空间直角坐标系与空间角

C1 •
(2,-2,0)
B1 • B•
(2,-2,-1) x
1
O
•
1 1
• A(1,4,1)
•
y
A1(1,4,0)
总结：理解学习空间直角坐标系中点的坐标的含义可以从两个 角度来理解学习。
一、构造一个长方体来理解和学习。
二、空间中点的横坐标、纵坐标就是点在XOY平面上投影的 横坐标、纵坐标，于是化空间问题为平面问题，化不熟悉为熟悉。 平面解析几何的公式、定理依旧在XOY平面上成立。竖坐标要么 是高度要么是深度。
总结:
在空间直角坐标系中，x轴上的点、 y轴上的点、z轴 上的点，xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、 yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点？
x轴上的点的坐标的特点： y轴上的点的坐标的特点： z轴上的点的坐标的特点： xOy坐标平面内的点的特点： xOz坐标平面内的点的特点： yOz坐标平面内的点的特点：
空间直角坐标系
问题1:
数轴上的点M的坐标用一个实数x表示，它是一维坐标；
平面上的点M的坐标用有序实数对（x，y）表示，它是二维坐 标.
(x,y) y
Ox x
O
x
作用：让几何与代数联系在一起。把几何问题转化为代数 问题，用代数知识解决几何问题
空间内点位置能用两个数来描述吗？该如何描述呢？
如何确定空中飞行 的飞机的位置？
M、M’的横坐标 轴分别交于三点，三点在
M
b
纵坐标一样。竖 坐标要么是高度 要么是深度，化
空间问y题为平面
相应的坐标轴上的坐标 a,b,c组成的有序数组 （a,b,c)叫做点M的坐标.
M’
问题化不熟悉为 熟悉。
记为：M（a,b,c)
空间直角坐标系
反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以在
x 轴、y 轴和z 轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q和R，
说明:
z
☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
y
x
空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同， 1350 o
x轴上的单位长度为y轴（或z
1350
y
轴）的单位长度的一半． x
注：长方体的八个顶点每个顶点出发 的三条两两垂直的棱都可以建立空间 直角坐标系。右手空间直角坐标系就 是以最里面的那个顶点出发的三条棱。
中国国家大剧院
中国国家大剧院
怎样确切的表示室内灯泡的位置？
下图是一个房间的示意图,下面来 探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3
墙
墙 地面
1
O1
4
(4,5,3) 5y
x 总结1、构造一个长方体来理解。坐标的绝对值
是长方体的长、宽、高。或则2、“4”、“5”就 是灯泡在水平面XOY上的投影的横坐标与纵坐 标。“3”是高度。
M
纵坐标。M的竖坐
标要么是高度要么
O
P
Q M’
是y深度。化空间问
题为平面问题化不 熟悉为熟悉。
x
例题选讲:
例1：在空间直角坐标系中，作出点（５,４,
６）.
分析：
z
Ｏ
从原点出发沿x轴 正方向移动５个单位
Ｐ1
Ｐ（５,４,６）
６
Ｐ1
沿与y轴平行的方向 向右移动４个单位
Ｐ
Ｐ１５ o
y
2
Ｐ
沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位
O y
x
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标．
z
下层的原子全部在平面上，它们所
在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠
原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，
（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,
（ 12，12，0）.
O
中层的原子所在的平面平行于x平面，与轴交点的竖坐标为，
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Ｐ
x
2
４ Ｐ2
注：叙述不用这么复杂，先在XOY平面上画出点（5,4），再上升或下降6个单
位即要么高度要么深度。化空间问题为平面问题化不熟悉为熟悉。
2、在空间直角坐标系中作出下列各点
(1)、A（1,4,1）；
(-1,-3,3)
C•
z
(2)、B（2,-2,-1）； (3)、C（-1,-3,3）；
(-1,-3,0)
Ⅳ(+,-,+) 总结(1)在上方卦限Z坐标为正;
Ⅷ(+,-,-)
(2)在下方卦限Z坐标为负.
在XOY平面上与平面直角坐标系的一样，高度是正的深度是负的
例题选讲:
例3 结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶 胞的示意图（可看成是八个棱长为0.5的小正方体 堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，白点 代表氯原子.如图建立直角坐标系Oxyz，试写出全 部钠原子所在位置的坐标. z
从空间某一个定点０
z
引三条互相垂直且有单
位长度的数轴，这样就
建立了空间直角坐标系
o
０－xyz．
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xOy平面、 yOz平面、和 zOx 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
空间直角坐标系
这样空间一点M的位置可以用有序实数组（x，y，z）
来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M 在此空间直
角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中x叫做
点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐
标．
叙述不用这么复杂。
z
1、构造一个长方
体来理解。2、M
R
的横坐标、纵坐标 就是M’的横坐标、
Ｐ（x，0，０） Ｐ（０，y，０） Ｐ（０，0，z） Ｐ（x，y，０） Ｐ（x，0，z） Ｐ（０，y，z）
再想一想?各个卦限中的点的符号是怎样的呢?
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ(+,+,+) Ⅴ(+,+,-)
Ⅱ(-,+,+) Ⅵ(-,+,-)
Ⅲ(-,-,+) Ⅶ(-,-,-)
Ⅲ 面 yOz
z
面
zOx
Ⅳ
面 xOy
o
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅴ
坐标面把空间分成 八个部分 每一个部分叫卦限
Ⅱ
yⅠ
Ⅵ
合作探究：
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点M怎样来表示它的坐标呢？
z
c
O
a
x
注：叙述不用这 么复杂，即以O、 M为空间对角线
经过M点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z
构造一个长方体。轴，它们与x轴、y轴和z
分别过P、Q和R各作一个平面，分别垂直于x 轴、y 轴
和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，
z）确定的点M．
注：叙述不用这么复杂，
z
即以O、M为空间对角线 构造一个长方体。M、M’
的横坐标、纵坐标一样，
R
竖坐标要么是高度要么深 度。化空间问题为平面问
M
题化不熟悉为熟悉。
O
Q
y
P
M’
x