抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

1、函数的轴对称：

推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称

特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。

2、 函数的点对称：

推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。 特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。

二、函数的周期性：

对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

1、函数)(x f y =满足如下关系系，则)(x f 为周期函数。

A 、)()(x f T x f -=+；

B 、)

(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或； C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)

(1)(1)2(x f x f T x f +-=+ 2、定理1：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中

b a ≠）

，则函数()x f y =以()b a -2为周期。 定理2：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中

b a ≠）

，则函数()x f y =以()b a -2为周期。 定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中

b a ≠）

，则函数()x f y =以()b a -4为周期。 总规律：1、若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

2、定义在R 上的函数()x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。

灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。

1.求函数值：

例 1.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）

（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.

例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.23)1989(-=f 。

2、比较函数值大小：

例 3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981

x x f =试比较

)1998(f 、)17101(f 、)15

104(f 的大小. 解：))((R x x f ∈ 是以2为周期的偶函数，又19981

)(x x f = 在[]1,0上是增函数，且

1151419161710<<<<，).15

104()1998()17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即 3、求函数解析式：

例4.（1989年高考题）设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.

解：设1211212),12,12(<-<-⇒+<<-∴+-∈k x k x k k k x

0I x ∈ 时，有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由

)(x f 是以2 为周期的函数，2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.

例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2

+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，

4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f

又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时， []).21(4)1(243)4(2)()

4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有

).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f

4、判断函数奇偶性：

例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性。

解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得

)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.

5、确定函数图象与x 轴交点的个数：

例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f