高中必修1-5错误解题分析系列-《4.3数列的综合应用》

第四章 数列

§4.3数列的综合应用

一、知识导学

1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n .一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.

二、疑难知识导析

1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，

转化为解不等式⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或解决； 2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公

式时，勿忘分类讨论思想；

3.等差数列中, a m =a n + (n －m)d, n

m a a d n m --=; 等比数列中，a n =a m q n-m

; m

n m n a a q

=- 4.当m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈+N ）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +a n =a p +a q ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =a p a q ；

5.若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n +bb n }(k 、b 是非零常数)是等差数列；若{a n }、{b n }是等比数列，则｛ka n ｝、{a n b n }等也是等比数列；

6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9…）仍是等差（或等比）数列；

7.对等差数列｛a n ｝,当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈+N ）；

8.若一阶线性递推数列a n =ka n －1+b （k ≠0,k ≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:)1

(11-+=-+-k b a k k b a n n (n ≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

三、经典例题导讲

[例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明：

12

12

2

12

1log 2

log log +++n n n S S S ＞。

错解：欲证

12

12

2

12

1log 2

log log +++n n n S S S ＞

只需证22

12

1log log ++n n S S ＞2121log +n S

即证：)(log 22

1+⋅n n S S ＞2

12

1log +n S

由对数函数的单调性，只需证)(2+⋅n n S S ＜2

1+n S

2+⋅n n S S －2

1+n S

＝

2

2

1212221)

1()1()1()1)(1(q q a q q q a n n n ------++ ＝－02

1

q a

∴ 2+⋅n n S S ＜21+n S ∴ 原不等式成立.

错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q ＝1的情况.

正解：欲证

12

12

2

12

1log 2

log log +++n n n S S S ＞

只需证22

12

1log log ++n n S S ＞2121log +n S

即证：)(log 22

1+⋅n n S S ＞2

12

1log +n S

由对数函数的单调性，只需证)(2+⋅n n S S ＜2

1+n S 由已知数列{}n a 是由正数组成的等比数列，

∴ q >0,01>a .

若1=q ,

则2+⋅n n S S －21+n S ＝2111])1[()2(a n a n na +-+ ＝－2

1a ＜0； 若1≠q ,

2+⋅n n S S －2

1+n S

＝

2

2

1212221)1()1()1()1)(1(q q a q q q a n n n ---

---++ ＝－02

1

q a

∴ 2+⋅n n S S ＜21+n S

∴ 原不等式成立.

[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）

错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为

2

1

的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和.

即2

11]

)21

(1[1001010--=S ＝199（米） 错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.

正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了2

100

2⨯

＝100（米）…因此到球第10次着地时共经过的路程为 8322100

210021002100100100++++++

＝2

11]

)21

(1[1001009--+

≈300（米） 答：共经过300米。

[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？

错解： 年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a 为首项，公比为1+r 的等比数列的第19项，即a 19=a(1+r)18

.

错因：只考虑了孩子出生时存入的a 元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a 元. 正解：不妨从每年存入的a 元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a 元到18年时变

为a(1+r)18

，

1岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)17

，

2岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)16

， ……

17岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)1

，

∴ a(1+r)18+ a(1+r)17+ …+ a(1+r)1

＝)

1(1])1(1)[1(18r r r a +-+-+