10a =，()20052n n n a i i ⎡⎤=+-⎣⎦，()20052005f a ==()2005200520052i i ⎡⎤+-⎣
⎦ 0=. 或有()()2f x f x =--，得()()()()2005200320011999f f f f =-==-=
()10f ==.
5、设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=
则=)5(f （ c ） A ．0 B ．1 C ．25 D ．5
分析：答案为B 。

先令f （1）= f （--1+2）=f （--1）+f （2）=1/2，根据奇函数的定义可求得f （--1）=--1/2，所以，
f （2）=1，f （5）=f （3）+f （2）=f （1）+f （2）+f （2）=5/2，所以，答案为c 。

6、设)(x f 是定义在R 上以6为周期的函数，)(x f 在)3,0(内单调递减，且)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，则下面正确的结论是 （ B ）
(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；
(C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<
分析：答案为B 。

做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将)(x f 设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将)(x f 设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在)3,0(内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B 。