微积分复习资料——公式

⑼ ax ax ln a ⑽ ex ex
或
(链式法则)
⑾
log a x
1 x ln a
⑿ ln x 1
x
⒀ arcsin x 1
1 x2
⒁ arccos x 1
1 x2
⒂
arctan
x
1 1 x2
⒃
arc
cot
x
1 1 x2
⒄ x 1
⒅ x 1 2x
高阶导数的运算法则
常用极限
lim n a (a o) 1
n
lim n n 1
n
lim arctan x
x
2
lim arc tan x
x
2
lim arc cot x 0
x
lim arc cot x
x
lim ex 0
x
lim ex
x
lim xx 1
x0
lim
x
a0 xn b0 xm
a1xn1 b1xm1
cot(A B) cot A cot B 1 cot B cot A
sin 2A 2sin Acos A
tan 2A 2 tan A 1 tan2 A
3.半角公式
cos 2A cos2 A sin2 A 1 2sin2 A 2cos2 A 1
sin A 1 cos A
2
2
cos A 1 cos A
f
y x
3.一阶线性非齐次微分方程： dy p x y Q x
dx
解为：
y
e
p xdx
Q
x
e
p
xdx
dx
c
8 不定积分
基本积分公式
1、 kdx kx c
2、 xadx xa1 c
a 1
3、
1 x
dx
ln
x
c
4、 axdx ax c
ln a
5、 exdx ex c
cos(A B) cos Acos B sin Asin B cos(A B) cos Acos B sin Asin B
tan(A B) tan A tan B 1 tan A tan B
cot(A B) cot A cot B 1 cot B cot A
2.二倍角公式
tan(A B) tan A tan B 1 tan A tan B
a
b
6.万能公式
cos
a
cos
b
1 2
cos
a
b
cos
a
b
cos
a
sin
b
1 2
sin
a
b
sin
a
b
2 tan a
sin a
2
1 tan2 a
2
7.平方关系
1 tan2 a
cos a
2
1 tan2 a
2
2 tan a
tan a
2
1 tan2 a
2
sin2 x cos2 x 1
sec2 x ta n2 x 1
若数列{ }与{ }为收敛数列，
则{
}{ }也是收敛数列，且
(1)
(2)
(3)
(
)
函数极限运算
定理 1 四则运算法则
(1)
(2)
(3)
(B )
定理 2 复合函数极限
设函数
是函数
，
若
,
在 有定义且
的复合函数。 ，则
因为
，所以定理结论也也可写成
推论 3 若
存在，C 为常数，则
推论 4 若
存在，n 为正整数，则
微分的近似计算中的应用
由函数增量与微分的关系
，当 很小时，有
，因此
时有
令 ，得下列函数在原点附近的近似公式：
,其中 时 或当
，
微分公式与微分运算法则 ⑴d c 0
⑵ d x x1dx
⑶ d sin x cos xdx ⑷ d cos x sin xdx ⑸ d tan x sec2 xdx ⑹ d cot x csc2 xdx ⑺ d sec x sec x tan xdx ⑻ d csc x csc xcot xdx
f
ax
axdx
1 ln a
f
ax
d
ax
课外
f sin xcos xdx f sin xd sin x
f cos xsin xdx f cos xd cos x
f tan xsec2 xdx f tan xd tan x课外
f cot xcsc2 xdx f cot xd cot x课外
2
2
tan A 1 cos A sin A 2 1 cos A 1 cos A
cot A 1 cos A sin A 2 1 cos A 1 cos A
4.和差化积公式
sin a sin b 2sin a b cos a b
2
2
cos a cos b 2cos a b cos a b
（3） ax n ax lnn a
(4)
sin
ax
b n
an
sin
ax
b
n
2
(5)
cos ax
bn
an
cos
ax
b
n 2
(6)
1 ax
b
n
1n
an n!
ax bn1
(7)
ln ax
bn
1 n1
an n 1! ax bn
5 微分
微分的四则运算
根据与导数的关系，所以与导数相同
⑼ d ex exdx
微分运算法则 ⑴ d u v du dv
⑶ d uv vdu udv
⑽ d ax ax ln adx
⑾ d ln x 1 dx
x
⑿ d
log a x
1 dx x ln a
⒀ d arcsin x 1 dx
1 x2
⒁ d arccos x 1 dx
a0
an bm
b0 0
nm
nm nm
常用 时的等价无穷小
,
,
,
（系数不为 0 的情况）
,
,
,
பைடு நூலகம்
，
，
3 导数 导数的四则运算法则
，推广
反函数导数：
或
复合函数导数：
基本导数公式
⑴ c 0
⑵ x x1
⑶ sin x cos x ⑷ cos x sin x ⑸ tan x sec2 x ⑹ cot x csc2 x ⑺ sec x sec x tan x ⑻ csc x csc x cot x
arctan x a
c
19、
a2
1
x2
dx
1 ln 2a
a a
x x
c
20、
x2
1 a2
dx
1 ln 2a
xa xa
c
课外
21、
1 dx arcsin x c
a2 x2
a
22、
1 dx ln x x2 a2 c
x2 a2
23、 shxdx chx c 其中 shx ex ex 为双曲正弦函数(课外知识)
第二换元积分法中的三角换元公式
(1) a2 x2 x asin t (2) a2 x2 x a tant (3) x2 a2 x asect
13、
1
1 x2
dx
arctanx
c
14、 tan xdx ln cosx c
15、 cot xdx ln sin x c
16、 sec xdx ln sec x tan x c
17、
csc xdx ln
csc x cot
x
c
ln
tan
x 2
c
18、
a2
1
x2
dx
1 a
（1） u x v xn u xn v xn （2） cu xn cun x （3） u ax bn anun ax b
（4） u x v xn n cnkunk x v(k) x k 0
基本初等函数的 n 阶导数公式
（1）
xn
n
n!
（2） eaxb n an eaxb
分部积分法公式
⑴形如 xneaxdx ，令 u xn ， dv eaxdx
形如 xn sin xdx 令 u xn ， dv sin xdx 形如 xn cos xdx 令 u xn ， dv cos xdx ⑵形如 xn arctan xdx ，令 u arctan x ， dv xndx 形如 xn ln xdx ，令 u ln x ， dv xndx ⑶形如 eax sin xdx ， eax cos xdx 令 u eax , sin x, cos x 均可。
6、 sin xdx cosx c
7、 cosxdx sin x c
8、
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
c
9、
1 s in 2
x
dx
csc2
xdx
cot
x
c
10、 sec x tan xdx sec x c
11、 cscx cot xdx cscx c
12、
1 dx arcsin x c 1 x2
8.倒数关系
tan xcot x 1 9.商数关系
sec xcos x 1
tan x sin x cos x
cot x cos x sin x
【特殊角的三角函数值】
x
0
csc2 x cot2 x 1 cs c xsin x 1
0
1
0
1
0
-1
0
不存在
0
不存在
0
不存在
2 极限 数列极限四则运算
f
arctan
x
1
1 x2
dx
f
arc ta
n
xd
arc ta
n
x
f arcsin x
1 1
x2
dx
f
arcsin
x d
arcsin
x
u x u ln x
u ex u ax u sin x u cos x u tan x u cot x
u arctan x u arcsin x
1 x2
⒂
d
arctan
x
1 1 x2
dx
⒃
d
arc cot
x
1
1 x2
dx
⑵ d cu cdu
⑷
d
u v
vdu udv v2
几种常见的微分方程(课外知识)
1.可分离变量的微分方程： dy f x g y
dx
，
f1 x g1 ydx f2 x g2 ydy 0
2.齐次微分方程： dy dx
微积分(上)复习资料——公式
1 函数
初等函数：
常量函数 y=C(C) 幂函数 y= (a)
指数函数 y= (a>0,a≠0)
对数函数
(a>0,a≠0)
三角函数
反三角函数
三角函数公式
1.两角和公式 sin(A B) sin Acos B cos Asin B
sin(A B) sin Acos B cos Asin B
2
24、 chxdx shx c 其中 chx ex ex 为双曲余弦函数(课外知识)
2
下列常用凑微分公式
积分型
f
ax
bdx
1 a
f
ax
bd
ax
b
换元公式 u ax b
f
x
x 1dx
1
f
x
d
x
课外
f
ln
x
1 x
dx
f
ln
xd
ln
x
课外
f ex exdx f ex d ex
2
2
sin a sin b 2cos a b sin a b
2
2
cos a cosb 2sin a b sin a b
2
2
tan a tan b sin a b
cos a cos b
5.积化和差公式
sin
a
sin
b
1 2
cos
a
b
cos
a
b
sin
a
cos
b
1 2
sin
a
b
sin