第1讲一元二次方程解法复习
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习（一）直接开平方法→配方法要点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x 2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x ＝+或x ＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边；2222()a ab b a b ±+=±(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0.要点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.221078Ma b a =+-+2251N a b a =+++M N -22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>3．用配方法说明：代数式x2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.举一反三：【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值4．（2014春•滦平县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求（x+y）2013的值．【思路点拨】采用配方法求出x、y的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：x2+y2﹣4x+6y+13＝0，x2﹣4x+4+y2﹣+6y+9＝0，（x﹣2）2+（y+3）2＝0∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得，x＝2，y＝﹣3，（x+y）2013＝﹣1．【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,22b x a-±=240b ac ∆=-=1,22b x a=-240b ac ∆=-<5． 用公式法解下列方程．(1)； (2)．【总结升华】 用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程6．用公式法解下列方程：(1)； (2) ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．23310x x --=2241x x =-24b ac -24b ac -2341x x =+2100x -+=(1)(1)x x +-=240b ac -≥举一反三：【变式】（2014秋•泽州县校级期中）用公式法解方程：5x 2﹣4x ﹣12＝0．【巩固练习】 一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．化为B ．化为C ．化为D ．化为3．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x 2﹣12x+15，N=x 2﹣8x+11，则M 与N 的大小关系为（ ） A ．M ≥N B ． M ＞N C ． M ≤N D ． M ＜N 4．不论x 、y 为何实数，代数式的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数 5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或2 6．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 220x x m --=2(1)1x m -=+2(1)1x m +=+22(1)1x m -=+22(1)1x m +=+22990x x --=2(1)100x -=22740t t --=2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2890x x ++=2(4)25x +=23420x x --=221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22247x y x y ++-+438．已知，则的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为____ ___，∴所以方程的根为_________． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________. 12．（2015春•重庆校级期中）a 2+b 2﹣4a+2b+5=0，则b a 的值为 ．三、解答题 13. 用配方法解方程.(1) 3x 2-4x-2=0； (2)x 2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：（2） ．15．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC 中,三边长a 、b 、c ,满足等式a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b223730216b a a b -+-+=a -2(1)210x ax --=；22222(1)()ab x a x b x a b +=+>一元二次方程专题复习（二）温故知新:1.直接开平方法2.配方法3.公式法一、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程复习课件
32 x X 2
X 32-2X
一元二次方程解法的复习
例6、有一堆砖能砌12米长的围墙,现要围一个20
平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长7米),其余三
边用砖砌成,墙对面开一个1米宽的门,求鸡场的长
和宽各是多少米?
解：设鸡场的宽为x米，则长为（12+1-2x） =（13-2x）米，列方程得： X（13-2x）=20 解得：x1=4，x2=2.5 经检验：两根都符合题意 ∴13-2x=5或8 （舍去）
(4):主要用到的数学思想方法
分类讨论
知识聚焦
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
一:回顾与总结
在解答下列各小题过程中，回顾用到了哪些知识点？
① 只含有一个未知数
1:下列方程中,属于一元二次方程的是( c ) 3 (1):一元二次方程的三要素 ② 未知数的最高次数是2次 2 A : 2 x y 1 0 B : x 2x 1 0 ③ 两边是整式
1 C : x 2 x 3 0 D : 2 3x 2 0 3x
当方程中有括号时,思考方法是:
1:应先用整体思想考虑有没有简单方法; 2:若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理 为一般形式再选取合理的方法。
变式1: 2(x-2)2+5(2-x)-3=0 2-x 变式2:
一元二次方程的解法复习课
2
x2 4x 4 5 4
2
x 22 13
2 x2
26
2
x1
26 2 2
x2
26 2 2
例题讲解
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x
2 9
2
4 17
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类;
x 9 17 . 44
5.开方:两边开平方;
x 9 17 .
44
x1
9
4
17
;
x2
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x= a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=0
解 : x2 9 x 4 0.
x2
9
2 x
4.
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
解：原方程变形为： (2 x)2 9 16
直接开平方得：
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
一元二次方程复习课件
初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1．求方程2x 2+3=22x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2+1k -x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 23x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习(解析版)
【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
§2-3 公式法1 一元二次方程的解法
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
b b2 4αc x 2α
例 2 解方程：
x 3 2 3x
2
解：化简为一般式：x2
2. 用公式法解下列方程. 参考答案:
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
下课了!
结束寄语
•
•
配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
4 4
参考答案： 1.x1 2; x2 4. 2.x1 2 6; x2 2 6.
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长. 解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x 2 x 2 x 2 .
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
,用公式法解下列方程
一元二次方程复习 全国优质课一等奖-课件
1.数字与方程
例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个 位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
解 :设 这 两 位 数 的 个 位 数 字 为 x,根 据 题 意 ,得
x2 10x 3 x.
整 理 得 x2 11x 30 0.
解 得 x1 5, x2 6 . x 3 5 3 2,或 x 3 6 3 3. 答 :这 个 两 位 数 为 25,或 36.
解 :设 小 路 的 宽 度 xm,根 据 题 意 ,得 20+2x
( 2 0 2 x )1 5 2 x 2 5 1 5 2 4 6 .
20
15+2x 15
整理得 :
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不 2
合 题 意,舍 去 ).
第22章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 因为当 a≠0，b2－4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根， 即 k＋1≠0，b2－4ac＝22－4(k＋1)×(－1)＝8＋4k>0，
∴k≠－1，k>－2. ∴k 的取值范围是 k>－2 且 k≠－1.
方法技巧 根的判别式主要应用：(1)不解方程，判别一元二次方程根的情况； (2)已知一元二次方程根的情况，确定方程中某些字母的取值 (范 围)．在解题时一定要注意不能忽略二次项系数不为 0.
一元二次方程根与系数的关系
设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
b
c
x1+x2=
a , x1x2=
a.
回顾与复习 5
解应用题
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用
《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。
如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。
2）计算式子卜In的值。
3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。
一元二次方程复习课(精品)
一元二次方程复习一、一元二次方程知识点1、一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程2、一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，(X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3、解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法（就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c4、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a也可以表示为x 1+x 2=-b/a,=c/a 。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数， 在题目中很常用 5、一元二次方程根的情况利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“dei er ta”， 而△=b 2-4ac ，这里可以分为3种情况：I 、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；￥III 、当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）二、考点研究考点一、概念例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习知识点梳理一元二次方程总复考点1：一元二次方程的概念一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0的方程。
一般形式为ax2＋bx+c=0（a≠0）。
判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a)2=b（b≥0）的方程，两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
解法为x1=-a+√b，x2=-a-√b。
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的。
一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b2-4ac))/2a（b2-4ac≥0）。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。
理论根据：若ab=0，则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
因式分解的方法有提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2-4ac＜0，则方程无解。
⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。
第1讲一元二次方程的概念与解法-2021届九年级数学中考一轮复习课件
知识点点解读
3 公式法
用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法
一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式：x= - b b2 - 4ac
公式法的一般步骤
2a
①指出方程中a，b，c的值
②求出b²-4ac的值
③若b²-4ac≥0.则用求根公式求解，若b²-4ac＜0，则方程无解
4 因式分解法 一般步骤：①使方程的右边化为0 ②使方程左边化为两个一次因式的积 ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求这个方 程的解
解：（1）方程x2﹣8x+15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5；
（2）方程x2﹣x﹣20＝0， 分解因式得：（x﹣5）（x+4）＝0， 可得x﹣5＝0或x+4＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣4；
经典例题
考点7 用公式法解一元二次方程
一元二次方程的解法（1） 中考一轮复习课件
教学目标
1 一元二次方程的概念 2一元二次方程的一般式 3一元二次方程解的问题 4直接开平方法解一元二次方程 5配方法解一元二次方程 6 因式分解法解一元二次方程 7公式法解一元二次方程
知识点解读
1 一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2的整式方程 2 一元二次方程的一般情势：形如ax²+bx+c=0，其中a不为0，b，c可以 为0，a为二次项系数，ax²为二次项，bx为一次项，b为一次项系数，c为 常数项 3 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就一元二次 方程的解 4一元二次方程解法①直接开平方法 ②配方法 ③公式法 ④因式分解法
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
第21章 一元二次方程——一元二次方程的解法(复习课) 2022—2023学年人教版数学九年级上册
课题：《一元二次方程的解法》复习教案一、教材分析：解一元二次方程是人教版九年级上册第21章第二节的内容，本节的主要内容是一元二次方程的解法（直接开方法、因式分解法、配方法、公式法）。
解一元二次方程在课标中的要求是：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节，又是后续内容学习解决实际问题的基础和工具。
一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。
学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。
二、学情分析：学生已经学习了一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法后的一节复习课，已经掌握了学生的薄弱点：1.易错点：直接开平方法中，学生容易只取正的这一个根；2.配方法中，学生容易把一次项系数不除以2直接平方，个别学生会忘记平方，方程左边加了常数项，右边忘记加；公式法中，学生容易把公式中的-b记错成b,个别学生再代入系数的时候会忘记前面的负号；等等。
2.不能灵活选择解法，由于不会根据方程系数的特征找到最优解法，造成错误率提高，用时过长的弊端，从而影响到了少数学生对数学的自信心。
三、教学目标：（一）知识与技能：1.掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法解方程。
2.避免易错点，提高解方程的正确率。
（二）过程与方法通过观察方程的特征选择不同解法，培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力，同时还培养学生化归的思想。
（三）情感态度价值观通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。
通过小组合作的形式，培养合作的习惯，提高分析的能力。
四、教学重点：掌握解一元二次方程的四种方法。
五、教学难点：会根据方程的特征灵活选用适当的方法解方程。
六、教学过程：（一）全班纠错，激发热情：教材P17习题21.2 6（3）3(1)2(1)x x x -=-作业完成中的不同解法展示：A ：解：32x =∴ 23x = ∴原方程的解是：23x = B ：解：23322x x x -=- C ：解： 23322x x x -=-235+2=0x x - 235+2=0x x -252=33x x -- 252=33x x -- 22552+()=363x x -- 2225525+()=+()3636x x -- 252()=63x -- 251()=636x - ∴原方程无解 51=66x -∴=1x∴原方程的解为：=1xD ：解：23322x x x -=-235+2=0x x -3,5,2a b c ==-=224(5)4321b ac ∆=-=--⨯⨯=21,2451223b b ac x a ±--±==⨯ ∴12213x x =-=-， ∴原方程的解是：12213x x =-=-，E ：解：3(1)2(1)0x x x ---= (1)(32)0x x --=12213x x ==， ∴原方程的解是：12213x x ==， 提出问题，小组讨论：1.以上几位同学的解法是否正确，如果不正确请指出并改正，并小组内总结出哪些地方是易错点。
《一元二次方程的解法》课件PPT 苏科版
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
一元二次方程复习1
一元二次方程复习教学过程：一、一元二次方程的概念：问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：_____________________．归纳：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式_______________．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成___________后，其中_______是二次项，_______是二次项系数；________是一次项，________是一次项系数；________是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=3x-（x+1）是一元二次方程？2、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？4、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0“夹逼”方法求出该方程的根．例4．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 …x2-5x-150（3）你知道铁片的长x是多少吗？练习：一、选择题1．方程x（x-1）=2的两根为（）．A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=22．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1aC．x1=a，x2=1aD．x1=a2，x2=b23．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则a cb b=（）． A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．3．方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．三、综合提高题如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．三、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解练习：一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足34a +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？（二）、配方法1、解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0例2．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0例3求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0例4、用配方法解方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）练习： 一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-113．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或94．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）．A ．（x-13）2=89B ．（x-23）2=0 C ．（x-13）2=89D ．（x-13）2=1095．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0B ．（2x+1）2=0C ．（2x+1）2+3=0D ．（12x-a ）2=a6．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．4．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2+3=23x 2．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y-+的值．3．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．4．如果x 2-4x+y 2+6y+2z ++13=0，求（xy ）z 的值．5、求证：无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是正数（三）公式法由上例4可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
完整版一元二次方程知识点总结和例题复习
知识框架 知识点总结：一兀二次方程4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如 (X 可知，X a 是b 的平方根，当 b<0时，方程没有实数根。
(2) 配方法 配方法是一种重要的数学方法，2a) b 的一元二次方程。
根据平方根的定义b 0 时，X a4b , X a J b ，当它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2a 2ab b (a b)，把公式中的a 看做未知数x ，并用x X 2 2bx b 2(x b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式；代替，则有 化二次项系知识点、概念总结 1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知 数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数； (2) 且未知数次数最高次数是 2; (3) 是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整 式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的形 式，则这个方程就为一元二次方程。
(4 )将方程化为一般形式： 3. 一元二次方程的一般形式 过整理，？都能化成如下形式 一个一元二次方程经过整理化成 是二次项系数；bx 是一次项， 2ax +bx+c=0时，应满足( :一般地，任何一个关于 X 2ax +bx+c=0 (aM 0)。
2ax +bx+c=0 (a 丰 0)后，b 是一次项系数；a 丰0) 的一元二次方程，经其中ax 2是二次项,c 是常数项。
数为1;常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边 配成一个完全平方式；变形为 (X+P) 2=q 的形式，如果q > 0，方程的根是x=-p ±V q ;如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法， 方法。
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第1讲 一元二次方程解法复习（1）
姓名 师评
【知识清单+例析】
1、 一元二次方程概念：
（1）3个要点：① ② ③
（2）一般形式：
例1、判断下列方程是否为一元二次方程？
()()2222222111(1)0(2)210(3)(4)3023(5)0(6)0
(7)12(8)2310x x x x x x
xy x mx nx x x x x x =+==-=-=-=+-=-+≥ 例2、（1）一元二次方程23250x x --=的二次项、一次项系数分别为
（2）已知关于x 的方程()()46630a a x a x -++--=，问：
①当m 为何值时，它是一元二次方程：②当m 为何值时，它是一元一次方程？
2、 根的用法（回代）
例3、已知1x =是一元二次方程2
210x mx -+=的一个根，则m 的值为
3、 解一元二次方程
（1） 直接开平方法 ()()()()()2
222
(1)4250(2)421360
(3)5525
(4)2513x x x x y y -=--=+-=-=-
（2） 配方法 22(1)610(2)237x x x x x -+=+=
（3） 公式法（万能方法）
注意：①准确识别a 、b 、c ；②公式法前提为0a ≠，0∆≥
22(1)310(2)2330x x x x -+=--+=
（4） 因式分解法
()()()()()22222(1)50(2)4410
(3)419320(4)5362(5)315
(6)560
x x x x x x x x x x x x x +=-+=---=-=-+-=++=
4、 方法知识点
（1） 直接开平方法()2x a b += 若0b ≥可直接开平方；否则，方程无实数根
（2） 配方法
①化为直接开平方形式（转化思想）
②配方法不只适用于解一元二次方程，可用来求二次三项式的最值问题，即
2ax bx c ++=
例4、（1）求223x x ++的最小值； （2）求2
21x x -+-的最大值
（3） 公式法
①大前提：0a ≠，0∆≥
②∆的符号与方程根的对应关系：
0∆>⇔
0∆=⇔
0∆<⇔
故，0∆≥⇔
注：从左往右是不解方程判定一元二次方程根的情况；从右往左一般是根据方程根的情况求相关字母的取值范围
例5、关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 是取值范围为
③根与系数的关系：若一元二次方程两根为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a
= 注：一般根据和与积的关系变形求相关代数式的值 例6、已知1x ，2x 为一元二次方程2
2310x x --=的两根，求下列代数式的值 ()()()2
22121212211212122111(1)(2)(3)11(4)
(5)22(6)x x x x x x x x x x x x x x x x ++-⎛⎫⎛⎫+--++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
例7、（1）已知α，β是方程220110x x +-=的两根，则2
2ααβ++的值为 （2）关于x 的方程()2204
k kx k x +++=有两个不相等的实数根， ①求k 的取值范围；
②是否存在实数k ，使方程的两根实数根的到数和为0？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由
（4） 因式分解法
①原理：0ab =则，0a =或0b =
②理解：若一元二次方程的两根分别为a ，b ，则原方程可为()()0x a x b --=。