数理统计第5章

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证明：因 1 , 2 ,, n 相互独立，故
1 1 n 1 n E n E i E i n n n i 1 n i 1
1 2 1 n 1 n 2 Dn D i 2 D i 2 n n n n i 1 n i 1
由中心极限定理，
n i np n np i 1 lim P x lim P n np1 p n np1 p t2 x 1 x e 2 dt 2π
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i服从0-1分布且相互独立，
i 1,2,, n
因此 1 , 2 ,, n满足契比雪夫定理的条件， 1 n nA nA n i lim P p 1 n i 1 n n n
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三、辛钦大数定律：
设随机变量 1 , 2 ,, n , 相互独立同分布，且
dt
⑴ 该定理为中心极限定理的特例。 ⑵ 解决了二项分布中当n很大时的概率计 算问题。
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证明：令 n 1 2 n， i服从0-1分布。
E i p, D i p1 p , i 1,2,
E n np, Dn np1 p
n np lim P a b b a n np1 p
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三、有关中心极限定理的计算步骤：
1、若1 , 2 ,, n , 独立且同分布（任何分
布均可），令 n 1 2 n ，计算
定义：设1 ,2 ,,n ,是一个随机变量序列，a
是一个常数，若对 0，有
lim Pn a 1
n
则称序列 1 ,2 ,,n , 依概率收敛于a。 注意依概率收敛与微积分中的收敛的区别。
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微积分中序列 an , lim an a 指： n
E n , Dn 。
2、当n充分大时，n ~ N E n , Dn 。
n E n 3、对 n进行标准化，即 n 。 D n
4、 n ~ N (0,1) ，查表计算。
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四、有关例子：
例1：设随机变量Xn服从二项分布B(n, p)， 0<p<1,n＝1,2,…，则对于任一实数x，有
概率论与数理统计 第十五讲
第五章 大数定律与中心极限定理
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概率论中有两类极限定理 ⑴ 大数定律：从理论上证明随机现象的“频
率稳定性”，并进一步推广到“算术平均值法
则”。 ⑵ 中心极限定理：证明了独立随机变量标 准化和的极限分布是正态分布或近似正态分 布。
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§5.1 大数定律
一、契比雪夫定理：
设随机变量 1 , 2 ,, n , 相互独立且具有相同
⑵ 去掉了方差存在性条件。
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例1：设随机变量X1,X2,…,Xn, …相互独立，则
辛钦大数定律成立只须X1,X2,…,Xn, … 【
(A) 有相同的数学期望；
】
(B) 服从于同一离散型分布；
(C) 服从于同一连续随机变量；
(D) 服从于同一指数分布。
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例2：将一枚骰子重复掷n次，则当 n 时，
lim P X n np x＝【 n
】 (B)
1 e 2π 0
x t2 2
(A)
1 e 2π
x
t2 2
dt ；
dt ；
(C) 0；
(D) 0.5。
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例2：在概率的近似计算中的应用： ⑴ ~ B104 ,0.1 ，求 P{ 990}； ⑵ ~ π(100)，求 P{ 120}。 例3：某校学生会主办一次周末晚会，共发
概率事件实际几乎不可能发生”的原理。
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证明：引入随机变量
0 第i次试验中A不发生 i i 1,2,, n 1 第i次试验中A发生
则
nA 1 2 n
E i 0 1 p 1 p p D i p p p1 p
二、贝努里大数定律：
设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事 件A在每次试验中发生的概率，则对于 0，有
百度文库 nA nA lim P p 1或 lim P p 0 n n n n
该定理表达了“频率的稳定性” 原理以及 “小
试求： ⑴ 保险公司亏本的概率为多少？ ⑵ 保险公司获利不少于10万元的概率为多少？
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例5：银行为支付某日即将到期的债券须准
备一笔现金，已知这批债券共发放了500
张，每张支付本息1000元。设持券人(1人1券)
到期日到银行领取本息的概率为0.4，问银行
该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足 客户的兑换？
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例6：电视台作某节目A收视率的调查，在每
天节目A播出时随机地向当地居民打电话，
问是否在看电视，如在看电视，再问是否在
看节目A，设回答在看电视的居民数为n，问
为保证以95％的概率使调查误差在1％之 间，n应取多大？
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第五章复习题 (p.194) ：
2 4 6 8
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n
n
t2 x 1 2 x e dt 2π 12
2 1 n 事实上， n i，E n , D n 。 n i 1 n
n E n n 即为标准化量。 D n
该定理表明，只要n充分大，
1 n i n i 1
E i , D i 0, i 1,2,
2
则随机变量 n

i 1
n
i
n
的分布函数 F n x 对于任意实数x，满足
i n i 1 lim F n x lim P n n n
具有有限的数学期望：E i i 1,2,
1 n 令 n i ，则 0 ，有 n i 1
1 n lim P n lim P i 1 n n n i 1
与契比雪夫定理比较： ⑴ 条件改为独立同分布；
的有限数学期望和方差：E i , D i 2 n 1 令 n i ， 前n项算术平均 n i 1 则 0 ，有
1 n lim P n lim P i 1 n n n i 1
n次掷出点数的算数平均值依概率收敛于
。
例3：设随机变量X1,X2,…,Xn独立同服从于
U 0, 分布，试证明Yn max X i 依概率收 1 i n
于 。
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§5.2 中心极限定理 一、中心极限（又称列维-林德伯格）定理：
设随机变量 1 , 2 ,, n , 相互独立且同分布，
0, N 0, 当n>N时，恒有 an a 成立。
概率论中序列 n 为随机变量序列， n 依概
率收敛于a指：
0 ，当n充分大，事件 n a 发生的概
率很大，接近于1，即
lim Pn a 1
n
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但并不排除 n a 不发生，可能性很小而已。
又由契比雪夫不等式
P n E n 1 D n
2
2 即 P n 1 2 n
所以
lim P n 1
n
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1 n 该定理表明，只要n充分大， i 以很大 n i 1 的概率取值接近于数学期望 。
n
n



i 1
i
n ~ N (0,1)
n
n
从而便于计算 P n x。
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二、德莫佛-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理： 设随机变量 n n 1,2, 服从参数为n,p(0<p<1)
的二项分布，则对于任意区间[a,b]，恒有
b 1 n np lim P a b e n np1 p a 2π t2 2
出邀请书150张，按照以往的经验，接到邀
请书的人约有80％能到会，试求前来参加晚 会的人数在110～130之间的概率。
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例4：设有2500个同一年龄段和同一社会阶层
的人参加了某保险公司的人寿保险。在一年中
每个人死亡的概率为0.002。每个人在年初向
保险公司交纳保费120元，而若在一年内死亡
时，其家属可以从保险公司领到2万元的赔偿。